CLASES CAPACITORES Y DIELECTRICOS ~ FIR-315 2011

UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

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CAPACITORES Y DIELÉCTRICOS.

CONTENIDO.

4.1. Capacitancia. 4.2. Cálculo de capacitancia. 4.3. Capacitores en serie y en paralelo. 4.4. Almacenamiento de energía en campo eléctrico. 4.5. Capacitor con dieléctrico. 4.6. Dieléctricos: Un examen atómico. 4.7. Dieléctricos y la ley de Gauss.

4.1 CAPACITANCIA

En general un capacitor consta de dos conductores de forma arbitraria, llamados “placas” o “armaduras”, totalmente aislados de su entorno, como se muestra en la figura 1. El capacitor está “cargado” si sus placas contienen cargas iguales y de signos opuestos, q y q , respectivamente; nótese que la carga neta del sistema de

los dos conductores es cero.

El capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica. Para almacenar energía potencial se transfiere carga de un conductor al otro de modo que un conductor tenga carga negativa y el otro, una cantidad igual de carga positiva.

El trabajo realizado para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los conductores, se almacena como energía potencial eléctrica. El trabajo lo hace un agente externo, como una batería o fuente de energía eléctrica. Los capacitores tienen un número enorme de aplicaciones prácticas: en dispositivos como unidades de destello electrónico para fotografía, láseres pulsantes, sensores de bolsas de aire para automóviles, teclado de computadoras, receptores de radio y televisión.

El capacitor “se carga” con una carga q , conectando cada conductor a los

terminales de una batería o fuente de energía, las placas alcanzan la misma diferencia de potencial de los terminales de la fuente al transferirse la carga desde un

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

Física III

Ciclo: II/2011


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conductor al otro. Las placas son superficies equipotenciales y la diferencia de potencial entre ellas es la de la batería, digamos V .

Figura 1. Capacitor cargado

Existe una relación de proporcionalidad directa entre q y V , es decir

q CV (4.1)

La constante de proporcionalidad es la capacitancia del capacitor, la cual depende de la geometría y del material entre las placas, por el momento, vacío. Las unidades de la capacitancia en el SI se llama farad, en honor a Michael Faraday y se define como: 1 farad = 1 coulomb/volt (1F = 1C/V)

En la práctica son más convenientes los submúltiplos µF, nF y pF

4.2 CALCULO DE LA CAPACITANCIA. Una vez que conocemos la geometría del capacitor, es conveniente para el cálculo de la capacitancia, desarrollar un plan general aplicable a cualquier geometría:

1. Suponemos una carga q en las placas;

2. Calculamos el campo eléctrico E entre las placas en términos de la carga, usando la ley de Gauss;

3. Conociendo E , calculamos la diferencia de potencial entre las placas;

4. Calculamos C q V

Capacitor de placas paralelas.

Un capacitor de placas paralelas es un arreglo de dos láminas planas paralelas de

área A , muy grandes comparadas con la distancia de separación d , de modo que el campo eléctrico entre ellas se puede considerar uniforme, figura 2. Considerando una superficie gaussiana que encierre a la carga sobre la placa positiva, es decir q ,


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se puede encontrar el campo eléctrico entre las placas, tal como en la unidad anterior. Esto da:

0E q A

La diferencia de potencial entre las placas, se encuentra calculando la integral de línea desde una placa a la otra, digamos desde la positiva a la negativa.

0

0

d

qdV Eds

A

Luego:

0 Aq

CV d

(4.2)

Problema muestra.

La distancia de separación entre las placas de un capacitor de placas paralelas es 1.0d mm . ¿Cuál debe ser la superficie de ellas para que el capacitor tenga 1.0 F?

De (4.2) se tiene que:

Este sería un capacitor muy grande, por eso los capacitores reales tienen capacitancias en el orden de los micro y de los pico farad.

Figura 2.Capacitor de placas paralelas

Capacitor cilíndrico.

