Clase 7

Ingeniería Sismo Resistente

VIBRACION FORZADA CON

CARGA ARMONICA

Clase 7

CURSO

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

Vibración forzada.- Tipos de cargas.- Respuesta a Cargas Armónicas.- Factor de Amplificación Dinámica.- Resonancia.-

Ejemplo de aplicación

Ing. Omart Tello Malpartida

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERIA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

Ingeniería Sismorresistente Ing. Omart Tello Malpartida

Temas previos En clases anteriores se revisó la ecuación de equilibrio dinámico :

( )I D SF F F F t

Para vibración libre : F(t) = 0

0mu ku • Vibración libre sin amortiguamiento : FD = 0

• Vibración libre con amortiguamiento : FD 0

Para vibración Forzada : F(t) 0

( )mu cu ku F t

• Vibración Forzada amortiguada : FD 0

0mu cu ku

( )mu cu ku F t


Tipos de Cargas Excitadoras F(t)

• Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida útil por efectos dinámicos que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su estabilidad.

• Dentro de los tipos de excitación dinámica que pueden afectar una estructura, tenemos a continuación:

Ingeniería Sismorresistente


Causada por impactoEl hecho de que una masa sufra una colisión con otra, induce unafuerza impulsiva aplicada sobre las dos masas, la cual inducevibraciones.




Causada por explosionesUna explosión produce ondas de presión en el aire, o movimientos del terreno. Ambos efectos afectan estructuras localizadas cerca del lugar de la explosión.




Causada por el vientoLa intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre las estructuras varía en el tiempo. Esto induce efectos vibratorios sobre ellas.




Causada por olasEn las estructuras hidráulicas las olas inducen efectos dinámicos correspondientes a las variaciones del empuje hidráulico sobre ellas.




Causada por sismosEl efecto sobre las estructuras de los movimientos del terreno producidos por la ocurrencia de un sismo conduce a vibraciones importantes de la estructura.




Causada por equipos mecánicosDentro de este grupo están los efectos causados por maquinariasy equipos que tengan componentes que roten o se desplacen periódicamente.


Carga armónica



Respuesta a cargas armónicas


Comprender el comportamiento dinámico ante cargas armónicas y evaluar su respuesta .



ω=Frecuencia circular del sistema

ω=Frecuencia circular de la fuerza armónica

Fo= Amplitud de la fuerza exitadora

Donde :




donde:

ω=Frecuencia circular del sistema

ω=Frecuencia circular de la fuerza armónica

2

2

La ecuacion del movimiento esta dada por :

. . . .

. . .

haciendo:

;

reemplazando tenemos:

2 . . .

2

o

o

o

m x c x k x = F sen t

Fc kx x x = sen t

m m m

Fx b x x = sen t

m

c k= b =

m m

……. ( 1 )




tsenm

F=xxbx

(1) en ,x ,x doreemplazan

tBtsenA=x

tsenBtA=x

: donde de

tBtsenA=x

tsenCtCe=x

xx x :oResolviend

o

p

p

p

tb

c

pc

bb

....2

:

.cos.....

....cos..

.cos...

])[]cos[(

2

22

21 .2

1.2

1




2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

Aplicando condiciones iniciales, se calcula A y B:

( )

( ) (2. . . )

(2. . . )

( ) (2. . . )

Reemplazando luego en: . . .cos .

(( ) (2. . . )

o

o

p

o

p

F

mA=b

Fb

mB =b

x = A sen t B t

F

mx =b

2 ). . ( 2. . . ) cos .sen t b t




t.

22

22

..2

).(.

BA=A

b=

A

Barctg=

: donde

tsenA=x

o

op

+A

-B

Ao

).( t

t.

x

0 < < 180º

Respuesta en forma vectorial


).(.

..21

])[]cos[(

..21..21

)...2()()...2()(

)...2()(

22

2

221

.

22

2

22

2

2

22

22222222

2222

..

tsen

b

k

F

tsenCtCe=x

xx x :general solucionla Luego

b

k

F

=

b

m

F

=A

b

m

F

=b

bm

F

=A

BA A :en doReemplazan

o

DD

tb

pc

oo

o

oo

o

22

o



xp

xc

2 k/mLas constantes C1 y C2 se determinan tomando en

cuenta las condiciones iniciales del movimiento.



