Clases 18-23 Transporte MOP

UES \ FIA \ EII \ MOP115 1

MTODOS DE OPTIMIZACIN

IV. MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIN

MODELO DE TRANSPORTE

El modelo de transporte es una clase especial de problemas de programacin lineal. Trata

la situacin en la cual se enva un producto desde un grupo de puntos de origen (por

ejemplo fbricas) a un grupo de puntos de destino (por ejemplo almacenes).

El objetivo es determinar las cantidades enviadas desde cada punto de origen, hasta cada

punto de destino, que minimicen el costo total del envo, al mismo tiempo que satisfagan

tanto los limitaciones de la oferta como los requerimientos de la demanda.

Destino

Origen

1

2

3

. . .

n

Oferta

(Disponi-

bilidad)

1 C11 C12 C 13 . . . C 1n a1

2 C21 C 22 C 23 . . . C 2n a 2

3 C31 C 32 C 33 . . . C 3n a 3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m Cm1 C m2 C m3 . . . C mn a m

Demanda

(Requeri-

mientos)

d1 d 2 d 3 . . . d n

4.1 FORMULACIN EN PROGRAMACIN LINEAL

Costo Total = Min Z = ijCijn

j

m

i

11

s.a. i

n

j

aij 1

, para i = 1, 2, 3,., m

j

m

i

dXij 1

, para j = 1, 2, 3,., n


Esta forma es equivalente a escribir

Min Z = C11X11 + C12X12 + C13X13 + .. + C1n X1n

+ C21X21 + C22X22 + C23X23 + .. + C2n X2n

+ C31X31 + C32X32 + C33X33 + .. + C3n X3n

+. + Cm1Xm1 + Cm2Xm2 + Cm3Xm3 + ..+ Cmn Xmn

sujeta a

X11 + X 12 + + X13 +......... + X1n = a1

X21 + X 22 ++ X23 +......... + X2n = a 2

X31 + X 32 ++ X33 +......... + X3n = a 3

Xm1 + X m2 ++ Xm3 +......... + Xmn = a m

X11 + X 21 ++ X31 +......... + Xm1 = d1

X12 + X 22 ++ X32 + ......... + Xm2 = d 2

X13 + X 23 ++ X33 + ......... + Xm3 = d 3

X1n + X 2n ++ X3n + ......... + Xmn = d n

Xij 0

TERMINOLOGA

m = Puntos de origen

n = Puntos de destino

ai = Nmero de unidades disponibles en cada origen i, donde i = 1, 2, 3, ... , m

dj = Nmero de unidades requeridas en cada destino j, donde j = 1, 2, 3, ..., n.

Cij = El costo unitario de transporte desde el origen i hasta el destino j.

Xij = Unidades a transportar desde el origen i hasta el destino j.

REQUERIMIENTOS

ai , dj , Cij son nmeros enteros

ijji Xda

La suma de las ofertas debe ser igual a la suma de las demandas. A esto se le llama

modelo balanceado. En caso contrario, si la oferta es mayor que la demanda, se agregar

un destino ficticio con costos unitarios iguales a cero; si la demanda es mayor que la

oferta, se agregar un origen ficticio con costos unitarios iguales a cero.


TABLA SIMPLEX DE TRANSPORTE

1 2 3 . . . n Oferta

1 C11 C12 C13

. . . C1n

a1 X11 X12 X13 X1n

2 C21 C22 C23

. . . C2n

a2 X21 X22 X23 X2n

3 C31 C32 C33

. . . C3n

a3 X31 X32 X33 X3n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

m Cm1 Cm2 Cm3

. . . Cmn

am Xm1 Xm2 Xm3 Xmn

Demanda d1 d2 D3 . . . dn

La tabla smplex de transporte tiene otras propiedades como las siguientes:

o Existen valores de Xij > 0 si Xij es una variable bsica

o Existen valores de Xij = 0 si Xij es una variable no bsica

o Existen m + n restricciones funcionales

o Existen m + n - 1 variables bsicas siempre que Xij > 0

o Existen variables bsicas iguales a cero cuando el problema tiene solucin

degenerada.