La capacitancia de un capacitor cilíndrico con carga q , se puede calcular aplicando

el mismo plan general; encontrando el campo eléctrico entre los conductores

cilíndricos concéntricos de radio a y b , como se muestra en la figura 3, un corte de sección transversal de un capacitor cilíndrico de longitud L . Aplicando la ley de Gauss entre los conductores, tenemos:

02

qE

Lr


4

La integral de línea desde a hasta b , para la diferencia de potencial entre los conductores resulta:

0 0

ln2 2

b

a

q dr q bV

L r L a

Entonces:

(4.3)

Problema de muestra:

El espacio entre los conductores de un cable coaxial largo, que sirve para transmitir señales de video, posee un radio interno 0.15a mm , y un radio externo 2.1b mm .

¿Cuál es su capacitancia por unidad de longitud? De (4.3) se tiene que:

Figura 3. Sección transversal de un capacitor cilíndrico

Capacitor esférico:

Un capacitor esférico construido con conductores esféricos, el interior sólido de radio

a , y el conductor exterior un cascaron esférico de radio b ; la figura 3 puede

representar también la geometría de este capacitor. Los conductores poseen cargas iguales y de signos opuestos de magnitud q ; el plan general da como resultado para

el campo eléctrico, el potencial y la capacitancia:

2

04

qE

r ;

0 0

1 1

4 4

q q b aV

a b ab

04ab

Cb a

(4.4)


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Esfera aislada.

Podemos asignar una capacitancia a un conductor individual aislado si suponemos que la “placa faltante” es una esfera conductora de radio infinito. Si hacemos que b al evaluar la integral de línea y sustituimos a por R , el radio

de la esfera conductora tenemos:

04C R (4.5)

Problema muestra.

¿Cuál es la capacitancia de la tierra, vista como una esfera conductora aislada de radio 6370R km ?

De (4.6) se tiene: C = 710 µF

4.3 CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO. Capacitares conectados en paralelo.

Tres propiedades caracterizan a este tipo de conexión de los elementos de un circuito figura 4.

1. Al viajar de a hacia b podemos tomar cualquiera de varias trayectorias paralelas:

2. Cuando se conecta una batería con una diferencia de potencial V , aparece en cada elemento de la conexión en paralelo la misma diferencia de potencial V ;

3. Los elementos comparten la carga total que la batería proporciona a la combinación.

eqC es la capacitancia equivalente entre los puntos a y b que sustituye al arreglo,

es decir un solo capacitor que conectado a la diferencia de potencial V , adquiere la misma carga del arreglo.

Si para cada capacitor: 1 1q C V y 22q C V

Además 1 2q q q es la carga del arreglo.

Para el capacitor equivalente:

1 2eqq C V C C V

Luego: 1 2eqC C C (4.6)

Para un arreglo de n capacitares eq nC C (4.7)


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Figura 4. Combinación de capacitores en paralelo

Capacitores conectados en serie.

Tres propiedades caracterizan la conexión en serie de los elementos de un circuito, figura 5.

1. Si intentamos viajar de a hacia b debemos pasar por todos los elementos del circuito en sucesión:

2. Cuando se conecta una batería de V , la suma de las diferencias de

potencial entre los elementos es igual a V ;

3. La carga q , entregada a cada elemento de la combinación en serie tiene

el mismo valor.

Figura 5. Combinación de capacitares en serie.

Para cada capacitor 1 1V q C y 2 2V q C ; además 1 2V V V

Para el capacitor equivalente: eqV q C

Entonces: 1 2eq

q q q

C C C (4.8)

Para un arreglo de n capacitores: 1 1

neq nC C

(4.10)


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Problema muestra:

Determinar la capacitancia equivalente del arreglo mostrado en la figura. Si se aplica una diferencia de potencial de 12.5 V entre los terminales del arreglo, ¿Cuál será la

carga en 1C si C1 = 12 µF, C2 = 5.3 µF, C3 = 4.5 µF?

