Fundamentos en Matemática

Clase No. 1

«El aprendizaje es un tesoro que seguirá a

su dueño a toda partes»

Proverbio Chino

31

5;7;3;35 3

N0,1,2,3…

Z -1,-2,…-5 QQ´

R

i;i2;i3….

C

0,5; 1,25; 0.666;

I

CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números Enteros lo conforman los Naturales N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}, el elemento neutro ‘0’ y los enteros negativos {…-6,-5,-4,-3,-2,-1}

Los Racionales (Q) conformados por los Enteros Z = {N U -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,…}, los números de la forma a/b (fraccionarios positivos y negativos) y los números decimales finitos e infinitos periódicos.

El conjunto de los números Irracionales (Q´) lo conforman los decimales infinitos no periódicos, las raíces cuadradas de los números primos, y números especiales como el número pí (π) y el número de Euler (e)

El conjunto de los números Naturales (N) surgen como la forma primitiva de contar o a la necesidad de registrar objetos y pertenencias N ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10….}

• Los números REALES son la unión de los conjuntos numéricos Racionales (Q) e Irracionales (Q´), se denota con la letra R.

31

5;7;3;35 3

N0,1,2,3…

Z -1,-2,…-5 QQ´

R

i;i2;i3….

C

0,5; 1,25; 0.666;

I

21 3…0-1-2…-3

1/8

1/4

1/2

QZ N3

R

CONJUNTOS NUMÉRICOS

REPRESENTACION GEOMETRICA

A la suma de ( -37 ) y 58, añada el doble de la diferencia entre 150 y ( -304) y a esto disminuya la tercera parte del producto entre 9, 25 y ( -2).

El polinomio aritmético que representa correctamente la situación planteada es :

A.

B. C.

D.

Desarrollemos competencias

3)]2)(25)(9[()304150(2)5837(

3)]2)(25)(9[()]304(150[2)5837(

)]2(259[32304150)3758(

xx

)]2(259[31)304150(2)5837( xx

5

1/5

-18

3

....;100005

10005

1005

105

..5555,0 El número real

Es un número

A. Racional menor que

B. Irracional menor que

C. Irracional, porque su expresión decimal es infinita

D. Racional porque su expresión decimal es infinita no periódica.

85

100005

PREGUNTA

22

En la recta numérica que se muestra, se han ubicado algunos números reales

El número real

A. (-1,0) y es un número irracional.B. (-1,0) y es un número racional. C. (-4,-3) y es un número irracional.D. (-4,-3) y es un número racional.

está en el intervalo

DESARROLLEMOS COMPETENCIAS

La siguiente ilustración muestra una secuencia de construcciones geométricas que se inicia con la construcción de la diagonal de un cuadrado de lado 1. En cada paso, a partir del 2, se construyó un rectángulo de altura 1 y base igual a la medida de la diagonal del rectángulo del paso anterior.

Si se continúa la secuencia, en el siguiente paso la medida de la base del rectángulo corresponde a un número A. Racional B. IrracionalC. Entero D. Natural

PREGUNTA

1. En los siguientes frascos de salsa se ha indicado, con un número entero negativo, cuántos meses faltan para la fecha de vencimiento y, con un número entero positivo, cuántos meses hace que el producto venció

• PREGUNTA

A

+4

Según las etiquetas:

A. Conviene comprar el frasco E porque su fecha de vencimiento es la más lejana.B. Conviene comprar el frasco B porque como -3 es mayor que -7 su fecha de vencimiento es la más lejana. C. Conviene comprar el frasco E porque -7 es el que tiene mayor valor absoluto.D. Conviene comprar el frasco D porque su fecha de vencimiento coincide con la de compra.

B

-3

C

+2

D

0

E

-7

Z0007.0

I3

3. La relación de pertenencia incorrecta es:

Z 7Z3

D.

C.

B.

A.

• PREGUNTA

CONJUNTOS Y OPERACIONES

DIFERENCIA SIMETRICA

EJERCICIO

En una comuna de Cali, se registraron 45 personas que trabajan, 23 que solo estudian y 8 que realizan ambas labores. Si 4 contestaron que no trabajan ni estudian ¿Cuántas personas se registraron en total?

