Clase 6
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Inferencia estadística
Universidad de la Sierra SurLicenciatura en Enfermería
1
Intervalos de confianza
tamaño de la muestra y métodos de muestreo
Pruebas de hipótesis
Distribución t
Distribución Ji-cuadrada
Inferencia estadística
2
La inferencia estadística es el procedimiento por medio
del cual se llega a conclusiones acerca de una población
con base en la información que se obtiene a partir de una
muestra seleccionada de esa población
Inferencia estadística
3
El administrador de un gran hospital Ie interesa saber la edad
promedio de los pacientes internados en el transcurso de un
año
Decide examinar una muestra de los registros a partir de la
cual sea posible calcular una estimación de la edad promedio
de los pacientes internados en ese año
Inferencia estadística
4
La inferencia estadística consta de dos elementos
Estimación puntual y por intervalo
Prueba de hipótesis
Estimación puntual es un solo valor numérico utilizado para
estimar el parámetro correspondiente de la población
Una estimación por intervalo consta de dos valores numéricos
que definen un intervalo que, con un grado especifico de
confianza, se considera que incluye al parámetro por
estimar
Estimadores puntuales
Estimación puntual
Característica Parámetro Estimador
Media
Proporción
Total
n
i
ixn
x1
1
N
i
ixN 1
1
n
i
ixn
p1
1ˆ
N
i
ixN
p1
1
n
i
ixT1
ˆ
N
i
ixT1
Estimadores puntuales
Estimación puntual
Característica Parámetro Estimador
Varianza
Desviación
estándar
N
xN
i i
1
2
2)(
1
)(1
1
2
2
n
xxs
n
i i
N
xN
i i
1
2)(
1
)(1
1
2
n
xxs
n
i i
Inferencia estadística
7
Una estimación por intervalo consta de dos valores
numéricos que definen un intervalo que, con un grado
especifico de confianza, se considera que incluye al
parámetro por estimar
Para realizar estimación por intervalo debemos suponer que
se cumple una condición
LA VARIABLE DE INTERÉS TIENE SE COMPORTA
COMO UNA VARIABLE ALEATORIA QUE TIENE UNA
DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
Inferencia estadística
8
Es decir, que el comportamiento de distribucional de
probabilidad de X es parecido a la distribución normal
X
Inferencia estadística
9
Teorema:
Si Y~N(µ, σ), entonces Ῡ~N(µ, σ/√n)
Entonces el intervalo de confianza está formado por
estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)
donde
El coeficiente de confiabilidad se define como el valor a la
izquierda de z donde está 1-α/2 y a la derecha en que se
encuentra α/2 del área bajo la curva
Comúnmente valores para α son: .01, .05 y .10
Inferencia estadística
El error estándar de un estimador del parámetro es la desviación
estándar del estimador
Parámetro Estimador Error estándar Estimador del error
estándar
µ
P
T
Inferencia estadística
11
Ejemplo: (Daniel W.)
Un fisioterapeuta desea estimar por intervalo, media de
fuerza máxima de un musculo particular en cierto grupo de
individuos. Se supone que los valores de dicha fuerza
muestran una distribución aproximadamente normal
Una muestra de 15 individuos que participaron en el
experimento presento una media de 84.3 y una varianza de
144
Calcular el intervalo de confianza con α=0.05 para la media
poblacional
Inferencia estadística
12
Ejemplo: (Daniel W.)
Solución:
Recordar que
estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)
n = 15 individuos
Media muestral = 84.3
Varianza muestral =144
Inferencia estadística
13
Ejemplo: (Daniel W.)
Solución:
Recordar que
estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)
n = 15 individuos
Media muestral = 84.3
Varianza muestral =144
84.3 ±1.96(3.0984)
84.3 ± 6.072
(78.23, 90.37)
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis
El propósito de la prueba de hipótesis es ayudar al
investigador a tomar una decisión acerca de una población
mediante el examen de una muestra de ella
“La hipótesis de investigación es la conjetura o suposición
que motiva la investigación”
“Las hipótesis estadísticas se establecen de tal forma que
pueden ser evaluadas por medio de técnicas estadísticas
adecuadas”
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Es importante aclarar que cuando la hipótesis nula no es rechazada,
tampoco se puede decir que se acepta
Se debe decir que la hipótesis nula "no se rechaza“
Error en la toma de decisión
Condiciones en las que es posible cometer un error de tipo I o un error de
tipo II.