De la figura vemos que los capacitares 1 y 2 están en paralelo y el equivalente de

estos 12C está en serie con el capacitor 3, entonces:

y

Si 123C fuera real, tendría una carga de: q123 = C123 V = 44.6 µF y la misma carga

existiría en los capacitares del arreglo serie, entonces:

V12 = q12 / C12 = 2.58 V

La misma diferencia de potencial existe en los capacitores del arreglo en paralelo, por lo tanto: q1 = C1 V12 = 31 µF y q1 = C2 V12 = 13. 7 µF

4.4 ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN UN CAMPO ELÉCTRICO.

Un capacitor cargado tiene energía potencial eléctrica almacenada en él, igual al trabajo que realiza el agente externo (la batería) para cargarlo. Esta energía se recupera si se permite que el capacitor se descargue. Supongamos que en un tiempo t se transfiere una carga q desde una placa a la otra. En ese

momento, la diferencia de potencial entre las placas es V q C . Si ahora se

transfiere una carga dq , el cambio en la energía potencial eléctrica es:

q

dU V dq dqC

.


8

Si este proceso continúa hasta que se haya transferido una carga q , la energía

potencial total es de: 2

2

qU

C (4.11)

Que también puede escribirse como:

2

2

CVU (4.12)

En un capacitor de placas paralelas, la energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) da:

22

02

2

ECVu

Ad

(4.13)

La que es válida para cualquier configuración de campo. Se puede afirmar que la energía se almacena en el campo eléctrico.

Problema muestra.

Por medio de una batería se carga un capacitor 1C de 3.55 F hasta que alcanza

una diferencia de potencial 0 6.30V V . Después se quita la batería y, como se indica

en la figura se conecta el capacitor a otro capacitor descargado 2C de 8.95 F . a)

¿Cuál es la diferencia de potencial final?, b) ¿cuál es la energía potencial eléctrica almacenada en el campo antes y después de cerrar el interruptor de la figura?.

Cuando el capacitor 1C se carga, adquiere una carga 0 1 0q C V .

Por conservación de la carga 0q se distribuye en los dos capacitores al cerrar el

interruptor, la carga fluye desde 1C hacia 2C hasta que el potencial es el mismo en

ambos, digamos V .

Como: 0 1 2q q q

Tenemos: 1 0 1 2CV CV C V y despejando

La energía almacenada antes y después de cerrar el interruptor son respectivamente:

Ui = ½ C1 V02 = 70.5 µJ y Uf = ½ C1 V 2 + ½ C2 V 2 = 20.0 µJ


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Problema muestra.

Una esfera conductora aislada cuyo radio R mide 6.85 cm, tiene carga q = 1.25 nC. a) ¿Cuánta energía se almacena en su campo eléctrico?, b) ¿qué densidad de

energía tiene la superficie de la esfera?, c) ¿cuál es el radio 0R de una superficie

esférica imaginaria tal que una mitad de la energía potencial almacenada este en su interior?

a) C

qCVU

22

1 22 con 04C R

Entonces:

= 103 nJ

b) En la superficie de la esfera 2

0

1

4

qE

R

De la ecuación (4.13) µJ/m3

c) La energía almacenada en un cascarón esférico entre los radios r y r dr

es:

drrudU )4( 2

Evaluando u en un radio r :

2 22

2 4 2

0 0

432 8

q q drdU r dr

r r

La condición de este problema:

01

2

R

R R

dU dU

Eliminando constantes:

Luego:

0

1 1 1

2R R R

R0 = 2R

y


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4.5 CAPACITOR CON DIELÉCTRICO

La presencia de un material altera la capacitancia de un capacitor y el campo eléctrico entre sus placas; estudiaremos el caso en que este material es un dieléctrico.

