Clase 1- Sumatorias

Introduccion

SUMATORIAS

Martha C. Moreno

2 de febrero de 2015

Martha C. Moreno SUMATORIAS

Introduccion

SUMATORIAS

Martha C. Moreno

2 de febrero de 2015

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia


Introduccion

Sea {a1, a2, a3, , an} un conjunto de numeros reales:La suma:


Introduccion


a1 + a2 + a3 + + an


Introduccion


a1 + a2 + a3 + + an

Se puede expresar usando la notacion de sumatoria:

a1 + a2 + a3 + + an =n

k=1 ak


Introduccion


a1 + a2 + a3 + + an

Se puede expresar usando la notacion de sumatoria:

a1 + a2 + a3 + + an =n

k=1 ak

k se denomina ndice de sumatoria y toma valores enterosconsecutivos.


Introduccion

Ejemplos


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4

3i=2 x

i


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4

3i=2 x

i =1

x2+

1

x+ 1 + x + x2 + x3


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4

3i=2 x

i =1

x2+

1

x+ 1 + x + x2 + x3

5i=0

k

k + i


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4

3i=2 x

i =1

x2+

1

x+ 1 + x + x2 + x3

5i=0

k

k + i= 1 +

k

k + 1+

k

k + 2+

k

k + 3+

k

k + 4+

k

k + 5


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4

3i=2 x

i =1

x2+

1

x+ 1 + x + x2 + x3

5i=0

k

k + i= 1 +

k

k + 1+

k

k + 2+

k

k + 3+

k

k + 4+

k

k + 54

j=1 j2(j + 2)


Introduccion

Ejemplos

4k=1

k=

1 +

2 +

3 +

4

3i=2 x

i =1

x2+

1

x+ 1 + x + x2 + x3

5i=0

k

k + i= 1 +

k

k + 1+

k

k + 2+

k

k + 3+

k

k + 4+

k

k + 54

j=1 j2(j + 2)

nk=1 f (xk)


Introduccion

Ejemplos

Escribir las sumas usando la notacion sigma:


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2

1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2

1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2

1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2

1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2

1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk15 +

22 +

29 +

36 +

43 +

50


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2


22 +

29 +

36 +

43 +

50=

7i=2

7i + 1


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2


22 +

29 +

36 +

43 +

50=

7i=2

7i + 1

1

2f (x3) +

2

3f (x4) +

3

4f (x5) +

4

5f (x6) +

5

6f (x7)


Introduccion

Ejemplos


3

5+

4

6+

5

7+

6

8+

7

9=

7k=3

k

k + 2


22 +

29 +

36 +

43 +

50=

7i=2

7i + 1

1

2f (x3) +

2

3f (x4) +

3

4f (x5) +

4

5f (x6) +

5

6f (x7)

=5

k=1

k

k + 1f (xk+2)


Introduccion


Introduccion

1/3


Introduccion

1/3

1/9


Introduccion

1/3

1/9

1/27


Introduccion

1/3

1/9

1/27

1/81


Introduccion

1/3

1/9

1/27

1/81

1

3+

1

9+

1

27+ +


Introduccion

1/3

1/9

1/27

1/81

1

3+

1

9+

1

27+ + 1

3n=


Introduccion

1/3

1/9

1/27

1/81

1

3+

1

9+

1

27+ + 1

3n=

ni=1

1

3i=


Introduccion

1/3

1/9

1/27

1/81

1

3+

1

9+

1

27+ + 1

3n=

ni=1

1

3i=

1

2


Introduccion

Propiedades


Introduccion

Propiedades

nk=1 C


Introduccion

Propiedades

nk=1 C = nC


Introduccion

Propiedades

nk=1 C = nCnk=p C


Introduccion

Propiedades

nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C


Introduccion

Propiedades


nk=m ak =

n+pk=m+p

akp


Introduccion

Propiedades


nk=m ak =

n+pk=m+p

akp=np

k=mpak+p


Introduccion

Propiedades


nk=m ak =

n+pk=m+p

akp=np

k=mpak+p

nk=1(ak bk) =


Introduccion

Propiedades


nk=m ak =

n+pk=m+p

akp=np

k=mpak+p

nk=1(ak bk) =

nk=1 ak

nk=1 bk


Introduccion

Propiedades


nk=m ak =

n+pk=m+p

akp=np

k=mpak+p

nk=1(ak bk) =

nk=1 ak

nk=1 bkn

k=1 Cak =


Introduccion

Propiedades


nk=m ak =

n+pk=m+p

akp=np

k=mpak+p

nk=1(ak bk) =

nk=1 ak

nk=1 bkn

k=1 Cak = Cn

k=1 ak


Introduccion

Sumas Especiales

Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:


Introduccion

Sumas Especiales


nk=1 k =


Introduccion

Sumas Especiales


nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n


Introduccion

Sumas Especiales


nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n

nk=1 k =


Introduccion

Sumas Especiales


nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n

nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n =

n2

2+

n

2=


Introduccion

Sumas Especiales


nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n

nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n =

n2

2+

n

2=

n(n+ 1)

2


Introduccion

Sumas Especialesn

k=1 k2 =


Introduccion

Sumas Especialesn

k=1 k2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6


Introduccion

Sumas Especialesn

k=1 k2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6n

k=1 k3 =


Introduccion

Sumas Especialesn

k=1 k2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6n

k=1 k3 = (

n(n + 1)

2)2


Introduccion

Sumas Especialesn

k=1 k2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6n

k=1 k3 = (

n(n + 1)

2)2 =

n2(n + 1)2

4


Introduccion

Ejemplos


Introduccion

Ejemplos

nk=1(3k

2 2k + 1)


Introduccion

Ejemplos

nk=1(3k

2 2k + 1)98

k=2 k3


Introduccion

Ejemplos

nk=1(3k

2 2k + 1)98

k=2 k3

limnn

k=1

6

n(2 + 6k

n)2


Introduccion

Ejemplos

nk=1(3k

2 2k + 1)98

k=2 k3

limnn

k=1

6

n(2 + 6k

n)2

limnn

k=1

2

n(4 3k2)


Introduccin

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