Clase 7 - Mecanica de laminados.pdf

5/25/2018 Clase 7 - Mecanica de laminados.pdf

1/47

Ing. Gastn Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana

Estructuras de

Materiales Compuestos

Mecnica de laminados


2/47

Introduccin

2

Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados

Comportamiento macroscpico de laminados compuestospor lminas con diferentes orientaciones

Estimar la influencia de la secuencia de laminado

Estimar los esfuerzos y deformaciones de cada lmina que

compone el laminado

Estimar la resistencia del laminado

Realizar un diseo adecuado a las necesidades de la misin

Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP


3/47

Hiptesis

3


Las lminas que componen el laminado presentan uncomportamiento orttropo

El laminado es delgado: las dimensiones de la placa son

mucho mayores que el espesor.

Cada lmina esta sujeta a un estado plano de tensiones

Los desplazamientos son pequeos con respecto al espesor

del laminado

Los desplazamientos son continuos en todo el laminado (nohay despegado de lminas)



4/47

Hiptesis

4


Los desplazamientos en el plano del laminado varanlinealmente en el espesor

Las deformaciones por corte transversal (g4,g5) son

despreciables, lo cual implica que las rectas normales a la

seccin transversal permanecen normales luego de ladeformacin

Las relaciones de tensin-deformacin y desplazamiento-

deformacin son lineales

La deformacin normal transversal ez es despreciable conrespecto a exy ey.



5/47

Hiptesis

5



Z Y

X

u0

uB

w

A

C

D

B

A

B

C

D

Z

Xzb

axzb

ax


6/47

Campo de desplazamientos

6


Al asumir que ez es despreciable, el desplazamiento w(x,y,z) de cualquierpunto de la placa es igual al desplazamiento w0(x,y) del plano medio.

De este modo, los desplazamientos de cualquier punto de la placa puedenser expresados en funcin de los desplazamientos del plano medio y las

rotaciones.


( ) ( )0, , ,w x y z w x y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0

0

0 0

0

,, , , , ,

,, , , , ,

, , ,

x

y

w x yu x y z u x y z x y u x y z

x

w x yv x y z v x y z x y v x y z

y

w x y z w x y

a

a


7/47

Campo de deformaciones

7


El problema tridimensional queda reducido a un problemabidimensional debido a las condiciones de deformacin

impuestas por las hiptesis. Podemos expresar las

deformaciones en funcin de los desplazamientos del plano

medio.


x

y

xy

u

x

v

yu v

y x

e

e

g

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

0 0

2

2

0 0

2

2

0 0 0

, ,, ,

, ,, ,

, , ,, , 2

x

y

xy

u x y w x yx y z z

x x

v x y w x yx y z z

y yu x y v x y w x y

x y z zy x x y

e

e

g


8/47

Deformaciones del plano medio

8


El primer trmino de las expresiones obtenidas representa lasdeformaciones del plano medio


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

00

00

0 00

,,

,,

, ,,

x

y

xy

u x yx y

xv x y

x yy

u x y v x yx y

y x

e

e

g


9/47

Curvaturas del plano medio

9


El segundo trmino de las expresiones obtenidas representalas deformaciones de cada planoZ = cte. debido a las curvaturas

del plano medio


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

0

2

2

0

2

2

0

,,

,,

,, 2

x

y

xy

w x yx y

xw x y

x yy

w x yx y

x y


10/47

Campo de deformaciones

10


Reemplazando las definiciones anteriores

Y reescribiendo en un modo ms compacto:


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x

y y y

xy xy xy

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

e e

e e

g g

0

ze e


11/47

Campo de tensiones

11


El campo de deformaciones definido anteriormente poseevalidez en todo el laminado. Para calcular las tensiones se debe

tener en cuenta que las relaciones constitutivas pueden ser

diferentes de lmina a lmina:

Reemplazando la expresin hallada para la deformacin:


k kk

Q e

0k

k kQ z Q e

Sistema XYZ, comportamiento generalmenteorttropo

Vlido en el subdominio de z correspondiente

a la lmina k


12/47

Observaciones

12


De acuerdo a este modelo, las tensiones varan linealmenteen cada lmina

Como la matriz []kes diferente para cada lmina, las

tensiones son, en general, discontinuas a travs del espesor

del laminado


k=1

k=2

k=3

k=4

Z Z Z

x Ex x


13/47

Esfuerzo axil

13


Podemos definir un esfuerzo axil por unidad de ancho delaminado en la direccin X

Esta magnitud posee dimensin de Fuerza por unidad de

longitud.