Experimentos de Faraday:

Faraday realizó experimentos con capacitares y materiales dieléctricos, los cuales describimos en forma simplificada:

Dos capacitores idénticos, uno con aire y otro lleno de dieléctrico, se conectan a la misma diferencia de potencial, tal como se muestra en la figura 6; resulta que la carga del capacitor lleno de dieléctrico es mayor, haciendo que la capacitancia

aumente en un factor ek . Esta constante se conoce como la constante dieléctrica del

material, una característica propia de este e independiente del tamaño y forma del conductor:

0

eC

Ck (4.14)

Figura 6. Dos capacitares idénticos, uno lleno de aire y otro de material dieléctrico

Dos capacitores idénticos conectados a una diferencia de potencial V ; si se retira la batería y se introduce una lámina de material dieléctrico que llena completamente el espacio entre los conductores de uno de los capacitares, tal como se muestra en la figura 7.

El capacitor con dieléctrico disminuye su potencial, a un valor eV k permaneciendo

la carga constante, lo mismo ocurre con el campo eléctrico, dando como resultado el aumento de la capacitancia en el mismo factor.

En la tabla 1, se presenta algunos materiales dieléctricos con el valor de la constante dieléctrica y de la rigidez dieléctrica. Cada material dieléctrico posee una resistencia dieléctrica característica que es el valor máximo de campo eléctrico que puede soportar sin perforarse.


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Figura 7. Dos capacitares idénticos, uno lleno de aire y otro de material dieléctrico.

Un capacitor de placas paralelas completamente lleno de material dieléctrico de

constante ek , aumenta su capacitancia a:

0eC k A d (4.15)

Cuando un capacitor está completamente lleno se remplaza 0 por 0ek .

Tabla 1. Constante dieléctrica y resistencia dieléctrica de algunos dieléctricos.

Material Constante dieléctrica, Ke

Resistencia dieléctrica

Emax (kV/mm)

Vacío 1 ∞ Aire (1 atm) 1.00059 3 Papel 3.5 16 Aceite para transformador 4.5 12 Mica 5.4 160 Porcelana 6.5 4 Policarbonato 2.8 30 Poliéster 3.3 60 Polipropileno 2.2 70 Polietileno 2.6 24 Vidrio pírex 4.7 14

Medidos a temperatura ambiente.

Problema muestra

Un capacitor de placas paralelas con aire tiene una capacitancia C0 = 13.5 pF. Se conecta a una batería de 12.5 V y se retira la batería en seguida y se introduce una lámina gruesa de porcelana que lo llena completamente, la constante dieléctrica de la porcelana es 6.5. ¿Cuál es la energía almacenada por la unidad antes y después de introducir la lámina?


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El capacitor se carga cuando no se ha introducido la lámina hasta el potencial de la batería, V0 = 12.5 V. La energía almacenada antes de introducir la lámina es: U0 = ½ C0 V0

2= 1055 pJ.

Después de introducir la lámina la capacitancia aumenta a C = Ke C0 = 87.8 pF. Pero, la carga permanece constante, no así el potencial, la batería se retiró antes de introducir la lámina V = Vo / Ke = 1.92 V. La energía almacenada al final es:

U = ½ (KeC0 )(V0 /Ke)

2 = ½ C0 V02/Ke = Uo / Ke

ó U = ½ C V2 = 162 pJ.

La energía faltante es el trabajo realizado para introducir la lámina 893 pJ.

4.6 DIELÉCTRICOS: UN EXAMEN ATÓMICO.

Los materiales dieléctricos según la estructura de sus moléculas se clasifican en: polares (ejemplo el agua), sus moléculas están formadas por dipolos permanentes; y no polares, sus moléculas no están formadas por dipolos pero en presencia de campos externos, se inducen momentos dipolares.

En ambos casos, los dipolos se orientan en la dirección del campo externo, en los dieléctricos no polares los dipolos se crean ya orientados. Las figuras 8 y 9 muestran como los dipolos permanentes o inducidos se orientan en presencia de campos eléctricos externos.

Figura 8. Moléculas polares. .

Estudiemos que ocurre con el campo eléctrico en el interior de un material dieléctrico al someterlo a la influencia de un campo externo, por simplicidad consideremos el caso en que el campo es uniforme. Consideremos un capacitor de placas paralelas con una carga q , lo que provee un

campo externo uniforme 0E , la batería se retira y luego se introduce una lámina de

material dieléctrico.


