Continuacion de clase 1

Más ejemplos de MCD y MCM.

A continuación se te presentan varios casos de dos o más números, para cada caso:

1ro Expresa cada numero como el producto de potencias de números primos.

2do Selecciona los factores comunes con su menor exponente.

3ro Escribe el producto de esos factores en la columna correspondiente al MCD.

4to Selecciona los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

5toEscribe el producto de esos factores en la columna correspondiente al MCM.

Casos MCD MCM1 8 y 122 15 y 143 120 y 2434 48 , 12 , y 155 8 , 12 y 156 12, 24 y 367 16 ,24 , 32 , y 728 15 , 60 , 90 y 108

7- EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y LAS OPERACIONES INTERNA EN Z.PAG.13

Los resultados de la resta, nos permiten definir un nuevo conjunto, conformado por los naturales asignados – o + y el cero. Se le denomina el conjunto de los números enteros (Z).

Notación: Z={….,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,….}

En la práctica se omite el signo + y se escribe:

Z={….,-3,-2,-1,0,1,2,3,….}

Con los elementos de Z, se originan los siguientes conjuntos:

Z+={1,2,3,….}----------------------------------------Enteros positivos.

Z-={….,-3,-2,-1}-------------------------------------Entero negativos.

Zno-={0,1,2,3,….}-----------------------------------Entero no negativos.

Zno+={….,-3,-2,-1,,0}-------------------------------Entero no positivos.

Característica de Z:

1) Es ordenado. 2) Es infinito. 3) Se puede representar en una recta numérica.

En conclusión las operaciones internas en Z son: la adición, la sustracción y la multiplicación.

8-EL NÚMERO O (CERO) Y SU COMPORTAMIENTO EN LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES.

En una adición, si uno de los sumando es cero, la suma siempre es el otro sumando. Esta particularidad se conoce como la propiedad del cero en la adición, llamada también el elemento neutro de la adición.

Notación:

a+0=a ; o+a=a

En una multiplicación, si uno de los factores es cero, el producto siempre es cero. Esta particularidad se conoce como la propiedad del cero en la multiplicación llamada también el elemento absorbente de la multiplicación.

En una sustracción donde uno de los elementos es cero, no es posible predecir el resultado. La resta dependerá de la posición del cero en el minuendo o en el sustraendo. El resultado no siempre es el mismo y por tanto no existe una propiedad específica.

En una división, donde uno de los elementos es cero, no es posible predecir el resultado. El cociente dependerá de la posición del cero en el dividendo o en el divisor, o en ambos. El resultado no siempre es el mismo y por tanto no existe una propiedad específica.

Es conveniente tener presente que:

1) Si el dividendo es cero y el divisor no es cero, el cociente es cero.

2) Si el dividendo es cero y el divisor es cero, el cociente puede ser cualquier número, por eso es indeterminado.

3) Si el dividendo es diferente de cero y el divisor es cero, no es posible obtener un cociente. (Prueba con una calculadora y te dará error).

En conclusión el cero juega dentro de las operaciones un doble papel los cuales son: En la adición es el neutro y en la multiplicación es el absorbente.

9- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.El procedimiento en la adición de números enteros es el siguiente:

Dos números que tienen el mismo signo, se adicionan y la suma conserva el mismo signo.

Ejemplos: 1) 34+58= 92 2) -80 + (-35)=-115

Dos números que tienen signos diferentes, se sustraen y la suma conserva el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplos:

1) -50+36=-14 2) 200 + (-45)= 155

En la sustracción de números enteros, el procedimiento es el siguiente:

1) Se sustituye la operación de sustracción por la adición.

2) Se sustituye el sustraendo por su opuesto.

3) Se calcula la suma, que es equivalente a la recta.

Ejemplos:

1) 432-500= 432 +(-500)=-68

2) 903-(-83)=903 + 83=986

3) -45 – 60=-45 + (-60)=-105

El procedimiento en la multiplicación de números enteros es el siguiente:

Si dos factores son números enteros que tienen el mismo signo, el producto siempre es positivo y se determina igual que la multiplicación de números naturales.

Ejemplos:

1) 34 x 100=3400 2) -40 x (-200)=2800

Si dos factores son números que tienen signos diferentes, el producto se determina:

) Escribiendo el signo del producto que siempre será negativo.

2) Multiplicando los factores como si fueran números naturales.

Ejemplos:

1) -30 x 100=-3000 2) 500 x (-10)=-5000

En una multiplicación el producto es negativo, solo cuando el número de factores negativos es impar.

En todos los demás casos el producto es un número no negativo.