Condición de la hipótesis nula
Verdadera Falsa
Acción
posible
No rechazar H0 Acción correcta Error tipo II
Rechazar H0 Error tipo IAcción
correcta
Prueba de hipótesis
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Pasos para la prueba de hipótesis
Datos
Supuestos (restricciones)
Hipótesis
Estadística de prueba
Distribución de la estadística de prueba
RegIa de decisión
Cálculo de la estadística de prueba
Decisión estadística
Conclusión
Prueba de hipótesis
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución
normal
Juegos de hipótesis
La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la
hipótesis nula H0: µ = µ0
Prueba de hipótesis para la media de una
población
1. H0 : µ = 0, Ha : µ ≠ 0
2. H0 : µ ≥ 0, Ha : µ < 0
3. H0 : µ ≤ 0, Ha : µ > 0
1. H0 : µ = µ0 , Ha : µ ≠ µ0
2. H0 : µ ≥ µ0 , Ha : µ < µ0
3. H0 : µ ≤ µ0 , Ha : µ > µ0
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Estadística de prueba bajo Ho
cuando n es grande (>30)
Cuando H0 es verdadera, tiene
una distribución t de Student
con n -1 grados de libertad Cuando H0 es verdadera, sigue una
distribución normal estándar
Prueba de hipótesis para la media de una población
ns
xz
/
0
ns
xt
/
0
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Un grupo de investigadores está interesado en conocer la edad media de
cierta población
Los datos disponibles son las edades de una muestra aleatoria de 10
individuos, extraída de la población de interés
A partir de esta muestra se encontró que la media es igual a 27 y cuya
varianza es igual a 20
Los investigadores preguntan lo siguiente: ¿Se puede concluir que la
edad media de la población es diferente de 30 años?
Solución:
Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
n
xz
/
0
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
10/20
3027
/
0
n
xz
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
12.24142.1
3
10/20
3027
/
0
n
xz
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, se puede
rechazar la hipótesis nula porque -2.12 está en la región de rechazo. Se
puede decir que el valor calculado de la prueba estadística tiene un
nivel de significación de 0.05
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Conclusión. Se concluye que µ no es igual que 30 y que las
acciones del investigador deberán estar de acuerdo con esta
conclusión
Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ <
30?
Solución:
Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30
Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que -
2.12 < -1.645.
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ < 30?
Solución:
Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30
Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que -
2.12 < -1.645.
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Un hospital privado desea ofrecer tarjetas de crédito a sus
pacientes. El gerente del hospital asume que el gasto mensual de
los pacientes en dicho hospital es mayor a $1000. Para confirmar
su hipótesis selecciona a 15 pacientes y encuentra que el gasto
promedio es de $1030 con una desviación estándar de $50. ¿la
información obtenida en la muestra apoya la suposición del
gerente?
Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Hipótesis: H0: µ ≤ 1000 vs Ha: µ > 1000
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
32.290.12
30
15/50
10001030
/
0
nS
xt
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la distribución
t con 14 grados de liberta y un nivel de significancia de 0.05, la regIa
de decisión, es, rechazar la hipótesis nula porque 2.32 está en la
región de rechazo
Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la
distribución t con 14 grados de liberta y un nivel de
significancia de 0.05, la regIa de decisión, es, rechazar la
hipótesis nula porque 2.32 está en la región de rechazo
Conclusión:
Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Ejercicio: tomado de DanielW.
Un estudio tiene como propósito averiguar los factores
asociados con las discrepancias entre los niveles de
carboxihemoglobina y el estado de tabaquismo autodeclarado
Una muestra de 3918 no fumadores autodeclarados presentó
un nivel medio de carboxihemoglobina de 0.9 con una
desviación estándar de 0.96
Se pretende saber si es posible concluir que la media de la
población es menor que 1. Sea α =.01.