Anlogamente


( ) ( )2

2, , ,

t

x xt

N x y x y z dz

( ) ( )2

2, , ,

t

y yt

N x y x y z dz


14/47

Esfuerzo de corte en el plano

14


Integrando los esfuerzos de corte en el espesor del laminadoobtendremos el esfuerzo de corte resultante por unidad de

ancho del laminado

Esta magnitud posee dimensin de Fuerza por unidad de

longitud


( ) ( ) ( )2

2

, , , ,t

xy s st

N x y N x y x y z dz

Nxy

Z

xy


15/47

Vector de esfuerzos

15


Podemos compactar la notacin en un vector de esfuerzos


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tN x y x y z dz

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

, ,,

, , ,

,, ,

t

xt

xt

y yt

txy

xyt

x y z dzN x y

N x y x y z dz

N x yx y z dz


16/47

Momento flector

16


Podemos definir el momento flector resultante por unidad deancho de la placa y de las tensiones normales, integrando en el

espesor el producto de la tensin en cada punto por el brazo de

palanca al plano medio.

Momento flectorXpor unidad de ancho de la placa

Momento flector Ypor unidad de ancho de la placa


( ) ( )2

2, , ,

t

x xt

M x y z x y z dz

( ) ( )2

2, , ,

t

y yt

M x y z x y z dz


17/47

Momento flector

17



( ) ( )2

2

, , ,t

x xt

M x y z x y z dz

Z

x

Mx


18/47


19/47

Vector de momentos

19


Podemos compactar la notacin en un vector de momentos


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tM x y z x y z dz

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

, ,,

, , ,

,, ,

t

xt

xt

y yt

txy

xyt

z x y z dzM x y

M x y z x y z dz

M x yz x y z dz


20/47

Integracin en el laminado

20



h0h1

h2

hnhn-1hkhk-1

zk=n

k

k=2

k=1


21/47


21


Reemplazando la expresin de la tensin y partiendo la

integral en una suma de integrales dentro de cada lmina:

Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera

al igual que la matriz rigidez de la lmina


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tN x y x y z dz

0k

k kQ z Q e

( )1

0

1

k

k

nh

k khk

N Q z Q dze

( )1 1

0

1

k k

k k

nh h

k h hk

N Q dz zdze


22/47


22


Resolviendo las integrales

Separando las sumatorias y reordenando

Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :


( ) 2 2

0 1

1

1 2

nk k

k kkk

h hN Q h he

( ) 2 2

0 1

1

1 1 2

n nk k

k k k kk k

h hN h h Q Qe

0N A Be


23/47


23


Reemplazando la expresin de la tensin y partiendo la

integral en una suma de integrales dentro de cada lmina:

Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera

al igual que la matriz rigidez de la lmina


( ) ( ) 2

2, , ,

t

tM x y z x y z dz

0k

k kQ z Q e

( )10 2

1

k

k

n

h

k khk

M z Q z Q dze

( )1 1

0 2

1

k k

k k

nh h

k h hk

M Q zdz z dze


24/47


24


Resolviendo las integrales

Separando las sumatorias y reordenando

Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :

Curso 2012

Facultad de Ingeniera - UNLP

2 2 3 3

0 1 1

1 2 3

nk k k k

kk

h h h hM Q e

2 2 3 3

01 1

1 12 3

n nk k k k

k kk k

h h h hM Q Qe

0

M B De


25/47


25


Resumiendo

Curso 2012


0

N A Be

0M B De

0N A B

M B D

e

d l d l d


26/47

Matrices A, B y D

26


Curso 2012


( )11

n

k k kk

A h h Q

2 2

1

1 2

n

k k

kk

h hB Q

3 3

1

1 3

nk k

kk

h h

D Q

E d M i l C M i d l i d


27/47

Matriz A

27


Observaciones

Define la relacin entre esfuerzos y deformaciones del plano medio

Es independiente del orden de laminacin

Si todas las lminas poseen el mismo espesor, la matrizA es igual al

producto del espesor del laminado y el promedio de las matrices de cadalmina

Como la matriz [] es simtrica,A resulta simtrica tambin

Axs yAys son nulos para laminados balanceados, es decir, laminados en los

cuales por cada lmina +q hay una lmina -q

Curso 2012


1

n

k kk

A t Q

( )1k k kt h h

1

xx xy xs xx xy xsn

xy yy ys k xy yy ys

k

xs ys ss xs ys ss k

A A A Q Q QA A A t Q Q Q

A A A Q Q Q

Donde tkes el espesor de la k-sima lmina

E t t d M t i l C t M i d l i d


28/47

Matriz B

28


Nuevamente, si tk= (hkhk-1) es el espesor de la k-sima lmina se tiene

Curso 2012


2 2

1

1 2

nk k

kk

h hB Q

1

n

k k kk

B t h Q

( )

