CÁLCULO I I/Guias/GUIA (22-02-19).pdf · Cálculo I – José Luis Quintero ii 1.7.3. Posiciones...

CÁLCULO I

José Luis Quintero

Serie Cálculo Diferencial e Integral

ISBN 980-00-0725-3

Primera edición: Marzo 2019

i

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica 1.1. Valor absoluto

1.1.1. Definición 1.1.2. Propiedades de interés 1.1.3. Problemas propuestos

1.2. Distancia, punto medio y área 1.2.1. Distancia entre dos puntos 1.2.2. Punto medio 1.2.3. Área de un triángulo 1.2.4. Problemas propuestos

1.3. Lugar geométrico y recta 1.3.1. Lugar geométrico 1.3.2. Recta 1.3.3. Formas de la ecuación de la recta

1.3.3.1. Conocidos un punto y su pendiente 1.3.3.2. Conocidos dos puntos 1.3.3.3. Ecuación simétrica o canónica 1.3.3.4. Ecuación general

1.3.4. Problemas propuestos 1.4. Posiciones relativas entre dos rectas

1.4.1. Paralelismo 1.4.2. Perpendicularidad 1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes 1.4.4. Problemas propuestos

1.5. Distancias 1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas 1.5.2. Problemas propuestos

1.6. Ecuaciones de segundo grado 1.6.1. Secciones cónicas 1.6.2. Ecuación general

1.7. Circunferencia 1.7.1. Definición 1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia

1.7.2.1. Conocidos centro y radio 1.7.2.2. Ecuación general

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Cálculo I – José Luis Quintero

ii

1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia 1.7.4. Problemas propuestos

1.8. Elipse 1.8.1. Definición 1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse

1.8.2.1. Ecuación canónica 1.8.2.2. Ecuación general

1.8.3. Problemas propuestos 1.9. Hipérbola

1.9.1. Definición 1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola


1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular 1.9.4. Hipérbolas conjugadas 1.9.5. Asíntotas de la hipérbola 1.9.6. Problemas propuestos

1.10. Parábola 1.10.1. Definición 1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola


1.10.3. Problemas propuestos 1.11. Misceláneos

1.11.1. Motivación 1.11.2. Problemas propuestos 1.11.3. Problemas propuestos

Capítulo 2. Funciones reales de variable real 2.1. Función

2.1.1. Definición 2.1.2. Igualdad de funciones 2.1.3. Álgebra de funciones 2.1.4. Problemas propuestos

2.2. Simetría y periodicidad 2.2.1. Dominio simétrico respecto del origen 2.2.2. Función par y función impar medio 2.2.3. Periodicidad 2.2.4. Problemas propuestos

2.3. Composición de funciones 2.3.1. Definición 2.3.2. Dominio de la composición

2.4. Inyectividad y función inversa 2.4.1. Crecimiento y decrecimiento 2.4.2. Función inyectiva 2.4.3. Función inversa

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Índice

iii

2.4.4. Problemas propuestos 2.5. Gráfico de funciones

2.5.1. Movimientos en el plano 2.5.2. Problemas propuestos

Capítulo 3. Límites y continuidad 3.1. Límite de una función

3.1.1. Definición 3.2. Teoremas de límites 3.3. Límites laterales 3.4. Límites infinitos 3.5. Límites al infinito 3.6. Indeterminaciones 3.7. Teorema del sándwich 3.8. Límites notables 3.9. Continuidad 3.10. Teorema 3.11. Límite de la función compuesta 3.12. Teorema del valor intermedio 3.13. Corolario 3.14. Problemas propuestos Capítulo 4. La derivada de una función 4.1. Definición 4.2. Notaciones 4.3. Álgebra de derivadas 4.4. Regla de la cadena 4.5. Derivación implícita 4.6. Derivadas de orden superior 4.7. Derivación paramétrica 4.8. Problemas propuestos

Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada 5.1. Regla de L’Hospital 5.2. Definiciones 5.3. Número crítico y valor crítico 5.4. Teoremas de interés 5.5. Criterio de la primera derivada (crecimiento y decrecimiento) 5.6. Criterio de la primera derivada (máximos y mínimos) 5.7. Concavidad y punto de inflexión 5.8. Criterio de la segunda derivada (concavidad) 5.9. Criterio de la segunda derivada (máximos y mínimos) 5.10. Asíntotas al gráfico de una función 5.11. Trazado de curvas 5.12. Problemas de cambios relacionados 5.13. Problemas de optimización

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99

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ii

5.14. Problemas propuestos

1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes 1.4.4. Problemas propuestos

1.5. Distancias 1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas 1.5.2. Problemas propuestos

1.6. Ecuaciones de segundo grado 1.6.1. Secciones cónicas 1.6.2. Ecuación general

1.7. Circunferencia 1.7.1. Definición 1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia

1.7.2.1. Conocidos centro y radio 1.7.2.2. Ecuación general

1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia 1.7.4. Problemas propuestos

1.8. Elipse 1.8.1. Definición 1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse


1.8.3. Problemas propuestos 1.9. Hipérbola

1.9.1. Definición 1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola


1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular 1.9.4. Hipérbolas conjugadas 1.9.5. Asíntotas de la hipérbola 1.9.6. Problemas propuestos

1.10. Parábola 1.10.1. Definición 1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola


101

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CAPÍTULO 1

NÚMEROS REALES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

1.1. Valor absoluto 1.1.1. Definición.

x si x 0x

x si x 0

≥= − <

1.1.2. Propiedades de interés.

a. x 0≥

b. 2 2x x=

c. x x= −

d. xy x y=


2

e. = ≥ x y x y (y 0)

f. x a a x a (a 0)≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥

g. x a x a ó x a (a 0)≥ ⇔ ≥ ≤ − ≥

h. 2x x=

1.1.3. Problemas propuestos.

1.1.3.1. Resuelva las siguientes inecuaciones.

a. 2x 1 0+ >

b. 3x 2 7− ≤

c. 4 3x 0− >

d. 5x 3 2x 1+ < −

e. 5(x 2) 3(x 5)− < +

f. 3x 1 2x 3− < −

g. 2x 5 3(x 5)+ < +

h. 3 2(2x 1) (5 x) x 15+ − − − ≤ −

i. 3(1 x)3x 1 x2 5 10

2x−− + ≤ +

j. 2x 1x 1

1−+ <

k. x 2x 6

2−− <

l. 2x 93x 7

2 0+++ <

12

Rta. ( , )− +∞

Rta. ( ,3]−∞

43

Rta. ( , )−∞

43

Rta. ( , )−∞ −

252

Rta. ( , ]−∞

Rta. ( , 2)−∞ −

Rta. ( 10, )− +∞

114

Rta. ( , ]−∞ −

Rta. ( , )−∞ +∞

Rta. ( 1,2)−

Rta. ( ,6) (10, )−∞ ∪ +∞

23 78 3

Rta. ( , )− −

Capítulo 1. Números reales y Geometría Analítica

3

m. x 12x 6

4 0−+− > 25

7Rta. ( , ) ( 3, )−∞ − ∪ − +∞


a. 2x 9 0− <

b. 2x 9 0− ≥

c. 2x 9 0+ ≥

d. 2x 9 0+ ≤

e. 24 x 0− ≥

f. (x 4)(6 x) 0+ − <

g. 26x x 9+ > −

h. 22x 3x 6 0− + >

i. 24(x 3) 4+ ≥

j. 2x x 0+ >

k. 22x 3x 5 0+ − ≥

l. 2(2x 5) 9 0+ − <

m. 2x x 3 2+ + <

n. 2x 12x 35+ > −

o. 5x

x 4− <

p. x 2 xx 5 x 3

+− +≤

Rta. ( 3,3)−

Rta. ( ,3] [3, )−∞ ∪ +∞

Rta. ( , )−∞ +∞

Rta. ∅

Rta. [ 2,2]−

Rta. ( , 4) (6, )−∞ − ∪ +∞

Rta. ( , 3) ( 3, )−∞ − ∪ − +∞

Rta. ( , )−∞ +∞

Rta. ( , 4] [ 2, )−∞ − ∪ − +∞

Rta. ( , 1) (0, )−∞ − ∪ +∞

52

Rta. ( , ] [1, )−∞ − ∪ +∞

Rta. ( 4, 1)− −

Rta. ∅

Rta. ( , 7) ( 5, )−∞ − ∪ − +∞

Rta. ( , 1) (0,5)−∞ − ∪

35

Rta. ( , 3) [ ,5)−∞ − ∪ −


4

q. x 1 2 3 3x 1x 5 4 4x

− +− ≥ −

r. 2x 42x 4

0−+

<

s. 2x 4x 5

22x 11+ −

+>

54

Rta. ( , 1] (0, ] (5, )−∞ − ∪ ∪ +∞

Rta. ( 2,2)−

Rta. ∅


a. x 4 1− <

b. x 5 2+ ≥

c. 2x 1 5+ >

d. 12

0 x 5< − <

e. 1 x 4≤ ≤

f. 3 2x2 x

4−+ ≤

g. 6 5x 13 x 2−+ ≥

h. 2x 3x 4x 2

2+ ++ <

i. 3 5x 5 3x− ≤ −

j. x 1 1x 3 x

++ ≥

k. xx

1≥ −

l. x 2

x0

− ≤

Rta. (3,5)

Rta. ( , 7] [ 3, )−∞ − ∪ − +∞

Rta. ( , 3) (2, )−∞ − ∪ +∞

{ } 9 112 2

Rta. ( , ) 5−

Rta. [ 4, 1] [1,4]− − ∪

5112 6

Rta. ( , ] [ , )−∞ − ∪ − +∞

9 511 3

Rta. ( , 3) ( 3, ] [ , )−∞ − ∪ − ∪ +∞

Rta. ( 1,0)−

Rta. [ 1,1]−

Rta. ( ,0) [ 3, ]−∞ ∪ +∞

{ } Rta. R 0−

{ } Rta. ( ,0) 2−∞ ∪


5

m. 2x x x 3− < +

n. x 4 2x 6+ ≤ −

o. x x 1> −

p. 3x 6 4x 3− ≤ +

q. 2x 2x 4 4− − >

r. 2x x 1

5x 10

+ +

− <

s. 22x 4x 22x x 2

1− − −+ −

≤

t. 2x 4 x 1 4+ − − ≤

u. x 3 2 x 5− + <

v. 1 2x 2 x− ≤ +

w. x x 1 2+ − <

x. x 1 x 2 2x 9− > − + −

y. ++ − ≤2x 3x 1

x 1 2x 2

Rta. ( 1,3)−

23

Rta. ( , ] [10, )−∞ ∪ +∞

12

Rta. ( , )+∞

37

Rta. ( , 9] [ , )−∞ − ∪ +∞

Rta. ( , 2) (0,2) (4, )−∞ − ∪ ∪ +∞

15

Rta. ( , )−∞

53

Rta. [ ,0]−

13

Rta. [ 9, ]−

23

Rta. ( ,2)−

Rta. [ 1,3]−

32

Rta. ( , )−∞

Rta. (4,5)

− − ∪ +∞ 1 1 12 5 3

Rta. [ , ] [ , )


6

1.2. Distancia, punto medio y área 1.2.1. Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos 1 1 1P (x ,y ) y 2 2 2P (x ,y ) está

dada por la fórmula

2 2

1 2 1 2 1 2d(P ,P ) (x x ) (y y )= − + −

1.2.2. Punto medio. Dado un segmento de extremos 1 1 1P (x ,y ) y 2 2 2P (x ,y ), se

define su punto medio 1 2PM(P ,P ) como aquel punto del

segmento que equidista de sus extremos. Se calcula como

1 2 1 21 2

x x y yPM(P ,P ) ,

2 2

+ + =

.

1.2.3. Área de un triángulo.

El área de un triángulo que tiene por vértices los puntos 1 1(x , y ); 2 2(x , y ) y 3 3(x , y ) es

=1 1

2 2

3 3

x y 11

A x y 12x y 1

debiendo tomarse el valor absoluto del determinante.

Observación. Una condición necesaria y suficiente para que tres puntos diferentes de coordenadas 1 1(x , y ); 2 2(x , y ) y

3 3(x , y ) sean colineales es que


7

=1 1

2 2

3 3

x y 1

x y 1 0

x y 1


1.2.4.1. Calcule la distancia entre los puntos (5,-3) y (-2,7). Rta. 149 1.2.4.2. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Halle

las coordenadas de sus cuatro vértices.

Rta. (a,a); (-a,a); (-a,-a); (a,-a)

1.2.4.3. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las longitudes de los

catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de

la hipotenusa. Rta. 6, 5

1.2.4.4. Halle la distancia del origen al punto (a,b).

Rta. 2 2a b+

1.2.4.5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1) Halle las coordenadas del tercer vértice.

Rta. (1,1 2 3); (1,1 2 3)+ −

1.2.4.6. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son

(-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). Rta. 20.26 1.2.4.7. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son

los vértices de un triángulo isósceles.

1.2.4.8. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los

vértices de un triángulo rectángulo y halle su área. Rta. 34


8

1.2.4.9. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1)

son colineales, es decir, que están sobre una misma línea

recta.

1.2.4.10. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2)

son los vértices de un cuadrado.

1.2.4.11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el

punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Halle el otro extremo.

Rta. (1,-2)

1.3. Lugar geométrico y recta 1.3.1. Lugar geométrico.

Suponga que se da una ecuación de dos variables, x, y, que se puede escribir, brevemente, en la forma f(x, y) 0= .

En general, hay un número infinito de pares de valores (x,y) que satisfacen la ecuación f(x, y) 0= . Este convenio es la

base de la siguiente definición:

El conjunto de los puntos que satisfagan una ecuación f(x, y) 0= , se llama gráfica de la ecuación o, bien, su lugar

geométrico.

Una observación importante está dada como sigue

Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y) 0= pertenece a la gráfica de la ecuación.

Para una curva, dar la condición que deben cumplir

sus puntos es dar una ley a la cual deben obedecer los

puntos de la curva. Esto significa que todo punto de la curva


9

debe satisfacer la ley particular de la curva. De acuerdo con

esto se define frecuentemente una curva como

El lugar geométrico descrito por un punto que se mueve

siguiendo una ley especificada.

1.3.2. Recta.

Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera A AA(x ,y ) y B BB(x ,y ) del lugar,

el valor de la pendiente m resulta siempre constante.

De lo anterior vale formular el concepto de pendiente

como sigue:

Es la tangente del ángulo de inclinación. Se denota por m tg( )= α .

De lo anterior vale formular el concepto de ángulo de

inclinación como sigue:

Es el ángulo entre la parte positiva del eje x o eje de las

abscisas y la recta, medido en sentido antihorario.

1.3.3. Formas de la ecuación de la recta.

1.3.3.1. Conocidos un punto y su pendiente. Sean 1 1P(x , y ) y Q(x,y) cualquier punto sobre la recta,

se tiene entonces que

1

1

y ym

x x

−=− .

La expresión anterior conduce mediante despeje a la

expresión


10

1 1y y m(x x )− = −

Observaciones de interés.

• Si 1 1P(x ,y ) (0,0)= se tiene que y mx= (pasa por el

origen)

• Si 1 1P(x ,y ) (0,b)= se tiene que y mx b= +

1.3.3.2. Conocidos dos puntos. Sean 1 1P(x , y ) y 2 2Q(x ,y ) se tiene entonces que

2 11 1 1 2

2 1

y yy y (x x ), x x

x x

−− = − ≠−

.


