DISTRIBUCION LOGNORMAL -7A

8/12/2019 DISTRIBUCION LOGNORMAL -7A

http://slidepdf.com/reader/full/distribucion-lognormal-7a 1/19

Estadísticas Aplicadas a la Ingeniera

“Distribución Lognormal para la confiabilidad de un producto ysus aplicaciones”.

Ing. Sistemas productivos

Manuel Llanes Santiago

Ingeneria en Sistemas Productivos



ÍNDICE

• OBE!I"O#

• IN!$OD%CCI&N

'( )N!ECEDEN!E#

1.1.Distribución normal

*( DI#!$IB%CI&N LO+)$I!MO NO$M)L

2.1.Deinición

2.2.Par!metros

2.".Propiedades

2.#.Aplicaciones

2.$.E%emplo e%ercicio

,( )-LIC)CIONE# $E)LE#

".1.Distribución del peso molecular de los polímeros

.( EE$CICIO# -$O-%E#!O#

/( )NE0O#

$.1.&reas de la curva normal est!ndar

1( $E2E$ENCI)#



Introducción

La distribución logaritmo normal es una probabilidad recuentemente utili'adapara e(presar el comportamiento de observaciones con asimetría positiva) endonde la ma*oría de los valores ocurren en las pro(imidades de un valor

mínimo.

En la producción * coniabilidad de un producto es una +erramienta de apo*o*a ,ue describe la dispersión de las tasas de allo de componentes) ocasionadapor dierente origen de los datos) distintas condiciones de operación) entorno)bancos de datos dierentes) etc.

La distribución logaritmo tambi-n es conocida como Lognormal) la cual seescribe log normal o lognormal. La distribución se reiere a veces como ladistribución /alton o distribución de /alton) despu-s de 0rancis /alton. Ladistribución logarítmica normal tambi-n se +a asociado con otros nombres)

tales como cAlister) /ibrat * obbDouglas.



Ob3eti4os

Anali'ar la capacidad de un producto mediante la aplicación de la distribuciónlognormal) en busca de una me%ora continua.



)ntecedentes

Distribución normal o de Gauss( Se trata) sin duda) del modelo continuo m!simportante en estadística) tanto por su aplicación directa) veremos ,ue muc+asvariables de inter-s general pueden describirse por dic+o modelo) como por

sus propiedades) ,ue +an permitido el desarrollo de numerosas t-cnicas deinerencia estadística. En realidad) el nombre de 3ormal proviene del +ec+o de,ue durante un tiempo se cre*ó) por parte de m-dicos * biólogos) ,ue todas lasvariables naturales de inter-s seguían este modelo.

Su unción de densidad viene dada por la órmula4

,ue) como vemos) depende de dos par!metros 5 6,ue puede ser cual,uiervalor real7 * 8 6,ue +a de ser positiva7. Por esta ra'ón) a partir de a+oraindicaremos de orma abreviada ,ue una variable 9 sigue el modelo 3ormalasí4 9 : 365) 87. Por e%emplo) si nos reerimos a una distribución 3ormal con 5; < * 8 ; 1 lo abreviaremos 36<) 17. La curva normal cumple las siguientespropiedades4

17 El m!(imo de la curva coincide con la media.27 Es perectamente sim-trica respecto a la media 6g1 ; <7.

"7 La curva tiene dos puntos de inle(ión situados a una desviación típica

de la media. Es conve(a entre ambos puntos de inle(ión * cóncavaen ambas colas.

#7 Sus colas son asintóticas al e%e 9.



Distribución Logaritmo Normal 5Lognormal6

Deinición4 Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución log-nomal si su logaritmo es norma, es decir si:

log(X)~N( μ,σ 2 )

La distribución lognormal tiene dos par!metros4 µ 6media aritm-tica del

logaritmo de los datos7 * σ 6desviación est!ndar del logaritmo de los

datos7.Siendo los par!metros de ln6(74 µ Y

6media7 * σ y2 6varian'a7.

=curre en la pr!ctica cada ve' ,ue e(iste una variable aleatoria 9 tal ,ue sulogaritmo natural es una nueva variable aleatoria con distribución normal)entonces 9 sigue el modelo probabilístico llamado logaritmo normal.