En una división de números enteros, el procedimiento es el siguiente:

1) Se sustituye la operación de división por la de multiplicación.

2) Se sustituye el divisor por su reciproco.

3) Se calcula el producto, que es equivalente al cociente.

El signo del cociente está determinado por la multiplicación. Solo si el dividendo es negativo o el divisor es negativo, el cociente es negativo.

Ejemplos:

1) 50 ÷ 10= 2) -300 ÷-50=

50 x 110 =50

10 =5 -300 x 150 =−300

−50 =6

3) - 21 ÷ 7= 4) 144 ÷ (-12)=

-21 x 17 =−21

7 =-3 144 x 1−12= 144

−12=-12

11-El conjuntos de los números racionales (Q) y las operaciones interna en Q.pag.16

Dividiendo números enteros se obtiene un cociente que puede ser un número entero, un número fraccionario o un número mixto. Esto da origen al conjunto de los números racionales, que se denota con la letra Q.

Notación: Q={ ab/aϵ Z, b ϵ Z, b ≠0}, a es el numerador, b es el

denominador.

12-OPERACIONES FUNDAMENTALES INTERNA EN Q.PAG.16

En el conjunto de los números racionales (Q ), cualesquiera que sean los elementos con que se opere, la adición, la sustracción, la multiplicación y la división son operaciones internas. La única limitación en la división es la exclusión del cero en el divisor.

En las operaciones internas en Q son: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

13-PROPIEDAD DE DENSIDAD DE LOS NUMEROS RRACIONALES Q: PG.20.

Un conjunto numérico que admite que entre dos de sus números siempre hay otro de el, es un conjunto denso.

Siempre es posible obtener un número racional comprendido entre otros dos números racionales a y b. Esta particularidad observada en los números racionales, se denomina propiedad de densidad.

Una manera de obtener un número racional comprendido entre otros dos, es por el método del promedio.

Notación: a+b2

Ejemplos: Determine un número racional comprendido entre -8 y 1

a+b2 =−8+1

2 =−72 =-3.5

Determine un número racional comprendido entre 12 y 2

12+2

2 ¿

522

= 52 ÷ 2=5

2 x 12 =5

4 =1.25

Más ejemplos sobre la aplicación de la propiedad de densidad. Determine un número racional comprendido entre:

1) 1 y 3 2) -2 y 0

3) -8 y 1 4) 4 y 5

5) 12 y 2

14- FRACCIONES EQUIVALENTES.CONVERSIÓN Y ORDEN.PAG.21.

a) FRACCIONES EQUIVALENTES.

Los números fraccionarios son un subconjunto de los números racionales.

Los números fraccionarios se clasifican en fracciones comunes y decimales.

Una fracción decimal se reconoce por el uso de un signo de puntuación. En algunos texto usamos el punto (.). El signo de puntuación adoptado indica que la expresión numérica colocada a su derecha es una fracción decimal.

Una fracción común se representa como el cociente indicado de dos números.

Notación : ab ; b ≠0

Para a¿b ; la fracción es impropia.

Para a¿b ; la fracción es propia.

Una fracción propia es simple, si el único factor común que tiene el numerador y el denominador es el 1.

Dos o más fracciones son equivalentes, si su cociente es el mismo. También pueden reconocerse que dos fracciones son equivalentes, si al vincularlas con el signo de igualdad, se interpreta como una proporción y se verifica que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Notación: ab= cd↔ad=bc

a y b son los términos extremos.

b y c son los términos medios.

El símbolo↔se interpreta: si y solo si

Para obtener una fracción equivalente a otra dada, se realiza la misma operación de multiplicación o división, en el numerador y en el denominador.

Notación: a/b=ax/bx ; x≠0

Ejemplos: Determine dos fracciones equivalentes por multiplicación de

34 y 912

1) 34 = 9

12 2) 912 = 18

24

0.75 = 0.75

Más ejemplos de fracciones equivalentes.

I) A continuación se te presentan un grupo de fracciones para que:

1ro Coloques una S al lado de cada fracción simple.

2do Aparees las fracciones equivalentes.

1) 12 6) 2

4

2) 68 7) 7

9

3) 34 8) 10

13

4) 3039 9) 6

9

5) 23 10) 54

108

II) Construye tres fracciones equivalentes a:

1) 12¿

=_______________________=________________

2) 23¿

=________________=______________________

3) 36108¿

=¿______________________=______________

III) Determina una fracción equivalente a:

1) 35connumerador 36

2) 35condenominador 35

3) 23 y 3

5 con denominador 15

4) 12 ,34y 5

6condenominador12

5) 14, 23, 78y 4 condenominado r 24

b) PROPIEDADES DE MEDIO Y EXTREMO.PAG.24-25.

