CIVIL HVCA Licenciado Ortega

1 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A – I N G C I V I L

CÁTEDRA : ANALISIS MATEMATICO II

CATEDRÁTICO : LIC.ORTEGA VARGAS, Jorge Luis

INTEGRANTES : TORIBIO FERNANDEZ, Queny Rudy

ROMERO TAIPE, Richar Elvis SEDANO RODRIGUEZ, marcos

CICLO : II

HVCA – 2015

ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL

INTEGRALES POR PARTES

TEMA


Con cariño y afecto a nuestros padres

Y hermanos, por su apoyo moral e

Incondicional, para que día a día

Logremos nuestras metas y propósitos.

INDICE



PRESENTACION……………………………………………………………………………4

INTRODUCCION……………………………………………………………………………5

MARCO TEORICO………………………………………………………………………….6

MARCO CONCEPTUAL…………………………………………………………………..10

EJERCICIOS DE NIVEL BASICO……………………………………………………..12

EJERCICIOS DE NIVEL INTERMEDIO………………………………………………21

EJERCICIOS DE NIVEL AVANZADO………………………………………………….36

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………46



PRESENTACION

En los momentos difíciles que atraviesa la sociedad peruana, a consecuencia de la

estructuración del sistema a nivel de nuestro país y aun nivel mundial, presentamos a

continuación el trabajo sobre integración por partes, con la finalidad de contribuir en los

jóvenes estudiantes de nuestra región, al conocimiento sobre el tema designado.

En el presente trabajo enfocamos los contenidos en forma específica sobre los “integrales por

partes “que en esta oportunidad nos tocó realizar.

Queremos agradecer a todos mis compañeros que hicieron posible para hacer realidad el

trabajo que nos designó el profesor del curso y por otro lado esperamos que este trabajo

coadyuve a elevar el nivel cultural de todo los estudiantes , para quienes va dedicado todo

nuestro esfuerzo.



INTRODUCCION

El presente trabajo de “integrales por partes “está dedicado a los estudiantes universitarios

que inicias sus estudios en la Universidad Nacional de Huancavelica en especial para los

estudiantes de ciencias e ingeniería.

En este trabajo trataremos de solucionar las integrales por partes por diferentes métodos de

acuerdo a algunos autores que nosotros optamos para realizar este trabajo.

Presentamos los diferentes métodos de integración por partes con la finalidad de facilitar

él estudió a los alumnos .El objetivo de este trabajo es exponer algunos métodos , su

importancia y aplicaciones .

Calcularemos integrales por partes, para ello aplicaremos diferentes temas como por

ejemplo, las derivadas de funciones, funciones reales, recta tangente, límites y continuidad

de una función etc. La parte teórica y práctica se desarrolla de una manera muy metódica.

Por ultimo deseamos agradecer y expresar nuestro apreció a las personas que hicieron sus

valiosas comentarios y sugerencias para la realidad este trabajo.

MARCO TEORICO



INTEGRACION POR PARTES:

Lázaro, M. (2008). “Calculo integral y sus aplicaciones”. Segunda edición Editorial

Moshera.)

Según moisés lázaro indica que la integración por partes se aplica cuando en el integrando se

encuentra el producto de dos funciones que pueden ser:

Polinomios por arcos, polinomios por logaritmos, polinomios por senos, polinomios por

cosenos, polinomios por exponencial, senos por exponencial, cosenos por exponencial, secu3

,csc3.

Debemos tener en cuenta lo siguiente.

La función (dv) debe ser aquella que se puede

integrar inmediatamente.

Tener cuidado que un solo ejercicio a veces, se tiene

que integrar por partes más de una vez, o puede resultar una integrar circular.(pg. 49)

∫udv=uv−∫ vdu

Dónde generalizando.

u(x) y v(x) son funciones reales.

Espinoza E. (2010).”Análisis matemático II “.Quinta edición Editorial eduq Perú.),



Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x.

Para diferenciar un producto de dos funciones.

d (uv )=udv+vdu , Lo que es equivalente.

U (dv)=d (uv) – vdu , integrando ambos miembros se tiene. (pg.101)

∫udv=uv−∫ vdu

La fórmula para la integración por partes.