Sea la variable aleatoria

La unción de densidad de 9 se puede obtener teniendo en cuenta4

X X H X X H X Y HaciendodX

X H d x H x e g g

Y

y xln)()(ln

)(())(()( 1

11

=∴==⇒== −

−

−

x x e g Y

y x

Y

x

1*

2

1)( 22

2)(ln

σ

µ

π σ

−

−

=

02

)(ln

2

1)(

2

2

≥

−−= X

x x

Y

y

Y

x e x

g σ π

µ

σ

Notación. Sea X~ ln µ Y

)σ y2 ! Se lee, la variable aleatoria X tiene

distribución logaritmo normal ó lognormal! con "ar#metros µ Y

* σ y2

e Y

X E 2/2

)( σ

µ += )1()(

22

2−=

+ σ σ µ e X V

e



Debido a ,ue ln$! tiene una distribución normal) la %da de 9 se puede e(presaren t-rminos de da &!ϕ de una va normal ' Para $() .

( ) [ ])ln()ln()(,: x X P x X P x P ≤=≤=σ µ

−

=

−

≤=σ

µ φ

σ

µ )ln()ln( x x Z P

Para encontrar el valor de ϕ se usar la tabla &reas de la curva normal est!ndar6Ane(oI7.

A continuación se +ace una comparación entre una distribución normal * unalognormal con los mismos percentiles del $> * $<> 6Distribución normalnormali'ada a 1) distribución lognormal con el mismo actor7



-ar7metros

omo *a +emos mencionado la distribución lognormal tiene dos par!metros4

µ Y 6media aritm-tica del logaritmo de los datos7 * σ 6desviación est!ndar del

logaritmo de los datos7. E(istiendo aun mas par!metros entre los principales,ue la caracteri'an se encuentran4

Par!metros

Soporte

pd

cd

edia

ediana eμ

oda

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Soporte&action=edit

http://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidade

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n&action=edit

http://gl.wikipedia.org/wiki/Media

http://gl.wikipedia.org/wiki/Mediana

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Moda_(estat%C3%ADstica)&action=edit

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Soporte&action=edit

http://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidade

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n&action=edit

http://gl.wikipedia.org/wiki/Media

http://gl.wikipedia.org/wiki/Mediana

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Moda_(estat%C3%ADstica)&action=edit



?arian'a

Asimetría

urtose

Entropía

http://gl.wikipedia.org/wiki/Varianza

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Asimetr%C3%ADa&action=edit

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Curtose&action=edit

http://gl.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa

http://gl.wikipedia.org/wiki/Varianza

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Asimetr%C3%ADa&action=edit

http://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Curtose&action=edit

http://gl.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa



-ropiedades

La distribución lognormal se caracteri'a por las siguientes propiedades4

• Asigna a valores de la variable @ < la probabilidad < * de este modo se

a%usta a las tasas * probabilidades de allo ,ue de esta orma sólopueden ser positivas.

• omo depende de dos par!metros) se a%usta bien a un gran nmero dedistribuciones empíricas.

• Es idónea para par!metros ,ue son a su ve' producto de numerosascantidades aleatorias 6mltiples eectos ,ue inlu*en sobre la iabilidadde un componente7.

• La esperan'a matem!tica o media en la distribución lognormal es ma*or

,ue su mediana. De este modo da m!s importancia a los valoresgrandes de las tasas de allo ,ue una distribución normal con losmismos percentiles del $> * $<> tendiendo) por tanto) a ser pesimista.

)plicaciones8

Las aplicaciones de la distribución logaritmo normal tiene ,ue ver) entre otrascon4

• Duración de ciertos artículos.• Es importante en la representación de enómenos de eectos

proporcionales) tales como a,uellos en los ,ue un cambio en la variableen cual,uier punto de un proceso es una proporción aleatoria del valorprevio de la variable. Algunos allos en el programa de mantenimientoentran en esta categoría.

• uando la magnitud de las observaciones abar,ue varios ordenes demagnitud

• Se a%usta a ciertos tipos de allos 6atiga de componentes met!licos7)vida de los aislamientos el-ctricos) procesos continuos 6procesost-cnicos7 * datos de reparación * puede ser una buena representaciónde la distribución de los tiempos de reparación. Es tambi-n unadistribución importante en la valoración de sistemas con reparación..

• El grado de acide') PB) de una sustancia..

• Permite i%ar tiempos de reparación de componentes) siendo tambi-n eneste caso el tiempo la variable independiente de la distribución.

• Describe la dispersión de las tasas de allo de componentes) ocasionadapor dierente origen de los datos) distintas condiciones de operación)



entorno) bancos de datos dierentes) etc. En este caso la variableindependiente de la distribución es la tasa de allos.

