Clase 7a Sistemas de Primer Orden 1
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Sistemas de primer orden
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Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a
una ecuacin diferencial de primer orden
)()()(
00 trbtcadt
tdc
La funcin de transferencia es:
0
0
)(
)(
as
b
sR
sC
reacomodando trminos tambin se puede escribir como:
1)(
)(
s
K
sR
sC
donde0
0abK , es la ganancia en estado estable,
0
1
a , es la constante de tiempo del sistema.
el valor
1
0
as se denomina polo.
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso
)()(0
0 sRas
bsC
1)( sR
0
10
1)(
asbtc L
taebtc 00)(
La salida en Laplace es
Utilizando transformada inversa de Laplace
Se obtiene la salida en funcin del tiempo
se evala la ecuacin anterior en tiempos mltiplos de
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)(tct
0
0367879.0 b
0135335.0 b
0
b
2
3
4
0049787.0 b
0018315.0 b
respuesta al impulso
0b
t
0367879.0 b
-
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escaln de
magnitud A
)()(0
0 sRas
bsC
s
AsR )(
)(
1)(
0
10
assAbtc L
)1()( 0ta
eAKtc
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
Se obtiene la salida en funcin del tiempo
Ahora se evala la ecuacin anterior en tiempos mltiplos de
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Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
respuesta al escaln
AK
t
AK632120.0
AK981684.0
4
)(tct
0
AK632120.00
2
3
4
AK864664.0
AK950212.0
AK981684.0
Comentarios:
La constante de tiempo ( ) es igual al tiempo que tarda la salida enalcanzar un 63.212% del valor final.
Matemticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito,
pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prcticos se
considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje
del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%( ) y el del 95% ( )4 3
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de
magnitud A
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
)()(0
0 sRas
bsC
2)( s
AsR
)(
1)(
02
10
assAbtc L
taeAKtAKtc 0)()(
Se obtiene la salida en funcin del tiempo
Attr )(
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respuesta a la rampa
AKt
t
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taeAKtAKtc 0)()(
AK
error en
estado estable
Nota:
Es importante aclarar que laentrada es de pendienteA,
mientras que la salida presenta
pendienteAK desfasada seg.
En otras palabras siempre que laganancia en estado estable (K) del
sistema no sea igual a uno,
existir un error en estado estable
infinito.
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Ejercicio:
Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente:
1. De la funcin de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida.
2. De una grfica (o datos) de respuesta de salida obtener la funcin detransferencia.
Un circuitoRLtiene la siguiente funcindetransferencia.
LRs
LsV
sI
1
)(
)(
Desarrollo:
No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta
normalizar la funcin de transferencia para visualizar la respuesta:
cuando se aplica una entrada escaln de)(ti volt1Determinar la corriente
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entonces directamente se obtiene la ecuacin:
)1(1
)( t
L
R
eR
ti
t
R
L
R
1
R
L2
R
L3
R
L4
1
1
)(
)(
sRL
R
sV
sI KR1 Ganancia en estado
estable
R
L Constante de tiempo
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Ejercicio:
Una cautn se conecta a una alimentacin de voltaje monofsica 127 volts.
Alcanza una temperatura estable de 325C y tarda 130 segundos en
alcanzar un 98% de ese valor. Determine la funcin de transferencia de
primer orden que represente mejor esta respuesta.
Desarrollo:Se define la ganancia en estado estable:
559.2127
325
entradadeVoltaje
estableestadoenaTemperaturK
Se determina la constante de tiempo:Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la
salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la
constante de tiempo.
5.32
4
130
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por ltimo se sustituye en la forma:
1)(
s
KsG
15.32
559.2
)(
)(
ssV
sT
La funcin de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
30769.0
078738.0
)(
)(
ssV
sT
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Estimacin de los parmetros del modelo de
un sistema de primer orden con retardo
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Estimacin de los parmetros del modelo de
un sistema de primer orden con retardo
14
=
+
La grfica muestra la respuesta ante entrada escaln de un sistema.
Identifique sus Parmetros.