Ejercicio: prueba de hipótesis para la media
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución
normal
Cuando se dispone de una muestra lo suficientemente grande se
aplica el teorema del límite central
La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la hipótesis
nula H0: ρ = ρ0
La estadística de prueba es:
Cuando H0 es verdadera, sigue aproximadamente una distribución normal
estándar
Prueba de hipótesis para la proporción de una población
n
z)1(
ˆ
00
0
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Como director de las operaciones de mercadeo para una cadenaminorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma sehan graduado de la universidad. Usted intenta establecer una políticarespecto a la estructura de precios sobre esta proporción. Unamuestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen gradouniversitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre laproporción de todos los clientes son graduados de la universidad?
Solución:
Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción
n
z)1(
ˆ
00
0
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Como director de las operaciones de mercadeo para una cadenaminorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma sehan graduado de la universidad. Usted intenta establecer unapolítica respecto a la estructura de precios sobre esta proporción.Una muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen gradouniversitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre laproporción de todos los clientes son graduados de la universidad?
Solución:
Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción
88.0
800
)60.01(*60.0
60.0615.0
)1(
ˆ
00
0
n
z
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, no se
puede rechazar la hipótesis nula porque 0.88 está en la región de
NO rechazo.
Conclusión: Se puede decir que no hay suficiente evidencia
para decir que el 60% de los clientes son graduados
universitarios
Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción
INFERENCIA ESTADÍSTICA
La prueba de hipótesis involucra la diferencia entre las medias de
dos poblaciones
Se utiliza con más frecuencia para determinar si es razonable o no
concluir que las dos medias son distintas entre sí
En tales casos, se puede formular una u otra de las siguientes,
hipótesis:
Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones
1. H0 : µ1 = µ2 , Ha : µ1 ≠ µ2
2. H0 : µ1 ≥ µ2 , Ha : µ1 < µ2
3. H0 : µ1 ≤ µ2 , Ha : µ1 > µ2
1. H0 : µ1 - µ2 = 0, Ha : µ1 - µ2 ≠ 0
2. H0 : µ1 - µ2 ≥ 0, Ha : µ1 - µ2 < 0
3. H0 : µ1 - µ2 ≤ 0, Ha : µ1 - µ2 > 0
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Varianzas poblacionales Varianzas poblacionalesconocidas desconocidas pero iguales
Si H0 es verdadera, la estadística
de prueba sigue una distribución
normal estándar Cuando H0 es verdadera, sigue
una distribución t de Student con . n 1 +n2 -2 grados de libertad
Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos
poblaciones
2
2
2
1
2
1
02121 )()(
nn
xxz
2
2
1
2
02121 )()(
n
s
n
s
xxt
pp
2
)1()1(
21
2
22
2
112
nn
snsnsp
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Varianzas poblacionales Varianzas poblacionales conocidas
desconocidas pero diferentes
Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos
poblaciones
2
2
2
1
2
1
02121 )()('
n
s
n
s
xxt
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Una compañía de golf desea ver si el tiempo promedio que
requieren los hombres para jugar los 18 hoyos es diferente al de las
mujeres. Se mide el tiempo de 50 partidos dobles de hombres y 45
de mujeres obteniendo:
En base a los resultados de la muestra, ¿que se puede concluir?
