Clase 3 22082013 ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA Otras Geometrías

7/27/2019 Clase 3 22082013 ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA Otras Geometrías

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PREGUNTAS

1. Cuales son las suposiciones con respecto al yacimiento

para desarrollar la ecuación de difusividad para esta

geometría.

2. Cuales son las direcciones de flujo en un sistema de

coordenadas cilíndricas.

3. Cual geometría de flujo, radial o cilíndrica, se aproxima

más a la geometría de flujo real que se presenta en un

yacimiento.

4. La ecuación de Darcy para flujo radial en forma

diferencial es

¿Por qué no lleva signo menos?

5. La ecuación de darcy en la dirección tangencial es

y cuando se expresa en términos de θ y r es

¿por qué? ¿Qué significa S?.

6. En la ecuación de difusividad que entiende por variables

adimensionales?. ¿Por qué es importante expresar la

ecuación de difusividad en variables adimensionales?.

Cuales son las definiciones para presión adimensional y

tiempo adimensional?



ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUJO RADIAL

Se supondrá que el medio es completamente homogéneo y que nohay flujo en la dirección angular y vertical y por tanto lo que pasa en la

dirección de un radio dado es idéntico a lo que pasa en la dirección decualquier otro radio y lo que pasa con la presión en un plano horizontaldado es idéntico a lo que pasa en cualquier otro plano horizontal delmedio poroso.

Supongamos el corte longitudinal del elemento de un medio porosodonde existe flujo radial que se muestra en la figura siguiente

La masa que está entrando al elemento en el tiempo t es:

r r u h u h 2 r r t

y la masa que sale del mismo es

r mu h 2 r t q 2 rh r t

por tanto la masa que se acumula es:

r r r mu h u h 2 r r t u h 2 r t q 2 rh r t



r r r m2 u h r t u h r t u h r t q rh r t

y suponiendo que (ur h), Δt y r son pequeños el término ((ur h)

rΔt) se podrá despreciar y por tanto, la acumulación de masa en el

elemento queda como

r r mAcumulación 2 t u h r u h r q rh r

Para el mismo elemento la acumulación de masa al tiempo t es:

t t t

Acumulación 2 rh r 2 rh r

e igualando las dos expresiones para acumulación de masa en el

elemento y teniendo en cuenta que h no depende de t, se tiene

r r m t t t2 t u h r u h r q rh r 2 rh r

y dividiendo a ambos lados por 2r tr

r t t tr

m

u hu hq h h

r r t

La ecuación anterior es el balance de masa, y si luego consideramos

que r y t son muy pequeños al igual que (Ur h), se tiene:

r r

m

u hu h ( )q h h

r r t

(1.47)

Recordando ahora la ecuación de Darcy para flujo radial:

r k Pu

r

y llevándola a la ecuación (1.47) se tiene :

m

1 k Pr h q h h

r r r t

(1.48)



A partir de la ecuación (1.48) se pueden obtener diferentes formas dela ecuación de difusividad para flujo radial, al igual que en el casolineal, dependiendo de las características del fluido y del medioporoso.

Ecuación de Difusividad para Flujo Radial - Fluido Ligeramente Compresible.

De acuerdo con la ecuación de estado para este tipo de fluido(relaciones (1.2) ) se puede escribir para el caso de flujo radial

P 1

r C r

(1.52)

Además también se puede escribir

2P P

y 0r P r r

(1.53)

Expandiendo parcialmente la ecuación (1.48) y teniendo en cuenta lasecuaciones (1.52) y (1.53) se tiene

v f

1 k P Prh q h h C

r r r P t

(1.54)

Si se supone que

2

P0

r

y que C = Constante, k = Constante, =

Constante y = constante, la expresión anterior queda:

v

1 P C Prh q h

r r r k t

(1.54a)

Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión la aplicación delas relaciones (1.25)- (1.27) a la ecuación (1.54) nos lleva a:



f p

v

(C C )1 P Prh q h

r r r k t

(1.54b)

Ecuación de Difusividad para Flujo Radial – Fluidos

Compresibles (Gases)

Gases Reales

Llevando la definición de densidad del gas real, PM / ZRT , a la

ecuación (1.48) se tiene :

ZRT

PM

t hhq

r

P k h

ZRT

rPM

r r m

g

*

1

m

1 P P P P P Pr hk q h

r r Z r t Z P Z Z P t

(1.56)

Si se supone que el término Z es constante, se tiene

2 2

m

1 P ZRT 1 1 Z Prhk 2q h h

r r r M P P Z P t

(1.57)

La ecuación (1.57) es similar a la ecuación (1.55) solo que en lugar deltérmino 1/P , la cual es la compresibilidad del gas ideal, aparece la

expresión1 1 Z

P Z P

que es la compresibilidad del gas real.