Piskunov N. (1977). “Calculo diferencial e integral tomo I “ Tercera edición, Editorial

Mir Moscú)

Si u y v son dos funciones derivables de x, entonces como sabemos la diferencial del

producto uv es.

d (uv )=udv+udu

Integrando:

∫ d (uv )=∫udv+∫ vdu

uv=∫udv+∫ vdu

∫udv=uv−∫ vdu

Esta es la fórmula de integración por partes la expresión que pueden ser representadas en

forma de un producto de dos factores, u y dv, de tal manera que la búsqueda de la función v, a

partir de su diferencial dv, y el cálculo de la integración ∫udv, constituyan en conjunto un

problema más simple que el cálculo directo de la integral ∫udv .(Pg.385)



Mitacc M. (2009). “Tópicos de cálculo volumen 2 “Tercera edición, Editorial Thales,

S.R.L.)

Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo I. Por la regla de la

diferencial del producto, se tiene.

∫ d (uv )=∫udv+∫ vdv

uv=∫udv+∫ vdv

∫udv=uv−∫ vdu

Esta fórmula es conocida como fórmula de integración por partes.

OBSERVACION:

La idea básica de la integración por partes consiste en calcular la integración original

mediante el cálculo de otra integral la cual se espera que sea más simple de resolver que la

integral original dada.

Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv normalmente se elige

como la función (u) aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y dv

será el factor restante del elementó de integración.

Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv , no es necesario

considerar la constante de integración , pues si en lugar de v se considera v +c , c constante

entonces .(pg. . 20)

∫udv=u (v+c )−∫ ( v+c ) du

∫udv=uv−∫ vdu

Esto significa que la constante c, considerada no figura en el resultado final.



Marilla.D. “Cálculo de funciones, limites, derivadas e integral “ Sexta edición, revista)

Sea f(x) o g(x) funciones derivables no intervalo. Tenemos:

[ f ( x ) . g (x)]‘= f(x).g‘(x) +g(x).f ‘(x)

O

F(x).g‘ ( x )=[ f ( x ) . g (x) ]‘- g(x).f ‘(x)

Integrando ambos lados obtenemos:

∫ f ( x ) . g‘ ( x ) . d ( x )=∫ [ f ( x ) . g(x )]‘d(x) -∫ g ( x ) . f ‘ ( x )d (x )

O

∫ f ( x ) . g‘ ( x )d ( x )= f (x ) . g ( x )−∫ g ( x ) . f ‘ ( x )d(x )

Observamos que expresando (I) decimos que escribir la constante de integral que puede ser

representado con una constante “C” que introducimos al final.

U= f(x) → du = f ‘ ( x )dx e v = g(x) →dv = g‘ ( x )dx

Sustituyendo en (I). (Pg252).

∫udv=uv−∫ vdu

Esta es la fórmula de la integración por partes

MARCO CONCEPTUAL

LA DERIVADA: Es la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta

tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en

verde

RECTA TANGENTE:



RECTA NORMAL: Se llama normal a una recta perpendicular a otra, en especial a

una tangente por su punto de tangencia.

INTEGRALES: Es la anti derivada de una función son operadores inversas


https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_tangencia&action=edit&redlink=1

https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicular


INTEGRACION POR PARTES: Es cuando la función que se desea integrar es igual al

producto de dos funciones

EJERCICIOS DENIVEL BASICO

1. ∫ (x2+3 x−1)e2 xdx

Solución:



Escogemos

{u=(x2+3 x−1)→du=(2x+3)dx

dv=e2x→v=12e2x }

Luego obtenemos

∫(x2+3 x−1)e2 xdx=uv−∫ vdu

∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12

(x2+3 x−1 )e2x−∫ 12e2x (2 x+3 )dx

∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12

(x2+3 x−1 )e2x−∫e2x (x+32 )dx

Ahora integramos para llegar a más simple posible.

∫ e2 x(x+ 32 )dx…………………………………………… ..(a)

[ u=x+ 32→du=dx

dv=e2x dx→v=12e2 x]

Por lo tanto.