Cna variable puede ser modelada como lognormal si puede ser pensado comoel producto de la multiplicación de muc+as variables aleatorias independientes)

cada uno de los cuales es positivo. Por e%emplo) en las inan'as) la variablepuede representar el retorno compuesto de una secuencia de muc+os oicios) oun actor de descuento a largo pla'o puede ser derivado del producto de losactores de descuento a corto pla'o.

E3emplo( El articulo eliabilit* o Ford Goist 0loor S*stems Hit+ reep” 6 G. =Structural Engr.) 1$4 #J$#7 sugiere ,ue la distribucion lognormal con5;<."K$ * 8;<.2$ es un modelo actible de 9; el modulo de elasticidad

de sistemas de piso de vigueta de madera de pino grado 2.

La media * varian'a del modulo de elasticidad son4

edia; ?arian'a;

501.1)( 40625.02/)25.0(375. 2

=== +ee

o X E

1453.0)1()( 0625.8125.0 =−= ee o

X V

La probabilidad de ,ue el modulo de elasticidad este uno * dos es4

( ) ))2ln()ln()1(ln(21 ≤≤=≤≤ x P X P

)693.0)ln(0( ≤≤= x P )693.0)ln(0( ≤≤= x P

)25.0

375.0693.0

25.0

375.00(

−≤≤

−= Z P

8312.0)5.1()27.1( =−Φ−Φ=

MNu- valor de c es tal ,ue solo el 1> de todos los sistemas tiene un modulo deelasticidad ,ue e(cede cO Se desea el valor de c con el cual

−

≤=≤=25.0

375.0)ln()(99.0 c

Z P c X P

on el cual 6In6c7 <."K$7Q<.2$ ; 2."" * c;2.J<$. Por lo tanto) 2.J<$ es de Rpercentil de la distribución del modulo de elasticidad.



E3emplo de aplicaciones reales

Distribución del "eso molecular de los "ol*meros

El comportamiento de cual,uier polímero depende de la distribución de masasen este polímero. Esta distribución de masas aectar! tanto a las propiedadestermomec!nicas 6capacidad de elongación) punto de rotura...7 como ísico,uímicas 6solubilidad) estabilidad...7. 3o se comportar! igual un polietileno decadenas cortas ,ue otro de cadenas largas) el segundo tendr! propiedadesmec!nicas m!s uertes pero sin embargo costar! m!s de traba%ar *a ,ue parasu procesado se re,uerir!n temperaturas m!s altas.

Aortunadamente los polímeros presentan una distribución de pesosmoleculares ,ue sigue una le* i%a4 la distribución lognormal dada por laecuación4

donde F67 corresponde a la racción m!sica de una cadena de peso ) <corresponde a la masa para la cual el producto .F67 es m!(ima * c es unpar!metro ,ue mide la polidispersidad de la me'cla 6la anc+ura de sudistribución7.



onviene adem!s deinir un par de pesos moleculares4 n * H. Su deiniciónes la siguiente4

=bs-rvese ,ue a partir de estas tres deiniciones 6n) H * F677 * teniendo encuenta las correspondientes a H(τ)1 y τ2 * admitiendo una distribución lognormal para una me'cla de polímeros) es posible) obtener una unción tipo4

G'(ω)+G''(ω) = f(ω,c,M0)

Por tanto) en principio sólo +abría ,ue probar dierentes valores de c * < +asta+acer ,ue los resultados de la unción f(ω,c,M0) coincidieran con lose(perimentales G'(ω)+G''(ω).

Desgraciadamente esto no es totalmente posible) *a ,ue anali'ando (ω,c,M0)

puede demostrarse ,ue esta unción es independiente del par!metro <. Demodo ,ue a partir de los ensa*os oscilatorios sólo es posible obtener uno delos par!metros de la me'cla. El segundo par!metro 6 <7) deber! +allarse porm-todos distintos.