Si en la ecuación (1.57) se supone que las propiedades petrofísicas nodependen de la presión se tiene

2 2

m

1 P ZRT h 1 1 Z Prh 2q hr r r Mk k P Z P t

(1.57a)

y si en la misma ecuación (1.57) se considera que las propiedadespetrofísicas sí dependen de la presión se obtiene después de aplicar las relaciones (1.25) – (1.27)



2 2

m P

1 P ZRT h 1 1 Z Prh 2q h C

r r r Mk k P Z P t

(1.57b)

Si en la ecuación (1.56) se supone que P / Z es constante, lo cual

puede ser válido a presiones mayores de una 3000 Lpc., tal como seexplicó al obtener la ecuación (1.42), se tiene:

v

1 P 1 1 Z Prhk 2q h h

r r r P P Z P t

(1.58)

La ecuación (1.58) es similar a la ecuación general para el flujo radialde un fluido ligeramente compresible, ecuación (1.54), solo que enlugar de Cf , la compresibilidad del líquido, que se considera constante,

se tiene la expresión1 1 Z

P Z P

, que es la compresibilidad del gas real.

Si en la ecuación (1.58) se considera que las propiedades petrofísicasson independientes de la presión se tiene

v

1 P h 1 1 Z Prh 2q h

r r r k k P Z P t

(1.58a)

y si las propiedades petrofísicas dependen de la presión la ecuación(1.58) se convierte en

v P

1 P h 1 1 Z Prh 2q h C

r r r k k P Z P t

(1.58b)

En las ecuaciones (1.57) y (1.58), a y b, la viscosidad del gas secalcula a la presión inicial o a la presión promedia y se consideraconstante.

Ecuación de Difusividad para Flujo Radial –

FluidosCompresibles en Función de la Función Seudopresión, m(P).

Las ecuaciones de difusividad para gases presentan dificultades parasu solución pues no son lineales y en el caso de los gases reales se

ha hecho la suposición de que Z P / o Z son constantes lo cual



tampoco es cierto. Por eso recordando la definición de m(P) y lasrelaciones entre dP y dm(P) presentadas antes ( ecuaciónes (1.43) y(1.44 a y b) y llevándolas a la ecuacion (1.48) se puede tener unaecuación de difusividad para gases similar a la obtenida para flujoradial de fluidos ligeramente compresibles.

Llevando las expresiones paraP

r

y

P

t

y la definición de densidad

para el gas real a la ecuación (1,48) se tiene:

1 1 m(P) 1 1 Z m(P)r

r r 2 r k P P Z P t

(1.59)

Al igual que en el caso lineal se requiere de una forma para convertir m(P) a P, o lo contrario, y esto se hace siguiendo el procedimientopresentado en le caso de flujo lineal, ecuación (1.46).

Si las propiedades petrofísicas no dependen de la presión la ecuación(1.49) se convierte en

1 1 m(P) 1 1 Z m(P)r

r r 2 r k P Z P t

(1.59a)

y si las propiedades petrofísicas dependen de la presión se tiene apartir de la ecuación (1.59)

P

1 1 m(P) 1 1 Z m(P)r C

r r 2 r k P Z P t

(1.59b)

En las ecuaciones (1.59 a y b), al igual que en el caso de todas lasecuaciones de difusividad para A flujo de gas, el término C se calcula

a la presión inicial o a la presión promedia y se considera constante.

Nuevamente las ecuaciones (1.59) son no lineales pero su nolinealidad es menor que en el caso de la ecuación dada en términosde P o P2 y además para llegar a ella no se han hecho suposiciones

diferentes a que

2m(P)

0r

.



OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN

COORDENADAS CILÍNDRICAS

En la práctica en un yacimiento cilíndrico habrá flujo en la direcciónradial, en la dirección angular y en la dirección vertical y por tanto paradescribir este flujo, especialmente en Simulación de Yacimientos, serequiere de la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas.

Para obtener la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas se

considera flujo en las direcciones radial (r), Tangencial () y vertical(z).

El esquema de la figura 1.17 muestra un volumen de control teniendoen cuenta tales coordenadas.

Figur a 1.17-. Elemen to d e Volum en para Flujo en Coo rdenadas Cilínd ricas .

En dicho volumen de control el balance de masa se hace de lasiguiente forma:Balance de masa:

t t t t

masa masa fuentes acumulación

entra sale sumideros agotamiento

(1.106)

De acuerdo con el diagrama del volumen de control se puede ver que:

r r S z

t

masau S z t u r z t u r r t

entra

(1.107)



Su : Velocidad de flujo por unidad de área en la dirección tangencial.

r S : Longitud de arco, al radio r , debida al cambio angular .

r r r r S S

t

z z

masa u u S z t u u r z tsale

u u r r t

(1.108)

r r S

: Longitud de arco, en el radio r r , debida al cambio

angular .

t

fuentes qr r z tsumideros

(1.109)

donde:

T

Masa fuentes sumiderosq

V t

t t t t

t

acumulación r r zagotamiento

(1.110)

(1.111)

Reemplazando las ecuaciones (1.107) – (1.109) y la ecuación (1.111)en la ecuación (1.106), cancelando términos semejantes,despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre: ( r r z t) , se obtiene:

r S zr

u u uuq

r r r z t

(1.112)

Si se consideran los deltas ),,,( t z r tan pequeños de tal forma

que la ecuación anterior se pueda expresar en diferenciales, seobtiene la ecuación de conservación de masa en forma diferencial oecuación de continuidad:



r r S zu u u u1

qr r r z t

(1.113)

La ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas es obtenida al

combinar la ecuación (1.113) y la Ley de Darcy para flujo radial,angular y vertical.