El numerador o denominador de una fracción equivalente a otra dada; se puede determinar aplicando la propiedad de medios-extremos de una proporción.

Notación:ab= cx x= (b )(c)

a bc es el producto de los

medios y a es uno de los extremos.

Notación:ab= xc x= (a )(c)

b ac es el producto de los

extremos y b es uno de los medios.

Ejemplos: Aplicando la propiedad de medios-extremos, determina X, para que las igualdades dadas sean equivalentes.

1) 23= x

12 =2(12)=3(x)= 2) 2652

=2x=26(x)=52(2)

24=3x→ x=243 =8 26x=104→ x=104

26 =4

Más ejemplos de aplicación de la propiedad de medio y extremos.

Aplicando la propiedad de medios-extremos, determina X, para que las igualdades dadas sean equivalentes.

1) 23= x

12 2) 2652

=2x

3) x125

=35 4)3

x=15

20

5) 4872

= x36

= 4y

6) 12=8x= y

32=0 .5 Nota: En los ejercicios 5 y 6 igualando dos razones

obtener primero x y después y.

c) CONVERSIÓN DE FRACCIONES.PAG.21.

1) CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN COMÚN PROPIA A DECIMAL.PAG.25

El cociente que se obtiene al dividir el numerador por el denominador de una fracción común propia, es la fracción decimal equivalente. El cociente puede tener finitas o infinitas cifras.

Toda fracción decimal es un decimal exacto, si tiene finitas cifras.

Ejemplo: Convierte a fracción decimal 34 =0.75

Toda fracción decimal es un decimal periódico puro, si:

1) Tiene infinitas cifras.

2) Los periodos comienzan inmediatamente después del punto decimal.

3) Un determinado número de cifras se repiten en el mismo orden periódicamente.

Ejemplo: Convierte a fracción decimal 311=0.272727…=0.27

Toda fracción decimal es un decimal periódico mixto, si:

1) Tiene infinitas cifras.

2) Por lo menos la primera cifra decimal no se repite.

3) Un determinado número de cifras se repiten en el mismo orden periódicamente.

Ejemplo: Convierte a fracción decimal 712=0.583333…=0.583

Más ejemplos de conversión de fracciones a decimal.

Escribe la forma decimal equivalente a las siguientes fracciones.

1) 12=¿ 2) 3

8=¿

3) 433 = 4) 1

20=¿

527=¿ 6) 2

3=¿

7) 1200

=¿ 8) 512

=¿

9) 1975

=¿ 10) 13740

=¿

Más ejercicios de clasificación de decimales.

En los ejercicios anteriores clasifica las formas decimales obtenidas. Para clasificarlos coloca al lado de cada cociente una de las siguientes letras.

E__________Para decimal exacto.

P__________Para el decimal periódico puro.

M__________Para el decimal periódico mixto.

b) CONVERSIÓN DE UN DECIMAL A FRACCIÓN COMÚN.PAG.28.Un decimal se puede convertir en una fracción común equivalente.

Para convertir un número decimal en fracción común:

1) Se escribe la fracción como un número entero.2) Se divide por la unidad seguida de tantos ceros como el número de

cifra decimales.3) Se simplifica.

Ejemplo: convertir el número decimal 0.7 en fracción común:

0.7 x 1010=0.7 x10

1x 10 = 710

Ejemplo: convertir el número decimal 0.875 en fracción común:

0.875 x 8751000=175

200=3540=7

8

Para convertir un decimal periódico puro en fracción común:

1) El numerador es la expresión escrita como un número entero.2) El denominador son tantos nueves como la cantidad de cifras

decimales3) Se simplifica.

Ejemplo: convertir el decimal periódico puro 0.117 en fracción Común:

0.117=117999= 39

333= 13111

Para convertir un decimal periódico mixto en fracción común:1) El numerador es la resta del numero escrito como un entero, menos

las cifras no periódicas.

En el denominador la cantidad de nueve se corresponde con la cantidad de cifras periódicas y de ceros con la cantidad de cifras no periódicas.

Ejemplo: convertir el decimal periódico mixto 0.253 en fracción Común:

0.253 = 253−25900 =228

900 =114450 = 57

225

Más ejemplos de conversión de decimal a fracción equivalente.

Expresa cada decimal dado, con la fracción simple equivalente.

1) 0.08 = 2) 0.35 =

3) 0.875 = 4) 0.0625 =

5) 0. 8 = 6)0. 45=¿

7)0. 117 = 8) 0.16 =

9) 0.253 = 10) 0.13243=

c) ORDEN DE LAS FRACCIONES. PAG.33-36.

