ANLISIS DE

SISTEMAS DE

CONTROL EN

DOMINIO DEL

TIEMPO.

A qu nos referimos cuando

mencionamos respuesta transitoria

y de estado estacionario.

Aunque sabemos que al subir de un

piso a otro por un elevador, la altura

aumenta, cmo graficamos ese

comportamiento en el dominio del

tiempo hasta alcanzar la altura (piso)

deseada? t0

Ejemplo 1: Dnde empieza y termina una

respuesta transitoria y una en estado

estacionario en una grfica en el dominio del

tiempo? (interpretacin intuitiva)

Tiempo de la respuesta transitoria Estado estacionario

ANLISIS DE SISTEMAS DE

CONTROL EN DOMINIO DEL

TIEMPO.

La seleccin de las seales deentrada a utilizar para analizarlas caractersticas de unsistema, depende de la formade las seales de entrada mshabituales a que el sistemaestar sometido encondiciones normales deoperacin.

Las seales de prueba deentrada ms comnmenteutilizadas son las funcionesescaln, rampa, aceleracin,impulso, sinusoidal y similares.

ENTRADAS TPICAS

DE PRUEBA.

ENTRADAS TPICAS DE PRUEBA.

ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIARESPUESTA TRANSITORIA PARA UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

)()()(

01 trbtcadt

tcda

)1()( t

eKtc

0a

bK

0

1

a

a

Respuesta de un sistema de 1 Orden a una

entrada Impulso

Respuesta ante entrada escaln

Respuesta ante entrada sinusoidal

Sistemas de segundo orden

Sistema Sobreamortiguado, > 1.

Respuesta sobreamortiguada ante entrada escaln

Sistemas crticamente amortiguados, = 1.

Respuesta crticamente amortiguada ante

entrada escaln

Sistemas Oscilatorios ( = 0)

Respuesta oscilatoria ante entrada escaln Los Polos son nmeros imaginarios conjugados:

Sistemas subamortiguados, 0

Especificaciones de desempeo para

sistemas de 2 orden subamortiguados Tiempo de Crecimiento tr:

Tiempo de pico tp:

Sobre Impulso Mximo Mp:

Tiempo de Asentamiento o de establecimiento ts:

Sistemas de orden superior

El comportamiento de los sistemas de orden

superior, es decir, de aquellos que poseen

tres o ms polos, depende

fundamentalmente del carcter de los

polos ms lentos del sistema.

El polo ms lento es el que posee la

constante de tiempo ms grande, es decir,

aquel polo se encuentran ms cerca del

origen en el plano complejo S (polos

dominantes).

Sistemas de orden superior

Respuesta temporal de un sistema de 3 Orden:

)10(),0(1)2(

11

1)2(1cos)2(

1)2()(

2

2

2

222

2

tKe

tsentKe

Ktc

tp

tn

Respuesta temporal y posicin de los polos de un sistema de tercer orden

Curva de respuesta al escaln unitario del sistema de tercer orden, con = 0.5

Sistemas de orden superior

Respuesta temporal de un sistema de 3 Orden: caso particular en el que el polo real es el ms

lento.

Respuesta temporal y posicin de los polos de un sistema de tercer orden

Influencia de los ceros La presencia de un cero real negativo hace el

efecto contrario un polo, es decir, adelanta la

respuesta temporal en lugar de retrasarla.

Influencia del cero en la respuesta temporal del sistema

Influencia de los ceros Los sistemas de fase no mnima son aquellos que poseen

un cero real positivo.

La respuesta temporal de este tipo de sistemas tiene la

caracterstica de que comienza evolucionando en la

direccin contraria al valor en rgimen permanente

Respuesta temporal de un

sistema de fase no mnima

ANLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS

T0(s): Funcin de sensibilidad complementaria

S0(s): Funcin de sensibilidad

Si0(s): Funcin de sensibilidad a perturbacin de entrada

Su0(s): Funcin de sensibilidad de control

RELACIN ENTRE LA UBICACIN DE LOS POLOS

EN EL PLANO-s Y LA RESPUESTA TRANSITORIA

Respuesta al impulso para diversas localizaciones

de las races.

ESTABILIDAD Definicin de estabilidad.- se dice que un sistema

es estable cuando:

La respuesta del sistema a un impulso tiende a cerocuando el tiempo tiende a infinito.

Ante una entrada acotada le corresponde una salidatambin acotada.

Sistema Estable.-

Un sistema es estable si sus polos estn ubicados en elsemiplano izquierdo del plano complejo s.

Sistema con Estabilidad crtica.-

Ocurre cuando un polo est ubicado en el ejeimaginario del plano complejo s y los dems en ellado izquierdo del mencionado plano.