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El campo externo separa la carga positiva y negativa del átomo; no existe carga neta en ningún volumen dentro de la lámina, pero sí una carga superficial inducida o de polarización en las superficies superior e inferior del dieléctrico como muestra en la figura 10.

Figura 9. Moléculas no polares

Las cargas inducidas qgeneran un campo E en el interior del dieléctrico, que se

opone al campo externo; esto hace que el campo resultante E , en el interior del dieléctrico sea menor que el campo externo, pero en la misma dirección de este, ya

que 0E E siempre, figura 4.10.

El debilitamiento del campo eléctrico se manifiesta a través de la disminución del

potencial en un factor ek , o sea:

0 eE E k y 0 eV V k (4.16)

Figura 10. Campo eléctrico inducido

Si situamos a un dieléctrico en un campo eléctrico externo, aparecen cargas superficiales inducidas que tienden a debilitar el campo original dentro del dieléctrico. 4.7 LOS DIELÉCTRICOS Y LA LEY DE GAUSS

Debe establecerse una relación entre la carga superficial inducida q y la carga q en

las placas del capacitor, conocida como carga libre. Si aplicamos la ley de gauss a un capacitor de placas paralelas lleno de un material

dieléctrico de constante ek como en la figura 11.


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tenemos:

(4.17)

Entonces:

0 0

q qE

A A

(4.18)

Como: 0

0e e

E qE

k k A entonces:

0 0 0e

q q qE

k A A A

O sea: 1

1q qk

(4.19)

Ahora sustituyendo q’ en (4.17), la ley de gauss para el capacitor lleno de dieléctrico será:

(4.20)

La cual es válida en presencia de material dieléctrico, aire o vacío, al considerar el

valor correspondiente de ek ; se ha introducido ke E envés de ke E0 para tomar en

cuenta las cargas de polarización, q es la carga libre.

Figura 11. Dieléctricos y la ley de Gauss.

Problema muestra

La siguiente figura muestra un capacitor de placas paralelas con una superficie A y

con una separación d entre las placas. Se aplica una diferencia de potencial V y después se desconecta la batería, luego se coloca una lámina de un material

dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica ek .

Suponga que: 2

0115 , 1.24 , 0.78 , 2.61 . 85.5eA cm d cm b cm k V V

a) ¿Cuál es la capacitancia 0C antes de introducir el dieléctrico?.

b) ¿Qué carga libre aparece en las placas?.

c) ¿Cuál es el campo eléctrico 0E donde no existe material dieléctrico?.

d) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico E en la lámina?. e) ¿Cuál es la diferencia de potencial una vez introducida la lámina?. f) ¿Cuál es la capacitancia C después de colocar la lámina?.


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a) pF b) pC

c) kV/m d) kV/m

e) V

f) pF

Preguntas y problemas para los estudiantes.

1. Dos capacitores de placas paralelas son idénticos, excepto por que uno tiene dieléctrico entre sus placas y el otro no. Si se cargan hasta el mismo voltaje ¿Cuál tendrá mayor carga en sus placas? ¿El mayor campo eléctrico? ¿La mayor cantidad de energía? ¿La mayor energía?

2. Dos capacitores de placas paralelas son idénticos, excepto por que uno tiene dieléctrico entre sus placas y el otro no. Si se ponen cantidades iguales de carga en sus placas, ¿Cuál tendrá mayor carga en sus placas? ¿El mayor campo eléctrico? ¿La mayor cantidad de energía? ¿La mayor energía?

3. Dos capacitores idénticos vacios, cada uno con capacitancia C0, se conectan en serie. Ambos están llenos de un material de constante dieléctrica k = 2.0. ¿Cuál es la capacitancia final total de la combinación en serie?

a) 4.0 C0 b) 2.0 C0

c) C0 d) 0.50 C0

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