Para ordenar fracciones comunes, bien sea de menor a mayor o viceversa, es necesario que todas las fracciones tengan el mismo denominador.

Si dos o más fracciones tienen distinto denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes de igual denominador y luego se comparan. En el caso de fracciones que tienen distinto denominador, pero el mismo numerador, la fracción menor es la que tiene el mayor denominador.

Si dos o más fracciones son decimales, el orden estará determinado por la cantidad de decimas, centésimas, milésimas,…., que tengan.

Si dos o más fracciones son comunes y decimales, antes de comparar, o se expresan todas en fracción común o en decimal.

De dos o más fracciones que tengan igual denominador; será mayor la que tenga mayor numerador:

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor la fracción 1) 67, 27, 47, 17

17 , 2

7 ,47, 6

7

De dos o más fracciones que tengan igual numerador; será mayor la que tenga menor denominador:

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor la fracción 14, 13, 12, 15, 1

8=¿

18, 15 ,1

4 , 13 ,12

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor la fracción 0.552 ,0.5 ,0.525 ,0.0555=¿ 0.0555, 0.5, 0.525, 0.552

Más ejemplos sobre el orden de fracciones.

Ordena de menor a mayor las fracciones dadas a continuación.

1) 67, 2

7, 4

7, 17=¿ 2) 6

7, 34, 56, 12=¿

3) 14, 13, 12, 15, 1

8=¿ 4) 7

8, 35, 23, 1

4, 56=¿

5) 0.552 ,0.5 ,0.525,0.0555=¿ 6) 25,0.25 , 3

4=¿

15- OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS.PAG.29 Y 77

Es necesario conocer los procedimientos que se emplean en las operaciones con números fraccionarios y enteros, para operar con números racionales.

Las operaciones combinadas presentan dos o más operaciones diferentes en una misma expresión.

En las operaciones con fracciones comunes y decimales, o se expresa todo en fracción común o se expresa todo en fracción decimal.

Más operaciones con números racionales.

Efectúa las siguientes operaciones.

1) 4 38+(−11

4)=¿ 2) −7

9−3=¿

3) ( −5 12

¿(−23 ) (0.6 )=¿ 4) −30

7÷6=¿

5) 18÷0.125=¿ 6) -8+4-1=

16- EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Q1.CONCEPTO.PAG.36

Un numero irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Ejemplos:π ≈ 3,14159265358979323846...

Ejemplo: ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Un número irracional nunca puede expresarse como el cociente de dos números enteros.

El conjunto de los números irracionales se representa por Q1.

Características de Q1:

1) Es infinitos 2) Es denso 3) Se puede representar cualquiera de sus elementos en una recta numérica.

Más ejemplos de identificación de números irracionales.

A continuación se te presentan algunos números. Coloca la letra Q1, al lado de los que son irracionales.

1) √3 _________ 2) √4 _____________

3) 2.44948_____________ 4) 2.6457513_________

5√8 __________________ 6¿√49 _____________

7) Investiga cómo se origina el número irracional π y expresa dicho número redondeado a:

1) Cuatro cifras decimales.

2) Dos cifras decimales

17- OPRACIONES INTERNA FUNDAMENTALES EN Q1 ¿HAY? PAG.36

Observa los resultados en las operaciones siguientes e induce si alguna de las operaciones es interna en Q1.

1) √5 + (-√5 ) =0 ; ¿Es la adición interna en Q1?

2) √2 - √2 =0 ; ¿Es la sustracción interna Q1?

3) √3 . √12 =6 ; ¿Es la multiplicación interna en Q1?

4) 27÷√3=3 ; ¿Es la división interna en Q1?

Conclusión. En el conjunto de los números irracionales no hay operaciones interna; ya que en algunas de las ocasiones cuando realizamos las operaciones fundamentales los resultados no son números irracionales.

18-OPERACIONES CON NÚMEROS RADICALES O IRRACIONALES. PG. 81 Y 82.PAG.78

Una de la formas de expresar un numero irracional es mediante el uso de radicales. Notación: n√a ;n≥2; n√a≠racionale imaginario .

Un número irracional expresado mediante el uso de radicales, está en su forma más simple cuando se representa por un factor racional y un factor irracional.

Los factores de la expresión subradical no tienen raíz de la indicada.

Notación: an√b ;a≠0 , n≥2 , n√b≠racional e imaginario .

Si a=1 entonces a n√b=n√b

Radicales Semejantes:

Dos expresiones con radicales son semejantes, si los radicales tienen igual índice de la raíz e igual expresión subradical. Notación: a n√b y c n√b , sonexpresiones semejante s .