Sistema Inestable.-

Es inestable cuando tiene al menos un polo en el ladoderecho del plano complejo s.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA LA ESTABILIDAD

Sea la funcin de transferencia,

su ecuacin caracterstica posee n+ 1 coeficientes

ai reales:

Primero se comprueba que todos los coeficientes aisean positivos. Si hubiese algn coeficiente nulo o

negativo, el sistema no sera estable (Condicin

necesaria pero no suficiente de Cardano-Vite).

Para comprobar si es estable, se disponen los

coeficientes ai de forma que sigan el patrn

impuesto por la siguiente tabla:

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA LA ESTABILIDAD

Los Coeficientes bi se calculan

como sigue:

Los coeficientes ci se calculan:

El criterio afirma que el sistema es estable si

y slo si todos los coeficientes de la primera

columna de Routh-Hurwitz son positivos.

Existen tantos polos con parte real positiva

como cambios de signo aparecen a la largo

de la primera columna

Inconvenientes del arreglo de Routh-Hurwitz.-

Presencia de un Cero Prematuro en la primera columna.-

Se reemplaza el cero por un nmero > 0 muy pequeo y

se sigue evaluado el arreglo.

Una fila de ceros prematuros en el arreglo.- Se construye

una ecuacin auxiliar a partir de la fila anterior a la fila de

ceros, se deriva esta ecuacin auxiliar y se reemplaza la fila

de ceros por los coeficientes de la ecuacin derivada.

Ejemplos: Probar si las siguientes ecuacionescaractersticas corresponden a sistemas estables. Caso

contrario, indicar el nmero de races con parte real

positiva.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA LA ESTABILIDAD

061468) 234 ssssa 0654) 23 sssb

05432) 234 ssssc 044)23 sssd

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIOClasificacin de los sistemas de control

Considere la funcin de transferencia de lazo

abierto G(s)H(s):

Un sistema se denomina tipo o clase 0 (Cero),

1(Uno), 2 (Dos),, si N = 0, 1, 2, ,

respectivamente.

)1()1)(1(

)1()1)(1(

)())((

)())(()()(

2121

21

sTsTsTs

sTsTsTK

pspspss

zszszsKsHsG

n

N

mba

n

N

mT

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIODefinicin de Error en estado estable.

El error en rgimen permanente ess(del ingls steady-

state error) se define como el lmite cuando el tiempo

tiene a infinito de la seal temporal del error.

Sea el sistema de la figura:

)()(1

)(lim)(lim)(lim

00 sHsG

ssRssEtee

sstss

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para seal de entrada Escaln y

Constante KP de error esttico de posicin

El error estacionario del sistema para una entrada de

escaln unitario es:

La constante KP de error esttico de posicin se

define como:

Para un sistema tipo 0:

Para sistemas tipo 1 y superiores:

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para una seal de entrada Rampa y

Constante KV de error esttico de velocidad:

El error estacionario del sistema para una entrada

rampa unitaria, es:

La constante KV de error esttico de velocidad se

define como:

Para un sistema tipo 0:

)()(

1lim

1

)()(1lim

020 sHssGssHsG

se

ssss

)()(lim0

sHssGKs

V

0111

111

210

)sT()sT)(sT(

)sT()sT)(sT(KslimK

n

mba

sV

sse

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para una seal de entrada Rampa y

Constante KV de error esttico de velocidad:

Para un sistema tipo 1:

Para un sistema tipo 2 o superior:

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para entrada aceleracin y Constante Ka de

error esttico de aceleracin:

El error en estado estacionario para entrada

aceleracin unitaria se define por:

La constante Ka de error esttico de aceleracin se

define como:

Para un sistema tipo 0 y 1:

)()(

1lim

1

)()(1lim

2030 sHsGsssHsG

se

ssss

)s(H)s(GslimKs

a

2

0

0111

111

21

2

0

)sT()sT)(sT(

)sT()sT)(sT(KslimK

n

mba

sa

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para entrada aceleracin y Constante Ka de

error esttico de aceleracin:

Para un sistema tipo 2:

Para un sistema tipo 3 o superior:

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO

Magnitud y unidades del error:

Un error positivo significa que la salida no ha alcanzado

la referencia de entrada, mientras que un error negativo

significa que la salida es mayor que la entrada.

Respuestas ante

entradas escaln

Respuestas ante entradas

rampa

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO

Resumen:

Entrada/Tipo Entrada Escaln

R(t) = 1 Entrada Rampa

r(t) = t Entrada Aceleracin

r(t) = t2/2

KP ess KV ess Ka ess

Tipo 0 K K1

1 0 0

Tipo 1 0 K K

1 0

Tipo 2 0 0 K K

1

Tipo 3 0 0 0

K1

1

K

1

K

1

K1

1

K

1

K

1

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO

Error en sistemas con varias entradas

Sea el sistema de la figura sometida a perturbaciones:

Se obtiene:

Se divide en dos partes, la primera es el error ante la

entrada referencia con perturbacin nula y la segunda

es el error ante la perturbacin con referencia nula.