222

11

1

21

2kk

kkk

kkkk hht

hhhh

hh

Y si definimos un nuevo parmetro( )1

2

k k

k

h hh

E t t d M t i l C t M i d l i d


29/47

Matriz B

29


Observaciones

La matriz B define el acoplamiento entre esfuerzos en el plano y

curvaturas del plano medio

A su vez, representa el acoplamiento entre momentos resultantes y

deformaciones en el plano La matriz B depende del orden de laminacin

Como la matriz [] es simtrica, B resulta simtrica tambin

B es nula cuando el laminado es simtrico

Curso 2012


1

n

k k kk

B t h Q

1

xx xy xs xx xy xsn

xy yy ys k k xy yy ys

k

xs ys ss xs ys ss k

B B B Q Q Q

B B B t h Q Q Q

B B B Q Q Q

Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados


30/47

Matriz D

30


Observaciones La matriz D representa la relacin entre los momentos resultantes del

laminado y las curvaturas del plano medio del laminado

La matriz D depende del orden de laminado

La ponderacin de cada lmina es aproximadamente proporcional al

cuadrado de la distancia al plano medio de la lmina. Es decir, las lminasms alejadas al plano medio tendrn mayor influencia en la matriz D que

las ms cercanas (conceptualmente, se podra hacer una analoga con el

momento de inercia de las lminas)

Dxs y Dys son nulos en laminados anti-simtricos.

Curso 2012


3 3

1

1 3

nk k

kk

h hD Q

3 3

1

1 3

xx xy xs xx xy xsnk k

xy yy ys xy yy ys

k

xs ys ss xs ys ss k

D D D Q Q Qh h

D D D Q Q Q

D D D Q Q Q



31/47

Rigidez de laminados

31


Curso 2012


0

0

0

xx xy xs xx xy xsx x

xy yy ys xy yy ysy y

xs ys ss xs ys sss s

xx xy xs xx xy xsx x

xy yy ys xy yy ysy y

xs ys ss xs ys sss s

A A A B B BN

A A A B B BN

A A A B B BNB B B D D DM

B B B D D DM

B B B D D DM

e

e

g



32/47

Flexibilidad en laminados

32


Si se desea conocer las deformaciones y curvaturas del laminado a partir

de los esfuerzos aplicados, se debe invertir la matriz anterior:

Observaciones

b no es una matriz simtrica.

Para calcular a, b y des necesario invertir la matriz de 6x6 completa

Slo si el laminado es simtrico, B=0, b=0 , a=A-1 y d=D-1

Curso 2012


10

T

a bA B N N

B D M Mb d

e


33/47



34/47

Constantes de ingeniera de laminados

34


Bajo la hiptesis de someter el laminado a un esfuerzo uniaxial solamente

Nx 0

Ny,Ns,Mx,My,Ms = 0

Curso 2012


0 0

x x

x

x x

NE

h

e e

0

0

y

xy

x

e

e



35/47


35


Laminados simtricos y balanceados

Curso 2012


0

0

0

0

0 0

0 0 0

x xx xy x

xy yy y

ss s

N A A

A A

A

e

e

g

0 0

0 0

0

0

0

x xx x xy y

xy x yy y

s

N A A

A A

e e

e e

g

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 00

0 0 0 0 00

0 0 00

0 0 00

0 0 00

xx xyx x

xy yy y

ss s

xx xy xs x

xy yy ys y

xs ys ss s

A AN

A A

A

D D D

D D D

D D D

e

e

g



36/47


36


Laminados simtricos y balanceados

Despejando

Anlogamente

Curso 2012


21

0

xy

y yy

xx

xy

xy

xx

ss

xy

xs ys sx sy

AE A

h A

A

A

AG

h

yy

xy

xy

yy

xy

xxxA

A

A

AA

hE

21



37/47


37


Laminados simtricos no balanceados

Las constantes de ingeniera se expresan directamente en funcin de los

elementos de la inversa de la matriz A.

Curso 2012


0

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

xx xy xsx x

xy yy ysy y

xs ys sss s

xx xy xsx x

xy yy ysy y

xs ys sss s

A A AN

A A AN

A A AN

D D DM

D D DM

D D DM

e

e

g



38/47


38

p


Curso 2012


0

0

0

x xx xy xs x

y yx yy ys y

s sx sy ss s

a a a N

a a a N

a a a N

e

e

g

0

0

0

1

1

1

yx sx

x y xy

x x xx xy xs x xx xy xs x

xy sy

y y yx yy ys y yx yy ys y

x y xy

s s sx sy ss s sx sy ss s

ysxs

x y xy

E E Ga a a N a a a

a a a N h a a a

E E G a a a N a a a

E E G

e

e

g

Recordando que

10 AaB



39/47


39

p


Curso 2012


1

x

xx

yx

xy

xx

sx

xs

xx

Eha

a

a

a

a

1

y

yy

xy

yx

yy

sy

ys

yy

Eha

a

a

a

a

1

xy

ss

xs

sx

ss

ys

sy

ss

Gha

a

a

a

a



40/47


40

p

Laminados cuasi-istropos

Ciertos laminados poseen caractersticas elsticas en el plano

independiente de la orientacin del sistema de referencia.