Estados del movimiento

x = xp

Estado Transitorio

En este movimiento generalmente la influencia de xc es de menor

importancia, debido al amortiguamiento del sistema

Estado Constante

x = xc + xp

x(t)

t



Factor de Amplificación Dinámica (R1)

/

R1

La relación entre la amplitud de la

respuesta dinámica a la amplitud

de la respuesta estática , debido a

la fuerza armónica es llamado el

Factor de Amplificación Dinámica.

22

2

21

..21

1

b

=

k

F

A=

A=R

o

o

est

o



Factor de Amplificación Dinámica Máxima

1

.21

0.21.4

0..844...212

1..21

0

2

2

2

2

32

3

22

2

2

2

1

22

2

2

1

b=

=b

=bb=

d

bd

=

d

Rd

Relación de Amplificación Dinámica Máxima

Relación de Amplificación Dinámica Máxima,

para sistemas poco amortiguados

0


Resonancia

• Se concluye que el estado de resonancia para sistemas poco amortiguados, se produce cuando la frecuencia del sistema es igual a la frecuencia de la fuerza de excitación.


Condición de resonancia ,

para sistemas poco amortiguados

donde:

ω = Frecuencia circular del sistema

ω = Frecuencia circular de la fuerza armónica

b = Porcentaje del amortiguamiento crítico

• Para otros sistemas, el estado de resonancia se produce cuando:

21 2b



Factor de Amplificación Dinámica en Resonancia (Rr)

b=R

b=

b

=R=R

r

r

.2

1

.2

1

..21

1

22

2

21

1

Ejemplo: si b= 0.10; tenemos Rr=5

:doreemplazan ω,ω Si

1

/

R1


¿ Preguntas ?

• El pórtico de la figura soporta una maquina vibratoria que ejerce unafuerza horizontal al nivel de la viga de F(t) = 500.sen(11.t) Kg.Suponiendo el 4% del amortiguamiento critico y que las columnas lateralesy la viga tienen una sección transversal de 25 x 40 cm. Además considerarque a nivel de la viga hay un peso total de 30 t. El modulo de elasticidad delmaterial es 250,000 kg/cm2, L= 8m, h = 4m.

a. Cuál es la amplitud de la vibración permanente o constante.b. Cuál es el la fuerza cortante que toman las columnas

Ejemplo de Aplicación

Ingeniería Sismorresistente Ing. Omart Tello Malpartida

Modelo

Modelo:

0

2

Datos:

500

11 /

( ) 500. (11. )

4%

30

250000 /

F kg

rad s

F t sen t

b

P t

E kg cm

Ing. Omart Tello MalpartidaIngeniería Sismorresistente

Calculo de “m”:

2

2

30000

981 /

30.58

Pm

g

kgm

cm s

kg sm

cm


Calculo de “K”:

34

3

12. . 1 6..

3 2 3.

25 40133333.33

12/ 4

0.58/

:

1 6 0.512 250000 133333.33. 7143 /

400 2 3 0.5

L

c v

v

c

P L

E IK

h

xI I cm

I L h

LI h

Entonces

x xK K kg cm


Calculo de “”:

2

7143

30.58

15.283

p

kgK cmm kg s

cm

rad

s


Calculo de “FADmax”:

max 22 2

2

( ) 0

0

max 22 2 2

1

1 4

Identificando los terminos de:

. ( . ) 500. (11. )

radF =500kg y w=11

s11

0.7215.283

12.06

1 0.72 4 0.04 0.72

t

FAD

b

F F sen t sen t

FAD

a.- Calculo Amplitud de Vibración Permanente

0

max

5000.07

7143

:

0.07 2.06 0.144

1.44

Estatico

P

max Estatico

max

max

FU cm

K

Finalmente

U U xFAD

U x cm

U mm


b.- Calculo del cortante que toma cada Columna

max.

7143 / 0.144 1028.6

Cortante en columna:

1028.6

2 20.515

P P

P

PC

C

V K U

V k cm cm K

VV

V t


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