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La clase anterior:
Vimos los elementos bsicos de probabilidades
Introdujimos el concepto de variable aleatoria
Estbamos introduciendo el concepto dedistribucin o ley de probabilidades
IND3100 - Prof. Jorge Vera 2013
Hoy:
Veremos otros elementos de probabilidades
Veremos probabilidades en el continuo.
De dnde vienen las Distrib. de Prob.? Empricamente
Ejemplo:El restaurante Kentucky Fried Chicken vende pollos en paquetes de2, 3, 4, 8, 2, ! o 2" pie#as$ En la %ltima semana, la &rdenes porpollo han sido:
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'ie#as en orden (rdenes
2 )"3 2""
4 2!"
8 !*
2 2"
! *"
2" 3*
,"""
i ro a a
2 0.1703 0.200
4 0.260
8 0.165
12 0.120
16 0.050
20 0.035
X = nmero de piezas de pollo en una orden
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De dnde vienen las Distrib. de Prob.?
ericamente
Ejemplo!istribucin "inomial
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Distribucin Binomial El e#perimento consiste en nintentos
$ada intento resulta en: %#ito o &racaso
Los intentos son independientes entre s'
$ada intento tiene las mismas probabilidades: (r) %#ito * + p
+ -
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Variable aleatoria + / de %#itos en los n intentos
La v.a. tiene distribucin binomial conparmetros n y p. Binomial(n,p)
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Binomial: Ejemplo 0upon1amos 2ue 3ay 45 personas en esta
sala de clases 6$ul es la probabilidad de 2ue 7 personas 3ayan nacido
en Enero8
La probabilidad de 2ue una persona na9ca en enero es)apro#imadamente* ,,;
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espec'&icas nacen en enero y las ;7 restantes no.
La probabilidad de eso es
(ero lo anterior es para 7 personas espec'&icas=
El evento puede ocurrir con cuales2uiera de 7 personas=
7 271 1
112 12
Binomial: Ejemplo 6$untos 1rupos de 7 personas pueden seleccionarse de un
total de 458
Esas son las combinaciones de 7 en 45 elementos:
34
7
34! 34!
(34 7)!7! (27)!7!= =
5.379.616=
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!onde> por ejemplo> 7? + 7@A54;, + A.B5B Lue1o> la probabilidad es:
7 271 1
5.379.616 1 0,01412 12
=
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Distribucin Binomial
+ea una v$a$ con distri-uci&n .inomial/n, p0
1a pro-a-ilidad de o-tener itos en n intentos es:
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/donde 5 /60/6207, y " 5 0
Ejercicio En una caja 3ay ,B bolitas> 7 rojas y 4
blancas.
6$ul es la probabilidad de sacar una bolitaroja8
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devolviendo la 2ue sa2u%> cul es laprobabilidad de 2ue en A intentos obten1a 4bolitas rojas y ; blancas8
6C si no devuelvo la bolita8
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Ejercicio:
En una caja 3ay ,BBB bolitas> 7BB rojas y 4BBblancas.
6$ul es la probabilidad de sacar una bolitaroja8
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estimador de la probabilidad de 2ue en Aintentos obten1a 4 bolitas rojas y ; blancas8
Media, Varianza Duc3as veces es importante conocer al1una
medida 2ue resuma el comportamiento de unavariable aleatoria=
0u comportamiento central o promedio
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C la dispersin de los valores=
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Media, Varianza Media, o valor esperado
epresenta la ocurrencia promedio> es una medidade tendencia central
Varianza
Valor esperado de la desviacin cuadrtica en torno
1 1( ) ( )
n n
X i i i ii iE X P X x x p x = =
= = = =
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a la media. C*
P(Xi,Yi) Xi Yi
0.10 360 360
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0.10 790 110
0.15 840 30
0.05 260 90
0.15 190 450
0.10 300 230
0.10 490 60
0.10 150 290
0.10 550 140
0.05 510 290
Media E(X) = 457 E(Y) = 210
Desviacin estndar Dev(X) = 244.3 Dev(Y) = 145.6
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Scatter Plot (diagrama de dispersin) de Ventas Diarias
300
400
500
bebidasfras
Ejemplo: "tarbuc#s
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0
100
200
0 200 400 600 800 1000
Ventas de cafs calientes
Ventas
de
300
400
500
bebidas
fras
Ejemplo: "tarbuc#s
Scatter Plot (diagrama de dispersin) de Ventas Diarias
IND3100 - Prof. Jorge Vera 2013
0
100
200
0 200 400 600 800 1000
Ventas de cafs calientes
Ventasde
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ovarianza ! orrelacin
$ovarian9a
$orrelacin
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$omentarios La medida de correlacin no tiene unidades
corr)>C* siempre est entre -,.B y ,.B
P(Xi,Yi) Xi Yi
0.10 360 360
0.10 790 110
0.15 840 30
0.05 260 90
0.15 190 450
0.10 300 230
0.10 490 60
0.10 150 290
0.10 550 140
Ejemplo: "tarbuc#s
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0.05 510 290
Media E(X) = 457 E(Y) = 210
Desviacin estndar Dev(X) = 244.3 Dev(Y) = 145.6
Cov(X,Y) =Cov(X,Y) = 0.10*(3600.10*(360--457)*(360457)*(360--210)210) + 0.10*(790+ 0.10*(790--457)*(110457)*(110--210)210)
+ 0.05*(510+ 0.05*(510--457)*(290457)*(290--210)210)+ . . .+ . . . == 23,70223,702
Cov(X,Y) =Cov(X,Y) = 0.10*(3600.10*(360--457)*(360457)*(360--210)210) + 0.10*(790+ 0.10*(790--457)*(110457)*(110--210)210)
+ 0.05*(510+ 0.05*(510--457)*(290457)*(290--210)210)+ . . .+ . . . == 23,70223,702
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omentarios
0i valores de ms altos 2ue la media tienden a ocurrircon valores de C ms altos 2ue la media> entonces$V)> C*B y $)>C*B. Es decir> e C estnpositivamente correlacionados.