∫ e2 x(x+ 32 )dx=1

2e2x (x+ 3

2 )−∫ 12e2x dx

∫ e2 x(x+ 32 )dx=1

2e2x (x+ 3

2 )−12∫e2x dx

∫ e2 x(x+ 32 )dx=1

2e2x (x+ 3

2 )−14e2x+c

Finalmente queda:

∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12

(x2+3 x−1 )e2x−[12e2x (x+ 3

2 )−14e2x+c ]



∫(x2+3 x−1)e2 xdx=12

(x2+3 x−1 )e2x−1e2 x . (2 x+3 )4

− e2 x

4+c

2. ∫ x2 lnxdx=uv−∫ vdu

Solución:

[u=lnx→du=dxx

dv=x2→v= x3

3 ]∫ x2 lnxdx=lnx . x

3

3−∫ x3

3. dxx

∫ x2 lnxdx=lnx . x3

3−1

3∫ x2dx


3−1

3⌊ x

3

3⌋+c


3− x3

9+c

∫ x2 lnxdx= x3

9(3lnx−1 )+c

3. ∫ x sec2 xdx

Solución:

⌊ u=x→du=dxdv=sec2 xdx→v=tanx

⌋ Ahora aplicamos integrales por partes.

∫ x sec2 xdx=uv−∫ vdu

∫ x sec2 xdx=x . tanx−∫ tanx .dx



∫ x sec2 xdx=x . tanx−ln|secx|+c

4. ∫ arcsen (2 x ) dx

Solución:

Primero hacemos cambio de variable

y=arcsen (2x )→dy= 2x√1−4 x2

seny=2 x→ seny2

=x ahoraderivamos.

dx=12cosydy

Ahora graficamos en la figura.

1 2x

√1−4 x2

∫ y . 12cosydy

Ahora recién integramos por partes

[ u= y→du=dydv=cosydv→v=seny ]

12∫ y .cosy dy=uv−∫ vdu

12∫ y .cosy dy= yseny−∫ seny .dy


Y


12∫ y .cosy dy=1

2 |− y . seny−∫ senydy|

12∫ y .cosy dy=1

2|y . seny+cosy+c|

12∫ y .cosy dy=1

2|arcsen (2x ) .2x+√1−4 x2+c|

∫ y . cosy dy=|x . arcsen (2x ) .+ √1−4 x2

2+c|

5. ∫ lnxx3 dx

Solución:

⌈u=lnx…→du=dx

x

dv=x−3dx→v= x−2

−2

⌉

Ahora aplicamos la integral por partes

∫ lnxx3 dx=uv−∫v .du

∫ lnxx3 dx=−1

2lnx . x−2−∫−1

2x−2 . dx

x

∫ lnxx3 dx=¿−1

2lnx . x−2+1

2∫ x−3dx

∫ lnxx3 dx=−1

2lnx . x−2− 1

4x−2+c

∫ lnxx3 dx= lnx

2 x2−1

4 x2 +c

∫ lnxx3 dx= lnx

2 x2−1

2¿¿



∫ lnxx3 dx=( 1

2 x2 )( lnx− 12 )+c

∫ lnxx3 dx=( 1

2 x2 )(2 lnx−12 )+c

∫ lnxx3 dx=−1+2 lnx

4 x2 +c

6. ∫cos ( lnx )dx

Integremos por partes poniendo:

(u=cos (lnx )dx→du=−sen . lnx . 1xdx

dv=dx→v=x )

∫cos (lnx )dx=uv−∫ v .du

∫cos ( lnx )dx=cos ( lnx ) . x−∫−x . 1xsen . lnx . dx

∫cos ( lnx ) dx=xcos (lnx )+∫ sen (lnx ) dx ahorasiguimos integrando

∫ sen ( lnx ) dx ahora siguimos integrando…………………….(1)

[u=sen (lnx )→du=cos (lnx ) 1xdx

dv=dx→v=x ]∫ sen ( lnx )dx=uv−∫ vdu

∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−∫ x . 1x.cos (lnx )dx

∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−∫ cos ( lnx )dx

Finalmente llegamos al mismo integral entonces reemplazamos.

∫cos (lnx )dx=cos (lnx ) . x+∫ en .lnx . dx

∫cos ( lnx )dx=cos ( lnx ) . x+( sen ( lnx ) . x−∫cos (lnx )dx)



2∫ cos (lnx )dx=cos (lnx ) . x+sen (lnx ) . x

∫cos ( lnx )dx= x2¿

7.∫ sen (lnx )dx

Solución:

[u=sen ( lnx )→du=cos (lnx ) dxx

dv=dx→v=x ]∫ sen ( lnx )dx=uv−∫ vdu

∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−∫ x . 1x

cos (lnx )dx

∫ sen ( lnx )dx=x . sen ( lnx )−∫ cos ( lnx )dx… ..ahora integramos a :