Son radicales semejantes−√7 y3√7 ; observa que tienen los mismos índices y la misma cantidad subradical.

ADICIÓN DE NÚMEROS RADICALES O IRRACIONALES.

La condición que debe darse para adicionar números irracionales expresados con radicales, es que sean semejantes. En caso contrario se deja indicado o se da una respuesta aproximada en forma decimal.

Se adicionan expresiones con radicales semejantes, adicionando los factores racionales. El factor irracional se escribe igual.

Notación: a n√b+c n√b=(a+c) n√b

Ejemplo: Determina los resultados de 5 3√2+3 3√2+2 3√2+ 3√2=¿113√2

SUSTRACCIÓN DE RADICALES O IRRACIONALES.

La sustracción de números irracionales, se realiza adicionando al opuesto del sustraendo. Notación: a n√b−c n√b=a n√b+(−c n√b )=(a+(−c )) n√b

Ejemplo: Determina los resultados de: −2 4√6– 3 4√6

−2 4√6−3 4√6=−2 4√6+(−3 4√6¿=54√6

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES O IRRACIONALES.

La condición que debe darse para multiplicar números irracionales expresados con radicales es que estos tengan igual índice.

Se multiplican números irracionales expresados con radicales, multiplicando por separado los factores racionales y los factores irracionales.

Notación: a n√b xc n√d=(axc )( n√bxd)

Ejemplo: Determina los resultados de:¿)(√5¿=¿(-3x1)√3 x5=-3√15

DIVISIÓN DE RADICALES O IRRACIONALES.

Se dividen números irracionales expresado con radicales de igual índice, dividiendo por separado los factores racionales e irracionales.

Notación: an√b÷c n√b=(a÷c )( n√b÷d)

Ejemplo: Determina los resultados de:−2√48÷ (−8√3 )=¿

¿-2÷(-8))√ 483

=−2−8 √16=1

4 (4)=44 =1

Más operaciones con radicales o irracionales.

A continuación se te presentan operaciones con números irracionales expresados con radicales, en su forma más simple .Determina los resultados.

1) −√7+3√7=¿ 2) 5 3√2+3 3√3+2 3√2+ 3√3=¿

3) −4√5−5√5=¿ 4) −2 4√6−3 4√6+ 4√6=¿

5) √2x √7=¿ 6) ¿)(√5¿=¿

7) 5√2x 5√3x 5√11=¿ 8) −4√3 x √3 x−3√2=¿

9) 6 4√8÷ 4√4=¿ 10) −2√48÷ (−8√3 )=¿

19- EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. CONCEPTO. PROPIEDADES Y OPERACIONES. PAG.38 Y 82.

a) EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. CONCEPTO.38 Y 82.

Los conjuntos de los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales (R).

Notación: R= QUQ1

Los números reales se pueden visualizar en el siguiente esquema:

Enteros (Z ´+)=N

Enteros (Z) = Enteros negativos (Z-)

Racionales (Q) = Fraccionarios

Reales (R) = Mixtos

Irracionales (Q1)

En el esquema se refleja que:

1) Todo numero natural (N) es entero, es racional, es real.

2) Todo número entero, fraccionario o mixto, es racional, es real.

3) Todo número racional o irracional es real.

4) Un número es real si se corresponde con un punto de la recta numérica.

Todos los números reales (r) comprendidos entre otros dos reales (a y b ) se pueden representar en una recta numérica, mediante un segmento representativo de un intervalo de longitud finita. Si el intervalo es de longitud infinita, se representa mediante una semirrecta o una recta.

Notación:

Desigualdad Grafica Intervalo

a≤ r ≤b [a , b]

a¿ r<b (a , b)

a≤ r<b [a , b)

a¿ r ≤b (a , b ]

r≤a ,o , r ≥b ( - ∞ ,a¿ , o¿

r¿a ,o , r>b (-∞ ,a¿ , o ( b , ∞ ¿

r≤a ,o , r>b (∞ ,a¿ , o¿)

r¿a ,o , r ≥ b≥ (∞ ,a¿ , o¿

r=R (- ∞ ,∞¿

c) INTERVALO.PAG. 38 a la pág. 42

Un intervalo es cerrado si incluye sus extremos.

Notación: [a , b]

Un intervalo es abierto si excluye los puntos extremos.

Notación: (a , b )

Un intervalo es mixto si incluye un punto extremo y excluye el otro.

Notación: [a, b) o (a, b].

En el caso de los intervalos de longitud infinita, la notación es la siguiente:

(−∞ ,b¿ , (−∞ ,b ) , [a ,∞ ) , (a ,∞ ) ,Dependiendo si se incluyen o se excluyen

a ó b.

