ANLISIS DE
SISTEMAS DE
CONTROL EN
DOMINIO DEL
TIEMPO.
A qu nos referimos cuando
mencionamos respuesta transitoria
y de estado estacionario.
Aunque sabemos que al subir de un
piso a otro por un elevador, la altura
aumenta, cmo graficamos ese
comportamiento en el dominio del
tiempo hasta alcanzar la altura (piso)
deseada? t0
Ejemplo 1: Dnde empieza y termina una
respuesta transitoria y una en estado
estacionario en una grfica en el dominio del
tiempo? (interpretacin intuitiva)
Tiempo de la respuesta transitoria Estado estacionario
ANLISIS DE SISTEMAS DE
CONTROL EN DOMINIO DEL
TIEMPO.
La seleccin de las seales deentrada a utilizar para analizarlas caractersticas de unsistema, depende de la formade las seales de entrada mshabituales a que el sistemaestar sometido encondiciones normales deoperacin.
Las seales de prueba deentrada ms comnmenteutilizadas son las funcionesescaln, rampa, aceleracin,impulso, sinusoidal y similares.
ENTRADAS TPICAS
DE PRUEBA.
ENTRADAS TPICAS DE PRUEBA.
ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIARESPUESTA TRANSITORIA PARA UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN.
)()()(
01 trbtcadt
tcda
)1()( t
eKtc
0a
bK
0
1
a
a
Respuesta de un sistema de 1 Orden a una
entrada Impulso
Respuesta ante entrada escaln
Respuesta ante entrada sinusoidal
Sistemas de segundo orden
Sistema Sobreamortiguado, > 1.
Respuesta sobreamortiguada ante entrada escaln
Sistemas crticamente amortiguados, = 1.
Respuesta crticamente amortiguada ante
entrada escaln
Sistemas Oscilatorios ( = 0)
Respuesta oscilatoria ante entrada escaln Los Polos son nmeros imaginarios conjugados:
Especificaciones de desempeo para
sistemas de 2 orden subamortiguados Tiempo de Crecimiento tr:
Tiempo de pico tp:
Sobre Impulso Mximo Mp:
Tiempo de Asentamiento o de establecimiento ts:
Sistemas de orden superior
El comportamiento de los sistemas de orden
superior, es decir, de aquellos que poseen
tres o ms polos, depende
fundamentalmente del carcter de los
polos ms lentos del sistema.
El polo ms lento es el que posee la
constante de tiempo ms grande, es decir,
aquel polo se encuentran ms cerca del
origen en el plano complejo S (polos
dominantes).
Sistemas de orden superior
Respuesta temporal de un sistema de 3 Orden:
)10(),0(1)2(
11
1)2(1cos)2(
1)2()(
2
2
2
222
2
tKe
tsentKe
Ktc
tp
tn
Respuesta temporal y posicin de los polos de un sistema de tercer orden
Curva de respuesta al escaln unitario del sistema de tercer orden, con = 0.5
Sistemas de orden superior
Respuesta temporal de un sistema de 3 Orden: caso particular en el que el polo real es el ms
lento.
Respuesta temporal y posicin de los polos de un sistema de tercer orden
Influencia de los ceros La presencia de un cero real negativo hace el
efecto contrario un polo, es decir, adelanta la
respuesta temporal en lugar de retrasarla.
Influencia del cero en la respuesta temporal del sistema
Influencia de los ceros Los sistemas de fase no mnima son aquellos que poseen
un cero real positivo.
La respuesta temporal de este tipo de sistemas tiene la
caracterstica de que comienza evolucionando en la
direccin contraria al valor en rgimen permanente
Respuesta temporal de un
sistema de fase no mnima
ANLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS
T0(s): Funcin de sensibilidad complementaria
S0(s): Funcin de sensibilidad
Si0(s): Funcin de sensibilidad a perturbacin de entrada
Su0(s): Funcin de sensibilidad de control
RELACIN ENTRE LA UBICACIN DE LOS POLOS
EN EL PLANO-s Y LA RESPUESTA TRANSITORIA
Respuesta al impulso para diversas localizaciones
de las races.
ESTABILIDAD Definicin de estabilidad.- se dice que un sistema
es estable cuando:
La respuesta del sistema a un impulso tiende a cerocuando el tiempo tiende a infinito.
Ante una entrada acotada le corresponde una salidatambin acotada.
Sistema Estable.-
Un sistema es estable si sus polos estn ubicados en elsemiplano izquierdo del plano complejo s.
Sistema con Estabilidad crtica.-
Ocurre cuando un polo est ubicado en el ejeimaginario del plano complejo s y los dems en ellado izquierdo del mencionado plano.
Sistema Inestable.-
Es inestable cuando tiene al menos un polo en el ladoderecho del plano complejo s.
CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA LA ESTABILIDAD
Sea la funcin de transferencia,
su ecuacin caracterstica posee n+ 1 coeficientes
ai reales:
Primero se comprueba que todos los coeficientes aisean positivos. Si hubiese algn coeficiente nulo o
negativo, el sistema no sera estable (Condicin
necesaria pero no suficiente de Cardano-Vite).
Para comprobar si es estable, se disponen los
coeficientes ai de forma que sigan el patrn
impuesto por la siguiente tabla:
CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA LA ESTABILIDAD
Los Coeficientes bi se calculan
como sigue:
Los coeficientes ci se calculan:
El criterio afirma que el sistema es estable si
y slo si todos los coeficientes de la primera
columna de Routh-Hurwitz son positivos.
Existen tantos polos con parte real positiva
como cambios de signo aparecen a la largo
de la primera columna
Inconvenientes del arreglo de Routh-Hurwitz.-
Presencia de un Cero Prematuro en la primera columna.-
Se reemplaza el cero por un nmero > 0 muy pequeo y
se sigue evaluado el arreglo.
Una fila de ceros prematuros en el arreglo.- Se construye
una ecuacin auxiliar a partir de la fila anterior a la fila de
ceros, se deriva esta ecuacin auxiliar y se reemplaza la fila
de ceros por los coeficientes de la ecuacin derivada.
Ejemplos: Probar si las siguientes ecuacionescaractersticas corresponden a sistemas estables. Caso
contrario, indicar el nmero de races con parte real
positiva.
CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ PARA LA ESTABILIDAD
061468) 234 ssssa 0654) 23 sssb
05432) 234 ssssc 044)23 sssd
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIOClasificacin de los sistemas de control
Considere la funcin de transferencia de lazo
abierto G(s)H(s):
Un sistema se denomina tipo o clase 0 (Cero),
1(Uno), 2 (Dos),, si N = 0, 1, 2, ,
respectivamente.
)1()1)(1(
)1()1)(1(
)())((
)())(()()(
2121
21
sTsTsTs
sTsTsTK
pspspss
zszszsKsHsG
n
N
mba
n
N
mT
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIODefinicin de Error en estado estable.
El error en rgimen permanente ess(del ingls steady-
state error) se define como el lmite cuando el tiempo
tiene a infinito de la seal temporal del error.
Sea el sistema de la figura:
)()(1
)(lim)(lim)(lim
00 sHsG
ssRssEtee
sstss
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para seal de entrada Escaln y
Constante KP de error esttico de posicin
El error estacionario del sistema para una entrada de
escaln unitario es:
La constante KP de error esttico de posicin se
define como:
Para un sistema tipo 0:
Para sistemas tipo 1 y superiores:
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para una seal de entrada Rampa y
Constante KV de error esttico de velocidad:
El error estacionario del sistema para una entrada
rampa unitaria, es:
La constante KV de error esttico de velocidad se
define como:
Para un sistema tipo 0:
)()(
1lim
1
)()(1lim
020 sHssGssHsG
se
ssss
)()(lim0
sHssGKs
V
0111
111
210
)sT()sT)(sT(
)sT()sT)(sT(KslimK
n
mba
sV
sse
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para una seal de entrada Rampa y
Constante KV de error esttico de velocidad:
Para un sistema tipo 1:
Para un sistema tipo 2 o superior:
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para entrada aceleracin y Constante Ka de
error esttico de aceleracin:
El error en estado estacionario para entrada
aceleracin unitaria se define por:
La constante Ka de error esttico de aceleracin se
define como:
Para un sistema tipo 0 y 1:
)()(
1lim
1
)()(1lim
2030 sHsGsssHsG
se
ssss
)s(H)s(GslimKs
a
2
0
0111
111
21
2
0
)sT()sT)(sT(
)sT()sT)(sT(KslimK
n
mba
sa
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Error para entrada aceleracin y Constante Ka de
error esttico de aceleracin:
Para un sistema tipo 2:
Para un sistema tipo 3 o superior:
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO
Magnitud y unidades del error:
Un error positivo significa que la salida no ha alcanzado
la referencia de entrada, mientras que un error negativo
significa que la salida es mayor que la entrada.
Respuestas ante
entradas escaln
Respuestas ante entradas
rampa
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO
Resumen:
Entrada/Tipo Entrada Escaln
R(t) = 1 Entrada Rampa
r(t) = t Entrada Aceleracin
r(t) = t2/2
KP ess KV ess Ka ess
Tipo 0 K K1
1 0 0
Tipo 1 0 K K
1 0
Tipo 2 0 0 K K
1
Tipo 3 0 0 0
K1
1
K
1
K
1
K1
1
K
1
K
1
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO
Error en sistemas con varias entradas
Sea el sistema de la figura sometida a perturbaciones:
Se obtiene:
Se divide en dos partes, la primera es el error ante la
entrada referencia con perturbacin nula y la segunda
es el error ante la perturbacin con referencia nula.
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