clase_04-Campos USM

7/23/2019 clase_04-Campos USM

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Departamento de Electr Departamento de Electr óónicanica

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosELOELO--250250



CapCapíítulo IItulo II

Ondas Electromagnéticas

• Ondas Electromagnéticas

• Ondas Planas Uniformes

• Teorema y Vector de Poynting

• Reflexión y Transmisión



Ondas ElectromagnOndas Electromagnééticasticas

• Si se considera un medio lineal, homogéneo isotrópico,caracterizados por µ, ε, σ (escalares) libre de fuentes

(ρ=0):

Medio

[Libre de Fuentes]

µ, ε, σLas ecuaciones de Maxwellinstantáneas son:

t

H E

∂∂

−=×∇

µ (3.1a)

0=⋅∇ E

(3.1c)

t

E E H

∂∂

+=×∇

ε σ (3.1b)

0=⋅∇ H

(3.1d)




• Tomando el rotacional de (3.1a) y reemplazando

(3.1b) y viceversa, y usando la identidad vectorialresulta: ( ) 2 E E E ∇×∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇

22

20 E E E

t t µσ µε ∂ ∂∇ − − =

∂ ∂

(3.2)

22

20 H H H

t t µσ µε ∂ ∂∇ − − =

∂ ∂

(3.3)

Ecuaciones de onda vectoriales homogéneas (Helmholtz)




• Para campos sinusoidales, con notación fasorial, las

ecuaciones anteriores se transforman en:

( ) 02 =+−∇ S S E j j E

ωε σ ωµ (3.4)

(3.5)( ) 02 =+−∇ S S H j j H

ωε σ ωµ

Sea , (3.4) y (3.5) se puede escribir:( )ωε σ ωµ γ j j +=2

022 =−∇ S S E E

γ 022 =−∇ S S H H

γ (3.6) (3.7)

Ecuaciones de onda fasoriales



• Definiendo

como la constante de propagación, donde:


( ) β α ωε σ ωµ γ j j j +=+=

α :Constante de atenuación [Np/m].

Define la razón a la cual se atenúan los campos

electromagnéticos a medida que la onda se propaga.

β :Constante de fase [rad/m].

Define la razón en la cual la fase cambia a medida

que la onda se propaga.



• Dadas las propiedades del medio (µ, ε, σ) se puede obtener

expresiones para α y β en función de estos parámetros:


( ) ( )22 2 22 j j j jγ ωµ σ ωε α β α αβ β = + = + = + −

De lo cual se obtiene:

(3.8)

−

+= 112

2

ωε

σ µε

ω α

+

+= 112

2

ωε

σ µε

ω β (3.9) (3.1

Si el medio es NO conductorNO conductor (σ = 0):

0=α λ

π ω µε ω β

2===

v



• Las propiedades de las ondas electromagnéticas:

– Dirección de propagación – Longitud de onda, frecuencia

– Atenuación, velocidad de propagación

– Etc.

pueden ser determinadas examinando las soluciones de las

ecuaciones de onda, que definen E y H de dichas ondas.

• Para una región libre de fuentes estas ecuaciones son:

Propiedades de las Ondas EMPropiedades de las Ondas EM

E E

22 γ =∇ H H

22 γ =∇

*E y H considerados como fasores.

(3.11) (3.12)




• Para construir las ecuaciones de onda se introduce el

operador Laplaciano vectorial .• Para un vector en coordenadas rectangulares

• Se tiene:

• Donde

2

∇

ˆ ˆ ˆ x y y z z F F a F a F a= + +

( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ x x y y z z F a F a F a∇ = ∇ + ∇ + ∇

2 2 22

2 2 2

i i i

i

F F F

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

(3.13)

(3.14)




• Así, las ecuaciones de ondas, para los campos E y

H , pueden ser re-escritas como:

( )2 ˆ ˆ ˆ x x y y z z a E a E aγ + +( ) ( ) ( )

2 2 2ˆ ˆ ˆ x x y y z z

a E a E a∇ + ∇ + ∇ =

( )2 ˆ ˆ ˆ x x y y z z H a H a H aγ + +

( ) ( ) ( )2 2 2ˆ ˆ ˆ x x y y z z H a H a H a∇ + ∇ + ∇ =

(3.15)

(3.16)




• Igualando componentes vectoriales en (3.15) y (3.16) se

obtiene 6 ecuaciones de onda (escalares):2 2 2

2

2 2 2

x x x x

E E E E

x y z γ

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

2 2 0 x x H H γ ∇ − =

2 2 2

2

2 2 2

y y y

y

E E E E

x y z γ

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

2 2 0 y y H H γ ∇ − =

2 2 22

2 2 2

z z z z

E E E E

x y z γ

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂2 2 0 z z H H γ ∇ − =

(3.17

Ecuaciones de onda escalares



Ondas Planas UniformesOndas Planas Uniformes

• E y H están en el plano perpendicular a la dirección de

propagación.• E y H son perpendiculares entre sí.