1 2

http://www.angel.qui.ub.es/~curco/Reologia/demo1.html

http://www.angel.qui.ub.es/~curco/Reologia/demo1.html



E3ercicios propuestos

'( Sea 9; la potencia mediana por +ora 6en decibeles7 de las seTales de radio

recibidas ,ue se transmiten entre dos ciudades. Los autores del articulo +amilias o% Distributions %or ourl /edian 0o1er and 2ntantaneous 0o1e or3eccived 3adio Signals4 5. 3esearc6 National 7urean o% Standards, vol. 89D,;8<: 9=<-98>! argumentan ,ue la distribución lognormal proporciona unmodelo de probabilidad ra'onable para 9. Si los valores de los par!metros son5; ".$ * 8; 1.2) calcule lo siguiente4

a7 El valor medio * la desviación est!ndar de la potencia recibida

b7 La probabilidad de ,ue la potencia recibida este entre 2< * 2$< dU.

c7 La probabilidad de ,ue 9 sea menor ,ue su valor medio. MPor ,ue esaprobabilidad no es <.$O

#olución8

• 0334.68)( 422.02/)2.1(5.3 2

=== +ee X E

1676.14907)1()( 44.144.8 =−= ee X V

• ( ) ))250ln()ln()50(ln(25050 ≤≤=≤≤ x P X P

)52.5)ln(912.3( ≤≤= x P

)2.1

35.052.52.1

35.0912.3( −≤≤−= Z P

3204.6331.9535.0)34(.)68.1( =−=Φ−Φ=

• ( ) =−

≤==≤ )2.1

35.00335.68ln((0335.68 Z P X P )7257.60(. =Φ L

!"#$%& l *#%cn l"-n"#l n" & %n *#%cn *&/*c.



*( Cna %ustiicación teórica basada en un mecanismo de alla de cierto materialsustenta la suposición de ,ue la resistencia a la ductilidad 9 de una materiatiene una distribución lognormal. Suponga ,ue los par!metros son 5; $ * 8;<.1

a7 alcule ?X! @X!.

b7 alcule 0XA>=!.

c7 Mual es el valor de la resistencia mediana a la ductilidadO

d7 Si die' muestran dierentes de una aleación de acero de este tipo sesometen a una prueba de resistencia. Muantas esperaría ,ue tuvieranresistencia de por lo menos 12$O

e7 Si el $> mas pe,ueTo de los valores de resistencia uera inaceptables)Mual seria la resistencia mínima aceptableO

#olución8

• 157.149)( 005.52/)01(.5 2

=== +ee X E

594.223)1()( 01..)01(.10 =−= ee X V

• ( ) )125(1125 ≥−=≥ x P X P

9573.72.111.0

5125ln(1 =−=

−

−= P

• =≤≤ )125110( x P

−

1.0

5125ln( 0414,00013.00427.0

1.0

5110ln(=−=

−

• 41.1485 == em

• P69V12$7;.$K" e(pectativa ;1<6.$K"7; .$K"

• 90.125)1)(.645,1(5 =e



,( En el articulo +B6e Statistics o% 06tot$ic Cir 0ollutants4 5. 3oal Stat, Soc.,;;: <-;! se indica la distribución lognormal como un modelo para laconcentración de S=2 en la parte superior de ciertos bos,ues. Suponga ,uelos valores de los par!metros son 5; 1. * 8; <..

a7 Mu!les son el valor medio * la desviación est!ndar de concentraciónO

b7 Mu!l es la probabilidad de ,ue la concertación sea a lo sumo 1<OMDe,ue este entre $ * 1<O

#olución8

edia; ?arian'a;

• 024.10)( 2/)9(9.1

2

== +e X E 20.11,395.125)1()( 81.)81(.8.3 ==−= x X V ee

• ( ) 6736.)45.()3026.2)(ln(250 =≤=≤=≤ Z P x P X P

( ) )3026.2)ln(6094.1(105 ≤≤=≤≤ x P X P

2991.3745.6736.)45.32.( =−=≤≤−= Z P



)ne9o

Wabla &reas de la curva normal est!ndar



$eferencias

• Devore) G.L. 62<<X7. 0robabilidad E ?stad*stica "ara 2ngenier*as E

Fiencias 8ta ed!. e(ico4 engage Learning Editores• Sarabia) G.. 62<<$7. Furso b#sico de estad*stica "ara econom*a

administración de em"resas. EspaTa4 Ed. Cniversidad de antabria.

• Suare') G. Distribución Logaritmo 3ormal 6Lognormal7. ecuperado el 2de dicimbre de 2<1" de +ttp4QQHHH.virtual.unal.edu.coQcursosQsedesQmani'alesQ#<"<<11QleccionesQcap"QcapY"YpagY1$.+tml

• Wamborero del Pino) G.. iabilidad: la distribución lognormal.

ecuperado el 2 de diciembre de 2<1" de +ttp4QQHHH.%mcprl.netQntpsQ

ZdatosQntpY#1X.+tm

DISTRIBUCION LOGNORMAL -7A

Documents

Transcript of DISTRIBUCION LOGNORMAL -7A