0i valores de ms altos 2ue la media tienden a ocurrircon valores de C ms bajos 2ue la media> entonces
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$V)> C*JB y $)>C*JB. Es decir> e C estnne1ativamente correlacionados.
!os v.a. linealmente relacionadas tienen per&ectacorrelacin Ejemplo: +temperatura de maKana en $elsius> y C+temperatura
de maKana en a3ren3eit
Ejemplo: 5 retorno /0 de una acci&n de una empresa elctrica9 5 retorno /0 de una acci&n de una compa;a de tel
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La esperan9a de una suma ponderada de v.a.es i1ual a la suma ponderada de lasesperan9as de las v.a.
E)aQ bC* +aE)*QbE)C*
"uma de Variables $leatorias
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e#presa como
VG)a Q bC* + a;VG)* Q b;VG)C* Q ;ab$V)> C*
o> e2uivalentemente
VG)a Q bC* + a;VG)* Q b;VG)C* Q ;ab
C$)> C*
"uma de Variables $leatorias Renerali9ando para la suma de n variables
aleatorias
El valor esperado ser'a
nnXaXaXaY +++= 2211
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C la varian9a ser'a
)()()()( 2211 nn XEaXEaXEaYE +++=
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omentarios
0i e C son independientes> entonces Var)QC* + Var)* Q Var)C*
Es decir> la varian9a de la suma es i1ual a la suma de lasvarian9as individuales
$aso de aQb+
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Var)aQb* + a;Var)*
!ev)aQb* + NaN!ev)*
Es decir> la constante b despla9a la distribucin pero nocambia su &orma
Media ! Varianza de la Binomial
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Magster en Ingeniera Industrial
Departamento de Ingeniera Industrial y de Sistemas
Pontificia Universidad Catlica de Cile
IND 3100Modelos Cuant. Para la Toma de Dec.
IND3100 - Prof. Jorge Vera 2013(ro&. Sor1e Vera G. - ,er 0emestre ;B,4
Fundamentos de Probabilidades,
segunda parte
%acia probabilidades &continuas' Hasta a3ora nuestros eventos y probabilidades
3an sido totalmente discretos=
$omen9aremos a considerar variablesaleatorias 2ue toman valores en &ormacontinua:
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La temperatura
La demanda por un producto
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Variables $leatorias ontinuas t%rminos de ran1os de valores.
La probabilidad de tomar un valor espec'&ico es> en1eneral> i1ual a B )pensar en reas*.
Ejemplo: Evento: los clientes esperan entre A y ,B minutos.
Mo tiene sentido el evento cliente espera e#actamente 7 minutos
Distribucin (ni)orme La v.a. tiene distri#cin #ni*orme en el intervalo
Ua>b si la probabilidad de 2ue est% dentro de unran1o entre a y b es proporcional al lar1o de ese ran1o.
Ejemplo 0upon1amos 2ue el tiempo de viaje desde 0an Soa2u'n a (la9a
Italia en bus se distribuye uni&ormemente entre ,B y ;B minutos.
