Clase Trabajo, Energia y Otros.v1 [Modo de Compatibilidad]

8/16/2019 Clase Trabajo, Energia y Otros.v1 [Modo de Compatibilidad]

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DINÁMICA

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN

FACULTAD DE INGENÍERIA CIVIL Y ARQUITECTURAE.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL

HUÁNUCO, FEBRERO DE 2015HUÁNUCO, FEBRERO DE 2015

DOCENTE:DOCENTE: I ngº Luis Fernando Narro J ara

TRABAJ O, ENERGÍA, IMPULSO Y CHOQUES


2/24

Si se aplica una fuerza F = 200N a la carretilla de 30 kg, demostrar que el bloque A de 20 kg. se deslizará sobre ella. También determineel tiempo para que el bloque A se mueva sobre la carretilla 1.5 m.Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque y la

carretilla son m

s = 0.3 y m

k = 0.25.

Si se aplica una fuerza F = 200N a la carretilla de 30 kg, demostrar que el bloque A de 20 kg. se deslizará sobre ella. También determineel tiempo para que el bloque A se mueva sobre la carretilla 1.5 m.Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque y la

carretilla son m

s = 0.3 y m

k = 0.25.

Ejemplo:

Solución.

Realizamos el D.C.L. del Bloque A y de la Carretilla:

F = 200 N A

1.50 m

Tanto la carretilla como el bloqueparten del reposo.Tanto la carretilla como el bloqueparten del reposo.

Calculamos la aceleración del sistema, es decir : a A = aC = a

A

W

R (normal)

f

A

f

a A

F = 200 N

WC R (normal)ff

aC

R1

R2

…(1)

D.C.L.Bloque

D.C.L. Carreti lla


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Calculamos la fuerza de fricción máxima:

A

W

R (normal)

f

A

f

a A

Entonces, como laEntonces, como la

Podemos decir, que el Bloque A se deslizará sobre laCarretilla.Podemos decir, que el Bloque A se deslizará sobre laCarretilla.

Por lo tanto, podemos decir que existirán dos aceleraciones: a A y aC

D.C.L.Bloque

BLOQUE A: CARRETILLA:

Ahora, determinamos la aceleración del Bloque A relativo a la Carreti lla: a A/C


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Finalmente, para obtener el tiempo aplicamos M.R.U.V:

Hallar la rapidez mínima que se debe imprimir

a la caja de 5lb en A para que permanezca encontacto con la trayectoria circular. Además,hallar la rapidez de la caja cuando llega alpunto B.

Hallar la rapidez mínima que se debe imprimir

a la caja de 5lb en A para que permanezca encontacto con la trayectoria circular. Además,hallar la rapidez de la caja cuando llega alpunto B.

Ejemplo:

Solución.

Realizamos el D.C.L. a la caja en la posiciónarbitraria q

:

4 '

3 0 °

V

A

B

n tWC

R (normal)

W C s e n W

C c o s

ana

t

…(1)


5/24

n tWC

R (normal)

W C s e n W

C c o s

an

at

…(2)

Analizamos la caja, para un ángulo q

= 180º dado que llegará con unavelocidad mínima y para que pierda el contacto en la parte superior, la R = 0,es decir :

De la ecuación (2): Además, sabemos que:

Por longitud dearco: ds = 4dq

…

…

Hemos reemplazado

de la ecuación (1): at…


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Finalmente, para obtener la rapidez de la caja cuando llega a B, tenemos quereemplazar los valores de

q

= 210º y Vo = Vmín = 25.36 ft/s en la s iguienteecuación:

Una partícula de masa ‘‘m’’ se lanza desde elpunto A con una velocidad inicial Voperpendicular a la línea OA y se mueve bajouna fuerza central ‘‘F’’ a lo largo de una

trayectoria semicircular de diámetro OA. Sise observa que: r = r ocosq

.

Una partícula de masa ‘‘m’’ se lanza desde elpunto A con una velocidad inicial Voperpendicular a la línea OA y se mueve bajouna fuerza central ‘‘F’’ a lo largo de una

trayectoria semicircular de diámetro OA. Sise observa que: r = r ocosq

.

Ejemplo: V

FVO

q

r

r O

O A

m

a) Demostrar que la velocidad de la partícula es:

b) Determinar la componente tangencial Ft, de la fuerza central ‘‘F’’ a lolargo de la tangente a la trayectoria de la partícula para

q

= 0º y q

=

45º.

a) Demostrar que la velocidad de la partícula es:

b) Determinar la componente tangencial Ft, de la fuerza central ‘‘F’’ a lolargo de la tangente a la trayectoria de la partícula para

q

= 0º y q

=

45º.