Sean E = { x /x una persona que estudia }, T = { x /x una persona que trabaja } 

 E T

23 8 45

4

64

3715

PREGUNTAS ICFESUn grupo de jóvenes fue entrevistado a cerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte(Bicicleta, Moto y Automóvil). Los datos de la Encuesta fueron los siguientes:

Motos(35) Motos y Bicicletas, pero NO Automóvil(2) Moto y Automóvil, pero NO Bicicleta(16)

Moto, Bicicleta y Automóvil(1) Automóvil y Bicicleta, pero NO Moto(4)

Bicicleta(12) Automóvil(25)

Ninguno de los Tres(7)

Motos(35), Motos y Bicicletas pero NO Automóvil(2), Moto y Automóvil pero NO Bicicleta(16), Moto, Bicicleta y Automóvil (1), Automóvil y Bicicleta pero NO Moto(4), Bicicleta(12), Automóvil(25), Ninguno de los Tres(7)

• ¿Cuál fue el Numero de Jóvenes Entrevistados?

A) 102 C) 80 B) 55

D) 62

• ¿A Cuantos les gusta solamente los Automóviles?

A.9 C) 20 B. 25 D) 4

Usando la información obtenida en la encuesta se elaboraron las siguientes gráficas

Con relación a estas gráficas, es posible afirmar que de la información de la

A. gráfica 2 se puede deducir que 55 personas practican solamente dos deportes.

B. gráfica 2 se puede determinar el número de personas que practican un solo deporte.

C. gráfica1 se puede deducir que 40 personas no practican ninguno de los tres deportes.

D. gráfica 1 se puede determinar el número de personas que practican al menos un deporte.

PREGUNTA

PORCENTAJE %El Porcentaje se representa: como una razón cuyo denominador es 100 o también como un número decimal.

Porcentaje Razón Número Decimal Lectura8% 0,08 8 por ciento

1008

Hay tres tipos de situaciones en las que se aplica el concepto de porcentaje.1. Calcular el tanto por ciento de una cantidad:

Ej: Hallar el 4% de $2000

80$100000.24

2. Hallar el valor de la cantidad total, dada una relación entre porcentaje y una cantidad.

Ej: Calcular la cantidad total si el 18% es 45

x 2501810045

3. Calcular el porcentaje, dada la relación entre dos cantidades.

Ej: Que porcentaje es 21 de 35

%603510021

TEORÍA NUMÉRICA MÁXIMO COMÚN

DIVISOR8 12 20 24 6 10 22 3 5

2x 2 = 4

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

8 12 20 24 6 10 22 3 5 21 3 5 31 1 5 5 1 1 12x2x2x3x5 =120

EJEMPLO En un autódromo parten simultáneamente tres automóviles

desde la línea de salida. El automóvil 1 da una vuelta cada 51 segundos, el automóvil 2 da una vuelta cada 27 segundos, el automóvil 3 da una vuelta cada 15 segundos,

Los tres automóviles vuelven a pasar simultáneamente por el punto de partida a los:

a) 38 minutos y 10 segundosb) 2290 segundosc) 38 minutos y 15 segundosd) 2285 segundos.

Si se dividen en pedazos de máxima longitud sin que sobre ni falte material, 3 varillas de 60cm, 80cm, y 100cm. Entonces:

EJEMPLO 2

a. La máxima longitud de cada varilla es 25cmb. Se obtienen en total 12 pedazosc. El máximo número de pedazos en cada varilla es 12d. La mínima longitud de cada pedazo es 20cm

100 cm

80 cm

60 cm

Un número se denomina perfecto cuando puede

expresarse como la suma de sus divisores

positivos, excluyendo el número mismo.

Se puede decir que 28 es un número perfecto?

A. Sí, porque 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

B. Sí, porque 28 = 2 + 5 + 7 + 14

C. No, porque 28 es un número par.

D. No, porque 28 tiene cuatro divisores.

1. Un foco se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. Si a las 6.30 de la tarde los tres coinciden, a qué hora vuelven a coincidir

a. 6:33 pmb. 9:30 pmc. 6:42 pmd. 7:30 pm

• ACTIVACION

TALLE

R

1. En la gráfica se representa la distribución de los estudiantes de una escuela de natación en 4 niveles: principiante, básico, medio y alto, al iniciar el curso de vacaciones.