Ordenes de laminacin:

Ejemplos: [0, 60, -60]S [0,45,90,-45]S

Curso 2012


' '

' '

' '

constante

constante

0

x y xy

x y xy

xs xs ys ys

A A

a a

A A A A

' '

' '

' ' ' '

constante

constante

constante

0

x x y x

xy x y

xy x y yx y x

sx xs ys sy

E E E E

G G

2 1 20 / / / ... / / / ... /

s s

no

n n n n n



41/47

Nomenclaturas

41Curso 2012


Simtrico

(Bij= 0)

Balanceado

(Axs =Ays = 0)

Simtrico y balanceado

(Bij= 0;Axs =Ays = 0)

General

(Aij= Bij= Dij 0)

Angle-ply

(n impar)

[ q / -q / q / / q ]

Axs ,Ays 0

Dxs , Dys 0

Axs ,Ays ,Dxs ,Dys 1/n

Antisimtrico

Dxs = Dys = 0

Bij 0

Crossplysimtrico(lminas

a 90 grados entre si)

Dxs = Dys = 0

Lminas istropas

Axs =Ays = 0

Bxs = Bys = 0

Dxs = Dys = 0

Axx=Ayy

Bxx= Byy

Dxx= Dyy

Crossplyantisimtrico

Dxs = Dys = 0

Bxx= Byy

el resto Bij= 0

Angle ply

[ q ]ps

Dxs , Dys 0

Dxs ,Dys 1/n

Angle-plyantisimtrico

[ q ]p

Dxs = Dys = 0

Bxs , Bys 0

el resto Bij= 0

Tetragonal

Axx=Ayy

Lminas

especialmenteorttropas

Axs =Ays = 0

Bxs = Bys = 0

Dxs = Dys = 0

cuasi-istropo

Aij , aij, Eij

independientes de ejes de

referencia



42/47

Tensiones dentro del laminado

42

Conocidos los esfuerzos aplicados sobre un laminado, la matriz de

flexibilidad permitir obtener las deformaciones y curvaturas del plano medio

Curso 2012


10

T

a bA B N N

B D M Mb d

e

0

0

0

xx xy xs xx xy xs xx

yx yy ys yx yy ys yy

sx sy ss sx sy ss ss

xx yx sx xx xy xs xx

xy yy sy yx yy ys yy

xs ys ss sx sy ss ss

a a a b b b N

a a a b b b N

a a a b b b N

b b b d d d Mb b b d d d M

b b b d d d M

e

e

g



43/47


43

Debido a las condiciones de deformacin impuestas, tendremos tambin

las deformaciones de cada punto del laminado

Las deformaciones de la k-sima lmina estn descriptas por las siguientes

ecuaciones:

Las deformaciones varan linealmente dentro de cada lmina.

Curso 2012


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x

y y y

xy xy xy

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

e e

e e

g g

( )

0k k

ze e

donde z(k) es el dominio de z

correspondiente a la lmina k



44/47


44

Las deformaciones calculadas anteriormente estn definidas en el sistema

de coordenadas del laminadoXYZ. Utilizando la matriz rigidez del laminadopodemos obtener las tensiones en el sistemaXYZ:

Generalmente se desea conocer las tensiones definidas en el sistema deejes materiales principales de la lmina, por lo cual se debe rotar las

tensiones obtenidas. Las tensiones de la lmina en el sistema 123 son:

Curso 2012


k k

kQ e

( ) ( ) ( )k

xy

y

x

k

k

kk

k

k

k

nmmnmn

mnmnmnnm

ensn,cosmT

qqq

22

22

22

6

2

1

22

'



45/47

Tablas de diseo

45Curso 2012


100 %

lminas a 0

0 %lminas a 0



46/47

Tablas de diseo

46Curso 2012


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

8

5% 0

10% 0

15% 0

20% 0

25% 0

30% 0

35% 0

40% 0

45% 0

50% 0

55% 0

60% 0

65% 0

70% 0

75% 0

80% 0

85% 0

90% 0

95% 0

100% 0

porcentaje lminas +/-45

Tensinmediadefalladellaminadox



47/47

Ejemplo de diseo

porcentaje lminas a +/-45

porcentajelmina

sa90

Envolvente de limitaciones de Tensin x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Clase 7 - Mecanica de laminados.pdf

Documents

Transcript of Clase 7 - Mecanica de laminados.pdf