• Si 1 2y y= se tiene que 1y y= (recta horizontal)

• Si 1 2x x= entonces 1x x= (recta vertical)

1.3.3.3. Ecuación simétrica o canónica.

Sean a 0≠ y b 0≠ los segmentos que una recta

determina sobre los ejes x e y. Entonces (a,0) y (0,b) son dos

puntos de la recta y por lo tanto el problema se reduce a

encontrar la ecuación de la recta dados dos puntos.

En tal sentido

b 0 by 0 (x a) y (x a) ay b(x a)

0 a a

bx ay abbx ay ab

ab ab ab

−− = − ⇒ = − − ⇒ = − −−

⇒ + = ⇒ + =


11

Así, se obtiene la ecuación simétrica de la recta dada por

x y1

a b+ =

1.3.3.4. Ecuación general.

Sea la ecuación de la recta dados dos puntos:

2 11 1 1 2

2 1

y yy y (x x ), x x

x x

−− = − ≠−

Despejando e igualando a cero:

2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2

(x x )y (x x )y (y y )x (y y )x , x x

(y y )x (x x )y (y y )x (x x )y 0, x x

− − − = − − − ≠− + − + − − − = ≠

Sean 1 2y y A− = , 2 1x x B− = y

2 1 1 2 1 1 1 1(y y )x (x x )y Ax By C− − − = − − = .

La ecuación resultante se llama ecuación general de la

recta y viene dada por

Ax By C 0+ + =


12

1.3.4. Problemas propuestos. 1.3.4.1. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su

ordenada? Rta. 5

1.3.4.2. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los

puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos.

1.3.4.3. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente 2. Rta. 2x-y+3=0

1.3.4.4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45o .

Rta. x-y+3=0

1.3.4.5. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es –2. Rta. 3x+y+2=0

1.3.4.6. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados.

Rta. 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0

1.3.4.7. Los segmentos que una recta determina sobre los

ejes X e Y son 2 y –3 respectivamente. Halle su ecuación.

Rta. 3x-2y-6=0

1.3.4.8. Una recta pasa por los dos puntos A(-3,-1) y B(2,-6). Halle su ecuación en la forma simétrica. Rta. x/-4 + y/-4=1

1.3.4.9. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A(-1,4). Hallar su ecuación en forma simétrica. Rta. x/1 + y/2 = 1


13

1.4. Posiciones relativas entre dos rectas 1.4.1. Paralelismo.

A continuación algunas definiciones claves sobre

paralelismo:

Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen igual ángulo de

inclinación.

Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen igual pendiente, o

bien ambas son paralelas al eje de las ordenadas.

1.4.2. Perpendicularidad.

A continuación algunas definiciones claves sobre

perpendicularidad:

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si forman entre ellas

ángulos de o90 .

Dos rectas de pendientes 1m y 2m son perpendicularidades si

y sólo si = −1 2m m 1, o bien una es vertical y otra horizontal.

1.4.3. Rectas coincidentes y rectas secantes.

A continuación definiciones sobre rectas

coincidentes y rectas secantes:

Dos rectas son coincidentes si tienen un punto común y la

misma pendiente.

Dos rectas son secantes si se cortan en uno y solamente un

punto.


14

TEOREMA 1. Si las ecuaciones de dos rectas son + + =1 1 1A x B y C 0 y + + =2 2 2A x B y C 0 , las relaciones

siguientes son condiciones necesarias y suficientes para

• Paralelismo: − =1 2 2 1A B A B 0

• Perpendicularidad: + =1 2 1 2A A B B 0

• Coincidencia: = = = ≠ 1 2 1 2 1 2A kA , B kB , C kC (k 0)

• Intersección en uno y solamente un punto: − ≠1 2 2 1A B A B 0


1.4.4.1. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2,2) y D(3,-4). Halle su ecuación.

Rta. 6x+5y-82=0

1.4.4.2. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y-8=0

y 3x-2y+9=0. Rta. 4x+y-10=0

1.4.4.3. Halle el área del triángulo rectángulo formado por

los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x+4y+20=0.

Rta. 10

1.4.4.4. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7,-2). Calcule la

abscisa de P. Rta. 11

1.4.4.5. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3).

Rta. 4x+3y+13=0

1.4.4.6. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. Rta. 4


15

1.4.4.7. Determine el valor de k para que la recta 4x+5y+k=0

forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de

área igual a 2.5 unidades cuadradas. Rta. ±10

1.4.4.8. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 halle los valores de a y b para que representen rectas que

pasan por el punto (2,-3). Rta. a=4, b=7

1.4.4.9. Sea el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3).

a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta. x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0

b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. Rta. 5x+y+9=0

1.4.4.10. Determine el valor de los coeficientes A y B de la

ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si debe pasar por los

puntos C(-3,1) y D(1,6). Rta. A=20/19, B=16/19

1.5. Distancias 1.5.1. Punto y recta y rectas paralelas.

A continuación algunas definiciones y fórmulas claves

sobre distancia de un punto a una recta y sobre

distancia entre rectas paralelas:

La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta del punto a la recta. Sean el punto 0 0P(x , y ) y la recta R de

ecuación + + =Ax By C 0 . La distancia del punto P a la recta R

se calcula través de la fórmula

+ +=

+0 0

2 2

Ax By Cd(P,R)

A B


16

Sean las rectas paralelas 1R de ecuación + + =1Ax By C 0 y

2R de ecuación + + =2Ax By C 0 . La distancia entre las rectas

1R y 2R se calcula través de la fórmula

−=

+1 2

1 22 2

C Cd(R ,R )

A B


1.5.2.1. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la ecuación de una recta L es 4x+3y=12. Halle la distancia del

punto P a la recta L. Rta. 14/5

1.5.2.2. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3). Rta.

3341

41

1.5.2.3. La distancia de la recta 4x-3y+1=0 al punto P es 4. Si la ordenada de P es 3, halle su abscisa. Rta. -3, 7

1.5.2.4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y tal que la distancia de esta recta al punto (-1,1) sea

igual a 2 2 . Rta. x+y-4=0, x-y-2=0

1.5.2.5. Dibuje la región limitada por las rectas = + = − + = − y x 1 , y x 1 , y 2x 4.

Calcule el perímetro de la frontera de la región anterior.


17

1.6. Ecuaciones de segundo grado 1.6.1. Secciones cónicas.

A continuación la definición de sección cónica:

Es la curva que se obtiene al intersectar un cono con un plano.

Como ejemplos de secciones cónicas se tienen la

circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

1.6.2. Ecuación general.

Si la ecuación

+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0

representa un lugar geométrico real, éste debe ser una

sección cónica con uno de los ejes paralelos ( o coincidente)

con uno de los ejes coordenados, o bien uno de los casos

excepcionales de un punto, dos rectas coincidentes, dos

rectas paralelas o dos rectas que se cortan. Estos casos

excepcionales se llaman también formas límite de las cónicas

o cónicas degeneradas.

1.7. Circunferencia 1.7.1. Definición.

A continuación la definición de circunferencia:


18

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

de un punto fijo llamado centro. La distancia entre cada punto

y el centro se denomina radio. 1.7.2. Formas de la ecuación de la circunferencia.

1.7.2.1. Conocidos centro y radio. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C(h,k) y radio >r 0 . Usando la fórmula de distancia

entre dos puntos se tiene

= − + − =2 2d(C,P) (x h) (y k) r

De lo anterior se genera la ecuación

− + − =2 2 2(x h) (y k) r


Desarrollando la ecuación centro radio e igualando a

cero se tiene que

− + − = ⇒ − + + − + − =2 2 2 2 2 2 2 2(x h) (y k) r x 2hx h y 2ky k r 0

Si se hacen = −D 2h , = −E 2k y = + −2 2 2F h k r se

obtiene

+ + + + =2 2x y Dx Ey F 0

Agrupando y completando cuadrados en la ecuación

anterior se tiene que


19

+ + + + + = + − ⇒

+ −+ + + =

2 2 2 22 2

2 22 2

D E D Ex Dx y Ey F

4 4 4 4

D E 4F(x D) (y E)

4


• Si + − >2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior representa una

circunferencia de centro en el punto − −D E2 2

( , ) y radio igual

a + −2 212

D E 4F

• Si + − =2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior representa solo un

punto de coordenadas

• Si + − <2 2D E 4F 0 , la ecuación anterior no representa un

lugar geométrico

1.7.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia.

Sean la recta + + =Ax By C 0 y la circunferencia

+ + + + =2 2x y Dx Ey F 0. Si se desean encontrar los puntos

comunes a ambas curvas debe plantearse el sistema

+ + =

+ + + + =

2 2

Ax By C 0

x y Dx Ey F 0.

Si se despeja la variable y de la primera ecuación y

se sustituye en la segunda ecuación, se obtiene

+ − − + + − − + =

22 A C A Cx x Dx E x F 0

B B B B

Desarrollando y ordenando términos se tiene


20

+ + − + + − + =

2 22

2 2 2

A 2AC EA C EC1 x D x F 0

B BB B B

De acuerdo a como sean las soluciones de la

expresión de segundo grado anterior se tiene:

• Si las dos soluciones son reales y distintas se dice que la

recta y la circunferencia se tocan en dos puntos (recta

secante).

• Si las dos soluciones son reales e iguales se dice que la

recta y la circunferencia se tocan en un solo punto (recta

tangente).

• Si las dos soluciones son imaginarias se dice que la recta y

la circunferencia no tienen ningún punto en común (recta

exterior).


1.7.4.1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia

son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle la ecuación de la curva.

Rta. + + − =2 2(x 1) (y 4) 10

1.7.4.2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2).

Rta. − + + =2 2(x 7) (y 6) 89

1.7.4.3. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente al eje Y. Rta. − + + =2 2(x 2) (y 4) 4

1.7.4.4. La ecuación de una circunferencia es

− + + =2 2(x 3) (y 4) 36. Demuestre que el punto A(2,-5) es

interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior.


21

1.7.4.5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas de

ecuaciones 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0.

Rta. − + + =2 2(x 6) (y 3) 25

1.7.4.6. La ecuación de una circunferencia es

+ + − =2 2(x 2) (y 3) 5 . Halle la ecuación de la tangente a la

circunferencia que pasa por el punto (3,3).

Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0. 1.7.4.7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación es + + − − =2 225x 25y 30x 20y 62 0 . Rta. π2 3

1.7.4.8. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0,2) y (7,3). Halle su ecuación.

Rta. − + + = − + − = 2 2 2 2(x 4) (y 1) 25 , (x 3) (y 6) 25

1.7.4.9. Determine el valor de la constante k para que la

recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la circunferencia

+ + + =2 2x y 6x 4y 0 . Rta. k= -1, 25

1.7.4.10. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a

+ =2 2x y 25 que pasan por el punto (7,-1).

1.8. Elipse 1.8.1. Definición.

A continuación la definición de elipse:

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano

de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos

fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que


22

la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se

llaman focos de la elipse.

1.8.2. Formas de la ecuación de la elipse.

1.8.2.1. Ecuación canónica. Considere primero a la elipse de centro en el origen y

cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F y F’ están

sobre el eje x. Como el centro O es el punto medio del

segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán, por ejemplo,

(c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante

positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. El punto

P debe satisfacer la condición geométrica

+ =FP F 'P 2a,

en donde a es una constante positiva mayor que c.

Se sabe que

= − + = + + 2 2 2 2FP (x c) y , F 'P (x c) y

De modo que

− + + + + =2 2 2 2(x c) y (x c) y 2a

Para simplificar la ecuación anterior, se pasa el

segundo radical al segundo miembro, se eleva al cuadrado, se

simplifica y se agrupan los términos semejantes. Esto da

como resultado

+ = + +2 2 2cx a a (x c) y .

Elevando al cuadrado nuevamente, se obtiene


23

+ + = + + +2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2a cx a c a y ,

de donde,

− + = −2 2 2 2 2 2 2 2(a c )x a y a (a c ).

Como >2a 2c implica >2 2a c y −2 2a c es un número

positivo que puede ser reemplazado por el número positivo 2b , es decir, = −2 2 2b a c .

Si en la ecuación anterior se reemplaza −2 2a c por 2b ,

se obtiene

+ =2 2 2 2 2 2b x a y a b ,

y dividiendo por 2 2a b , se obtiene, finalmente,

+ =2 2

2 2

x y1.

a b

Si se considera ahora el caso en que el centro de la

elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje y,

las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c). En

este caso, por el mismo procedimiento empleado

anteriormente, se halla que la ecuación de la elipse es

+ =2 2

2 2

x y1.

b a

Ahora se considera la determinación de la ecuación de

una elipse cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes son

paralelos a los ejes coordenados. Según esto, se considera la

elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es

paralelo al eje x. Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes

mayor y menor de la elipse, respectivamente.


24

Si los ejes coordenados son trasladados de manera que

el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la elipse, se

sigue que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos

ejes x’ y y’ está dada por

+ ='2 '2

2 2

x y1.

b a

De la ecuación anterior puede deducirse la ecuación de

la elipse referida a los ejes originales x y y usando las

ecuaciones de transformación, a saber:

= + = + x x ' h , y y ' k,

de donde

= − = − x ' x h , y ' y k.

Si se sustituyen estos valores de x’ y y’, se obtiene

− −+ =2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

que es la ecuación de la elipse referida a los ejes originales x

y y.

Análogamente, se puede demostrar que la elipse cuyo

centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y

tiene por ecuación

− −+ =2 2

2 2

(x h) (y k)1

b a.


25

La longitud de cada lado recto en una elipse es igual a 22b a .

Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón c a y se representa

usualmente por la letra e. Como <c a , la excentricidad de

una elipse es menor que la unidad.


Considere la ecuación de la elipse en la forma

− −+ =2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b.

Si se quitan denominadores, se desarrolla, se traspone

y se ordenan términos, se obtiene

+ − − + + − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x a y 2b hx 2a ky b h a k a b 0 ,

la cual puede escribirse en la forma

+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0 ,

en donde,

= = = − = − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A b , C a , D 2b h, E 2a k y F b h a k a b


26


1.8.3.1. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Halle su ecuación sabiendo que

pasa por los puntos −( 6, 1) y (2, 2). Rta. + =22 yx

8 41

1.8.3.2. Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0), (-3,0).

Rta. + =22 yx

16 71

1.8.3.3. Los vértices mayores de una elipse son los puntos

(1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la ecuación de la

elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus

ejes mayor y menor y de cada lado recto.

Rta. − −+ =

2 2(x 4) (y 1)

9 81; focos (5,1), (3,1), 6, 4 2 , 16/3

1.8.3.4. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado

recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y

las coordenadas de sus focos.

Rta. + ++ = = − + − − − −

2 2(x 2) (y 1) 1525 10 5

1, e , ( 2 15, 1),( 2 15, 1)

1.8.3.5. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro

en (4,-1), uno de los focos está en (1,-1) y pasa por (8,0).

Rta. − ++ =2 2(x 4) (y 1)

18 91

1.8.3.6. Para cada ecuación general determine las

coordenadas del centro, vértices y focos. Halle la longitud de

los ejes mayor, menor y el lado recto. Halle además la

excentricidad.

