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Clculo Diferencial e Integral de una variableGuas de Trabajo (con problemas integradores)

1.

2. Encuentre los valores mximo y mnimo absoluto de f sobre el intervalo dado:

[ ]3,0-,84)( 2 ++= xxxf .

b) Evale el lmite22

sinlim

x

x

x

c) Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto ue se indica

( ) ( )2ln,0,ln)( 2xx eexf += d) Encuentre la derivada de f! si )2(arctan)( 3 ttsentf =

3. "na lanc#a es remolcada #acia un muelle con una cuerda fi$a a su proa ue pasapor una polea en el muelle. Esa polea est 1.%& m por encima de la proa del bote. 'iel bote avan(a #acia el muelle con una velocidad de %ms! *con ue velocidad setira de la cuerda! cuando la lanc#a est a 1&m del muelle+

4. Unapartcula se mueve en una lnea vertical y su coordenada en un instante t es

0,3123 += ttty

,a) Encuentre las funciones velocidad y aceleracin.,b) *-undo la partcula se mueve #acia arriba y cundo #acia aba$o.,c) Encuentre la distancia ue la partcula recorre en el intervalo de tiempo .30 t

5. cierta #ora el barco Ase encuentra al norte del barco Ba una distancia de 1%&/m. Anavega #acia el este a una velocidad de 0& p# y B#acia el oeste a 2& p#.*-on ue rapide( cambia la distancia entre ellos despu3s de 2& minutos+

6. "n #ombre de 4 pies de estatura camina #acia un edificio a una tasa de spies5 ! sien el piso se encuentra una lmpara a 0& pies del edificio! *u3 tan rpido se acortala sombra del #ombre proyectada en el edificio cuando el est a 2& pies de 3ste+

1

5a figura ex#ibe la grfica de la derivada fde una funcin f.,a) En ue intervalos la funcin f crece y en

cuales decrece.,b) *6ara ue valores de x f tiene un mximo o

mnimo local+,c) 7etermine los posibles puntos de inflexin y

los intervalos de concavidad.,d) 8race una posible grafica de f! si se sabe

ue la funcin es continua en todo su dominioy los ceros de f son:

92! 91 y 1.

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7. 7ada la funcin

+

++

! su abscisa disminuye a ra(n de 2 metros porsegundo. *;u3 tan rpido aumenta o disminuye la distancia de la partcula al origenen ese instante+

11. 'uponga ue f es una funcin tal ue2

34)2()2( hhfhf +=+

a) Halle )2(f

b) 'i f es continua en a! *se puede garanti(ar ue f es diferenciable en a+

12. 7etermine las asntotas verticales y #ori(ontales de la grfica de la funcin

127

6)(

2

2

+

=

xx

xxxf . dems! #aga un esbo(o de la grfica de f.

13. En cada uno de los casos siguientes #alle y :

a) arcsenxxexy x

++= tan423 2

2

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b) 3 234)23( xxy =

c) xyyxyx 46232 ++=+

d) )sec()137ln( 3 2 xexxy ++=

e)

( )

13

221

)23(

)7(3

=

x

x

senxx

xy

14. 'ea 254)(23

++= xxxxf .

a) Halle los puntos sobre la grfica de f en los ue la recta tangente es #ori(ontal.

b) Halle los puntos de la grfica de f en los ue la recta tangente es paralela a larecta 3+=xy .

15. 'ea

>+

=

2,54

2,3

)( 2 xxx

xx

xf

a) *Es f continua en %+b) *Es f diferenciable en %+

16. 'ea

=

=0;0

0;1

)(2

x

xx

senxxf

a) *Es f continua en &+

b) *Es f derivable en &+

17. El agua dentro de un tanue cnico invertido inicialmente lleno sale con un caudalconstante! mientras ue un ca?o entrega agua al mismo tanue con un caudal de10&& cm2seg. 5as dimensiones del tanue son 1& m de dimetro y 10 m de altura.'i el nivel del agua ba$a a una velocidad de 2 cmseg cuando ueda solo un metrode agua dentro! *cul es el caudal con ue se escapa el agua+

18. "n canal de agua tiene 2& metros de largo y sus extremos tienen la forma detrapecios issceles! de % metros de anc#o en la parte superior! 1 metro en la parteinferior y >& centmetros de altura. 'i el canal pierde agua ,por filtracin) a una ra(nconstante de 2&&&& cm2seg! calcule la velocidad en ue cambia el nivel del aguacuando uedan 0& centmetros de luido en el canal.