4.2 PASOS PARA SOLUCIONAR UN PROBLEMA DE TRANSPORTE (Introduccin)

1. Inicializacin. Determine una solucin bsica inicial (SBI) factible a travs de

cualquiera de los siguientes mtodos: Esquina Noroeste, Costo Mnimo,

Aproximacin de Vogel.

2. Prueba de Optimidad: Cuando todos los costos netos asociados a las variables no

bsicas sean no negativos (caso de minimizacin), se ha llegado a la solucin

ptima. En caso contrario, ir a paso 3.


3. Proceso Iterativo

a. Determine una variable de entrada a partir de las variables no bsicas

b. Determine una variable de salida a partir de las variables bsicas

c. Obtenga la nueva solucin y regrese al paso 2 hasta que se cumpla.

4.3 MTODOS DE INICIALIZACIN

1. ESQUINA NOROESTE

Realiza la mxima asignacin permisible de oferta y demanda en la celda superior

izquierda de la tabla de transporte y luego se desplaza a la derecha o hacia abajo

hasta completar todas las unidades de oferta y demanda, culminando en la celda

inferior derecha de la tabla.

2. COSTO MNIMO

Realiza la mxima asignacin permisible de oferta y demanda en la celda de menor

costo de la tabla, se elimina la fila o columna en que se satisfaga la oferta o demanda.

Si hay empate en el costo ms bajo, escoger la celda en donde se pueda hacer la

mayor asignacin. Cuando una fila y una columna se satisfacen simultneamente,

slo una de ellas se puede tachar en la misma operacin. El proceso se repite hasta

que slo quede una fila o una columna sin tachar.

3. MTODO DE APROXIMACIN DE VOGEL (MAV)

a. Obtenga la diferencia positiva para cada fila y cada columna entre el costo

unitario menor y el siguiente de las celdas remanentes (celdas en las que

an se pueden asignar unidades de oferta y demanda) de la tabla.

b. Escoja la fila o la columna con la mayor diferencia.

c. Escoja la celda de menor costo para asignar. En caso de empate, elija

aquella en la que se pueda hacer la mayor asignacin. Cuando una fila y

una columna se satisfacen simultneamente, slo una de ellas se puede

tachar. La que se deja sin tachar, permanece reservada para hacerle la

asignacin hasta el final.

d. Cuando slo quede una fila o una columna remanente, aplique el mtodo

del costo mnimo. El proceso termina cuando solamente queda una fila o

una columna sin tachar.


Ejemplos

Encuentre las soluciones bsicas iniciales de los siguientes modelos de transporte,

utilizando los mtodos Esquina Noroeste, Costo Mnimo, Aproximacin de Vogel.

Ejemplo 1

3 5 7 5 30

6 2 3 5 50

4 3 6 2 40

20 40 30 30

Ejemplo 2

10 0 20 11 15

12 7 9 20 25

0 14 16 18 5

5 15 15 10

Ejemplo 3

Tres plantas generadoras de energa elctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones

de kilowatts-hora (kwh), suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas

mximas son 30, 35 y 25 millones de kwh. El costo en unidades monetarias (u.m.) de la

venta de corriente elctrica a las diferentes ciudades, por milln de kwh, es como sigue:

Ciudad

1 2 3

1 600 700 400

Planta 2 320 300 350

3 500 480 450

Durante el mes de agosto se incrementa en un 20% la demanda en cada una de las tres

ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compaa debe comprar electricidad

adicional de otra red, a un precio de 1000 u.m. por milln de kwh. Sin embargo, esta red

no est conectada a la ciudad 3. Encuentre la solucin bsica inicial a travs de los tres

mtodos para determinar el plan de distribucin ms econmico desde el punto de vista

de la compaa elctrica.


4.4 SOLUCIN PTIMA DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE.

4.4.1 MTODO DE MULTIPLICADORES

El mtodo de multiplicadores es un procedimiento secuencial que se utiliza para encontrar

la solucin ptima de un problema de transporte a partir de una solucin bsica inicial

factible.