• + − + + =2 2x 4y 6x 16y 21 0

• + + − + =2 24x 9y 32x 18y 37 0

• + − − =2 29x 4y 8y 32 0


27

1.9. Hipérbola 1.9.1. Definición.

A continuación la definición de hipérbola:


de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus

distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es

siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que

la distancia entre los focos.

1.9.2. Formas de la ecuación de la hipérbola.

1.9.2.1. Ecuación canónica.

Considere primero a la hipérbola de centro en el origen

y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F1 y F2 están

sobre el eje x. Como el centro O es el punto medio del

segmento F1F2, las coordenadas de F1 y F2 serán, por

ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una

constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la

hipérbola. El punto P debe satisfacer la condición geométrica

− =FP F 'P 2a,

en donde a es una constante positiva menor que c.

Se sabe que

= − + = + + 2 2 2 2FP (x c) y , F 'P (x c) y ,

de manera que la condición geométrica está expresada

analíticamente por las dos relaciones


28

− + − + + =

− + − + + = −

2 2 2 2

2 2 2 2

(x c) y (x c) y 2a

(x c) y (x c) y 2a

La primera relación anterior es verdadera cuando P

está sobre la rama izquierda de la hipérbola; la segunda

relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha.

Usando el mismo procedimiento para la elipse, se

puede demostrar que las ecuaciones anteriores se reducen

cada una a

− − = −2 2 2 2 2 2 2 2(c a )x a y a (c a ).

Como <2a 2c es <2 2a c y −2 2c a es un número

positivo que puede ser reemplazado por el número positivo 2b

es decir,

= −2 2 2b c a

Si se reemplaza −2 2c a por 2b , se obtiene

− =2 2 2 2 2 2b x a y a b ,

y dividiendo por 2 2a b , se obtiene, finalmente,

− =2 2

2 2

x y1.

a b

Si se considera ahora el caso en que el centro de la

hipérbola está en el origen, pero su eje focal coincide con el

eje y. Las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c).

En este caso, por el mismo procedimiento empleado

para deducir la ecuación anterior, se halla que la ecuación de

la hipérbola es


29

− =2 2

2 2

y x1

a b

Ahora se considera la determinación de la ecuación de

una hipérbola cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes

son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, se

considera la hipérbola cuyo centro está en el punto (h,k) y

cuyo eje focal es paralelo al eje x. Sean 2a y 2b las longitudes

de los ejes transverso y normal de la hipérbola,

respectivamente.

Si los ejes coordenados son trasladados de manera que

el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la hipérbola,

se sigue que la ecuación de la hipérbola con referencia a los

nuevos ejes x’ y y’ está dada por

− ='2 '2

2 2

x y1.

a b

De la ecuación anterior puede deducirse la ecuación de

la hipérbola referida a los ejes originales x y y usando las

ecuaciones de transformación, a saber:

= + = + x x ' h , y y ' k,

de donde

= − = − x ' x h , y ' y k.

Si se sustituyen estos valores de x’ y y’ en la ecuación

anterior, se obtiene

− −− =

2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b


30

que es la ecuación de la hipérbola referida a los ejes

originales x y y.

Análogamente, se puede demostrar que la hipérbola

cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje

Y tiene por ecuación

− −− =2 2

2 2

(y k) (x h)1

a b.

La longitud de cada lado recto en una hipérbola es igual

a 22b a .

Un elemento importante de una hipérbola es su excentricidad que se define como la razón c a y se representa

usualmente por la letra e. Como >c a, la excentricidad de

una hipérbola es mayor que la unidad.


Considere la ecuación de la hipérbola en la forma

− −− =2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b.

Si se quitan denominadores, se desarrolla, se traspone

y se ordenan términos, se obtiene

− − + + − − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x a y 2b hx 2a ky b h a k a b 0 ,

la cual puede escribirse en la forma

+ + + + =2 2Ax Cy Dx Ey F 0

en donde,


31

= = − = − = = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A b , C a , D 2b h, E 2a k y F b h a k a b .

Evidentemente, los coeficientes A y C deben ser de

distinto signo.

1.9.3. Hipérbola equilátera o rectangular. Considere una hipérbola con eje focal paralelo al eje x

y cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud.

Entonces su ecuación toma la forma sencilla

− − − =2 2 2(x h) (y k) a

Debido a la igualdad de sus ejes, la hipérbola se llama

hipérbola equilátera.

1.9.4. Hipérbolas conjugadas. Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de

cada una es idéntico al eje conjugado de la otra, se llaman

hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la

hipérbola conjugada de la otra, y también se dice que cada

hipérbola es conjugada con respecto a la otra. Si la ecuación

de una hipérbola es

− −− =2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

entonces la hipérbola conjugada tiene por ecuación

− −− =2 2

2 2

(y k) (x h)1

b a.


32

1.9.5. Asíntotas de la hipérbola.

Ecuación de la hipérbola Ecuación de las asíntotas

− −− =

2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b − = ± −b

(y k) (x h)a

− −− =2 2

2 2

(y k) (x h)1

b a − = ± −b

(y k) (x h)a

− −− =2 2

2 2

(x h) (y k)1

b a − = ± −a

(y k) (x h)b

− −− =2 2

2 2

(y k) (x h)1

a b − = ± −a

(y k) (x h)b


1.9.6.1. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad es 3/2. Halle la ecuación de la

hipérbola, las coordenadas de sus focos y las longitudes de

sus ejes transverso y conjugado y de cada lado recto.

Rta. − −− = − 2 2(x 1) (y 3)

4 51, (4,3); ( 2,3); 4, 2 5, 5

1.9.6.2. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-2,2) y (-2,-4) y la longitud de su lado recto es 2. Halle la ecuación de

la curva, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Rta. + +− = − − + − − − 2 2(y 1) (x 2) 2 3

9 3 31; ( 2, 1 2 3); ( 2, 1 2 3);

1.9.6.3. El centro de una hipérbola es el punto (2,-2) y uno de sus vértices el punto (0,-2). Si la longitud de su lado recto

es 8, halle la ecuación de la curva, la longitud de su eje

conjugado y su excentricidad.


33

Rta. − +− = 2 2(x 2) (y 2)

4 81; 4 2; 3

1.9.6.4. Los focos de una hipérbola son los puntos (4,-2) y (4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4. Halle la

ecuación de la hipérbola, la longitud de su lado recto y su

excentricidad. Rta. + −− = 2 2(y 5) (x 4)

4 51, 5

1.9.6.5. El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de sus focos es (8,5). Si la excentricidad de la hipérbola es 2,

halle su ecuación y las longitudes de sus ejes transverso y

conjugado.

1.9.6.6. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-3,2) y (-3,-2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Halle la

ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su

excentricidad.

Rta. +− = − − − 22 (x 3)y 13

4 9 21, ( 3, 13); ( 3, 13);

1.9.6.7. Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3,-2) y (7,6), tiene su centro en el origen y el eje

transverso coincide con el eje X. Rta. − =2 24x 5y 16

1.9.6.8. Si k es un número cualquiera diferente de cero,

demuestre que la ecuación − =2 23x 3y k representa una

familia de hipérbolas de excentricidad igual a 2 .


coordenadas del centro, vértices y focos. Halle la longitud de

los ejes transverso, conjugado y el lado recto. Halle además la

excentricidad.

• − − + − =2 2x 9y 4x 36y 41 0

• − + + + =2 24x 9y 32x 36y 64 0

• − − + =2 2x 4y 2x 1 0

• − + + + =2 29x 4y 54x 16y 29 0

• − + + =2 23x y 30x 78 0


34

1.9.6.10. Demuestre que la hipérbola − =2 2 2 2 2 2b y a y a b tiene

por asíntotas las rectas − =by ax 0 y + =by ax 0.

1.9.6.11. Halle las ecuaciones de las asíntotas de la

hipérbola − =2 24x 5y 7 . Rta. − = + = 2x 5y 0, 2x 5y 0

1.9.6.12. Halle los puntos de intersección de la recta − + =2x 9y 12 0

con las asíntotas de la hipérbola

− =2 24x 9y 11. Rta. − 32

(3,2); ( ,1)

1.9.6.13. Halle la ecuación de la tangente a la hipérbola

− =2 2x y 16 trazada desde el punto (2,-2).

Rta. − − =5x 3y 16 0

1.10. Parábola 1.10.1. Definición.

A continuación la definición de parábola:


de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el

plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del

plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco

y la recta fija directriz de la parábola.

1.10.2. Formas de la ecuación de la parábola.

1.10.2.1. Ecuación canónica. Considere primero a la parábola de vértice en el origen

y cuyo eje focal coincide con el eje x. Sean (p,0) las


35

coordenadas del foco. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz l es = −x p . Sea P(x,y) un punto cualquiera de

la parábola. Por definición de parábola, el punto P debe

satisfacer la condición geométrica

=FP PA

la condición geométrica anterior está expresada,

analíticamente, por la ecuación

− + = +2 2(x p) y x p .

Si se elevan al cuadrado ambos miembros de esta

ecuación y se simplifica, se obtiene

=2y 4px

La única simetría que posee el lugar geométrico de la

ecuación anterior es con respecto al eje x. Despejando y de la

ecuación, se tiene:

= ±y 2 px

Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero,

p y x deben ser del mismo signo.

Frecuentemente se necesita obtener la ecuación de una

parábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea

paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes

coordenados. Considere la parábola cuyo vértice es el punto

(h,k) y cuyo eje es paralelo al eje x. Si los ejes coordenados

son trasladados de tal manera que el nuevo origen O’

coincida con el vértice (h,k), de modo que la ecuación de la

parábola con referencia a los nuevos ejes x’ y y’ está dada por

=2y ' 4px ' .


36

A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales x y y, se puede obtener la ecuación inicial

usando las ecuaciones de transformación, a saber,

= + = + x x ' h , y y ' k,

de donde

= − = − x ' x h , y ' y k.

Si se sustituyen estos valores de x’ y y’ en la ecuación

inicial, se obtiene

− = −2(y k) 4p(x h).

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto

(h,k) y cuyo eje es paralelo al eje y tiene por ecuación

− = −2(x h) 4p(y k),

en donde p es la longitud de aquella porción del eje

comprendida entre el foco y el vértice.

Los resultados anteriores conducen al siguiente

TEOREMA 2. La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo al eje x, es de la forma

− = −2(y k) 4p(x h),

siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el

foco y el vértice.

Si >p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si <p 0,

la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto

(h,k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación

es de la forma


37

− = −2(x h) 4p(y k).

Si >p 0, la parábola se abre hacia arriba; si <p 0, la

parábola se abre hacia abajo.

1.10.2.2. Ecuación general. Considere la ecuación de la parábola en la forma

− = −2(y k) 4p(x h).

Si se desarrolla y traspone términos se obtiene

− − + + =2 2y 4px 2ky k 4ph 0,

que puede escribirse en la forma

+ + + =2y Dx Ey F 0 .

Si se considera la ecuación de la parábola en la forma

− = −2(x h) 4p(y k),

al desarrollar, trasponer términos e igualar a cero, la

ecuación resultante puede escribirse en la forma

+ + + =2x Dx Ey F 0 .


38


1.10.3.1. Halle la ecuación de la parábola de vértice (-4,3) y de foco (-1,3). Halle también la ecuación de su directriz.

Rta. − = + = − 2(y 3) 12(x 4), x 7

1.10.3.2. La directriz de una parábola es la recta − =y 1 0, y

su foco es el punto (4,-3).Halle la ecuación de la parábola.

Rta. − = − +2(x 4) 8(y 1)

1.10.3.3. La ecuación de una familia de parábolas es

= +2y ax bx . Halle la ecuación del elemento de la familia que

pasa por los dos puntos (2,8) y (-1,5). Rta. = −2y 3x 2x

1.10.3.4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0,0); (8,-4) y

(3,1). Rta. − + =2y x 2y 0

1.10.3.5. Halle la ecuación de la parábola de vértice el punto (4,-1), eje la recta + =y 1 0 y que pasa por el punto (3,-3).

Rta. + + − =2y 4x 2y 15 0

1.10.3.6. Halle la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que determinan los puntos (3,5) y (3,-3).

Rta. − − + = + − − = 2 2y 8x 2y 9 0, y 8x 2y 39 0


coordenadas del vértice y del foco. Halle la longitud del lado

recto y la ecuación de la directriz y del eje.

• − − − =24y 48x 20y 71 0

• + + + =29x 24x 72y 16 0

• + − =2y 4x 7 0

• + + − =24x 48y 12x 159 0


39

• = + +2y ax bx c

1.11. Misceláneos 1.11.1. Motivación.

Se presentará a continuación un conjunto de

problemas que relacionan una o más de las secciones cónicas

mostradas anteriormente con el objetivo de conectar varios de

los conceptos plasmados en sus elementos. Otro interés viene

dado por la construcción de la región común encerrada por

varias curvas vistas hasta ahora.


1.11.2.1. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola

− =2x 4y 0 . Rta.

+ − =2 2x y 5y 0

1.11.2.2. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices mayores de la elipse + =2 27x 11y 77 y

cuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. − =22 yx

4 71

1.11.2.3. Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene un foco en el vértice de la parábola de ecuación = − +2y x 1, el

otro foco en el centro de la circunferencia de ecuación

+ − + =2 2x y 10x 24 0 y las ecuaciones de sus asíntotas son

= − = − + y x 3, y x 3 . Rta. − − =2 2(x 3) y 2


40

1.11.2.4. Halle la ecuación general de la hipérbola cuyo centro coincide con el centro de la circunferencia

+ + − − =2 2x y 2x 2y 23 0 , sus focos son los mismos de la

elipse + + − − =2 22x y 4x 2y 1 0 y uno de los vértices es el

vértice de la parábola + + =2x 2x 8y 15 .

Rta. − + − − − =2 2x y 2x 2y 1 0


1.11.3.1. Dibuje la región del plano que satisface el siguiente sistema de inecuaciones:

a.

+ ≤ ≥ − <

2

x 4y 8

x 2y 8

x 4 b.

≤ − − ≤ >

2y 4 x

x 2y 2

xy 0

1.11.3.2. Dibuje la región del plano que satisface el siguiente sistema de inecuaciones y calcule el área de la región:

a.

≤ − − ≤ − − ≥

x 0

y x 4 0

2y x 4 0 b.

+ ≤ − − ≤

≥ − ≥

2 2

2

x y 4

y x 2 0

2y x 4

y 0

1.11.3.3. Dibuje la región del plano cuya frontera viene dada por la curva C:

a.

− + − = ≤ ≤ = + ≤ ≤

+ = − ≤ ≤

= − ≤ ≤

2 2

12

22

12

(x 2) (y 1) 4 1 y 3

y (x 2) 0 y 1

C : xy 1 1 y 0

4

y (x 2) 0 y 1


41

b.

+ = ≤ ≤ − = − ≤ ≤ − = − ≤ ≤ − − = ≤

2 2

2

y x 1 0 x 1

y x 1 1 x 0C :

x y 1 1 y 0

x 2y 4 0 x 2


42

43

CAPÍTULO 2

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

2.1. Función 2.1.1. Definición.

Una función es una regla de correspondencia f que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de

un conjunto B.