Transcurridas dos semanas del curso, el 30% de los estudiantes que estaban en nivel medio, es decir, 75 estudiantes, ascendió al nivel alto. ¿Cuántos estudiantes quedaron en el nivel alto?A. 75B. 80C. 125D. 175

La gráfica 1 muestra el rendimiento del equipo K en la penúltima temporada de un torneo de fútbol; y la tabla 1, el rendimiento de los cinco primeros equipos que participaron en la última temporada.

Respecto al rendimiento del equipo K, en las dos temporadas, es correcto afirmar queA. perdió menos partidos en la penúltima temporada.B. ganó más partidos en la última temporada.C. anotó más goles en la penúltima temporada.D. empató más partidos en la última temporada.

2. Se encuestó a un grupo de personas, de diferentes edades, sobre el dinero que gastaron en transporte público en el último mes.Las respuestas se registraron en la tabla.

De acuerdo con la información de la tabla, la edad de estas personas y el dinero que gastaron en transporte público están correlacionados, porqueA. las personas menores de 30 años gastan menos dinero.B. a mayor edad más dinero se invierte en transporte y viceversa.C. a menor edad más dinero se invierte en transporte y viceversa.D. las personas mayores de 30 años gastan más dinero.

3. La siguiente ilustración muestra una secuencia de construcciones geométricas que se inicia con la construcción de la diagonal de un cuadrado de lado 1. En cada paso, a partir del 2, se construyó un rectángulo de altura 1 y base igual a la medida de la diagonal del rectángulo del paso anterior.

Si se continúa la secuencia, el siguiente paso en el que la medida de la base del rectángulo corresponde a un número racional esA. 6 B. 7 C. 8 D. 9

RESPONDA LA PREGUNTA 4 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN

La tabla siguiente muestra el comportamiento de siete empresas en cuanto a su Capital y su Utilidad durante tres años consecutivos

4. Funcionarios de Olímpica afirman que su empresa fue la que tuvo la mayor recuperación de capital en los años considerados. Según la información de la tabla esto es A. verdadero, ya que es la única empresa que presenta aumentos año tras año y los valores son positivosB. verdadero, aunque Futuro tiene el mismo comportamiento; la diferencia del capital de 1998 y 1996 fue mayor en OlímpicaC. falso, ya que Olímpica es la segunda empresa en obtener recuperación, después de interbancoD. falso, aunque Interbanco presente capitales negativos, la diferencia entre el último año y el primer año es mayor que en las demás.

Los sólidos M y N que se encuentran en la figura, están formados por cubitos de un centímetro de lado.

La razón del volumen del sólido N con respecto al volumen del sólido M es de 7 cm3 a 8 cm3. Esta afirmación es correcta, ya que:

A. Por cada 7 cm3 en el sólido M hay 8 cm3 en el sólido N.

B. 7 y 8 son divisores comunes tanto del volumen del sólido M como del sólido N.

C. Por cada 7 cm3 en el sólido N hay 8 cm3 en el sólido M.

D. 7 y 8 dividen el volumen de los sólidos M y N respectivamente.

Sólido MSólido N

7. El subsidio familiar de vivienda (SFV) es un aporte que entrega el Estado y que constituye un complemento del ahorro, para facilitarle la adquisición, construcción o mejoramiento de una solución de vivienda de interés social al ciudadano. A continuación se presenta la tabla de ingresos en salarios mínimos mensuales legales vigentes (SMMLV) y el subsidio al que tiene derecho, para cierto año

Con el SFV más los ahorros con los que cuente el grupo familiar y el crédito que obtenga de una entidad financiera, se puede comprar la vivienda. Por tanto, el procedimiento correcto para estimar el valor del crédito que debe solicitarse al banco es:

A. Valor del crédito = ingresos + ahorros + subsidio + valor de la Vivienda.B. Valor del crédito = valor de la vivienda – ahorros – subsidio.C. Valor del crédito = ingresos + ahorros – subsidio + valor de la Vivienda.D. Valor del crédito = valor de la vivienda + subsidio – ahorros.