En el caso del intervalo de longitud infinita, compuesto por todos los reales, su notación es: (−∞ ,∞ ).

En un intervalo el paréntesis ordinario (, o , ) indica que el extremo no pertenece al intervalo.

En un intervalo el corchete [, o , ], indica que el extremo pertenece al intervalo.

Característica de R.

1) Es ordenado.2) Es infinito.3) Es denso.4) Es continuo. 5) Su representación grafica es toda la recta numérica.

Más ejemplos sobres números reales.

En los espacios rayados, coloca la letra V o la letra F, según los enunciados dados sean verdaderos o falsos. Consulta el esquema de los números reales.

1) Todo numero natural es un numero entero.____________

2) Todo numero natural es un numero racional.____________

3) Todo numero natural es un numero real.________________

4) Todo número real es un numero natural.________________

5) Todo número real es un numero racional.________________

6) Todo número real es un numero irracional._______________

7) Todo numero entero es un numero natural._______________

8) Todo numero entero es un numero racional._______________

9) Todo numero entero es un numero irracional.______________

10) Todo número racional es real.___________________________

11) Todo número irracional es real.__________________________

12) Todo número real se puede representar en una recta numérica,__________

Más ejemplos sobre grafica de números reales en la recta numérica.

Sobre una misma recta numérica, representa los números reales señalados en cada uno de los ejercicios que siguen a continuación.

1) -5 ,- 12 , 37 , 3 , 3.8 2) -2 1

5 , -2 , 3 , π , 423

3) Tres números comprendidos entre 0 y 1 4) 0≤ r ≤1

5) −2≤r<0 6) 0<r≤5

7) 0<r<0.5 8)−2>r>4

9) −3>r ≥0 10) 1≥r ≥4

b) PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R) PAG.50-54.

Para todo número real a, b y c:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a · b = b · aEjemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = aEjemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = aEjemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3

Inverso Aditivo: a + (-a) = 0Ejemplo: 6 + (-6) = 0

Inverso Multiplicativo: 0,11

acuandoa

a

Ejemplos: 1

34

43;1

717 xx

Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · cEjemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4

c) VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.PAG.55 y pág. 55.

El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.

El valor absoluto de un número no negativo es el mismo número.

Notación: │a│=-a ; si a¿0

│a│=a ; si a≥0 ;aϵR.

Ejemplo:|−8|=-(-8)=8

Ejemplo:|8|=8

Operaciones con valor absoluto

Efectúa │8 – (2 + 5) │=│8 – 7 │=│1│=1

Más ejemplos sobre valor absoluto y sus operaciones.

A continuación se te presentan algunas expresiones numéricas, para que determines su valor absoluto. Si encuentras operaciones dentro de las barras, debes realizarlas antes.

1) │5│= 2) │0│=

3) │-8│= 4) │-0.07│=

5) −│3│=¿ 6) -│-2│

7) │8 – ( 2 + 5 )│= 8) │-3.6 + 3.6 │=

9) │−34

+0│ = 10) │-2.1 x 0

│=

11) │-p │=¿ ; p<0 13)│2k│= ; k>0

20-OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.PAG. 82

Si un sumando es racional y el otro es irracional, la suma de ambos reales, se deja indicada. Notación: a+bn√c=(a+b n√c )

a representa un numero racional y bb√c representa un numero irracional.

Los factores de c no tienen raíz de la indicada.

Realizando cálculos, puede lograrse una suma aproximada.

El producto de dos números reales, cuando uno de ellos es racional y el otro irracional, se obtiene multiplicando el número racional por el factor racional del número irracional y el factor irracional permanece igual.

Notación: axbn√c=(axb) n√c

a representa un numero racional yb n√c representa un numero irracional.

Realizando cálculos, puede lograrse un producto aproximado.

El orden establecido para obtener el resultado en operaciones combinadas, es el siguiente:

1) Resolver las operaciones dentro de signos de agrupación (si las hay).

2) Potencias y raíces en el orden que aparezcan simultáneamente.

3) Productos y cocientes en el orden que aparezcan simultáneamente.

4) Sumas y restas en el orden que aparezcan simultáneamente.

El orden establecido para suprimir signos de agrupación en operaciones combinadas, es el siguiente:

1) Se efectúan las operaciones indicadas dentro del signo de agrupación más interior, cada vez.

2) Se suprime el signo de agrupación más interior cada vez.

Determine el resultado de la siguiente operación.

1) −(−1+4 ) = 1-4=-3 2) (20+14)=20+14=34

3) 3−¿3-{4+5 [−6+10−8 ]−8 }

3-{4−30+50−40−8 }

3−4+30−50+40+8=27

Más ejemplos sobre operaciones con números reales.