• Al conjunto A se le llama dominio de la función f • Cuando A y B son subconjuntos de R, la regla de correspondencia se denota mediante la ecuación =y f(x)

• El dominio de f (denotado por D(f)) es el mayor subconjunto de números reales para los cuales la ecuación =y f(x)

tiene sentido en R


44

• Al conjunto de todos los posibles valores que toma f(x) cuando x varía en el dominio se le llamará rango de f y

se denotará por R(f)

2.1.2. Igualdad de funciones.

Dos funciones f y g son iguales si y sólo si se cumplen

las siguientes dos condiciones:

a. = =D(f) D(g) D

b. = ∀ ∈ f(x) g(x) x D

2.1.3. Álgebra de funciones.

Dados dos funciones f y g con dominios D(f) y D(g)

respectivamente, se definen las siguientes operaciones:

a. Suma algebraica.

± = ± ± = ∩ (f g)(x) f(x) g(x) , D(f g) D(f ) D(g)

b. Producto.

= = ∩ (f.g)(x) f(x).g(x) , D(f.g) D(f ) D(g)

c. División. { }= = ∩ ∈ ∧ ≠ (f g)(x) f(x) g(x) , D(f g) D(f ) x : x D(g) g(x) 0


2.1.4.1. Encuentre + −f (x h) f(x)

h para cada una de las siguientes

funciones y simplifique:

a. = −f(x) 6x 9

b. = +2f(x) x 2x

c. = 3f(x) x

d. = 5x

f(x)

e. =f(x) 3

f. =f(x) sen(x)

Capítulo 2. Funciones reales de variable real

45

2.1.4.2. Sea + = −

1 xf(x) log .

1 x

Demuestre que

++ = +

x yf(x) f(y) f .

1 xy

2.1.4.3. Sean − −= + = − x x x x1 12 2

f(x) (e e ) y g(x) (e e ). Pruebe

que

a. + = +f(x y) f(x).f(y) g(x).g(y)

b. − =f(x).f(x) g(x).g(x) 1

c. + =f(x).f(x) g(x).g(x) f(2x)

2.1.4.4. Sea

+=−

1 xf(x) .

1 x

Demuestre que f(x) f(y) x y

.1 f(x).f(y) 1 x.y

− −=+ +

2.1.4.5. Calcule el dominio de las siguientes funciones.

a. =+ +2

1f(x)

2x 4x 1

b. +=−

3 2x 1f(x)

3x 1

c. −= + +

+

24x 1

f(x) x 3x 4

d. =−2

xf(x)

x x

e.

= −

2xf(x) log

x 5

− ± −

2 2

Rta. R2

+∞ 1

Rta. ,3

[ ] [ )− − ∪ +∞ Rta. 3, 1 1,

{ }− − Rta. R 1,0,1

+∞ Rta. (5, )


46

f. = − 2f(x) 9 x

g. −=+3

x 1f(x)

x 2

h. −=

+ +2

3 4xf(x)

x 6x 8

i. +=+

x 2f(x)

x 3

j. +=

+

3

3

3x 5f(x)

x x

k. −=+

2x 4f(x)

x 3

l. +=− x 2

2f(x)

1 e

m. +=− x 2

2f(x)

1 e

n. = −f(x) 1 x

o. =−5

f(x)x x

p. = + +−1

f(x) x 2log(1 x)

q. = + − −−

31

f(x) x log(2x 3)x 2

[ ]− Rta. 3,3

{ }− − Rta. R 2

{ } −∞ − − −

3Rta. , 4, 2

4

( ) [ )−∞ − ∪ − +∞ Rta. , 3 2,

{ }− Rta. R 0

{ }− − Rta. R 3

{ }− − Rta. R 2

( )−∞ − Rta. , 2

[ ]− Rta. 1,1

( )−∞ Rta. ,0

[ ) ( )− ∪ Rta. 2,0 0,1

( ) ∪ +∞ 3

Rta. ,2 2,2


47

r. =+2

1f(x)

x 1

s. − = − +

3 2xf(x) 3 x arcsen

5

t. = + + − −

2xf(x) ln x x 6

x 4

u. ( )= −f(x) arcsen ln x 5

Rta. R

[ ]− Rta. 1,3

( ]−∞ − ∪ +∞ Rta. , 3 (4, )

1 1Rta. 5 e,5 e 5 e ,5 e− − − − ∪ + +

2.1.4.6. En cada caso indique (justificando su respuesta) si f y g son iguales.

a. += =+

x 1

f(x) 1 , g(x)x 1

b. = = − 2f(x) cos(x) , g(x) 1 sen (x)

c.

− − ≤ −= − < ≤ = + + + >

2x 2 si x 2

f(x) 2 si 2 x 0 , g(x) x 2 x

2x 2 si x 0

d. − −= =+ +

x 2 x 2

f(x) , g(x)x 1 x 1

e. − = = − − + +

x 2

f(x) ln , g(x) ln(x 2) ln(x 1)x 1


48

2.2. Simetría y periodicidad 2.2.1. Dominio simétrico respecto del origen.

Un conjunto D de números reales es simétrico respecto del origen si y sólo si para cada ∈x D

se tiene que − ∈x D.

2.2.2. Función par y función impar.

Sea f una función con dominio D(f) simétrico respecto

al origen.

a. f es par si y sólo si = − ∀ ∈ f(x) f( x) x D(f )

b. f es impar si y sólo si = − − ∀ ∈ f(x) f( x) x D(f )

Observaciones de interés. • Si una función f es impar y el cero pertenece a su dominio, entonces debe pasar por el origen, es decir =f(0) 0

• La suma de dos funciones pares es una función par. • La suma de dos funciones impares es una función impar. • El producto y el cociente de dos funciones pares o de dos impares es una función par.

• El producto y el cociente de una función par y otra impar es una función impar.

2.2.3. Periodicidad.

Una función es periódica si existe un >P 0 tal que = + ∀ ∈ f(x) f(x P) x D(f ).


49

Observaciones de interés. • Todo número positivo que satisfaga la igualdad anterior se llama período de f.

• Al menor período se le llama período fundamental o principal.

• Si P es el período principal de una función entonces sus múltiplos positivos son períodos de la función


2.2.4.1. Determine si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos.

a. = − 3f(x) 2x 3x

b. =2x

f(x)sen(x)

c. =f(x) x.cos(x)

d. = +5f(x) x 5

e. = +2xf(x) e cos(x)

f. =+x

f(x)1 x

g. =f(x) sec(x)

Rta. Impar

Rta. Impar

Rta. Impar

Rta. Ni par ni impar

Rta. Par

Rta. Impar

Rta. Par

2.2.4.2. Determine cuáles de las siguientes funciones que se dan son periódicas y en los casos que corresponda, dar su

período:


50

a. =

xf(x) tg

3

b. = −f(x) 3cos(3x 1)

c. = 2f(x) cos (x)

d. = + 2f(x) 5 sen(x )

e. = +f(x) sen(3x) cos(4x)

f. =f(x) cos(2x)

2.3. Composición de funciones 2.3.1. Definición.

La función compuesta f go se define por la regla de

correspondencia siguiente: (f g)(x) f(g(x))=o

donde f se llama función externa y g se llama función interna.

Como se puede observar la composición f go tiene

sentido si g(x) D(f )∈ para algún x D(f )∈ , es decir si

D(f ) R(g)∩ ≠ ∅ .

2.3.2. Dominio de la composición. • { }D(f g) x : x D(g) g(x) D(f )= ∈ ∧ ∈o

• Si D(f ) R= entonces D(f g) D(g)=o


51

2.4. Inyectividad y función inversa 2.4.1. Crecimiento y decrecimiento.

f es creciente en un intervalo i si y sólo si 1 2x ,x I∀ ∈

1 2 1 2x x f(x ) f(x )< ⇒ < .

f es decreciente en un intervalo i si y sólo si 1 2x ,x I∀ ∈

1 2 1 2x x f(x ) f(x )< ⇒ > .

2.4.2. Función inyectiva.

Se dice que f es inyectiva si y sólo si 1 2 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x x ,x D(f )= ⇒ = ∀ ∈

o equivalentemente 1 2 1 2 1 2x x f(x ) f(x ) x ,x D(f )≠ ⇒ ≠ ∀ ∈ .

Observaciones de interés. • Cada elemento del rango de f es imagen de un único elemento del dominio de f

• Si f es creciente (decreciente) es su dominio entonces f es inyectiva

2.4.3. Función inversa.

Suponga que f es inyectiva. Se dice que g es la función

inversa de f que se denota por 1f − si

1 1

1

f(f (x)) x x D(f )

f (f(x)) x x D(f )

− −

−

= ∀ ∈

= ∀ ∈

Además 1 1D(f) R(f ) y R(f ) D(f )− −= =


52

2.4.4. Problemas propuestos. 2.4.4.1. Represente las siguientes funciones como

composición de funciones elementales:

a. 2f(x) cos (x 3)= +

b. 3

1f(x)

x 1=

−

c. 3(x 1)h(x) 1 e −= +

d. 23g(x) sen((x 2) )= −

e. (x 4)

1g(x)

4 −=

2.4.4.2. La función f tiene como dominio el intervalo [ 1,1]− .

Determine el dominio de f go siendo:

a. g(x) x=

b. g(x) sen(x)=

c. g(x) ln(x)=

2.4.4.3. Dada la función g(x) x 1= + y 2(f g)(x) cos(x 1),= −o

halle f(x).

2.4.4.4. Dada la función 3g(x) x 1= − y x 1

(f g)(x) ln ,x 1

+ = − o

halle f(x).

2.4.4.5. Dada 3

3

7x 8f(x) ln

9x 10

+= − y (f g)(x) cos(x),=o halle

g(x).

2.4.4.6. Dada f(x) 2x 1= − y 2(f g)(x) 2x 3x 1,= − + −o halle g(x).

2.4.4.7. Halle f(x) siendo g(x 2) sen(x)+ = y (f g)(x) ln(x 3).= +o


53

2.4.4.8. Si las siguientes funciones están definidas

respectivamente por: xg(e 2) tg(x)+ = y 2(f g)(x) x 5,= +o halle

f(x).

2.4.4.9. Sean las funciones definidas por 3f(g(x 2)) 9x 8+ = +

y 3x 2f(x) e .+= Calcule g(x).

2.4.4.10. Sean las funciones definidas por

2(f g)(x) 1 x 1= − + +o y x x

x x

3 3f(x) 1.

3 3

−

−−= ++

Halle g(x).

2.4.4.11. Si se tiene g(x 2) tg(x) y (f g)(x) ln(x 3),+ = = +o

calcule f(x). 2.4.4.12. Halle f(x) siendo 3g(x 1) cos(x)− = y

(f g)(x) arcsen(x 2).= −o

2.4.4.13. Dada la función definida por x x

x x

e eh(x)

e e

−

−−=+

determine, si es posible, la función inversa y hallarla.

2.4.4.14. Demuestre que f y g son inversas una de la otra:

a. 1

f(x) sen(2x 1), g(x) ( 1 arcsen(x))2

= + = − +

b. xf(x) ln(x 1), g(x) e 1= − = +


54

2.5. Gráfico de funciones 2.5.1. Movimientos en el plano.

A partir de una función elemental se pueden obtener otras “un tanto más complejas” con sólo tener en cuenta las

implicaciones geométricas de algunos cambios de variable. Si se conoce el gráfico de y f(x)= entonces respecto de éste:

• y f( x)= α es una dilatación si 0 1< α < y una contracción si

1α >

• y f(x )= + α es una traslación de α unidades hacia la

izquierda si 0α > y es una traslación de α unidades

hacia la derecha si 0α <

• y f( x)= − es una reflexión respecto del eje y

• y f(x)= − es una reflexión respecto del eje x

• y f(x) k= + es una traslación hacia arriba de k unidades si

k 0> y de k unidades hacia abajo si k 0<

• y f(x)= es una reflexión respecto del eje x de las imágenes

negativas de los valores de x

• y f(x)= α es una contracción del rango si 0 1< α < y una

dilatación del rango si 1α >


2.5.2.1. Partiendo de funciones elementales, mediante

traslaciones, reflexiones, etc., construya el gráfico de las

funciones dadas:

a. 1

f(x) 2 arcsen(x 1)2

= − +

b. f(x) log(3x 3)= +

c. f(x) 4 log(2x 1)= + −


55

d. f(x) 2 2cos(6x 2)= − −

e. f(x) 3sen(2x )= − π f. f(x) ln(x 1) 2= + −

g. f(x) 2 2 arctg( 2x)= π − π −

h. f(x) 2 x 1= − −

i. f(x) 1 2cos( x)= − π


56

57

CAPÍTULO 3

LÍMITES Y CONTINUIDAD

3.1. Límite de una función 3.1.1. Definición.

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo

abierto que contiene a a, excepto probablemente en el número

a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como

x alímf(x) L

→= si la siguiente proposición es

verdadera: dada cualquier 0ε > , no importa cuan pequeña

sea, existe una 0δ > tal que

si 0 x a< − < δ entonces f(x) L− < ε .


58

3.2. Teoremas de límites TEOREMA 1. Si m y b son dos constantes cualesquiera, n es cualquier número entero positivo,

x alímf(x) L

→= y

x alímg(x) M

→= ,

entonces:

(i) [ ]x a x a x alím f(x) g(x) límf(x) límg(x) L M

→ → →± = ± = ±

(ii) [ ]x a x a x alím f(x).g(x) lím f(x).límg(x) L.M

→ → →= =

(iii) [ ]n n

x alím f(x) L

→=

(iv) [ ] x a x a x alím f(x) g(x) lím f(x) límg(x) L M si M 0

→ → →= = ≠

(v) nn

x alím f(x) L

→=

TEOREMA 2. Si 1 1

x alímf (x) L

→= , 2 2

x alím f (x) L

→= , …, y n n

x alímf (x) L

→= ,

entonces:

(i) [ ]1 2 n 1 2 nx alím f (x) f (x) ... f (x) L L ... L

→± ± ± = ± ± ±

(ii) [ ]1 2 n 1 2 nx alím f (x).f (x).....f (x) L .L .....L

→=

3.3. Límites laterales Definición 3.3.1. Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a,c). Entonces el límite de f(x), conforme

x tiende a a por la derecha, es L, lo que se denota por

x a

lím f(x) L+→

= si para cualquier 0ε > , sin importar qué tan

pequeña sea, existe una 0δ > tal que si 0 x a< − < δ entonces f(x) L ε− < .

Definición 3.3.2. Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d,a). Entonces el límite de f(x),

conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo que se denota por

x a

lím f(x) L−→

= si para cualquier 0ε > , sin importar

qué tan pequeña sea, existe una 0δ > tal que si 0 a x< − < δ entonces f(x) L ε− < .

Capítulo 3. Límites y continuidad

59

Se referirá al x alímf(x)

→ como el límite bilateral para

distinguirlo de los límites laterales.

Los teoremas 1 y 2 estudiados anteriormente siguen

siendo válidos si "x a "→ se sustituye por "x a "+→ o

"x a "−→ .

TEOREMA 3. El

x alímf(x)

→ existe y es igual a L si y sólo si

x a

lím f(x)−→

y x a

lím f(x)+→

existen y son iguales a L.

3.4. Límites infinitos Definición 3.4.1. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto

posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como

x alímf(x)

→= +∞ si para

cualquier número N 0> existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ entonces f(x) N> .

Definición 3.4.2. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto

posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como

x alím f(x)

→= −∞ si

para cualquier número N 0< existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ entonces f(x) N< .

