Clase 11

Cuenca, 25 de octubre de 2013

EL CICULO

Definiciones necesarias:

Círculo.- figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidista de un punto interior fijo, llamado centro.

Circunferencia.- curva que limita al círculo.

Elementos de la circunferencia y el círculo

Radio.- toda recta que va del centro a un punto cualquiera de la circunferencia. En el gráfico segmento AB

Todos los radios son iguales, dos círculos son iguales si tienen iguales sus radios.

Curda.- segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, segmento CD.

Toda cuerda determina en la circunferencia dos arcos, arco mayor y arco menor. Llamados arcos subtendidos por la cuerda. Salvo que se indique lo contrario, cuando se habla de arco subtendido por la cuerda, se refiere al menor de los dos.

Secante.- recta que corta la circunferencia, ejemplo recta IJ

Tangente.- a un círculo es la recta de longitud ilimitada que tiene con la circunferencia solo un punto en común, llamado punto de tangencia, en el grafico punto de tangencia T.

Arco.- porción de circunferencia. En el grafico ejemplo arco PH, denominamos arco con dos letras generalmente las de sus extremos y colocando este símbolo 44 sobre ellas, o anteponiendo arc. a las letras del nombre, ejemplo arc.PH, el orden de las letra debe ser tomado en sentido anti horario, así en el grafico siguiente si decimos arc. AB se refiere al arco menor, si queremos referimos al arco mayor seria arc. BA.

Diámetro.- cuerda que pasa por el centro. Ejemplo EF

Los arcos determinados en la circunferencia por el diámetro son iguales, y se llaman semicircunferencias.

Propiedades fundamentales de la tangente

* P punto de tangencia L recta tangente

* OP perpendicular a L

* OP= r

Las tangentes trazadas de un mismo punto son iguales (demostrar)

La perpendicular trazada desde el centro del circulo a la cuerda, bisecta la cuerda y el arco los arcos subtendidos por la cuerda (demostrar)

En todo círculo, dos paralelas interceptan arcos iguales.

Ángulos de un círculo:

Angulo central: con respecto a un círculo cualquiera, ángulo central es todo ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y sus lados son radios.

Medida de un ángulo por un arco.- se dice que un ángulo central se mide por el arco que lo subtiende o por el arco comprendido entre sus lados.

Angulo AOB = arco AB

Angulo inscrito.- es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas

Teorema

Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Datos o hipótesis :

- B ángulo inscrito en un círculo de centro O

- AC arco comprendido entre sus lados

Tesis a demostrar:

- < B = ½ arc AC

Corolario 1: Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Corolario 2: Un ángulo inscrito en un arco mayor que un semicírculo es agudo; en un menor obtuso.

Corolario 3 : Todos los ángulos inscritos en un mismo arco o arcos iguales son iguales.

Angulo semi- inscrito.- ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y uno de sus lados es una cuerda y el otro una tangente.

Teorema

Todo ángulo Semi.insctito tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.

Datos o hipótesis :

- XY tangente

- QP cuerda

Tesis a demostrar :

- <QPX = ½ arc QSP

Angulo externo: ángulo cuyo vértice es externo al círculo y sus lados pueden ser dos secantes, dos tangentes o una secante y una tangente.

Teorema

Todo ángulo externo tiene por medida la semidiferencia de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo.

Datos o hipótesis para primera posición:

- PBA y PCD secantes trazadas de P

Tesis a demostrar :

- <P = ½ (arc DA- arc BC)

Angulo interior: ángulo formado por dos cuerdas que se cortan.

Teorema

Todo ángulo interior tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.

Datos o hipótesis :

- AD y CB cuerdas

- O punto de cruce

Tesis a demostrar :

<AOB = ½ (arc AB + arc. CD)

Aplicación:

Demostrar que el ángulo formado por una cuerda y la prolongación de otra es igual a la semisuma de los arcos subtendidos por las cuerdas

Tesis : α=arc .BA+arc . EB

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En la figura, QA QB y son tangentes a la circunferencia y C es punto de la misma. Si , <AQB =30º determine el valor de . <ACB

Considerando que, < BCD 140º determine la medida del arco AB

Tarea

En el grafico se sabe que:

Arco BA = 80 °Arco CB = 20°Arco ED= 50 °

Determinar el valor de los ángulos indicados

Calcular “x”. Si arc CB = 100° y A es punto de tangencia

Hallar “x” si AB es diámetro y m∢PAC = 50°

En la figura mostrada, calcular x donde A y B son puntos de tangencia

Desde el punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí, calcule la medida del ángulo APD si el arco AD mide 130°.

En una circunferencia, el diámetro Ab se prolonga hasta un punto P, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud PM sea igual al radio, Si el arco AN mide 54° calcular el ángulo APN.

H: CQ tang. Al círculo O

T: arco TC=?

H: DC tang.

T: <A = <D/2