∫cos (lnx )dx… ..ahora integramos a :……………………(1)

[u=cos ( lnx )→du=−sen ( lnx ) 1xdx

dv=dx→v=x ]∫cos ( lnx )dx=u . v−∫ vdu

∫cos (lnx )dx=cos (lnx ) . x−∫−x . 1xsen (lnx )dx

∫cos ( lnx ) dx=cos ( lnx ) . x+∫ sen ( lnx )dx

Finalmente queda así:

∫ sen ( lnx )dx=sen ( lnx ) . x−(cos ( lnx ) . x+∫ sen (lnx )dx )

∫ sen (lnx )dx=sen ( lnx ) . x− x . cos ( lnx )−∫ sen ( lnx )dx+c

2∫ sen (lnx )dx=¿x . sen (lnx )−x . cos (lnx )+c¿



∫ sen ( lnx )dx= x2

¿

8.∫(arcsen2¿x ). dx ejercicio propuesto N10¿

Solución: primero haciendo cambio de variable.

( y=arcsenx→ x=seny→dx=cosy .dy )

∫(arcsen2¿x ). dx=∫ y2 . cosy .dy ¿

∫ y2 . cosy .dy=u . v−∫ v .du

[ u= y2→du=2 y .dydv=cosydy→v=seny ]∫ y2 . cosy . dy= y2 . seny−2∫ seny. ydy

Integramos el siguiente para simplificar:

∫ seny . ydy

[ u= y→du=dydv=senydy→v=−cosy ]∫ seny . ydy=− y .cosy−∫−cosy .dy

∫ seny . ydy=− y .cosy+∫ cosy .dy

Finalmente queda:

∫ y2 . cosy . dy= y2 . seny−2∫ seny. ydy

∫ y2 . cosy .dy= y2 . seny−2 [− y . cosy+∫cosydy ]

∫ y2 . cosy .dy= y2 . seny+2 y . cosy−2 seny+k

Reemplazamos integral principal


∫ y2 . cosy .dy=x .¿

∫ ln (lnx)x

dx=lnx ¿


9. ∫ ln (lnx)x

dx ejercicio propuesto N11

Solución:

Haciendo cambio de variable

¿Ahora reemplazamos.

∫ ln (lnx )x

dx=∫ ln ( p )dp Ahora recién aplicamos la integral por partes.

∫ ln (p )dp………………………[u=ln (p )→du=dpp

dv=dp→v=p ]∫ ln (p )dp=u . v−∫ vdu

∫ ln (p )dp=ln ( p ) . p−∫ p . dpp

∫ ln (p )dp=p . ln (p )−∫dp

∫ ln (p )dp=p . ln (p )−p+k

Finalmente reemplazamos:

10. ∫ x .arctx . dx

Solución:

[u=arctanx . dx→du= dx1+x2

dv=xdx→v= x2

2 ]∫ x .arctx . dx=uv−∫ v . du

∫ x .arctx . dx=arctanx . x2

2−∫ x2

2. dx1+x2


∫ x .arctx .dx=arctanx .( x2+12

¿)−12x+k ¿



2−1

2∫ . x2 dx1+x2 ahora dividimos

x2

1+x2 =1− 11+ x2


2−1

2∫ .(1− 11+x2 )dx


2−1

2∫ . dx+ 12∫

dx1+x2


2−1

2x+ 1

2arctanx+k

Factor izando queda así:

INTEGRALES NIVEL INTERMEDIO

1. ∫ (eax¿. cosbx )dx ejemplo29 resuelto de la pagina21¿

Solución:

[ u=eax→du=a .eax dx

dv=cosbx .dx→v= senbxb ]

∫(eax¿. cosbx )dx=u . v−∫ v .du¿



∫(eax¿. cosbx)dx=eax . senbxb

−∫ sen (bx)a . eaxdxb

¿


−ab∫ eax senbx .¿

ab∫ eax senbx .……………………….integramos devuelta…… (1 )

[ u=eax→du=a . eaxdx

dv=senbxdx→ v− cosbxb ]

∫ eax senbx .=u . v−∫ v .du

∫ eax senbx .=−eax . cosbxb

−∫−cosbxb

.a . eaxdx

∫ eax senbx .=−eax . cosbxb

+ ab∫(¿eax . cosbx)dx¿

Ahora reemplazamos en el integral original.