TEOREMA 4. Si r es cualquier número entero positivo, entonces

(i) r

x 0

1lím

x+→= +∞ ;

(ii)

rx 0

si r es impar1lím

si r es parx−→

−∞= +∞


60

TEOREMA 5. Si a es cualquier número real y si x alímf(x) 0

→= y

x alímg(x) c

→= , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x),

entonces x a

g(x)lím

f(x)→= +∞

(ii) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x),

entonces x a

g(x)lím

f(x)→= −∞

(iii) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x),

entonces x a

g(x)lím

f(x)→= −∞

(iv) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x),

entonces x a

g(x)lím

f(x)→= +∞

El teorema también es válido si se sustituye "x a "→

por "x a "−→ .

TEOREMA 6. (i) Si

x alímf(x)

→= +∞ y

x alímg(x) c

→= , donde c es cualquier

constante, entonces [ ]x alím f(x) g(x)

→+ = +∞

(ii) Si x alímf(x)

→= −∞ y

x alímg(x) c

→= , donde c es cualquier

constante, entonces [ ]x alím f(x) g(x)

→+ = −∞


por "x a "−→ .

TEOREMA 7. Si

x alímf(x)

→= +∞ y

x alímg(x) c

→= , donde c es

cualquier constante distinta de 0, entonces (i) si c 0> , [ ]

x alím f(x).g(x)

→= +∞

(ii) si c 0< , [ ]x alím f(x).g(x)

→= −∞


por "x a "−→ .


61

TEOREMA 8. Si x alímf(x)

→= −∞ y

x alímg(x) c

→= , donde c es

cualquier constante distinta de 0, entonces (i) si c 0> , [ ]

x alím f(x).g(x)

→= −∞

(ii) si c 0< , [ ]x alím f(x).g(x)

→= +∞


por "x a "−→ .

3.5. Límites al infinito Definición 3.5.1. Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto (a, )+∞ . El límite de f(x)

cuando x crece sin límite, es L, lo que se escribe como

xlím f(x) L→+∞


pequeña sea, existe un número N 0> tal que si x N> entonces

f(x) L− < ε .

Definición 3.5.2. Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto (a, )+∞ . El límite de f(x)

cuando x decrece sin límite, es L, lo que se escribe como

xlím f(x) L→−∞


pequeña sea, existe un número N 0< tal que si x N< entonces

f(x) L− < ε . TEOREMA 9. Si r es cualquier número entero positivo, entonces

(i) rx

1lím 0

x→+∞=

(ii) rx

1lím 0

x→−∞=


62

3.6. Indeterminaciones Los límites que producen “resultados” tales como:

0 00; 0. ; ; 1 ; ; 0 ;

0

∞±∞+∞ − ∞ ± ∞ ∞±∞

se conocen con el nombre de “indeterminados” y requieren

algún procedimiento algebraico adicional para su

determinación, del uso de límites notables, o bien alguna otra

herramienta matemática.

3.7. Teorema del sandwich Sean f, g, h funciones tales que g(x) f(x) h(x)≤ ≤

0 0x (x a,x a)∀ ∈ − +

con a 0> , y

x x x x0 0

lím g(x) lím h(x) L→ →

= =

entonces x x0

lím f(x) L→

= .

3.8. Límites notables

x

x 0 x

sen(x) 1lím 1; lím 1 e

x x→ →+∞

= + =


63

3.9. Continuidad Una función f(x) es continua en 0x

si y sólo si

satisface las siguientes condiciones:

a.

x x0

lím f(x)→

existe y es finito

b. 0x x0

lím f(x) f(x )→

=

Si f no cumple alguna de las dos condiciones anteriores se dice que es discontinua en 0x . Una función se

dice continua si ella es continua en cada punto de su

dominio. Observe que para hablar de continuidad en un punto 0x la función debe estar definida en dicho punto.

Si la segunda condición no se satisface se dice que la discontinuidad en 0x

es evitable y se puede definir una

función continua a partir de f, de la siguiente forma:

0

0x x0

f(x) si x xF(x) lím f(x) si x x

→

≠= =

En caso contrario es no evitable.

Se dirá que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si

y sólo si ella es continua en cada punto interior al intervalo y

x a

lím f(x) f(a)+→

= y

x b

lím f(x) f(b)−→

= .

3.10. Teorema Sean f y g funciones continuas en 0x , entonces las

funciones f g, cf, fg, f g± con 0g(x ) 0≠ , son continuas en

0x .


64

3.11. Límite de la función compuesta Si f es continua en L y

x x0

lím g(x) L→

= entonces

x x x x x x0 0 0

lím (f g)(x) lím f(g(x)) f( lím g(x)) f(L)→ → →

= = =o .

3.12. Teorema del valor intermedio Sea [ ]f : a,b R→ . Si f es continua en [a,b], f(a) f(b)≠

y c

es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe, al menos, un número real 0x (a,b)∈

tal que 0f(x ) c= .

3.13. Corolario Sea [ ]f : a,b R→ . Si f es continua en [a,b] y f(a).f(b) 0<

entonces existe un número real 0x (a,b)∈ tal que 0f(x ) 0= .


65

3.14. Problemas propuestos. 3.14.1. Compruebe los siguientes resultados o afirmaciones:

3.14.1.1. →

− + = −−

2

x 1

2x 7x 5lím 3

x 1

3.14.1.2. 2

x 2

x 5x 6lím 1

x 2→−

+ + =+

3.14.1.3. 2

x 3

3x 8x 3lím 5

2x 6→−

+ − = −+

3.14.1.4. 2

2x 1

3x 2x 1lím 4

x x→

− − =−

3.14.1.5. 2

2x 1

x 2x 1lím

x 2x 1→

+ + = +∞− +

3.14.1.6. 2

2x 1

x 2x 1lím 0

3x 3→

− + =−

3.14.1.7. 3

2x 3

x 27 9lím

2x 9→

− =−

3.14.1.8. 3

x 2

x 8lím 12

x 2→−

+ =+

3.14.1.9. 3

2x 2

8 xlím 6

x 2x→

− = −−

3.14.1.10. 2 2

x 0

(a x) alím 2a

x→

+ − =


66

3.14.1.11. 3

3 2x 1

x 3x 2 3lím

2x x x 1→

− + =− − +

3.14.1.12. 3 2

3x 2

x x x 2 7lím

12x 8→

− − − =−

3.14.1.13. 4

x 1

x 2x 3lím 6

x 1→−

− − = −+

3.14.1.14. 4 3

2x 1

3x 4x 1lím 6

(x 1)→

− + =−

3.14.1.15. 4

2x 2

x 16lím 8

x 4→

− =−

3.14.1.16. 4

4 3x 1

x 4x 3lím 2

x x x 1→−

+ + =+ + +

3.14.1.17. 3 3

2

x 0

(a x) alím 3a

x→

+ − =

3.14.1.18. 4

x 4

x 256lím 256

x 4→

− =−

3.14.1.19. 2x 0

1 1lím

xx→

− = +∞

3.14.1.20. 2x 2

1 3lím no existe

x 2 x 4→

− − −

3.14.1.21. 1 1x 3

x 3

1lím

x 3 9→

−= −

−

3.14.1.22. 2x 2

1 5 1lím

x 2 5x x 6→

− = − + −


67

3.14.1.23. 3x 1

1 3lím 1

1 x 1 x→

− = − − −

3.14.1.24. 2x 2

4 1 1lím

x 2 4x 4→

− = − −−

3.14.1.25. 3 3

2

x a

x alím 3a

x a→−

+ =+

3.14.1.26. 3 3

2

x a

x alím 3a

x a→

− =−

3.14.1.27. 4 4

x a

x alím no existe si a 0

x a→−

+ ≠+

3.14.1.28. 4 4

3

x a

x alím 4a

x a→

− =−

3.14.1.29. 2

h 0

(3 h) 9lím 6

h→

+ − =

3.14.1.30. m

x 1

x 1lím m

x 1→

− =−

3.14.1.31. x a

x a 1lím

x a 2 a→

− =−

3.14.1.32. 2x 2

x 2lím 0

x 4→

− =−

3.14.1.33. x 1

x 1lím 2

x 1→

− =−

3.14.1.34. x 4

x 4lím 4

x 2→

− =−


68

3.14.1.35. 2x 1

x 1lím 2

x 3 2→

− =+ −

3.14.1.36. x 3

x 1 2 1lím

x 3 4→

+ − =−

3.14.1.37. 2x 7

2 x 3 1lím

56x 49→

− − = −−

3.14.1.38. x 3

2x 3 3 1lím

x 3 3→

+ − =−

3.14.1.39. x 0

5 x 5 5lím

2x 20→

+ − =

3.14.1.40. x 0

1 x 1 xlím 1

x→

+ − − =

3.14.1.41. x 2

x x 2 9lím

84x 1 3→

− + =+ −

3.14.1.42. x a

x x a alím 3

a x x a→

− = −−

3.14.1.43. x 0

x 1 1lím 2

x 4 2→

+ − =+ −

3.14.1.44. x 2

2 x 3x 2lím 3

4x 1 5x 1→

+ − − =+ − −

3.14.1.45. 2

x 2

x 8xlím 6

2x 2→

− =−

3.14.1.46. 2 3

x a

x a xlím 3a

ax a→

− =−


69

3.14.1.47. 2

2x

x x 2 1lím

33x 2x 4→∞

− + =+ −

3.14.1.48. 2

3x

4x x 1lím 0

5x 2x→∞

− + =−

3.14.1.49. 2

x

x 1lím

x 3→∞

+ = ∞−

3.14.1.50. m

mx

ax 1 alím

bbx 1→∞

+ =−

3.14.1.51. 2

2x

x 5x 6lím 1

x 4x 4→∞

− + =+ +

3.14.1.52. 2

x

x bx clím

x n→∞

+ + = ∞−

3.14.1.53. 2x

x 4lím 0

x 4x 4→∞

− =+ +

3.14.1.54. 2

2

3 3x x

1 1xx x

lím 3→∞

−=

−

3.14.1.55. 3x

x 1lím

x 1→∞

− = ∞−

3.14.1.56. x

x 4lím 0

2x 5→∞

+ =+

3.14.1.57.

xlím ( x 1 x ) 0

→∞+ − =

3.14.1.58. 2

x

1lím ( x x x)

2→∞+ − =


70

3.14.1.59. x

alím ( x(x a) x)

2→∞+ − =

3.14.1.60. 2

x

3lím ( 4x 3x 1 2x)

4→∞+ − − =

3.14.1.61. 2

x

1lím (x x x )

2→∞− + = −

3.14.1.62. xlím ( x x x x ) 1

→∞+ − − =

3.14.1.63. 2 2

x

a clím ( x ax b x cx d)

2→∞

−+ + − + + =

3.14.1.64. 2 2

x

a blím ( x ax x bx )

2→∞

++ − − =

3.14.1.65. 2

2x a

x (a b)x ab a blím

a cx (a c)x ac→

− + + −=−− + +

3.14.1.66. →

+ −

2x 0

1 x 1lím no existe

x

3.14.1.67. 4 3 2

4 3 2x 1

x x 3x x 2 3lím

5x x 13x 25x 12→

+ − − + = −− − + −

3.14.1.68. 2

2x

6

2sen (x) sen(x) 1lím 3

2sen (x) 3sen(x) 1π→

+ − = −− +

3.14.1.69. 3x 1

1 x 3lím

21 x→

− =−

3.14.1.70. 3

5x 1

1 x 5lím

31 x→−

+ =+


71

3.14.1.71. 3

x 3

x 6 x 24 7lím

x 3 54→

+ − + =−

3.14.1.72. 3 3 2

x 1

7 x 3 x 1lím

x 1 4→

+ − + = −−

3.14.1.73. 3 2 4

2x 0

1 x 1 2x 1lím

2x x→

+ − − =+

3.14.1.74. 5

x 1

2 x x 7lím

x 1 10→

− − = −−

3.14.1.75. x 1

x 8 8x 1 7lím

125 x 7x 3→

+ − + =− − −

3.14.1.76. 3 3x 2

x 7 3 2x 3 34lím

23x 6 2 3x 5→

+ − − =+ − −

3.14.1.77. 4x 1

x 1lím 32

x 17 2→−

+ =+ −

3.14.1.78. 5 4

3x 0

1 3x 1 2xlím 6

1 x 1 x→

+ − − = −+ − +

3.14.1.79. 2x 7

2 x 3 1lím

56x 49→

− − = −−

3.14.1.80. 3x 8

x 8lím 12

x 2→

− =−

3.14.1.81. x 4

3 5 x 1lím

31 5 x→

− + = −− −

3.14.1.82. x

4

1 tg(x)lím 2

sen(x) cos(x)π→

− = −−


72

3.14.1.83. x

2

x

x 1lím e

x 1→+∞

+ = −

3.14.1.84. b

abx

x 0lím (1 ax) e

→+ =

3.14.1.85. ax bx

x 0

e elím a b

x→

− = −

3.14.1.86. 2 2

x a

log (x) log (a) 1lím

x a a ln(2)→

− =−

3.14.1.87. x 3

5

x

x 4lím e

x 1

+−

→−∞

− = +

3.14.1.88.

2x2

2x

3 xlím 0

4x 1→∞

+ = −

3.14.1.89. x 0

cosh(x) 1lím 0

x→

− =

3.14.1.90. 2x 2

2

x 1

e elím 2e

x 1→

− =−

3.14.1.91. x

4

ln(tg(x))lím 1

1 ctg(x)π→=

−

3.14.1.92.

2x2

2x

x 3lím 0

3x 1→+∞

+ = +

3.14.1.93. x2

x 1

cos( )lím

1 x

π

→= π

−

3.14.1.94. x 0

3xlím 3

sen(x)→=


73

3.14.1.95. x 0

sen(ax) alím

sen(bx) b→=

3.14.1.96. 00

x x0 0

cos(x) cos(x )lím sen(x )

x x→

− = −−

3.14.1.97. x

cos(x) 1lím 0

x→π

+ =− π

3.14.1.98. x2

x 1

2lím (1 x)tg( )π

→− =

π

3.14.1.99. 2x 0

1 cos(x) 1lím

4x→

−=

3.14.1.100. 3x 0

tg(x) sen(x) 1lím

2x→

− =

3.14.1.101. 2 xx 0

2

1 xsen(x) cos(x)lím 4

sen ( )→

+ −=

3.14.1.102. 3

x 0

1 cos (x) 3lím

xsen(2x) 4→

− =

3.14.1.103. x x2 2

xlím sen( ).tg( )−θ π

θ→θ

θ= −π

3.14.1.104. x

sen(3x) 3lím

sen(2x) 2→π= −

3.14.1.105. 2x 0

1 cos(x) cos(2x) 3lím

2x→

−=

3.14.1.106. x 6

sen(x 6)lím 1

3 2cos(x)→π

− π =−


74

3.14.1.107. 3

x 3

tg (x) 3tg(x)lím 24

cos(x 6)→π

− = −+ π

3.14.1.108. 3

2x 2

sen(x) sen(x) 1lím

3cos (x)→π

−= −

3.14.1.109. x 0

sen(3x) 3lím

sen(2x) 2→=

3.14.1.110. x 0

1 sen(x) 1 sen(x)lím 1

x→

+ − −=

3.14.1.111. 2x 3

3 xlím 0

x 9+→

− =−

3.14.1.112. 3x 1

tg(x 1)lím 0

x 1→

− =−

3.14.1.113. x 3

1 2cos(x)lím 3

sen(x 3)→π

− =− π

3.14.1.114. x 4

tg(x) 1lím 2

x 4→π

− =− π

3.14.1.115. x

x sen(x)lím 1

x→+∞

+ =

3.14.1.116. x

xx

3lím

e→+∞= +∞

3.14.1.117. 3 3

xlím ( x 1 x 1) 0→+∞

− − + =

3.14.1.118.

x 2lím ( .sec(x) 2xtg(x)) 2→π

π − =


75

3.14.1.119. 2 xx 0

2

1 xsen(x) cos(2x)lím 6

tg ( )→

+ −=

3.14.1.120. 2 2

2x 0

cos(mx) cos(nx) n mlím

2x→

− −=

3.14.2. Calcule los siguientes límites:

3.14.2.1.

x 13

x

3x 4lím

3x 2

+

→∞

− +

3.14.2.2.