Ley de Darcy para flujo radial:

r

r

k pu

r

(1.114)

Ley de Darcy para flujo tangencial:Velocidad debida al diferencial de presión presente entre dos puntos

separados por una distancia S :

S

k pu

S

(1.115)

Donde S es la longitud de arco entre los puntos considerados:

S r S r

Ley de Darcy para flujo vertical despreciando efectos gravitacionales:

z

z

k pu

z

(1.116)

De tal forma que la Ecuación (1.113) se transforma en:

r z

2

k k k 1 p 1 p pr

r r r r z z

Pq

P P t

(1.117)



Para un fluido levemente compresible en un medio isotérmico se haasumido convencionalmente compresibilidad constante, de acuerdocon esto cumple con la ecuación (1.2) y suponiendo también lacompresibilidad de poro constante la porosidad cumple con laecuación (1.27); o sea que la ecuación (1.117) se convierte en

r z

2

r f

k k k 1 p 1 p p hr

r r r r z z z

pq C C

t

(1.118)

La expresión (1.118) es la ecuación general de difusividad encoordenadas cilíndricas para el flujo monofásico de cualquier fluido a

través de un medio poroso isotérmico.

En forma vectorial la ecuación general de difusividad en coordenadas

cilíndricas se logra considerando el operador divergencia y el

gradiente , de esta manera la Ecuación (1.117) se expresa:

k p q

t

(1.119)

VARIABLES ADIMENSIONALES

Son grupos de variables que, como su nombre lo indica, no tienendimensiones pero son d0minadas por una variable en particular.

Se usan básicamente para tener soluciones generales de unaecuación dada sin tener en cuenta, por ejemplo en el caso de laecuación de difusividad, efectos como: unidades de las variables, tipo

de fluidos etc.

En el caso de la ecuación de difusividad, las variables másimportantes son:

w

Dr

r r = radio adimensional (1.120)



D 2

w

k tt

Cr

= tiempo adimensional

D D D D i r,t

2 kh 2 khP P P r , t P P

q q

= presión adimensional

(1.121)

(1.122)

Cuando w D D D D D D D Dr r r 1 y P r , t P 1, t P t , o sea que

D D i wf

2 khP t P P (t)

q

(1.123)

Las ecuaciones (1.120) - (1.123) en unidades de campo (, cp ; h,pies; t , días, horas ; P , lpc; q , BN/D ; K , md; r w, pies), toman la

siguiente forma:

w

Dr

r r

D 2 2

1 2 2

w 2

k(md) 1/1.000t(dias)86.400(s / d)t

30,48 cms14,71 lpc(cp)C(lpc ) (r ) (pies )

1at. 1 pie

2

w

k t0, 00634 (t, dias)

Cr

4

2

w

kt2,64 10 (t, hrs)

Cr

D i wf

2 khP P P

q

i wf 3

o

2 k(md) 1 / 1.000h(pies) 30, 48 1atP P

14,7Lpc5,615* 30,48BNq B

D 86.400

3

i wf

o

kh7, 08 10 P P

q B

(1.120)

(1.124)

(1.125)

(1.126)

La aplicación principal de las variables adimensionales es obtener unaforma de la ecuación de difusividad que no dependa de las unidades



usadas para las variables y esto se puede hacer de la siguientemanera

A partir de las ecuaciones (1.120) - (1.123) se pueden obtener lassiguientes expresiones:

r=r wr DD

w D

w

r 1r r r

r r

D

2

w

t k

t Cr

2

w

D

Cr t

t k

r, tD D

w

D D

PP P r 2 khr

r r r q r

r, t D

w D

P Pq

r 2 khr r

2r, t wD D

D D

P Cr P P t 2 kh

t t t q t k

r, t D

w D

P Pkq

t 2 kh Cr t

Llevando las expresiones anteriores a la ecuación (1.54) se tiene,despreciando el efecto de fuentes y sumideros:

D D

D w 2

D w w D w D w D

P P1 1 q C q k r r

r r r r 2 khr r k 2 kh Cr t



D D

D

D D D D

P P1r

r r r t

(1.127)

La ecuación (1.127) es la forma de la ecuación de difusividad en

variables adimensionales para fluido ligeramente compresible en flujoradial, la cual como se ve es mas sencilla que cuando se da envariables dimensionales (Ecuación (1.54))

Algo similar se puede hacer cuando se tiene la ecuación de difusividadpara flujo lineal, con el fin de expresarla en variables adimensionales.

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