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u ser a e empo e v a e prome o
E() + (-./-)0/ + 1 min#tos 6$ul es la probabilidad de 2ue el tiempo de viaje supere los ,;
minutos8
$(2/) + (/-3/)0(/-3-) + -,4
6$ul es la probabilidad de 2ue el tiempo de viaje est% entre ,5 y,O minutos8
$(5 4) + (435)0(/-3-) + -,5
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*uncin de Densidad de Probabilidades +pd)
La &uncin de densidad de probabilidades> representadapor f(t)> es la &i1ura de la distribucin )un 3isto1ramaatenuado o suavi9ado*
El rea total bajo f(t) es , )la probabilidad total*
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a
*uncin de distribucin $cumulada de probabildad +cd) Sunto a la densidad> se usa tambi%n la &uncin
acumulada> o distribucin de probabilidad> la cual sede&ine por:
$orresponde al rea acumulada bajo la curva de ladensidad:
( ) ( )F t P X t =
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t
( ) ( )F t P X t =
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Probabilidades en t-rminos de la distribucin
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ttss
1/(b-a)
ff
Volvamos a la Distribucin (ni)orme
Funcin de Densidad deProbabilidades (pdf):
6#pon7a 8#e distri#9e#ni*ormemente sore :a,;
1para
( )
a x bb a
f x
=
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aa bb
FF
aa bb
1
Funcin de DistribucinAcumulada (cdf):
0 para
( ) para
1 para
x a
x aF x a x b
b a
x b
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Media ! Varianza de una v.a. continua Vimos 2ue en una v.a. discreta la media es el promedio
de los valores ponderado por las probabilidades.
En el caso cont'nuo> si es v.a. con densidad &> entonces:
( ) ( )E X tf t dt
=
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)ntese 2ue la inte1ral 1enerali9a la suma*
C la varian9a:
2( ) ( ( )) ( )Var X t E X f t dt
=
Distribucin ormal E#iste una distribucin de probabilidad 2ue es> tal ve9>
la ms &amosa de todas:
!istribucin normal o de Rauss
e&leja la ocurrencia de una medicin puramentealeatoria ue tiende a concentrarse en un valor medio
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X
f(x)
y se dispersa un poco... La &uncin de densidad corresponde a la &amiliar curvacon &orma de campana
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Distribucin ormal
La densidad de la distribucin normal es la si1uiente:
Wueda completamente descrita por su media X y
21
21( )2
t
f t e
=
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parmetros:
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
-1 0 1 2 3 4
YX Z
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
-1 0 1 2 3 4
Y
X
Z
Distribucin ormal (odemos ver claramente 2ue la distribucin es
sim%trica en torno a la media.
Motemos 2ue una variable aleatoria normalpuede tomar cual2uier valor.... pero es muy
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la media...
(or eso es muy usada como modelo dediversos &enmenos.
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$l/unos valores importantesZ del rea total cubierta en &uncin de la distancia a la media>medido en unidades de
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Fuente de la figura:http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg
Muc0os )enmenos son &normales' )o se modelan como si &ueran normales*
Los errores de medicin en un &enmeno&'sico...
Los puntajes de la (0O,> ()\-B>O,* + )\* + B>;BPB
!I0.MD.E0GM!)-B>O,* + B>;BPB
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Ejemplo
= 105= 105 = 10.3707
2722.00985.03707.0)29.1()33.0(
)33.029.1()450350(
105=485,=distribuye Normal conX
===
=
zPzP
zPxP
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Z =
X-
=
=
350 485
105 1 29. Z=
X-
=
=
450 485
105 0 3.
485 X350 450
.2722
485 X350 450
.2722
0 Z-1.29 -.33
.0985
.2722
+upon>amos que e 9 son v$a$ normales, y deuientes parAmetros:
E/?0 5 w = a E(X) + b E(Y) = aX + bY
Bar ? = a2 Var X + b2 Var Y +2 ab Corr X Y
"uma de v.a. ormales
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otar que:
6 +i e 9 son independientes entonces Corr/,90 5 "$
6 El resultado, por supuesto, tam-in
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+upon>amos que e 9 estAn normalmente distri-uidas:
Dos retailers en una ciudad norteamericana /ElectronicFail yunGay0 planean vender el i'i> de H?atermelon ComputersI$ 1ademanda en cada retailer corresponde a dos varia-les aleatorias:
5 Demanda diaria por i'i> en ElectronicFail9 5 Demanda diaria por i'i> en unGay
Ejemplo
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X = 8"" Y = !"
X = *"" Y = ""
C(/,90 5 ",23
+upon>amos que ElectronicFail y unGay estAn considerandouna
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()]^* + B>PO* )()\ 9* + B>PO
Ejemplo
W
.98
960 w
=531.98
Z
.98
0 z
=1
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9 + )^ ` P@B*A4,>PO.
!espejando ^ obtemos: ^+P@B Q A4,>PO9
Mecesitamos el valor de 9 tal 2ue )9* + B>PO
Mecesitamos !I0.MD.IMV)B>PO>B>,*
C ese valor es ;>BA5.
Gs'> ^ + P@B Q);>BA5*A4,>PO + ;.BA;>@O.El percentil PO corresponde a ;.BA4 computadores.
Por 4u- la distribucin normal parece tan normal? 0e mide la estatura de un 1rupo de personas )por
ejemplo> en esta sala*.
0i se 3ace el 3isto1rama se1Tn ran1os de altura> va aparecer normal=
La altura es resultado de muc3os &actores> cada uno delos cuales est sujeto a variaciones=
Es sorprendente 2ue los e&ectos acumulados de esasvariaciones termina teniendo un comportamientonormal=