¿Qué veremos?

Sistemas de ecuaciones. Concepto. Clasificación

Sistemas de ecuaciones lineales. Distintos tipos.

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones

lineales

Sistemas equivalentes

Ecuación Función

Funciones algebraicas Funciones no algebraicas

Funciones y

ecuaciones lineales

Función

exponencial

Función

logarítmica

Funiones

trigonométricas

Funciones y ecuaciones

no lineales

Sistemas de

ecuaciones

lineales

Funciones y ecuaciones

de segundo grado

Inecuaciones

lineales

Logaritmos Trigonometría

Determinantes Matrices

Sistemas con

ecuaciones de

2do grado

Progresiones

Combinatoria

Funciones y

ecuaciones polinomiales

Rectas

Álgebra y Cálculo Numérico

Sistemas de

inecuaciones

lineales

Campos

numéricos

SISTEMAS DE ECUACIONES

Distintos tipos de sistemas

Sistemas de ecuaciones

zyx3

2zyx

5y3x22

0q2p

5qp3

3z2y3x

2y2x2z4

7zyx2

1z2yx

Un sistema de ecuaciones lineales es un

conjunto de dos o más ecuaciones de grado uno

que se verifican simultáneamente para los mismos

valores de las variables o incógnitas.

npnp3n32n21n1

2p2p323222121

1p1p313212111

bxa...xaxaxa

......

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La determinación de los valores que deben o

pueden adoptar las variables que conforman las

ecuaciones de un sistema se denomina

resolución del sistema

El o los valores que pueden asumir cada una de

las incógnitas, cuando existen, conforman el

conjunto solución del sistema

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Distintos tipos

De acuerdo a su forma:

cuadrados

rectangulares

De acuerdo a su solución:

Consistentes o compatibles

Inconsistentes o incompatibles

Determinados o de solución

única

Indeterminados o de solución

múltiple

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DE ORDEN DOS

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

Métodos de resolución

Método tabular o de tablas

Métodos analíticos o algebraicos

Método gráfico

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Cramer o Regla de Cramer

El valor de cada variable de un sistema de ecuaciones lineales de

solución única, resultará equivalente al cociente entre el

determinante de la variable que se pretende calcular y el

determinante del sistema.

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

2221

1211

222

121

1

aa

aa

ab

ab

x

2221

1211

221

111

2

aa

aa

ba

ba

x

Ejemplos:

6y2x2

4y2x3

25y

3y5x2

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Cramer o Regla de Cramer

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

2221

1211

222

121

1

aa

aa

ab

ab

x

2221

1211

221

111

2

aa

aa

ba

ba

x

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método gráfico

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

21

2

21

22

11

1

11

12

a

bx

a

ay

a

bx

a

ay

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método gráfico

6y2x2

4y2x3

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método gráfico

15y6x3

5y2x

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método gráfico

16y4x2

5y2x

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DE ORDEN TRES

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Método gráfico

Métodos analíticos o algebraicos

Métodos de resolución

x

-x

y-y

z

-z

Método gráfico: coordenadas en el espacio

Q (-3; -4; 2)

P (2; 3; 1)

Método gráfico: coordenadas en el espacio

x

y

zz = 4

Método gráfico: coordenadas en el espacio

x

y

zy = 2

Método gráfico: coordenadas en el espacio

x

y

z14

y

3

x

Método gráfico: coordenadas en el espacio

y 2

x y1

-3 4

z 4

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

lineales en el espacio

102yx

13

y

4

x

2x

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

lineales en el espacio

x 4y 4z 6

2x 7y 2z 4

3x 3y 2z 10

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

lineales en el espacio

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dos sistemas de ecuaciones lineales son

equivalentes si tienen las mismas incógnitas y el

mismo conjunto solución

2y2x

12yx

13yx

3y3x

Conjunto solución (x; y) = (1; 0)

Ejemplo:

SISTEMAS NO EQUIVALENTES

Ejemplos:

2y2x

12yx2

13yx

3y3x

2b2a

12ba

13yx

3y3x

13yx

3y3x

2y42x

12yx

SISTEMAS EQUIVALENTES

OPERACIONES ELEMENTALES

La solución de un sistema no se altera si:

a) se cambia el orden de aparición de una ecuación;

b) se multiplica una ecuación por cualquier escalar

no nulo;

c) si una ecuación es reemplazada por la que se

obtenga de sumarle a ésta, otra u otras de las

ecuaciones que intervienen en el sistema, aún

cuando estas últimas estuvieran premultiplicadas

por un escalar no nulo,

52yx

5y2x

52yx

5y2x

104y2x

5y2x

104y2x

55y

104y2x

1y

Sistema original

Ecuación 2 por 2

La ecuación 1 es reemplazada

por la ecuación 1 menos

ecuación 2

SISTEMAS EQUIVALENTES

Ecuación 1 por – 1/5

104y2x

1y

104y2x

1y

La ecuación 2 es reemplazada por la

ecuación 2 menos 4 veces la

ecuación 1

62 x

1y

3x

1y

SISTEMAS EQUIVALENTES

Habíamos obtenido el sistema

Ecuación 2 por 1/2

3x

1y