2x3

3x

x 5xlím

x x 1→+∞

+ − −

3.14.2.3. 2x 0

ln(cos(x))lím

x→

3.14.2.4. x 0

1 1 xlím ln

x 1 x→

+ −

3.14.2.5. 2 2

xlím x(ln(x 3) ln(x ))→+∞

+ −

3.14.2.6. 2

x 2lím (x ).tg(x)π→π

−

3.14.2.7. 2

2x 0

1 cos (x)lím ln

3x→

−

3.14.2.8. 2x 0

1 cos(3x)lím

2x→

−

3.14.2.9. 3

x 0lím x .ctg(x).csc(x)

→


76

3.14.2.10. ctg( x)

x 1lím (1 sen( x)) π

→+ π

3.14.2.11. 1x

x 0lím 5

−

→

3.14.2.12. x

log(1 x)lím

x→+∞

+

3.14.2.13. 2 4 2

x 0

5x x xlím

x→

− −

3.14.2.14. 2

x 0

x xlím

x→

+

3.14.2.15. 4x 3

3 x

xlím

2 e→ −−

3.14.2.16.

xlím 2x(ln(x a) ln(x)), a 0→+∞

+ − >

3.14.2.17. x

xlím (2 cos(x))→−∞

3.14.2.18. 1

2 x 1

x 1lím (x x 1) −

→+ −

3.14.2.19. 2

xlím (3x 9x x )→−∞

+ −

3.14.2.20. 4

3x 2

x 16lím

x 8→

−−

3.14.2.21.

xlím 2x[ln(x 2) ln(x)]→−∞

+ −

3.14.2.22. (x 1)

x

x 5lím

x 1

+

→+∞

+ −


77

3.14.2.23. 2

2x 0

sen( 4 x 2)lím

x→

+ −

3.14.2.24. 2

x 0

tg (x)lím

1 cos(6x)→ −

3.14.2.25. 3

x 1

2 x xlím

x 1→

− −−

3.14.2.26. x 5

3x 1 4lím

x 2 3→

+ −− −

3.14.2.27. x 0

sen(4x).sen(3x)lím

x.sen(2x)→

3.14.2.28. x 0

senh(x)lím

x→

3.14.2.29. 3

2x 1

x 9 2lím

x 3x 2→

− +− +

3.14.2.30. 3

2x 2

x 10 2lím

x 3x 2→

− +− +

3.14.3. Sea la función f : R R→ dada por

2

2

x 2 si x 1

f(x) Ax B si 1 x 1

x 2x 3 si x 1

− + < −= + − ≤ ≤ + + >

Halle los valores de A y B para que f(x) resulte continua en

x 1= − y x 1= . Rta. 5 72 2

A , B= =


78

3.14.4. Sea la función f : R R→ dada por

2

5 4

2

2

1 x si x 1

Ax Bx Ax Bf(x) si x 1

x 1

x si x 1

− ≤ −

+ − −= < − ≥

Halle los valores de A y B para que f resulte continua en todo

R.

3.14.5. Estudie la continuidad de la siguiente función:

− ≠= =

2x 1 si x 2f(x)

0 si x 2.

3.14.6. Estudie la continuidad de la función

x 1f(x)

x 1

+=+

.

3.14.7. Estudie la continuidad de la siguiente función:

2

1 si x

cos(x) si x 0g(x)

3 si x 0

1 x si x 0

< −π − π ≤ <= = − >

.


79

3.14.8. Dadas las siguientes funciones, determine los

intervalos de continuidad y los puntos de discontinuidad.

3.14.8.1. 3x 1 si x 0

f(x)0 si x 0

+ ≠= =

3.14.8.2.

2

3

3

x 1 si x 0

g(x) x 1 si 0 x 3

25 x si x 3

− ≤= − − < < − − ≥

3.14.9. Clasifique las discontinuidades en evitables y no

evitables.

3.14.9.1. 2 1

xx sen( ) si x 0

f(x)1 si x 0

≠= =

3.14.9.2.

sen(x 1) si x 1

f(x) x 1 si 1 x 2

ln(x 1) si x 2

− <= − ≤ ≤ − >

3.14.9.3. 1ln x

1 3si x 0

f(x)0 si x 0

−≠= =

3.14.9.4. 1

1 x 14si x 0

f(x)0 si x 0

+ ≠= =

3.14.9.5.

12xe si x 0f(x)

x 1 si x 0

− <= + ≥


80

3.14.10. Determine a y b de modo que la función

2

2 2

2

2sen(x) si x

f(x) asen(x) b si x

cos(x) si x

π

π π

π

− < −= + − ≤ ≤ >

Rta. a 1 y b 1= − =

3.14.11. Defina una función continua en R excepto en el

punto x 2= , donde

x 2

f(2) 0, lím f(x)+→

= = +∞ y x 2

lím f(x)−→

= −∞

Rta. 1

x 2si x 2

f(x)0 si x 2− ≠

= =

3.14.12. Para cada una de las funciones dadas determine a y

b para que sean continuas en R:

3.14.12.1.

3

2

x 1 si x 1

f(x) ax b si x 1

x 1 si x 1

− ≤ −= + < + ≥

3.14.12.2.

x

2

e si x 0

f(x) x a si 0 x 1

bx si x 1

<= − ≤ ≤ >

3.14.13. Estudie la continuidad y describa las

discontinuidades (si las hubiera) de:

1 x

2

3 si x 0

x si 0 x 1f(x)

2x si 1 x 2

x si x 2

< ≤ <= ≤ ≤ >

.


81

3.14.14. Estudie la continuidad de la siguiente función y

clasifique las discontinuidades existentes:

11 x1 2

1x 1

4

si x 0

0 si 0 x 1f(x)

3 si 1 x 5

x 2 si x 5

+

−

<

≤ <= < <

− >

.

3.14.15. Halle los valores de A, B, C y D para que la función f

sea continua en R:

( )

2

x 1x 1

Ax x 2 si x 1

B si x 1

f(x) C si 1 x 4

D si x 4

Cx 11 si x 4

−−

+ + < == < <

= − >

.

3.14.16. Clasifica las siguientes discontinuidades en

evitables y no evitables. De ser posible, construya a partir de f

una función continua:

1 x

2 21x

21 12 x

e si x 0

1 si x 0f(x)

x sen( ) si 0 x

cos( ) si xπ

π

< ==

< < + ≥

.


82

83

CAPÍTULO 4

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

4.1. Definición Considere el límite

0 0

h 0

f(x h) f(x )lím

h→

+ −

Si este límite existe y es finito recibe el nombre de derivada de f en 0x . De manera que

0 00

h 0

f(x h) f(x )f '(x ) lím

h→

+ −=

y se dirá que f es derivable en 0x . De forma similar se define

la función derivada de f:

h 0

f(x h) f(x)f '(x) lím

h→

+ −=


84

4.2. Notaciones Si se usa la notación familiar de y f(x)=

para indicar

que y es la variable dependiente de y x es la independiente,

entonces otras notaciones para la derivada son comunes:

x

df(x) dyy ' f '(x) D f y

dx dx= = = = = &

4.3. Álgebra de derivadas Siempre que f y g sean funciones derivables en x se

tiene:

Derivada de la suma:

(f g)'(x) f '(x) g '(x)± = ±

Derivada del producto: (f.g)'(x) f '(x)g(x) f(x)g '(x)= +

Derivada del cociente:

[ ]2f f '(x)g(x) f(x)g '(x)

'(x)g g(x)

−=

4.4. Regla de la cadena Si y f(u)= y u g(x)= ambas derivables en cada punto

de su dominio, entonces también es derivable y f(g(x))= y

además y ' f '(g(x))g '(x)=

También es común y fácil de recordar otra formulación

alterna para la regla de la cadena: dy dy du

.dx du dx

=

Capítulo 4. La derivada de una función

85

4.5. Derivación implícita La ecuación de una curva puede expresarse en forma explícita y f(x)= , o bien en forma implícita F(x,y) 0= . De esta

última, es posible, a veces despejar y como función de x en

forma única y otras veces resulta algebraicamente imposible.

4.6. Derivadas de orden superior Si f ' es derivable, la derivada de esta función es la

segunda derivada y se denota por f '' . Si ésta a su vez es

derivable, su derivada se llama tercera derivada y se denota

por f ''' , etc.

4.7. Derivación paramétrica Sean x x(t), y y(t)= =

las ecuaciones paramétricas que

describen una curva. Suponga que dx dt no se anula en el

dominio de la función x(t). Entonces de x x(t)= se puede

despejar t como función de x, es decir t t(x)= , y así escribir y

como función de x.

Aplicando regla de la cadena se tiene que

dy

dt

dxdt

dy dy dt.

dx dt dx= =

La segunda derivada será

2 2d y dydx d x2 dyd2 dt dt 2dt dx dt dt

2 3dx dxdt dt

d y d dy d dy dt ( )

dx dx dx dt dx dx ( )

− = = = =


86

4.8. Problemas propuestos.

4.8.1. Usando la definición calcule la función derivable de:

4.8.1.1. 1

f(x)x

=

4.8.1.2. 2f(x) ln(x )=

4.8.1.3. f(x) sen(x)=

4.8.1.4. 2f(x) 5x 2x 1= + −

4.8.2. En los siguientes ejercicios, halle dy dx :

4.8.2.1. 5 10 20y (x x )= +

4.8.2.2. 2y cos(sen(x ))=

4.8.2.3. xy xπ= π

4.8.2.4. 7

51y x

x

= +

4.8.2.5.

1x

4

xy

2x 1

= +

4.8.2.6. 2y x x 1= − +

4.8.2.7. 2sec(log(x 1))y e +=


87

4.8.2.8. 1 x

y1 x

−=+

4.8.2.9. tg(2x 1) 4 1

xy e sen ( )−= +

4.8.2.10. 2x

2 2y csc

ln(1 x)

= −

4.8.2.11. y ln(arctg(3x))=

4.8.2.12. x arcsec(x)y (e x)= −

4.8.2.13. cos(x)y (sen(x))−=

4.8.2.14. 5y arcsen(ln( 1 2x))= −

4.8.2.15. x3y x

−=

4.8.2.16. sen(x)

y arctg1 cos(x)

= +

4.8.2.17. 2 x2

y ln(sec (arctg( )))=

4.8.2.18. y arctg(5x) arcctg(7x)= +

4.8.2.19. 2 2y sen (ln(x) x 1)= + +

4.8.2.20. x

2

2xy

1 x

− = −

4.8.2.21. 5cos(x) sen(x)

ycos(x) sen(x)

+=−


88

4.8.2.22. x 1

y arccosx

+ =

4.8.2.23.

4arctg(x )6

2

x 7y

x 9

+= +

4.8.2.24. ( )3

42

3 32

2y 4 x 5x

x

= − − +

4.8.2.25. 2

2

1 x 1 1 cos(x)y arcsen ln

2 1 cos(x)1 x

− += + −+

4.8.2.26.

2x3

2 2

(x 1)(x 2)y

(x 1)(x 2)

+ += + +

4.8.3. En los siguientes ejercicios, halle 2 2d y dx :

4.8.3.1. 2y 3x x 4= + −

4.8.3.2. x

y arcsenx 1

= +

4.8.3.3. y 2cosh(x)=

4.8.3.4. 2y ln(x 1),= − para x e 1= −

4.8.3.5. 2y cos (x) tg(x),= + para x = π

4.8.3.6. 1 x

y ,1 x

+=−

para x 0=


89

4.8.4. Calcule la derivada dy dx de las siguientes funciones

definidas paramétricamente por:

4.8.4.1. x 4cos(t)

y 4sen(t)

= =

4.8.4.2. t

t

x e cos(t), para t 0

y e sen(t)

= ==

4.8.4.3. 3

2

3

3tx

1 t

3ty

1 t

= + = +

4.8.4.4. x 2 sec(t)

, para ty 1 2tg(t) 6

= + π= = +

4.8.4.5. x t ln(t)

, para t 1ln(t)y

t

= = =

4.8.5. Calcule la derivada y ' dy dx= de las siguientes

funciones dadas implícitamente por:

4.8.5.1. 3 2 2x x y y 0+ + =

4.8.5.2. 2 x xy 3 3 4y, en el punto de ordenada y 1−− = =

4.8.5.3. x ln(y) y ln(x) 1, en el punto (1,e)− =

4.8.5.4. tg(y) xy=

4.8.5.5. x y a+ =


90

4.8.5.6. y x 1ye e , cuando (x,y) (0,1)+= =

4.8.5.7. y xx y=

4.8.6. ¿Es la función f(x) x x 2= + − derivable en su

dominio?. Justifique su respuesta.

4.8.7. Sean: f(0) 3, f '(0) 1, f ''(0) 0, g(0) 1, g'(0) 3 y g''(0) 2.= = − = = = =

Halle fg( )''(0).

4.8.8. Sean: f '(1) 3, f ''(1) 2, g(0) 1, g '(0) 3 y g ''(0) 2.= = − = = =

Halle [f(g(0))]''.

4.8.9. Sea

2xe 2 si x 0f(x)

ln(x 1) 1 si x 0

− + ≤= + + >

.

4.8.9.1. Grafique la función f. 4.8.9.2. Determine en forma analítica y en forma gráfica si f '(0) existe.

4.8.10. Sea 3x

2

3

e si x 0

f(x) ax bx c si 0 x 1

x si x 1

<= + + ≤ ≤ >

.

4.8.10.1. Determine a, b y c para que f sea continua en x 0=

y derivable en x 1=


91

4.8.10.2. Determine a, b y c para que f sea derivable en

x 0= y continua en x 1=

4.8.11. Dada la función: 3

2

x si x 1f(x)

ax bx c si x 1

≤= + + >

,

determine los valores de a, b y c para que f ''(1) exista.

4.8.12. Dada la función

1 xf(x) ,

1 x

+=−

calcule (VII)f , deduciendo previamente la derivada n-ésima.

4.8.13. Dada la función 2

f(x) ,1 2x

=−

calcule (XI)f , deduciendo previamente la derivada n-ésima.

4.8.14. Dada la función 2x

2

x ey ,

2x

−−=

halle la expresión xy ' 2y.+

4.8.15. Demuestre que la función 2x2y(x) xe

−=

satisface la ecuación = − 2xy ' (1 x )y.

4.8.16. Pruebe que la función

2

ky(x) 3

x 4= −

−


92

es solución de la ecuación diferencial de primer orden 22xy 6x (x 4)y ' 0+ + − = .