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Solución.

a) Dado que ‘‘F’’ es una fuerza central, la cantidad demovimiento angular se conserva, entonces:

b) Sabemos que:

… (1)

La velocidad estáen función V(q, t)

Velocidad Angular: w = V/R

V

F

VO

q

r

r O

O A

m

Vcosqq

… (2)

De la ecuación (1), derivamos en función de q

:

… (3)


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Reemplazamos la ecuación (3) y el dato del problema r = r ocosq

en laecuación (2):

De la Ecuación (1)

Reemplazamos los valores de q

= 0º y q

= 45º en la ecuación (4) y tenemos:

… (3)… (2) … (Dato)

… (4)

Si:q

= 0º

Si:q

= 45º


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TRABAJ O DE UNA FUERZA

Una fuerza F realizará trabajo en una partícula sólo cuando ésta sufra un

desplazamiento en la di rección de la fuerza.

Una fuerza F realizará trabajo en una partícula sólo cuando ésta sufra un

desplazamiento en la di rección de la fuerza. S2

A1 A

r

r + d r

A2

F

dr

ds

O

O1

q

S

S1

… (1)

Ahora, sí:

Generalizando:

S1 S2

S

Fcosq

Si se considera la trayectoria definida por ‘‘S’’, se tiene:Si se considera la trayectoria definida por ‘‘S’’, se tiene:

Pero:

Donde:

Ft = Fcosq Componente Tangencial


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1. Trabajo Efectuado por un Peso

X

YW

Y1

Y2

Y

dx

dydr

A1

A2

A

Sabemos que:Sabemos que:

Pero, del gráfico tenemos:

Finalmente, tenemos:

2. Trabajo de la Fuerza ejercida por un Resorte

…(1)

La fuerza necesaria para estirar un resorte ideal es

proporcional a su alargamiento: Fx = kx.

La fuerza necesaria para estirar un resorte ideal es

proporcional a su alargamiento: Fx = kx.


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Finalmente, tenemos: …(2)

CUIDADO. Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorteObserve que el trabajo dado por la ecuación (2) sin el signo menos es el que usteddebe efectuar sobre un resorte para alterar su longitud. Por ejemplo, si estira unresorte que originalmente está relajado, x1 = 0, x2 > 0 y W > 0. Ello se debe a que lafuerza aplicada por usted a un extremo del resorte tiene la misma dirección que eldesplazamiento ya que el trabajo efectuado es positivo. En cont raste, el trabajo que elresorte efectúa sobre el objeto al que se une está dado por el negativo de la ecuación

(véase ecuación 2). Por lo tanto, cuando estiramos un resorte, éste efectúa trabajonegativo sobre nosotros.

CUIDADO. Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorteObserve que el trabajo dado por la ecuación (2) sin el signo menos es el que usteddebe efectuar sobre un resorte para alterar su longitud. Por ejemplo, si estira unresorte que originalmente está relajado, x1 = 0, x2 > 0 y W > 0. Ello se debe a que lafuerza aplicada por usted a un extremo del resorte tiene la misma dirección que eldesplazamiento ya que el trabajo efectuado es positivo. En cont raste, el trabajo que elresorte efectúa sobre el objeto al que se une está dado por el negativo de la ecuación

(véase ecuación 2). Por lo tanto, cuando estiramos un resorte, éste efectúa trabajonegativo sobre nosotros.

Ahora, si graficamos la Fuerza Vs. Distancia, tenemos que: El área trapezoidalbajo la línea representa el trabajo efectuado sobre el resorte para esti rarlo de:

Finalmente, tenemos:


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Se entiende por energía a la capacidad que tienen laspartículas de desarrol lar un determinado trabajo.Se entiende por energía a la capacidad que tienen laspartículas de desarrol lar un determinado trabajo.

1. Energía

PRINCIPIO DE TRABAJ O Y ENERGÍA

FR

Ft

Fn

t

v

ds

q

m

n

1

2


1.1 Energía Cinética (T):

ó

Principio de Trabajo y Energía


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a) A la cantidad escalar (WY) se le conoce como la Energía Potencial de unaPartícula debido a la Fuerza de Gravedad y se denota por (Vg), entonces:

a) A la cantidad escalar (WY) se le conoce como la Energía Potencial de unaPartícula debido a la Fuerza de Gravedad y se denota por (Vg), entonces:

1.2 Energía Potencial:

Además, recordemos que: , entonces: Además, recordemos que: , entonces:

‘‘Si el trabajo ‘‘W’’ es positivo, entonces laEnergía Potencial disminuye’’

b) A la cantidad escalar se le conoce como la Energía Potencial de una

Partícula debido a la Fuerza Elástica y se denota por (Ve), entonces:

b) A la cantidad escalar se le conoce como la Energía Potencial de una

Partícula debido a la Fuerza Elástica y se denota por (Ve), entonces:

Además, de la ecuación: , entonces: Además, de la ecuación: , entonces:


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Finalmente, generalizando tenemos:Finalmente, generalizando tenemos:

ó

Donde:

Representa el trabajo de todaslas fuerzas de acción yreacción que actúan en unapartícula, a excepción de lafuerza de gravedad y la fuerzaelástica.Ecuación del Trabajo y la Energía

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Si en la partícula no existe fuerza externa alguna, la suma de energía cinéticay de la energía potencial de la partícula permanece constante, es decir; laenergía se mantiene de una posición a otra.

La suma ‘‘T + V’’ se llama Energía Mecánica Total de la partícula y sesimboliza por ‘‘E’’, entonces:

Si en la partícula no existe fuerza externa alguna, la suma de energía cinéticay de la energía potencial de la partícula permanece constante, es decir; laenergía se mantiene de una posición a otra.

La suma ‘‘T + V’’ se llama Energía Mecánica Total de la partícula y sesimboliza por ‘‘E’’, entonces:

ó


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PRINCIPIO DE IMPULSO Y MOMENTUM

Éste método puede usarse para resolver problemas que involucran fuerza,

masa, velocidad y tiempo. Es de especial interés en la solución de problemasreferentes a movimiento debido a impulso o impacto.

Éste método puede usarse para resolver problemas que involucran fuerza,

masa, velocidad y tiempo. Es de especial interés en la solución de problemasreferentes a movimiento debido a impulso o impacto.

t1 t 2

t

F

I

: Impulso Lineal

Éste termino es una cantidad vectorial que mide elefecto de una fuerza durante el tiempo en que lafuerza actúa.

Cómo el tiempo es un escalar posi tivo, el impulso actúa en la misma dirección que la fuerza.

Si la fuerza es constante en cuanto a magnitud y dirección, el impulsoresultante es:Si la fuerza es constante en cuanto a magnitud y dirección, el impulsoresultante es:

La fuerza es variable


t1 t 2

t

F

I

FC

La fuerza es constante


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Finalmente, podemos representarlo gráficamente:Finalmente, podemos representarlo gráficamente:

+ =mV

1

mV2I1-2 = F t

t 2

t 1

mV1

I1-2

La velocidad del automóvil es V1 = 100 km/h cuando el conductor veun obstáculo frente al automóvil cuya masa es de 2 Mg. Le toma0.75 s para reaccionar y aplicar los frenos, lo que hace que el

automóvil patine; hallar la distancia que el automóvil recorre

La velocidad del automóvil es V1 = 100 km/h cuando el conductor veun obstáculo frente al automóvil cuya masa es de 2 Mg. Le toma0.75 s para reaccionar y aplicar los frenos, lo que hace que el

automóvil patine; hallar la distancia que el automóvil recorre

Ejemplo:

R (normal)

ff

W = 2000(9.81)

antes de detenerse. El coeficiente de fricción c inética entre

las llantas y la carretera es mk = 0.25.

antes de detenerse. El coeficiente de fricción c inética entre

las llantas y la carretera es mk = 0.25. V1= 100 km/h

Solución.

Realizamos el D.C.L al automóvi l:

Dado que el automóvil patina, la fuerza de fr icción que actúa en elautomóvil será:


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Podemos observar que sólo la fuerza de fricc ión realiza trabajo y es negativo. Así mismo, la distancia del automóvi l en lo que pat ina lo denotaremos por ‘‘y’’

Aplicamos el Principio de Trabajo y Energía, desde que aplica lo frenos hasta antes dedetenerse:

La distancia recorrida por el automóvi l durante el tiempo de reacción es:

Finalmente, la distancia total recorrida por el automóvil antes de que sedetenga es:


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El bloque de 2lb se desliza haciadebajo de la superfic ie parabólica lisade modo que cuando está en A su

rapidez es de 10 pies/s. Hallar lamagnitud de la velocidad yaceleración del bloque cuando llegaal punto B y la altura máxima quealcanza.

El bloque de 2lb se desliza haciadebajo de la superfic ie parabólica lisade modo que cuando está en A su

rapidez es de 10 pies/s. Hallar lamagnitud de la velocidad yaceleración del bloque cuando llegaal punto B y la altura máxima quealcanza.

Ejemplo:

Solución.