Ejemplo 1: prueba de hipótesis para comparar dos
medias
Hombres Mujeres
Ῡ = 3.5 horas Ῡ = 4.9 horas
S = 0.9 horas S = 1.5 horas
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Solución:
Hipótesis: H0: µH = µM vs Ha: µH ≠ µM
Supuestos: se desconocen las varianzas pero se asumen diferentes
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
Se rechaza Ho con una confianza del 5%, dado que -5.45<-1.96 y se concluye que los tiempos promedios son diferentes entre hombres y mujeres
Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos medias
45.5
45
)5.1(
50
)9.0(
0)9.45.3()()('
22
2
2
2
1
2
1
02121
n
s
n
s
xxt
INFERENCIA ESTADÍSTICA
La prueba que se utiliza con más frecuencia con relación a la
diferencia entre las proporciones de dos poblaciones es aquella
en la que su diferencia es cero
Es posible efectuar pruebas tanto unilaterales como bilaterales
La estadística de prueba es:
donde
Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos
poblaciones
21 ˆˆ
02121
ˆ
)()ˆˆ(
z
21
ˆˆ
)1()1(ˆ
21 nn
21
21
nn
xx
INFERENCIA ESTADÍSTICA
donde x1 y x2 son, respectivamente, el número de la primera y
segunda muestra que poseen la característica de interés
Por lo tanto, Z sigue una distribución aproximadamente
normal estándar si la hipótesis nula es verdadera
Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos
poblaciones
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos
proporciones
Un minorista desea probar la hipótesis de que la proporción de sus
clientes masculinos, quienes compran a crédito, es igual a la
proporción de mujeres que utilizan el crédito. Él selecciona 100
clientes hombres y encuentra que 57 compraron a crédito mientras
que 52 de las 110 mujeres lo hicieron.
Solución:
La hipótesis es:
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
H0 : ρH = ρM , Ha : ρH ≠ ρ
M
21
ˆˆ
)1()1(ˆ
21 nn
21
21
nn
xx
INFERENCIA ESTADÍSTICAEjemplo: prueba de hipótesis para comparar dos
proporciones
Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra
41.1069.0
473.057.0
ˆ
)()ˆˆ(
21 ˆˆ
02121
z
069.0110
)48.0(52.0
100
)48.0(52.0)1()1(ˆ
21
ˆˆ 21
nn
52.0210
5257
21
21
nn
xx
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos
proporciones
Decisión : No se rechaza la hipótesis nula, ya que la
estadística calculada es menor al valor crítico de la tabla Z
Conclusión no existe evidencia para afirmar que la
proporción de hombres y mujeres que compran a crédito
sean diferentes
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Cuando los datos disponibles para el análisis de una
muestra aleatoria simple extraída de una población que
siguen una distribución normal, la estadística de prueba
para la hipótesis acerca de la varianza de una población es
la cual cuándo Ho es verdadera, sigue una distribución χ2
con n -1 grados de libertad
222 /)1( sn
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Ejemplo tomado de Daniel W
El propósito de un estudio de fue examinar la liberación de
mediadores generados nuevos y preformados en respuesta a la
inhalación de un alérgeno en primates alérgicos. Los individuos
estudiados eran 12 monos macacos adultos machos. Entre los
datos reportados por los investigadores estaba un error estándar
de la media muestral es .4 para uno de los mediadores. Se
pretende saber si es posible concluir a partir de estos datos que
la variancia de la población es diferente de 4. alfa = 0.05
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Ejemplo tomado de Daniel W
Hipótesis:
Estadística de prueba:
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Ejemplo tomado de Daniel W
Hipótesis:
Estadística de prueba:
4:
4:
2
1
2
0
H
H
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Ejemplo tomado de Daniel W
Hipótesis:
Estadística de prueba:
4:
4:
2
1
2
0
H
H
222 /)1( sn
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Ejemplo tomado de Daniel W
Hipótesis:
Estadística de prueba:
4:
4:
2
1
2
0
H
H
28.54/92.1)112(/)1( 222 sn
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS
Ejemplo tomado de Daniel W
Regla de decisión:
No se rechaza Ho porque 3.816 < 5.28 < 21.920
• Conclusión:
Con base en estos datos, no es posible concluir que la
variancia de la población es diferente de 4
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis para comparar DOS VARIANZAS
Las decisiones referentes a la comparación de variancias de
dos poblaciones se basan por lo general en la prueba del cociente
de dos varianzas
La hipótesis nula que indica que las varianzas de dos
poblaciones son iguales
Cuando son satisfechas ciertas suposiciones, la cantidad
sigue una distribución F con los grados de libertad n1-1 en el
numerador y n2-1 en el denominador
2
2
2
2
2
1
2
1
/
/
s
s