4.8.17. Pruebe que la función 1 2y(x) C senh(2x) C cosh(2x)= +

es solución de la ecuación diferencial de segundo orden y '' 4y 0.− =

4.8.18. Demuestre que la función x 2x1 2y(x) C e C e− −= + para

cualquier valor de las constantes 1C y 2C satisface a la

ecuación y '' 3y ' 2y 0.+ + =

4.8.19. Pruebe que la función definida por f(x) arctg(x)= es

solución de la ecuación diferencial de segundo orden 2 2 2(1 x ) y '' 2x(1 x )y ' 0.+ + + =

4.8.20. Demuestre que la función xy(x) xe−= satisface la

ecuación xy ' (1 x)y.= −

4.8.21. ¿Qué valores deben tomar las constantes a, b y c

para que la función: 3

0

20

x si x xf(x)

ax bx c si x x

≤= + + >

tenga segunda derivada en 0x ?

4.8.22. Pruebe que la función descrita paramétricamente por

las ecuaciones

2

3

3x t

2

1y t

2

= − = − −

,


93

es una solución de la ecuación diferencial 3

dy dy2x 2y 1.

dx dx

+ = +

4.8.23. Pruebe que y definida como función de x por las

ecuaciones paramétricas

2 2

x sen( )

y e eα − α

= α

= +

satisface la ecuación diferencial 2(1 x )y '' xy ' 2y.− − =

4.8.24. Sea xy 2e 3xy .= Pruebe que dy y(xy 1)

.dx x(2 xy)

−=−

4.8.25. Pruebe que la función y definida por la ecuación xy ln(y) 1,− = satisface la ecuación diferencial

+ − =2y (xy 1)y ' 0.

4.8.26. Pruebe que la función y definida por la ecuación 2ln(y) y e cos(x)+ = − satisface la ecuación diferencial

2ysen(x) (1 2y )y '= + .

4.8.27. Dada la función xf(x) e−= , halle f(0) x.f '(0)+ .

4.8.28. Dadas las funciones f(x) tg(x)= y g(x) ln(1 x)= − , halle f '(0)

g '(0).

4.8.29. Dadas las funciones f(x) 1 x= − y x2

g(x) 1 sen( )π= − ,

halle g '(1)

f '(1).


94

4.8.30. Demuestre que la función 1

y1 x ln(x)

=+ +

satisface a la ecuación diferencial dada por xy ' y(y ln(x) 1)= − .

4.8.31. Demuestre que la función 2x 2x 2

y2

+ +=

satisface a la ecuación diferencial dada por 21 (y ') 2yy ''+ = .

4.8.32. Demuestre que la función 2 x12

y x e= satisface a la

ecuación diferencial xy '' 2y ' y e− + = .

4.8.33. Demuestre que la función 3xy e sen(5x)= satisface a

la ecuación diferencial dada por y '' 4y ' 29y 0.− + =

4.8.34. Si 2

2

3 x 1 1 x 1 1y ln ln arctg(x)

4 4 x 1 2x 1

+ − = + + +− ,

demuestre que 2

4

x 3xy ' .

x 1

−=−

4.8.35. Si

21 1 1 2x 1y ln(1 x) ln(x x 1) arctg

2 6 3 3

− = + − − + +

,

demuestre que

3

1y '

1 x=

+.

95

CAPÍTULO 5

APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1. Regla de L’Hospital (Indeterminaciones 0 0

o ∞ ∞ )

Si f y g son funciones derivables en algún intervalo (a,b) que contiene a c, excepto posiblemente en c, g '(x) 0≠x (a,b)∀ ∈ ,

x clímf(x) 0

→=

y

x clímg(x) 0

→=

entonces

x c x c

f(x) f '(x)lím lím

g(x) g '(x)→ →=

si este límite existe o es infinito. La regla sigue siendo válida si

x clímf(x)

→= ∞

y

x clímg(x)

→= ∞ .


96

5.2. Definiciones • f tiene un máximo relativo en 0x

sí y sólo si existe un

intervalo abierto I que contiene a 0x

tal que

0f(x ) f(x) x I> ∀ ∈

• f tiene un mínimo relativo en 0x sí y sólo si existe un

intervalo abierto I que contiene a 0x

tal que

0f(x ) f(x) x I< ∀ ∈

• f tiene un máximo absoluto en 0x sí y sólo si

0f(x ) f(x) x D(f )> ∀ ∈

• f tiene un mínimo absoluto en 0x sí y sólo si

0f(x ) f(x) x D(f )< ∀ ∈

• Se entiende por valor máximo o mínimo el valor de f en

0x , es decir 0f(x ). Es común denominarlos por valores

extremos

5.3. Número crítico y valor crítico Un punto 0x D(f )∈

es un número crítico de f sí y sólo

si se tiene una de las siguientes posibilidades: • 0f '(x ) 0=

• 0f '(x ) no existe

• Si 0x es un extremo del dominio, siendo éste un intervalo

cerrado

Si 0x

es un número crítico de f entonces el valor de f

en 0x se llamará valor crítico.

Capítulo 5. Aplicaciones de la derivada

97

5.4. Teoremas de interés Teorema de Rolle. Si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) tal que f(a) f(b)=

entonces existe c (a,b)∈

tal que f '(c) 0= .

Teorema del Valor Medio (Lagrange). Si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) entonces existe c (a,b)∈

tal que

f(b) f(a)f '(c)

b a

−=−

.

5.5. Criterio de la primera derivada para

crecimiento y decrecimiento Si f es una función derivable en un intervalo abierto I

se tiene: • f '(x) 0 x I> ∀ ∈

sí y solo si f es creciente en I

• f '(x) 0 x I< ∀ ∈ sí y solo si f es decreciente en I

5.6. Criterio de la primera derivada para

máximos y mínimos Sea f una función continua en su número crítico 0x ,

derivable en un intervalo abierto I que contiene a 0x , excepto

probablemente en 0x .

• Si f '(x) 0> a la izquierda de 0x

y f '(x) 0<

a la derecha de

0x entonces 0f(x )

es un valor máximo

• Si f '(x) 0< a la izquierda de 0x

y f '(x) 0>

a la derecha de

0x entonces 0f(x )

es un valor mínimo

• Si f '(x) no cambia de signo en 0x

entonces 0f(x )

no es un

valor máximo ni mínimo.


98

5.7. Concavidad y punto de inflexión

• El gráfico de f es cóncavo hacia arriba en (a,b) sí y sólo si para cada par de números 1 2x ,x (a,b)∈

se tiene que

1 2y(x) f(x) x [x ,x ]> ∀ ∈ donde y(x) es la cuerda que une los

puntos 1 1 2 2(x ,f(x )) y (x ,f(x ))

• El gráfico de f es cóncavo hacia abajo en (a,b) sí y sólo si para cada par de números 1 2x ,x (a,b)∈

se tiene que

1 2y(x) f(x) x [x ,x ]< ∀ ∈ donde y(x) es la cuerda que une los

puntos 1 1 2 2(x ,f(x )) y (x ,f(x ))

Se dice que el punto 0 0(x ,f(x ))

es un punto de

inflexión del gráfico de f si en él se produce un cambio de

concavidad.

Si 0 0(x ,f(x ))

es un punto de inflexión y f’(x) es

continua en 0x entonces se tiene una de las siguientes

posibilidades: • 0f ''(x ) 0=

• 0f ''(x ) no existe

5.8. Criterio de la segunda derivada para concavidad

• f ''(x) 0 x I> ∀ ∈

sí y sólo si el gráfico de f es cóncavo hacia

arriba en I • f ''(x) 0 x I< ∀ ∈

sí y sólo si el gráfico de f es cóncavo hacia

abajo en I


99

5.9. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

Sea f(x) una función tal que f’’(x) es continua en un intervalo abierto I que contiene a 0x

y que 0f '(x ) 0= .

• si 0f ''(x ) 0< entonces 0f(x )

es un valor máximo

• si 0f ''(x ) 0> entonces 0f(x )

es un valor mínimo

5.10. Asíntotas al gráfico de una función

Considere un punto P(x,f(x)) sobre el gráfico de la

función f. Si la distancia de P a una recta R, tiende a cero, cuando 0x x→

o bien cuando x → ±∞ , se dirá que la recta R

es una asíntota al gráfico de f. Se tienen dos posibilidades:

Asíntota vertical. Si

x x0lím f(x)→

= ±∞ entonces la distancia de P

a la recta R de ecuación 0x x= es tal que:

0d d(P,R) x x 0= = − → cuando 0x x→

Por lo tanto, la recta 0x x= es una asíntota vertical al gráfico

de f. Es válido el mismo resultado en el caso de límites

laterales.

Asíntota oblicua. Si existen los límites

x x

f(x)m lím , b lím[f(x) mx]

x→∞ →∞= = −

entonces

xlím[f(x) (mx b)] 0

→∞− + =

Por lo tanto la recta R de ecuación y mx b= + es una asíntota

al gráfico de f.


100

5.11. Trazado de curvas

Para el correcto trazado de la gráfica de una función y f(x)= , se deben tener en cuenta los siguientes datos:

Obtenidos de la función y = f(x): Dominio. Continuidad. Cortes

con los ejes. Signo de f. Simetrías. Asíntotas.

Estudio de la primera derivada: Números críticos. Signo de f’.

Intervalo de crecimiento y decrecimiento. Valores máximos y

mínimos (criterio de la primera derivada).

Estudio de la segunda derivada: Abscisa de los posibles

puntos de inflexión. Intervalos de concavidad. Máximos y

mínimos (criterio de la segunda derivada). Puntos de

inflexión.

5.12. Problemas de cambios relacionados

Con este nombre se conocen todos aquellos problema

que involucran la relación de aumento o disminución de una

variable en relación con el aumento o disminución de otra.

5.13. Problemas de optimización

Con este nombre se conocen todos aquellos problemas

que conducen a la búsqueda de máximos o mínimos (valores

extremos) de alguna magnitud sujeta, por lo general, a

diversas variables con determinados rangos de variación para

éstas últimas.


101

5.14. Problemas propuestos

5.14.1. Compruebe los siguientes resultados aplicando la

regla de L’Hospital:

5.14.1.1. x 0

2xlím 2

cos(x) x 1→= −

− −

5.14.1.2. x 0

ln(x)lím 0

csc(x)+→=

5.14.1.3. x

3x

elím

x→∞= +∞

5.14.1.4. ( )2

x2

lím xtg(x) sec(x) 1π−π→

− = −

5.14.1.5. 2x

2x 1lím (1 x)tg( )π

π→− =

5.14.1.6. x

x 0

lím (sen(x)) 1+→

=

5.14.1.7. ln(x)

x

1lím 1 1

x→+∞

+ =

5.14.1.8. x

ln(x)lím 0

x→+∞=

5.14.1.9. 2

4 3x 0

cosh(4x) 8x 1 8lím

9sen(6x) 12x 36x 6x→

− − =+ + −

5.14.1.10. ( )2xlím lnx x→+∞

− = −∞


102

5.14.1.11. x

10x

10lím 0

x→+∞=

5.14.1.12. 3x

3x 2x

2e ln(x)lím 2

e x→+∞

+ =+

5.14.1.13. xx

cosh(x) x 1lím

2e ln(x)→+∞

+ =+

5.14.1.14. ctg(x)

x 0lím (cos(x)) 1

→=

5.14.1.15. 1 x

x 0

lím xe−−→

= −∞

5.14.1.16.

x4

lím (1 tg(x))sec(2x) 1π→

− =

5.14.1.17. 2x 0

1 2 1lím

1 cos(x) 6x→

− = −

5.14.1.18.

xlím [ln(x) ln(1 x)] 0→+∞

− + =

5.14.1.19.

13

x 0

(1 sen(x)) 1 1lím

ln(1 x) 3→

+ − =+

5.14.1.20.

12x

2x

e 1 1lím

22arctg(x )→+∞

− = −− π

5.14.2. Halle la ecuación de la recta tangente y normal al

gráfico de la función 5 3f(x) x 5= + en el punto (3,2).


103

5.14.3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la función 2 4y 3 x 5x x= + − + cuando x 0= .

5.14.4. Calcule la ecuación de la recta normal a la curva 2 2x y 9− = en x 7= , siendo y 0.>

5.14.5. ¿En qué punto del gráfico de xy 2= la tangente es

paralela a la recta de ecuación 8x 2y 3 0?− + + =

5.14.6. Encuentre la ecuación de la tangente al gráfico de y 1 ln(x)= + que pasa por (0,3).

5.14.7. Dada la curva de ecuación 3 2 2

2 2y log (x 1) log (x 1) y ,+ − − =

halle la ecuación de la recta normal a su gráfica en el punto de ordenada y 1.=

5.14.8. Dar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación

3

2

1 tx(t)

t3 1

y(t)2t2t

+ = = +

paralelas a la recta y x 10 0.− + =

5.14.9. Encuentre los puntos de la curva 3 2y x x x 1= − − +

donde la recta tangente a la curva sea horizontal.


104

5.14.10. Demuestre que la curva 3x5x6y 3 −+= no tiene

rectas tangentes de pendiente igual a 4.

5.14.11. Sea 2f(x) x , x [ 1,1].= ∈ − Encuentre los subconjuntos

de [-1,1] donde esta función es creciente o decreciente.

5.14.12. Sea 3 3 52 2f(x) x 3x 3, x [ , ].= − + ∈ − Determine los

subconjuntos de 3 52 2[ , ]− donde la función dada es creciente o

decreciente.

5.14.13. Encuentre los máximos y mínimos de la función 3 2f(x) 2x 15x 84x 8.= − − +

5.14.14. Halle los puntos de inflexión sobre el gráfico de cada una de las siguientes funciones:

5.14.14.1. 2

2f(x)

x 3=

+ 5.14.14.2. 4 2f(x) x 2x= −

5.14.15. Sea 3 2f(x) ax bx cx d= + + + , encuentre los valores de

las constantes a, b, c y d para que la función f alcance un

máximo relativo con valor 2 en x 1= − y un mínimo relativo

con valor –1 en x 1= .

5.14.16. Determine la constante a para que la función

2 af(x) x

x= +

tenga:

• Un mínimo relativo en x 2=

• Un mínimo relativo en x 3=

• Un punto de inflexión en el punto de abscisa x 1=


105

5.14.17. Demuestre que la función del ejercicio anterior no

puede tener un máximo relativo para ningún valor de a.

5.14.18. Haga un estudio completo y construya el gráfico de

las siguientes funciones:

5.14.18.1. 1xf(x) e=

5.14.18.2. 3

2

xf(x)

2x 8=

−

5.14.18.3. 2f(x) x ln(x)=

5.14.18.4. 2 xf(x) x e−=

5.14.18.5.

2x2x 1f(x) e −=

5.14.18.6. 1

f(x) xx

= +

5.14.18.7. 2/3 2f(x) x (x 7)= −

5.14.18.8. 5

4

xf(x)

(x 1)=

−

5.14.18.9. 22 xf(x) x e−=

5.14.18.10. ln x

f(x)x

=

5.14.18.11. xx 1f(x) (x 1)e −= −

5.14.18.12. xe

f(x)1 x

=+


106

5.14.19. En una planta de arena y grava, la arena está cayendo de una cinta transportadora en un recipiente cónico

de diámetro en la base de 20 pies y altura de 20 pies. Si la

arena cae a razón de 46 pies3/min, mientras que en un

orificio en el fondo escurre arena a razón de 1 pie3/min.