Calculamos las alturas a los puntos A y B, empleando la ecuación de laparábola:

4 ft 1 ft

ymáx

y = 0.25x2

10 ft/s

A

B

CY

Aplicamos el Princ ipio de Trabajo y Energía, en los puntos A y B,para obtener la velocidad en B:

W = 2 lb

R (normal)

n

tat

an

A(1)


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Realizamos el D.C.L. del bloque en el punto B y obtenemos el ángulo que formael peso con el eje normal, para eso derivamos la ecuación (1), y tenemos:

Como estamos analizando en el punto B, entonces:x = 1m.

W s e n 2 6. 5 6

W c o

s 2 6 . 5

6

26.56

W = 2 lb

R (normal)

n

t

an a

t

B

Derivamos nuevamente para obtener el radio de curvatura.

Del gráfico adjunto obtenemos la aceleración tangencialdel bloque en el punto B:

Ahora, obtenemos el radio de curvatura para luego calcular la aceleraciónnormal en el punto B:

Finalmente , la aceleración del bloque en el puntoB será:


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Para obtener la altura máxima, aplicamos el Principio de Trabajo y Energía, en lospuntos A y C, y tenemos

Una paila de masa insignificante está sujeta a dos resortes

idénticos de rigidez k = 250N/m. Si se deja caer una caja de 10kgdesde una altura de 0.5m por encima de la pai la. Hallar eldesplazamiento vertical máximo ‘‘d’’. Inicialmente cada resorte tieneuna tensión de 50 N.

Una paila de masa insignificante está sujeta a dos resortes

idénticos de rigidez k = 250N/m. Si se deja caer una caja de 10kgdesde una altura de 0.5m por encima de la pai la. Hallar eldesplazamiento vertical máximo ‘‘d’’. Inicialmente cada resorte tieneuna tensión de 50 N.

Ejemplo:

1 m 1 m

0.5 m

d

k = 250 N/m k = 250 N/m


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Solución.

En el gráfico adjunto, establecemos los niveles de referencia y aplicaremos entrelos puntos (1) y (2) Conservación de la Energía:

0.5 m

d

1 m

Nivel de Referencia1

2

V = 01

V = 02

Calculamos primero lo que el resorte seextiende inicialmente, empleando la Leyde Hooke: F = kx

+ = + … (1)

= ⇒ = ∴ =.

Por lo tanto, calculamos la longitud inicial del resortesin estiramiento: = − . =.

Ahora, calculamos la longi tud del resor te en la posición (2): = +

Podemos calcular lo que el resorte se extiende en la posición (2): = + − .

+ + =

+ + De la ecuación (1) tenemos: … (2)

Calcularemos los términos de manera independiente y lo reemplazaremos en laecuación (2):

=

=

=


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= = . =

=

=

+ − .

=

− .

+ +.

= = . − . + =−. . +

=

=

. =

Finalmente, reemplazamos todos los cálculos en la ecuación (2) y tenemos:

+ + = + −. . + + − . + +.

+

+ =

+

+

− . − + +. =

∴ =.

El bloque de 5 kg se está moviendo hacia abajo con

velocidad V1 = 2 m/s, cuando está a 8 m de lasuperficie arenosa. Hallar el impulso necesario de laarena sobre el bloque para detener el movimiento.Desprecie la dis tancia que el bloque se entierra en laarena y suponga que no rebota. También desprecieel peso del bloque durante el impacto con la arena

El bloque de 5 kg se está moviendo hacia abajo con

velocidad V1 = 2 m/s, cuando está a 8 m de lasuperficie arenosa. Hallar el impulso necesario de laarena sobre el bloque para detener el movimiento.Desprecie la dis tancia que el bloque se entierra en laarena y suponga que no rebota. También desprecieel peso del bloque durante el impacto con la arena

Ejemplo:

8 m

V = 2 m/s1


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Solución.

En el gráfico adjunto, establecemos los niveles de referencia y

aplicaremos entre los puntos (1) y (2) Conservación de laEnergía: 8 m

V = 2 m/s1

V = ??2

V = 03

N.R.

+ =

+

+ = +

⇒

+. =

+.

⇒ =.

∴ =. ⁄

Empleando el Principio de Impulso y Momentum en la dirección paralela almovimiento, tenemos:

+ − = ⇒ . + − = ∴ − =. .


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CHOQUES

Es un encuentro entredos partículas queocurre en un intervalo detiempo muy corto y en elcual las dos partículasejercen entre sí fuerzasrelativamente grandes.

Es un encuentro entredos partículas queocurre en un intervalo detiempo muy corto y en elcual las dos partículasejercen entre sí fuerzasrelativamente grandes.

V A

Impacto Central

VB

Plano de

Contacto

Línea deImpacto

V A

Impacto Oblícuo

VB

Plano de

Contacto

Línea deImpacto

q

A

B

A

B

1. Impacto Central Directo:

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