•Una onda plana es uniformesi, además de cumplir con las

condiciones anteriores, E y H

son uniformes en el plano

perpendicular a la dirección

de propagación.ˆ( )

ˆ( )

x

y y

E E z a

H H z a==

X

Y

Z

E

H

Z a



• Una onda electromagnética que no tiene

componentes de E y H en la dirección de propagación es llamada onda TEM (transversal

electromagnética).

• Todas las ondas planas son TEM.


Para el dibujo anterior,como E x y H y sólo

dependen de z entonces las

ecuaciones diferencialesson:

2

22 0 x x

d E E

dz γ − =

2

22 0

y

y

d H H dz γ − =

(3.18)

(3.19)



• Las soluciones para las ecuaciones anteriores son:


1 2

( ) ( )1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( )

x x x

z z

j z j z

z j z z j z

x

E z E z E z

E e E e

E e E e

E z E e e E e e

γ γ

α β α β

α β α β

+ −

−

− + +

− −

= += +

= +

= ⋅ + ⋅ (3.20)

(3.21)1 2( ) z j z z j z

y H z H e e H e eα β α β − −= ⋅ + ⋅

Análogamente, para H:

E 1 , E 2 (resp. H 1 , H 2) son constantes (amplitud del campo resp.)



• Las características de las ondas pueden ser

determinadas investigando los correspondientescampos instantáneos.

• Tomando como ejemplo el campo eléctrico E :


1 2

1 2

( , ) { ( ) }

{ }

( , ) cos( ) cos( )

j t

x x

z j z j t z j z t

z z

x

E z t e E z e

e E e e e E e e e

E z t E e t z E e t z

ω

α β ω α β ω

α α ω β ω β

− −

−

= ℜ

= ℜ += − + +

(3.22)




1 2( , ) cos( ) cos( )

z z

x E z t E e t z E e t z

α α

ω β ω β

−

= − + +

Amplitud:

Fase:

Decrece en dirección:

Crece en dirección:

Viaja en dirección:

1

ˆ

ˆ

ˆ

z

z

z

z

E e

t z

a

a

a

α

ω β

−

−

+

−+

2

ˆ

ˆ

ˆ

z

z

z

z

E e

t z

a

a

a

α

ω β +

−

+−



• Considerando sólo la componente que viaja en dirección

+â z y un medio sin pérdidas (α=0) entonces:


1ˆ( , ) cos( ) x x E z t E t z aω β = −

Esta onda la podemos representar gráficamente evaluando

(3.23) para distintos valores de t .

(3.23)

ω π

ω π

=

==

t

t

t

2

01

1

1

( ,0) cos( )

( , 2 ) sin( )

( , ) cos( )

x

x

x

E z E z

E z E z

E z E z

β

π ω β

π ω β

+

+

+

=

=

= −→

→→



• La velocidad a la que se propaga un punto de fase

constante de la onda se denomina velocidad de propagación o velocidad de fase.

• Así:

• Como ω=2πf otras expresiones para v p son:


β ω = pv(3.24)

Velocidad de

Propagación

f T v p λ

λ

==

λ : Longitud de Onda [m]

T : período [s] f : frecuencia [Hz]



• En una onda plana uniforme, la razón entre el campo

eléctrico y magnético es constante. Esto define laimpedancia de la onda intrínseca del medio.

• Asumiendo que la onda se propaga en dirección â z ,

definida por su campo eléctrico:

• Reemplazando la expresión anterior en la Ley de

Faraday se obtiene el correspondiente campo

magnético:


1ˆ ˆ( ) z

x x x E z E a E e aγ −= = ⋅

1ˆ ˆ( ) z

y y y H z H a E e a j

γ γ ωµ

−= = ⋅



• Así, la impedancia intr impedancia intr íínsecanseca del medio se define:


( )

x

y

E j H

j j j j j

ωµ η γ

ωµ ωµ η σ ωε ωµ σ ωε

= =

= =++

• En general,

η =|η |e-jθη 41

2

1

−

+

=

ωε

σ

ε µ η

Si σ =0

ε

µ

η η ==

(3.25)

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