¿Cuál es la razón de cambio de la altura de la arena cuando

está a la mitad de la altura? Rta: 9/20 pie/min.

5.14.20. Un papagayo vuela a 70 m de altura y a 150 m de

un niño que en ese instante suelta la cuerda a velocidad de 2

m/seg. Sabiendo que el viento eleva el papagayo a 3 m/seg,

¿cuál es la velocidad horizontal del viento?

Rta: 9 4 11 m/seg.

5.14.21. Una piedra se deja caer en un lago, creando un círculo que se aleja del centro con una rapidez de 60 cm/seg.

Encuentre la rata de cambio a la cual se está incrementando

el área del círculo cuando ha pasado (a) 1 seg (b) 3 seg (c) 5

seg.

5.14.22.Un balón esférico se infla con gas a razón de 20 cm3/seg. ¿A qué velocidad está creciendo su radio en el instante en el que el radio es de 30 cms? Rta: 1180π cm/seg.

5.14.23. Un automóvil se desplaza por una pista en forma de

triángulo equilátero de 5 Km de lado a 250 km/h. En el

instante en que el automóvil está a 3 Km de uno de los

extremos de la recta, ¿a qué velocidad cambia su distancia al

punto de partida que está en ese instante en el vértice

opuesto? Rta: 125 19 Km/h.


107

5.14.24. Dos barcos A y B parten de un mismo punto = y

siguen rutas que forman un ángulo de 120o . ¿Con qué

rápidez varía la distancia entre ellos en el instante en que

OA=8 millas y OB=6 millas?. El barco A navega a 20 millas/h

y el B a 30 millas/h. Rta: 260 37 millas/h.

5.14.25. Un avión A viaja hacia el norte a 100 m/h y un

avión B viaja hacia el este a 150 m/h. Si ambos salieron al

mismo tiempo, ¿con qué rapidez aumenta la distancia entre

ellos cuando el primero ha recorrido 3 millas y el segundo 4

millas? Rta: 180 millas/h.

5.14.26. Un avión vuela con una velocidad de 500 Km/h y

con una inclinación de 45o hacia arriba. Encuentre la rapidez

de cambio de la distancia del avión a una torre de control en

tierra, un minuto después de que éste pasó directamente 3

Km arriba de ella (desprecie la altura de la torre).

Rta: 490.15 Km/h.

5.14.27. Una disolución se vierte a razón de 2 cm3/min en

un filtro cónico cuyo radio de la base es de 6 cms y de altura

24 cm y se filtra a razón de 1 cm3 por minuto. ¿Cuál es la

velocidad de elevación del nivel del líquido cuando este se halla a 8 cm de altura? Rta: 1 4π cms/min.

5.14.28. En un instante la sombra de un árbol de 20 m de

alto es de 30 m de longitud. Si el ángulo que forma el sol con

el suelo disminuye a razón de 15o por hora, ¿a qué razón

aumenta la longitud de la sombra en ese instante? Rta: 65 12π cm/h.


108

5.14.29. La arista de un cubo crece a razón de 3 cm/seg.

Calcular con qué velocidad está cambiando el volumen en

cada uno de los siguientes instantes:

a. Cuando la arista mide 1 cm. Rta: 9 cm3/seg. b. Cuando la diagonal mide 10 cm. Rta: 300 cm3/seg.

5.14.30. Una escalera de 10 pies de longitud descansa en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y aleja de la

pared a una velocidad de 1pie/seg, ¿con qué velocidad se

desliza el extremo superior por el muro cuando el extremo

inferior está a 6 pies de la pared? Rta: -3/4 pie/seg.

5.14.31. De un depósito cónico está saliendo agua a razón de 1 cm3/seg. Si el radio de la base es 4 cms y la altura 8 cm,

hallar el ritmo al que está bajando el nivel del agua cuando está a 2 cms del borde superior. Rta: 1 9− π cm/seg.

5.14.32. Una persona camina en línea recta a una velocidad

de 4 pies/seg. En el piso, a 20 pies de distancia del camino,

hay un faro, que se mantiene dirigido hacia el caminante. ¿A

qué velocidad gira el faro, cuando el sujeto se encuentra a 15

pies del punto del camino más cercano al faro?

Rta: 0.128 rad/seg.

5.14.33. Un tanque de agua tiene forma de cono circular

invertido, con radio de la base igual a 2 m y 4 m de altura. Si

se le bombea agua, a razón de 2 m3/min, calcula la velocidad

con que sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza

3 metros.

5.14.34. El minutero de un reloj mide 4 cm de longitud y el

horario mide 3 cm. ¿A qué velocidad se separan sus extremos a las 9:00 horas? Rta: 11 150 cm minπ


109

5.14.35. Un trozo de hierro en forma de paralelepípedo

rectángulo se dilata por el calor. La dilatación lineal del metal

es de 0.000028 cm/Cseg de aumento de su temperatura. ¿A

qué velocidad se dilata el cuerpo cuando sus medidas son: 40

cm, 30 cm y 62 cm? Rta. 30.21224 cm /Cseg

5.14.36. Halle dos números no negativos cuya suma sea 10 y

cuyo producto sea máximo. Rta. 5 y 5

5.14.37. Halle dos números no negativos de suma 1 que

hagan:

a. máximo la suma de sus cuadrados. Rta. 0 y 1

b. mínima dicha suma. Rta. ½ y ½

5.14.38. Encuentre dos números positivos de suma 36 y

tales que su producto sea máximo. Rta. 18 y 18

5.14.39. La suma de un número y el triple del otro es 60.

Halle los números si su producto ha de ser máximo.

Rta. 30 y 10

5.14.40. Divídase 20 en dos partes (no necesariamente

enteras) tales que el producto de una de ellas por el cuadrado

de la otra sea máximo. Rta. 20/3 y 40/3

5.14.41. Determine el número que supera más a su

cuadrado. Rta. 1/2

5.14.42. Oswaldo Guillén arroja una pelota con determinada

fuerza y el alcance de su tiro está gobernado por la fórmula


110

2V .sen(2 )ogA( )

θθ = . ¿Cómo debe ser θ para que el alcance A sea máximo?. Rta. 4θ = π

5.14.43. Pruebe que el rectángulo de máxima área con

perímetro dado P, es un cuadrado.

5.14.44. Se desea cercar un jardín rectangular con mts 200

de alambre. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el

área sea máxima?. Rta. 50 mts x 50 mts

5.14.45. Una mujer planea cercar un jardín rectangular de 264 m . ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del jardín para

que la cerca fuera lo más corta posible?

Rta. 8 mts x 8 mts

5.14.46. Halle el área máxima para un rectángulo inscrito en

un círculo de radio r. Rta. 22r

5.14.47. Se inscribe un rectángulo en la elipse 2 2x 400 y 225 1,+ = con sus lados paralelos a los ejes de la

elipse. Halle las dimensiones del rectángulo de a. área máxima y b. perímetro máximo.

Rta. a. 20 2 15 2× . b. 32 18× . 5.14.48. Un hombre tiene un muro de piedra al costado de

un terreno. Dispone de 1200 metros de material para cercar y

desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como

uno de sus costados. ¿Qué dimensiones debe tener el corral

para que encierre la mayor área posible?

Rta. 300 mts x 600 mts


111

5.14.49. Un rectángulo tiene dos vértices en el eje x, y los otros dos sobre la parábola 2y 12 x , y 0.= − ≥ ¿Cuáles son

las dimensiones del rectángulo para que tenga área máxima?.

Rta. 4 x 8

5.14.50. Una etiqueta de un producto farmacéutico debe

contener cms 50 cuadrados de material impreso con 4cms de

margen arriba y abajo y 2 cms de margen a los lados. ¿Qué

dimensiones debe tener la etiqueta para que gaste menos

papel? Rta. 9 cms x 18 cms

5.14.51. Se desea cortar una viga rectangular de un tronco de sección transversal circular de diámetro a. Si la

resistencia de una viga es proporcional al producto de su

anchura por el cuadrado de su altura, hallar las dimensiones

de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia.

Rta. 2 13 3a a× .

5.14.52. Halle las dimensiones de un cilindro circular recto

que se puede inscribir en una esfera de radio R para que su

volumen sea máximo. Rta. 2 23 3

r R, h R= =

5.14.53. Se ha de cortar una pieza de cuerda de longitud L en dos partes, una para formar un triángulo equilátero y la

otra un círculo. Se pregunta cómo debería cortarse la cuerda

de modo que:

a. haga máxima la suma de sus áreas.

b. haga mínima la suma de sus áreas.

Rta.

a. No se corta el alambre y se hace con él un círculo de r L 2 .= π

b. Se corta en un punto que dista 3 L

9 3

π+ π

unidades de un

extremo.


112

5.14.54. Un alambre de longitud dada L se quiere cortar en

dos trozos para formar con ellos un cuadrado y un triángulo

equilátero. Encuentre la longitud de cada trozo de modo que:

a. sea mínima la suma de las dos áreas.

b. sea máxima dicha suma.

Rta.

a. 4L4 3 3+

para el cuadrado y 3 3L

4 3 3+ para el triángulo.

b. Se utiliza todo para el cuadrado.

5.14.55. Halle las dimensiones del cilindro circular recto de

máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto dado, de altura a y radio b. Rta. r 2b 3, h a 3= =

5.14.56. Dado un cono circular de altura H y radio R, se inscribe en él, otro cono de forma que su vértice coincide con

el centro de la base del primer cono. ¿Cuáles deben ser las

dimensiones del cono inscrito para que su volumen sea máximo?. Rta. r 2R 3, h H 3= = .

5.14.57. Halle los puntos de la parábola 2x 2y= más

cercanos al punto (10,0). Rta. (9.75, 2.208)± .

5.14.58.¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro

dado igual a 2p, tiene mayor área? Rta. x y (2 2)p= = − .

5.14.59. En una lámina rectangular de 6 cms x 8 cms se

corta un cuadrado en cada esquina de lado h. Se construye

una caja sin tapa. Calcule h para que el volumen de dicha

caja sea máximo. Rta. 7 133h −= .


113

5.14.60. Halle el máximo volumen de un cilindro circular

recto, que se puede inscribir en una esfera de radio r.

Rta. 34 3 r

9V π= .

5.14.61. Pruebe que una lata de forma cilíndrica con tapa de

volumen V se puede construir con la mínima cantidad de

metal si su altura es igual a su diámetro de la base.

5.14.62. Sea h(x) f(x).g(x)= el producto de dos funciones que

tienen primera y segunda derivada y que son positivas: f(x) 0> y g(x) 0> .

a. ¿Se puede decir que si f y g tienen un máximo relativo en

x a= , también h tiene un máximo relativo en dicho

punto? b. ¿Es cierto que si f y g presentan un punto de inflexión en

x a= , lo tiene también h? En ambos casos demuestre si es cierto o construya un

ejemplo numérico, que pruebe que la proposición es falsa.

Rta. a. Sí, puede decirse. b. No necesariamente cierto:

3f(x) g(x) 5 x x= = + + para x 1, a 0.≤ =

5.14.63. Una recta variable que pasa por el punto (1,2) corta al eje x en A(a,0) y al eje y en B(0,b). Encuentre el área del

triángulo AOB de superficie mínima suponiendo a y b

positivos. Rta. 4

5.14.64. Dos postes de 20 y 28 pies de altura

respectivamente, se encuentran a 30 pies de distancia. Se

han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el

suelo a los extremos de los postes. ¿Dónde se han de fijar los

dos cables para que la cantidad de cable a emplear sea

mínima?. Rta. 12.5 pies del poste de 20 pies


114

5.14.65. Pruebe que el rectángulo de mínimo perímetro con

área dada A, es un cuadrado.

5.14.66. El perímetro conjunto de un círculo y un cuadrado

es 16. Halle las dimensiones del círculo y del cuadrado que

den un área total mínima. Rta. 8 164 4r , l+π +π= = .

5.14.67. El consultorio de un médico está formado por una

habitación rectangular con un semicírculo en cada extremo.

Si la habitación ha de tener un perímetro de 200 mts, halle

las dimensiones que harán el área de la región rectangular lo

mayor posible. Rta. 100 100mts mts.π π×

5.14.68. Una ventana tiene la forma de un rectángulo

rematado por su parte superior con un semicírculo y se

quiere contonear con P metros de borde metálico. Hallar el

radio de la parte semicircular, si el área total de la ventana

debe ser máxima. Rta. P4r .+π=

5.14.69. Halle las dimensiones del rectángulo que tenga área

máxima y que se pueda inscribir en un triángulo equilátero

con lado de longitud L, si un lado del rectángulo está en la

base del triángulo. Rta. 3LL2 4 .×

5.14.70. Dos lados de un triángulo tienen a y b de largo, y el ángulo entre ellos es θ ¿Qué valor de θ maximizará el área

del triángulo?. Rta. 2 .πθ =

5.14.71. Encuentre las dimensiones del triángulo isósceles

de mayor área que se pueda inscribir en un círculo de radio r.

Rta. 323r r.×


115

5.14.72. Dada una esfera de radio R, halle el radio r y la altura h del cilindro circular recto, con mayor área lateral (sin

base ni tapa), que se puede inscribir en la esfera.

Rta. 22r R, h 2R.= =

5.14.73. En una fábrica de espejos, el costo de cada espejo es directamente proporcional a su área. Debido a un descuido

en el manejo de un espejo rectangular de lados 80 y 90, un

empleado que lo maniobra lo deja caer y rompe una esquina

en forma aproximada de triángulo rectángulo con

dimensiones 12 x 10, respectivamente (12 en el lado de 80).

Determinar el área máxima del espejo rectangular que se

puede obtener con el espejo roto. Rta. 6400

5.14.74. La empresa IVA es propietaria de un edificio de 50

apartamentos. Todos se encuentran ocupados cuando el

alquiler mensual por apartamento es de Bs.3600. IVA ha

observado que por cada Bs.200 de aumento en el alquiler se

desocupan dos apartamentos. Cada inquilino paga Bs.240

mensuales de condominio, pero este pago lo debe hacer la

empresa por cada apartamento desocupado. Calcular cuánto

deberá cobrar IVA, por el alquiler mensual de cada

apartamento ocupado, para obtener un beneficio máximo.

Rta. 4200 bolívares

5.14.75. Un joyero puede producir un par de pendientes a un costo de 3000 pesetas. Se han estado vendiendo estos

pendientes por 5000 pesetas y, a este precio, los

consumidores han venido comprando 4000 pares al mes. El

joyero está estudiando el aumentar el precio de venta y

estima que, por cada 1000 pesetas de aumento, venderá

mensualmente 400 pares menos. Halle el precio de venta que

produzca el beneficio máximo. Rta. 9000 pesetas


116

5.14.76. Pruebe que el área máxima de un rectángulo

inscrito en un triángulo es la mitad de la del triángulo.

5.14.77. Un campo rectangular está limitado por dos tipos de

cerca: los lados más largos cuestan 12 $ por cada metro,

mientras que los lados más cortos cuestan solo 4 $ el metro.

Si la cerca encierra un área de 4000 metros cuadrados,

¿cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total de la cerca?. Rta. x 36,515; y 109,54.= =

5.14.78. En el triángulo ABC, D está en AB, CD AB, AD BD 4⊥ = = y CD 5.= ¿Dónde se debe tener

un punto P en CD para que la suma PA PB PC+ + sea

mínima?. Rta. 4 3 cm de D.

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