En cada paso se intenta en este procedimiento enviar artculos por las rutas que no se

hayan usado en la solucin factible en curso, en tanto que se elimina una de las rutas que

est siendo usada actualmente. Este cambio de ruta se hace de modo que la solucin se

conserve factible y mejore el valor de la funcin objetivo.

4.4.2 PASOS PARA APLICAR EL MTODO DE MULTIPLICADORES

1. Asociar los multiplicadores Ui y Vj con la fila i y la columna j respectivamente de la tabla

de transporte. Para cada variable bsica actual Xij, los multiplicadores deben satisfacer la

ecuacin:

Cij = Ui + Vj

Donde Cij = Costo de transporte unitario asociado a cada Variable Bsica.

Como existen m+n-1 variables bsicas, existirn tambin m+n-1 ecuaciones asociadas a

estas variables. Se deben formar esas ecuaciones para encontrar los valores de Ui y Vj

2. Suponer un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores. Por lo general se

busca el Ui de la fila o el Vj de la columna que contenga el mayor nmero de variables

bsicas y se hace Ui = 0 Vj = 0.

3. Encontrar los dems valores de Ui y Vj

4. Calcular el costo neto asociado a cada variable no bsica utilizando la ecuacin:

= Cij - Ui - Vj

para cada variable no bsica Xij.


4.4.3 PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIN PTIMA DE UN PROBLEMA DE

TRANSPORTE

PASO 1. Obtener una solucin bsica inicial por alguno de los mtodos conocidos:

Esquina Noroeste, Costo Mnimo, Aproximacin de Vogel.

PASO 2. Utilizando el mtodo de multiplicadores, aplicar la Condicin de Optimidad:

Cuando todos los costos netos asociados a las variables no bsicas sean no negativos

(Caso de Minimizacin), se ha llegado al ptimo. De lo contrario, continuar con el paso 3.

PASO 3. Proceso iterativo:

a. Determinar una variable de entrada si no se cumple que los costos netos

sean mayores o iguales que cero para todas las variables no bsicas. La

variable de entrada ser la que tenga el costo neto ms negativo. En caso

de empate se selecciona la que tenga el menor costo unitario.

b. Determinar una variable de salida. Se construye un circuito o ciclo cerrado

para la variable de entrada. El circuito empieza y termina en esa variable.

Este consta de los segmentos sucesivos horizontales y verticales

conectados, cuyas esquinas deben ser celdas que contengan variables

bsicas, excepto la celda asociada a la variable que entra. El circuito puede

recorrerse en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario.

Luego se colocan signos (+) y (-) en forma alterna de las esquinas del

circuito debido a que si por ejemplo la variable que entra se incrementa en

una unidad, todas la variables bsicas de esquina del circuito deben

ajustarse restando o sumando esa cantidad a fin de mantener los

requerimientos de oferta y demanda. La variable de salida se encontrar en

aquella casilla con signo (-) y que tenga la menor asignacin (menor valor).

Esto es debido a que la variable de salida se elige de entre las variables

del circuito que disminuyen cuando la variable de entrada aumenta,

conservando la no negatividad. En caso de empate se selecciona la que

tenga el mayor costo unitario.

c. Obtener la nueva solucin realizando los cambios sealados en el circuito.

Regresar al paso 2.


Ejemplos

Para los modelos de transporte que se presentan a continuacin, se pide:

a) La solucin bsica inicial a travs del mtodo especificado en cada uno de ellos.

b) La solucin ptima a travs del mtodo de multiplicadores.