Determine el resultado de las siguientes operaciones.

1) −6√2+1=¿ 2) 3√5+√5−8=¿

3) (2√6 ) (−4 )=¿ 4)(−3√3 ) (−2√2 ) (−4 )=¿

5 (5)(-2)(−3√5¿=¿ 6)(18÷4 ¿+3 x2=¿

7) (20+14)-7+ 123

−32=¿ 8) 3+√49−2 x5+25=¿

9) 32+33−√362

−(11 x 3 )=¿ 10) {10−(2x 5 )+5 }=¿

11) −6 {3+2−(−1+4 ) }=¿ 12) ¿

13) (5+4 [−7+3 ]−6)=¿

14) 3−{4+5 [−6+2 (5−4 ) ]−8}=¿

15) 3−{4+5 [−6+2 (5−4 ) ] }−8=¿

21- OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS.PAG.29 Y 77

Es necesario conocer los procedimientos que se emplean en las operaciones con números fraccionarios y enteros, para operar con números racionales.

Las operaciones combinadas presentan dos o más operaciones diferentes en una misma expresión.

En las operaciones con fracciones comunes y decimales, o se expresa todo en fracción común o se expresa todo en fracción decimal.

Más operaciones con números racionales.

Efectúa las siguientes operaciones.

1) 4 38+(−11

4)=¿ 2) −7

9−3=¿

3) ( −5 12

¿(−23 ) (0.6 )=¿ 4) −30

7÷6=¿

5) 18÷0.125=¿ 6) -8+4-1=

Más operaciones con racionales.

Efectúa

1) 25+ 3

2+ 1

10=¿ 2) 7 + 4

9+ 2

3=¿

3) 516

+ 38+ 1

12=¿ 4) 4

9x5=¿

5) 34x 3

4x 1

4=¿ 6) 7÷ 7

3=¿

Nota: se trabajará el Conjunto de los números complejos con las diapositivas de Genaro Zorrilla en la dirección wwwgenarozorrilla.com

22- UNIDAD IMAGINARIA. PAG.43

Existen números no reales que al multiplicarse por si mismos una vez, el producto es un número real negativo. Tales números se denominan imaginarios. Notación: I.

La unidad imaginaria se representa por la raíz cuadrada de -1.

Notación: i=√−1.

La unidad imaginaria cuadrática se representa por el número real -1.

Notación: i2=-1.

Cualquier unidad imaginaria potencial, con exponente natural mayor que 4, se puede simplificar y expresar por su equivalente de exponente menor que 4. Para ello se divide el exponente por 4 y el residuo indicara el nuevo exponente de i.

Cuando el residuo es cero, la expresión es equivalente a 1.

Más ejemplos de unidad imaginaria.

Completa las expresiones dadas, para que las igualdades resulten verdaderas.

1) √−16=√16 (−1 )=±4¿

2)√−25=√25 (−1 )=±_____________

3) √−49=√❑ =____________

4) √−64=¿__________=________________

5) √−2=√2(−1)=¿¿

6) √−3=√3 (−1)=¿¿

7) √−6=√6 (−1 )=¿¿

8) √−8=√❑¿

23-POTENCIA DE i. PAG.44

Más ejemplos de unidad imaginaria sobre equivalencia simplificada y numérica.

Simplifica las unidades imaginarias potenciales dadas, expresando con exponente menor que 4, y con su equivalencia numérica.

# Unidad imaginaria potencial

Equivalencia simplificada Equivalencia numérica

1 i10

2 i12

3 i39

4 i53

24- EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS C.PAG.46.

El conjunto de los números complejos está compuesto por números reales y/o números imaginarios.

Notación: C=R∪I

Esquema: complejos{ RealesImaginarios

25-CLACIFICACION DE LOS NUMEROS COMPLEJOS. (FORMA BINOMICA Y PAR ORDENADO DE UN NÚMERO COMPLEJO).PAG.48.

Un número complejo puede expresarse de diferentes formas. En este texto lo presentamos en forma algebraica y geométrica.

Se representa en forma algebraica mediante la expresión a+bi denominada la forma de binomio.

Se representa en forma geométrica en un plano coordenado mediante el punto correspondiente del par ordenado (a,b).

En el eje horizontal se representan los números reales, por eso se le denomina eje real.

En el eje vertical se representan los números imaginarios, por eso se le denomina eje imaginario.

Si a=0, entonces el numero complejo es un imaginario puro.

Si b=0, entonces el numero complejo es un real puro.

Ejemplos de expresión de números complejos.