19. 7os postes con longitudes de 4 y > metros respectivamente se colocan verticalmentesobre el piso con sus bases separadas una distancia de 1& metros. -alculeaproximadamente la longitud mnima de un cable ue pueda ir desde la punta deuno de los postes #asta un punto en el suelo entre los postes y luego #asta la puntadel otro poste.

3

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20. "n yate se mueve en lnea recta #acia el punto donde se encuentra un vapor conuna velocidad de 4& m#. En el momento en ue la distancia entre ambos es de@.%%0 m! el vapor se empie(a a mover en direccin perpendicular a la del yate conuna velocidad de %0 m#. 7eterminar el momento en ue las embarcaciones seencuentran a la mnima distancia.

21. "na cerca de > pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificioalto. 5a cerca se encuentra a un pie del edificio. Encuentre la longitud de la escalerams corta ue pueda colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima dela cerca.

22. 5a distancia de un aserradero a la va del ferrocarril es de >& m. 'e necesitatransportar la madera a una ciudad ue se encuentra a 1A& m del aserraderomedida la distancia en lnea recta. *7nde deber construirse una estacin deferrocarril para ue el costo del transporte de la tonelada de madera sea mnimo! sitransportar por carretera una tonelada de madera por m cuesta @ veces ms uetransportarla por ferrocarril+

23. "n #ombre ue est en un bote en el punto Pa un ilmetro del puntoAue esten la playa! desea ir a Bue est a un ilmetro deA! en direccin perpendicular a____

PA . 'i puede remar a 2 m# y caminar a 0 m#! determinar #acia u3 punto C!

entreAy B! debe remar para llegar a B en el tiempo mnimo.

24. 5as mismas condiciones ue en el problema anterior! excepto ue a#ora ueremossaber cul es la velocidad mnima a ue debe remar el #ombre para ue el tiempomnimo se #aga via$ando slo por el agua.

25. "n pauete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su altura yel permetro de su base es menor ue dos metros y medio. Encuentre lasdimensiones de la ca$a de volumen mximo ue puede enviarse por correo si la basede la ca$a es cuadrada.

26. "n minero desea abrir un tnel desde un punto #asta un punto B situado >& m msaba$o ue y %@& m al Este de 3l. 7eba$o del nivel de es rocaC arriba de este niveles tierra blanda. 'i el costo de la construccin del tnel es 2& pesos por metro linealen tierra blanda y A> pesos en roca! #allar el costo mnimo del tnel.

27. 5a primera derivada de una funcin es: 82)(2 = xxxf . Desponda

a) *En u3 intervalos f es creciente+! *decreciente+

b) *En ue intervalos f es cncava #acia arriba+ ! *-ncava #acia aba$o+

c) Halle los puntos crticos de f y los puntos de inflexin.

28. En los e$ercicios siguientes! #alle los valores mximo y mnimo absolutos ,si existen)de la funcin dada en el intervalo indicado.

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a) 13-;5+4+=)( 2 xxxxf b) 20;23

1=)(

3+ xxxxf

c) 50;1+5-=)( 45 xxxxf d) [ ];12-;1)( 23 ++= xxxxxf

e) 0!;1

=)(2

xx

xf

29. 'i la funcin g est definida por

>+

+=

1,1

1,5)(

3

2

xsix

xsixxg

Hallar g F ,1)! si es ue existe. Gustifiue su respuesta.

30. 7ada la funcin f definida por:x

xf31

2)(

+=

a) ediante la definicin de derivada! #allar )(af .

b) "tilice la respuesta obtenida en ,a) para calcular )4(f .

31. 5a ecuacin de una parbola es 053 2 =+ yxx . Hallar la ecuacin de la recta

tangente ue es paralela a la recta 05226 =+ yx .

32. 4 = yx es la ecuacin de la recta tangente a la grfica de una funcin )(xg en

el punto de abscisa x < %. 'i 15)(2

+= xxxf ! #allar )2()( gfo .

33. 'ix

xy

+=

1

1 es la ecuacin de una curva ! #allar las ecuaciones de las rectas

tangentes ue son paralelas a la recta 5 : x 9 >y 0 < &.

34. 5a ecuacin de una curva es: 522 22 =+ yxyx

a) Hallardx

dy

b) 7eterminar los puntos de la curva! donde la recta tangente es paralela a la recta01612 =+ yx .

35. Hallar la ecuacin de la recta normal a la curva -! de ecuacin1

1

+

=x

xy sabiendo

ue es paralela a la recta 052 =+ yx . ,7os soluciones).

36. 'i

=

++

=2,

2,28136

1456)( 33

22

xsiL

xsixx

xxxf

5

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