Ejemplo 1 (SBI por Costo Mnimo)

3 5 7 5 30

6 2 3 5 50

4 3 6 2 40

20 40 30 30

Ejemplo 2 (SBI por Esquina Noroeste)

10 0 20 11 15

12 7 9 20 25

0 14 16 18 5

5 15 15 10

Ejemplo 3 (SBI por Vogel)

Tres plantas generadoras de energa elctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones

de kilowatts-hora (kwh), suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas

mximas son 30, 35 y 25 millones de kwh. El costo en unidades monetarias (u.m.) de la

venta de corriente elctrica a las diferentes ciudades, por milln de kwh, es como sigue:

Ciudad

1 2 3

1 600 700 400 25

Planta 2 320 300 350 40

3 500 480 450 30

30 35 25

Durante el mes de agosto se incrementa en un 20% la demanda en cada una de las tres

ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compaa debe comprar electricidad

adicional de otra red, a un precio de 1000 u. m. por milln de kwh. Sin embargo, esta red

no est conectada a la ciudad 3. Formule el problema como uno de transporte, con el fin

de establecer el plan de distribucin ms econmico desde el punto de vista de la

compaa elctrica.


MODELO DE ASIGNACIN

El modelo de asignacin es un caso especial del modelo de transporte. El objetivo es

asignar m trabajos (o trabajadores) a n mquinas (o tareas) en una forma de uno a uno

(un trabajo por mquina) al menor costo total. Los trabajos son los orgenes y las

mquinas los destinos. La oferta disponible en cada origen es 1 y la demanda requerida

en cada destino es tambin 1. El costo de asignar el trabajo i a la mquina j es Cij. Si un

trabajo no puede asignarse a una mquina, el elemento Cij correspondiente ser igual a

M, es decir un costo muy grande.

FORMA GENERAL DEL MODELO

Mqui-

nas

Trabajos

1

2

3

. . .

n

Oferta

(Disponi-

bilidad)

1 C11 C12 C13 . . . C1n 1

2 C21 C22 C23 . . . C2n 1

3 C31 C32 C33 . . . C3n 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m Cm1 Cm2 Cm3 . . . Cmn 1

Demanda

(Requeri-

mientos)

1 1 1 . . . 1

Si m < n se agregarn (n-m) trabajos ficticios (generalmente con Cij iguales a cero)

Si m > n se agregarn (m-n) mquinas ficticias (generalmente con Cij iguales a cero)


El modelo se puede expresar matemticamente as:

1, si el i-simo trabajo se asigna a la j-sima mquina

Xij =

0, si el i-simo trabajo no se asigna a la j-sima mquina

4.5 FORMULACIN EN PROGRAMACIN LINEAL

Costo Total = Min Z = ijCijn

j

m

i

11

s.a. 11

ijn

j

, para i = 1, 2, 3,., m

11

ijm

i

, para j = 1, 2, 3,...., n

4.6 METODOLOGA DE SOLUCIN

1. Formar una matriz de costos a partir de la original restando el menor elemento de cada fila de los elementos correspondientes para generar valores iguales a cero en cada fila.

2. Si en la nueva matriz formada hay columnas que no tengan ningn elemento igual

a cero, restar el menor elemento de cada una de ellas de los elementos correspondientes. En caso contrario ir a paso 3.

3. Si en la nueva matriz generada, los valores iguales a cero por fila estn ubicados

en columnas diferentes, la asignacin es factible y ptima. En caso contrario ir a paso 4.

4. Trazar un nmero mnimo de lneas a travs de algunas de las filas y columnas de

tal forma que se tachen todos los ceros.

5. Seleccionar el menor elemento no tachado, restarlo de todos los no tachados y sumarlo a todos los elementos situados en la interseccin de dos lneas para obtener una nueva matriz. Regresar al paso 3 hasta que se cumpla.


Ejemplos. Resuelva los siguientes modelos de asignacin.

Ejemplo 1 Mquinas 1 2 3

1 5 7 9 1

Trabajos 2 14 10 12 1

3 15 13 16 1

1 1 1

Ejemplo 2

1 2 3 4

1 1 4 6 3 1

2 9 7 10 9 1

3 4 5 11 7 1

4 8 7 8 5 1

1 1 1 1

Ejemplo 3

1 2 3 4

1 3 6 5 4 1

2 9 1 4 7 1

3 10 8 2 4 1

4 9 2 6 6 1

1 1 1 1

Clases 18-23 Transporte MOP

Documents

Transcript of Clases 18-23 Transporte MOP