A continuación se le presentan números complejos en forma de binomio para que lo expreses en forma de par ordenado.

Forma de binomio Par ordenado

1) 2 + 6i _____________

2) -2 + i ______________

3) -5i _____________

4) 3 ______________

5) 1 – 3i ______________

6) -1 – 4i _______________

Forma de expresar un número complejo.

Dados los números complejos expresados en par ordenado, exprésalo en forma de binomio.

Par ordenado Forma de binomio

1) ( 3 , 4 ) _____________

2) ( -2 , 1 ) ____________

3) ( -3 , -2 ) _____________

4) ( 0 , -5 ) ____________

5) ( 4 , 0 ) ____________

6) ( 0 , 0 ) ____________

26-REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.PAG.47.

Representación gráfica de un numero complejo.

Complejos iguales.

27-IGUALDAD DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.PAG.32 Y 86.

Dos números complejos son iguales, si sus componentes reales son iguales y sus componentes imaginarias también son iguales.

Notación: (a,b)=(c,d)↔a=c ; b=d

En la igualdad de dos números complejos, si se desconoce una de sus componentes reales, se obtiene la misma, igualando ambas componentes reales y aplicando el tanteo, si es necesario.

En la igualdad de dos números complejos, si se desconoce una de sus componentes imaginarias, se obtiene la misma, igualando ambas componentes imaginarias y aplicando el tanteo si es necesario.

Ejemplos de igualdad de números complejos.

Determina x o y en cada caso.

1) (4,3)=(x,y) 2) (-2,y)=(-2,1)

3) (-2,5)=(-2,y-4) 4) (7,6)=(2x+1,3y)

5) (6,3i)=(-2x,y+1) 6) (5+yi)=(5,0)

7) (0,-1)=(x,-i) 8) (0,0)=(3x+3,6y-6)

28-OPERACIONES CON LOS NUMEROS COMPLEJOS.PAG.88.

CONCEPTUALIZACION #1-33 pg. 93.

La suma de dos números complejos se obtiene aplicando por una parte sus componentes reales y por otra parte sus componentes imaginarias.

Notación: (a,b)+(x,y)=(a+x , b+y).

Dos números complejos son opuestos, si sus componentes reales son opuestas y también sus componentes imaginarias son opuestas.

Notación: Si (a,b) es un complejo entonces (-a,-b) es su opuesto.

Si dos números complejos son opuestos, entonces su suma es cero.

Notación: (a,b)+(-a,-b)=(a+(-a) , b+(-b))=(0,0).

Para sustraer dos números complejos, hay que adicionar el opuesto del sustraendo, al minuendo.

Notación: (a,b)-(x,y)= (a,b)+(-x,-y).

El producto de dos números complejos se obtiene:

1) La componente real es la suma, del producto de las componentes reales y el opuesto del producto de las componentes imaginarias.

2) La componente imaginaria es la suma, de los productos de la componente real de uno de los pares por la componente imaginaria del otro par.

3) Notation: (a,b)(x,y)=((ax-by),(ay+bx)) , (+by)(-1)=-by.

Dos números complejos son conjugados si sus componentes reales son iguales y sus componentes imaginarias son opuestas.

Notación: si (a,b) es un numero complejo entonces (a,-b) es su conjugado.

Si dos números complejos son conjugados, entonces su producto es un número real. Notación: (a,b)(a,-b)= a2+b2 ; b2∈R.

El cociente de un numero complejo por un numero real, diferente de cero, se obtiene multiplicando cada componente del complejo por el reciproco del número real.

Notación: (a,b)÷c=(a,b)x1c=(ax1

c ,bx1c¿ ; c≠0.

En una división, si el divisor es un número complejo, el primer proceso es multiplicar el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor.

El dividendo y el divisor se multiplican por el conjugado del divisor, para que el divisor sea un número real.

Notación:(x , y )(a ,b)

=( x , y )(a ,− y)

a2+b2

Más ejemplos de operaciones con números complejos.

Realiza las operaciones indicadas en el primer miembro de cada igualdad hasta obtener el mismo resultado que en el segundo miembro.

1) (8+4i)-6 =2+4i 2) (2-6i)+4i =2-2i

3) 3 (5-i)+2i =15-i 4) 2(1+i)-i(3+i) =3-i

5) (4-7i)+(-4+7i) =0 6) (2,0)+(0,0) =2

7) (2,-4)-(1,-2) =(1,-2) 8) (6+3i)(23i) =-2+4i

9) (2+3i)(-1+2i) =-8+I 10) (2,3 )−(−2,1)

(4,6) =4+2i4+6 i

11) 55+10 i = 1

5−2

5i