−ab¿¿

∫(eax¿. cosbx )dx=eax . senbxb

+ ab. eax . cosbx

b−a2

b2∫(¿eax . cosbx )dx factorizamos .¿¿

∫(eax¿. cosbx )dx+ a2

b2∫(¿eax . cosbx )dx=eax .sen(bx)

b+ ab. eax . cosbx

b¿¿

(1+ a2

b2 ) .∫(eax¿ .cosbx )dx=eax . sen(bx )b

+ a .cosbx . eax

b2 ¿

(1+ a2

b2 ) .∫(eax¿ .cosbx)dx=b2¿¿¿

( b2+a2

b2 ).∫(eax¿. cosbx )dx=b2 ¿¿¿

∫(eax¿. cosbx )dx=b2¿¿¿¿

∫(eax¿. cosbx )dx=b2¿¿¿

∫(eax¿. cosbx )dx=b ¿¿¿



2. ∫ secx5dx ejemplo30 resuelto de la pagina22

Solución:

Primero hacemos un artificio.

∫ secx5dx=∫ sec3 x . sec2 x .dx

∫ sec3 x . sec2 x .dx=u . v−∫ v .duahorareciendesarrollamos por parte s .

[u=sec3 xdx→du=3 sec2 x . secx .tanxdxdv=sec2 x . dx→ v=tanx ]

∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .tanx−∫ tanx .3 sec3 x . tanx .dx

∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .t anx−3∫ tan 2 x . sec3 x .dx

aqui aplicamosla propiedad de sec2 x−tanx2=1

∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .tanx−3∫(sec2x−1¿) . sec3 x .dx ¿

∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x .tanx−3∫ sec5 x .dx+3∫ sec3 x .dx

4∫ sec3 x . sec2 x . dx=sec3 x . tanx+3∫ sec3 x .dx……………………………………… ..α

∫ sec3 x .dxdesarrollamos igual por partes…………………………………. (1 )

∫ sec3 x .dx=∫ secx. secx2dx

∫ secx . secx2dx

Solución:

[u=secx .→du=secx . tanx .dxdv=secx 2dx→dv=tanx ]

∫ secx . secx2dx=uv−∫ v .du


∫(eax¿. cosbx )dx= . eax (bsenbx+acosbx )(b2+a2)

+k ¿


∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ tanx. secx .tanx .dx

∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ tan2 x . secx .dx

aplicamos la propiedad desec2 x−tan2 x=1

∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ (sec2 x−1). secx .dx

∫ secx . secx2dx=. secx . tanx−∫ ¿¿¿

2∫ (sec3 xdx¿)=. secx. tanx+∫ secx . dx¿

2∫ (sec3 xdx¿)=. secx. tanx+ ln|secx+tanx|+k ¿

∫(sec3 xdx¿)=12secx . tanx+ 1

2ln|secx+tanx|+k=m ¿

finalmentereemplazamos enel integral principal

4∫ sec3 x . sec2 x .dx=se c3 x . tanx+3∫ sec3x .dx………………………………………..α

4∫ sec3 x . sec2 x . dx=sec3 x . tanx+3m

4∫ sec3 x . sec2 x . dx=sec3 x . tanx+3[ 12secx . tanx+ 1

2ln|secx+tanx|+k ]

4∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x . tanx+[ 32secx .tanx+ 3

2ln|secx+ tanx|+k ]

4∫ sec3 x . sec2 x .dx=sec3 x . tanx+¿

3. I=∫ ex (1+x . lnx )x

dx ejemplo33 resuelto de la pagina24

Solución:

Separando la integral en la suma de dos integrales, se tiene.

∫ ex

xdx+∫ ex . xlnx

xdx…………….∫e x . lnx=I


∫ sec3 x . sec2 x .dx=14sec3x . tanx+3

8¿


para laintegral I hacemos .[ u=lnx→du=dxx

dv=exdx→v=ex ]∫ ex . lnx=u . v−∫ v . du

∫ ex . lnx=lnx . ex−∫ ex . dxx

I=∫ ex

xdx+∫ex .lnx=¿¿

I=∫ ex

xdx+lnx . ex−∫ex . dx

x

4. ∫ x .arctan2 xdxejemplo 31resuelto de la pagina23

Solución:

[u=arctan2 x→du=2arctanx . dx1+x2

dv=x . dx→v= x2

2 ]∫ x .arctan2 xdx=u . v−∫ v du

∫ x .arctan2 xdx=arctan2 x . x2

2−∫ x2

2.2arctanx . dx

1+x2

∫ x .arctan2 xdx=arctan2x . x2

2−∫ x2 arctanx

1+x2 dx

∫ x2 arctanx1+x2 dx=∫arctanx . dx+∫ artctanx .dx

1+x2 descomponesen sus factores


I=lnx . ex+k



2−∫ arctanx .dx+∫ artctanx .dx

1+x2

ahora desarrollamoslaintegral aparte∫arctanx .dx+¿…………………… ..a ¿

[u=arctanx→du= dx1+x2

dv=dx→v=x ]esto reemplazamos en laintegral final .Reemplazamos ahora

∫ arctanx .dx=uv−∫ v . du

∫ arctanx .dx=x . arctanx−∫ . x . dx1+x2

∫ x . dx1+x2 ahoradesarrollamos haciendo cambiadevariable………… ..(a .1)

[u=1+x2derivando quedaasi:

du=2 x .dx→dx= du2 x ]

∫ x .dx1+x2=∫ . xdx

ureemplazando los valoresquedara asi:

∫ .x du

2xu

=∫ 1du2u

=12∫

duu

=12

ln (u )+k

∫ x .dx1+x2=

12

ln (1+x2 )+k :………………………a .1


2−∫ arctanx .dx+∫ arctanx . dx

1+x2 reemplazamos .


2−[ x .arctanx−∫ . x . dx

1+x2 ]+∫ arctanx .dx1+x2


2−[ x .arctanx−1

2ln (1+x2 )]+∫ arctanx . dx

1+x2




2ln (1+x2 )]+(1+x2)2

2+k




2ln (1+x2 )]+∫u .du



2ln (1+x2 )]+ u2

2+k

Finalmente queda reemplazando todo los valores.

5. ∫ x .arctan√x2−1dx ejemplo16 propuesto de la pagina27

Solución:

[u=arctan .(√x2−1 )→du= dxx . (√x2−1)

dv=x .dx→v= x2

2]

∫ x .arctan .√x2−1dx=u . v−∫ v .du

∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1) . x2

2−∫ x2

2. dxx . (√ x2−1 )

∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan . (√x2−1) . x2

2−1

2∫ x . dx(√ x2−1)

∫ x . dx(√x2−1)

haciendouncambiode variableresolvemos .

u=x2−1→ du2 x

=dx estoreemplazmo s enelintegral .

∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan . (√x2−1) . x2

2− 1

2∫ x . dx(√ x2−1)

∫ x .arctan .√x2−1dx=arctan .(√x2−1 ) . x2

2− 1

2∫x . du

2 x√u



2−1

2 √ x2−1+k


∫ x .arc tan .√x2−1dx=arctan . (√ x2−1 ) . x2

2−1

4∫. du√u


2−1

4∫du .u−1 /2


2−1

4. u−12

+1

−12 +1


2 −14u

12

12

+k


2 −11u

12

2 +k


2−1

2 √u+k

6. ∫ ln ( x+√1+x2 )dx ejemplo6 propuesto

Solución:

{u= ln ( x+√1+x2 )→du=( 1+ x√1+x2d

x+√1+x2 )dx = 1√1+x2

dx

dv=dx→v= x}

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=uv−∫ v .du

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫ x 1√1+x2

dx .

∫ x 1√1+x2

dx haciendocambio devariable resolvemos .



u=1+x2→ du2x

=dx ahorareemplazamos enel integral .

∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−∫ x 1√u

dx .

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫ x .dx√u

.

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫x . du

2 x√u

.

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−∫x . du

2 x√u

.

∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−12∫

du√u

.

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−12∫

du .u−1/2

1.

∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−12u

−12 +1

1−12

∫ ln ( x+√1+x2 )dx= ln (x+√1+x2) . x−¿ u1/2

1¿

∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−¿√u+k ¿

7. ∫ ln (√ x+√1+x¿)dxej ercicio propuestonumero24¿

Solución:

[u=ln (√x+√1+ x )→du=

12√x

+ 12√1+x2

√x+√1+xdx du= 1

2√x2+xdx

dv=dx→v=x]


∫ ln ( x+√1+x2 )dx=ln (x+√1+x2) . x−¿√1+x2+k ¿


∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=u . v−∫ v .du¿

∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )−12∫

x√ x2+x

d x¿

12∫

x√x2+ x

haciendounartificio queda 14(∫ 2x+1

√x2+xdx−∫ 1

√ x2+xdx )

∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [∫ 2 x+1

√ x2+xdx−∫ 1

√x2+xdx ]¿

∫ 2x+1√ x2+x

dx desarrollandohaciendo cambiod variablequeda .u=x2+x du2 x+1

=dx

∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [∫ 2 x+1

√udx−∫ 1

√x2+xdx ]¿

∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [∫ 2 x+1 du

2x+1√u

−∫ 1√ x2+x

dx]¿∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 1

4 [∫ du√u

−∫ 1√x2+x

dx ]¿∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 1

4 [2√x2+ x−∫ 1√x2+ x

dx ]¿

∫ 1√ x2+x

dx haciendo artificioqueda .2∫1

2√x+ 1

2√x+1√ x+√x+1

Finalmente queda asi:

∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )− 14 [2√x2+ x−2∫

12√ x

+ 12√x+1

√x+√ x+1dx ]¿

∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=x . ln (√ x+√1+x )−12 √x2+x+ 1

2ln (√x+1+√ x)+k ¿


∫ ln (√ x+√1+x¿)dx=(x+ 12 ) ln (√ x+1+√ x )−1

2 √ x2+x+k ¿


8. ∫ sen2( ln¿x)dx ejemplo propuesto N 25¿

Solución: aplicandoel angulo doble queda: 1−cos2θ2

=sen2θ

[u=sen2 ln ( x )=1−cos (2 lnx )2

→du= sen (2 lnx )x

dx

dv=dx→v=x ]∫ sen2( ln¿x)dx=u . v−∫ v . du¿

∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−∫ x . sen (2 lnx )x

dx¿

∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−∫sen (2lnx )dx………………………………… .1¿

k=∫ sen (2 lnx )dx ahorasiguimos integrando .

[u=sen (2 lnx )→du=2 cos (2 lnx )x

dx

dv=dx→v=x ]K= ∫ sen (2 lnx )dx=u . v−∫ v .du

k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−∫ x . 2 cos (2lnx )x

dx

k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2∫cos (2 lnx )dx

Reemplazando queda así:

2∫ cos (2 lnx )dxresolvi endoel integral queda .

[u=cos (2lnx )→du=−2 sen (2 lnx )x

dx

dv=dx→v=x ]2∫ cos (2 lnx )=u .v−∫ v .du

2∫ cos (2 lnx )=2¿



2∫ cos (2 lnx )=2 [x .cos (2 lnx )+2∫ . sen (2 lnx )dx ] Ahora reemplazamos:

k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2∫cos (2 lnx )dx

k=∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2 [[ x .cos (2 lnx )+2∫ . sen (2lnx )dx ]]

∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2lnx )−2x .cos (2lnx )−4∫ . sen (2 lnx )dx

5∫ sen (2 lnx )dx=x . sen (2 lnx )−2 x . cos (2 lnx )

∫ sen (2 lnx )dx=15

¿

Finalmente reemplazamos en el integral principal

∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−∫sen (2lnx ) dx ¿

9. ∫ (arc cosx−lnx )dx ejemplo propuesto N 28

Solución:

∫ arc cosx . dx−∫ lnx .dx

M=∫ arc cosxdxN=∫ lnx . dx

Primero para:

M=∫ arc cosxdx


∫ sen2( ln¿x)dx=x . sen2 ln ( x )−15¿¿¿


[u=arc cosx→du= dx√1−x2

dv=dx→v=x ]M=∫ arc cosxdx=u . v−∫ v .du

M=∫ arc cosxdx=x . arc cosx .−∫ x . dx√1−x2

u=1−x2haciendo cambiode variable quedaasi: du−2 x

=dx

M=∫ arc cosxdx=x . arc cosx .−∫ x . dx√1−x2

M=∫ arc cosxdx=x .arc cosx .−∫ x . dx√u

M=∫ arc cosxdx=x .arc cosx .−∫x . du

−2 x√u

M=∫ arc cosxdx=x . arc c osx .+ 12∫

du√u

M=∫ arc cosxdx=x . arc cosx .+√1−x2+k

N=∫ lnx .dx

Solución:

[u=lnx→du= dxx

dv=dx→v=x ]N=∫ lnx .dx=u . v−∫ v .du

N=∫ lnx .dx=x . lnx−∫ x . dxx

N=∫ lnx .dx=x . lnx−∫dx

N=∫ lnx .dx=x . lnx−x+k




10. ∫ x4−x .arctanx(1+ x2)2 dx

Solución:

I=∫ x4

¿¿ ¿

I=∫ (x4+2x2+1 )−2x2−1¿¿ ¿

I=∫¿¿¿

I=∫dx−∫ (2 x2+1 )( 1+x2 )2

dx−∫ x .arctanx1+x2¿2 ¿d x

a…=∫ (2x2+1 )(1+x2 )2

dx haciendo cambiode variable integramo s

∫ (2 x2+1 )(1+x2 )2

=−2∫ dx1+ x2 +∫ 1

(1+x2 )2

I=∫dx−2∫ dx1+x2 +∫

1dx(1+x2 )2

−∫ x .arctanx1+x2¿2 ¿d x

I=x−2arctanx+∫ 1dx(1+ x2 )2

−∫ x .arctanx1+x2¿2 ¿d x

∫ x .arctanx¿¿ ¿

¿ Ahora reemplazamos en el integral.



∫ (arc cosx−lnx )dx=x . arc cosx .+√1−x2−(x . lnx−x )+k





−[ −12 (1+❑2 )

arctanx+∫ dx(1+x2 ).1+x2 ]


+12arctanx(1+x2 )

−12∫

dx(1+x2)2

I=x−2arctanx+ 12arctanx(1+ x2 )

+ 12∫

dx(1+x2)❑

∫ dx(1+x2 )2

…………………………bhaciendo unartificioquedab=∫ (1+x2−x2)(1+x2 )2

d x

∫ (1+x2 )(1+x2 )2

dx−∫ x2

1+x2 dx=arctanx−∫ x2

1+x2 d x

∫ x2

1+x2 dx desarrolandoqueda .

[ u=x→du=dx

dv= x1+x2=

12

2x.1+ x2 →v= −1

2(1+x2) ]∫ x2

1+x2 dx=−x . 12 (1+ x2 )

+ 12∫

dx(1+x2)


+ 12∫

dx(1+x2)❑


+12 [−x . 1

2 (1+x2)+

12∫

dx(1+x2) ]


− 1x4 (1+x2 )

+ 14∫

dx(1+x2)



I=x−74arctanx+ arctanx

2 ( 1+x2 )+ x

4 (1+x2 )+k


EJERCICIOS DENIVEL AVANZADO

01.−∫ X 4−Xarctanx(1+x2)2 dx……………………… (Ejerciciosn¿32)

Solución:

I =∫ x4

(1+x2)2dx -∫ xartanx(1+x2)2 dx

I=∫ (x¿¿ 4+2 x2+1)−2 x−1(1+x2)2 ¿dx -∫ xarctanx

(1+x¿¿2)2 dx¿

I=∫ (x¿¿2+1)2−2 x2−1(1+x¿¿2)2 ¿¿dx -∫ xarctanx

(1+x¿¿2)2 dx¿

I=∫ (x¿¿2+1)2

(1+x¿¿2)2 ¿¿dx - ∫ 2x2+1(1+x¿¿2)2 dx¿ - ∫ xarctanx

(1+x¿¿2)2 dx¿

I=∫ dx - ∫ 2 x2

(1+x¿¿2)2 ¿ + ∫ dx(1+x¿¿2)2 dx¿ - ∫ xarctanx

(1+x¿¿2)2 dx¿

I= X -∫ 2 x1+x2 dx + ∫ dx

(1+x¿¿2)2 dx¿ – ∫ xarctanx(1+x¿¿2)2 dx¿

Resolviendo por partes:



∫ 2 x1+x2 dx Utilizando elcambio devariable

U = 1+x2 du = 2x

∫ duu = ln|u| = ln |1+x2|

∫ 1(1+x¿¿2)2 dx¿ = ∫ 1+x2−x2

(1+x¿¿2)2 dx¿ =∫ 1+x2

(1+x¿¿2)2 dx¿ - ∫ x2

(1+x¿¿2)2 ¿dx

∫ dx1+x2dx - ∫ x

1+x2 dx = arctan x - 12∫

x1+x2 dx

Integrando por cambio devariable :

U= 1+x2 du =2x

Entonces quedaría

arctanx−12

ln|1+ x2|

∫ xarctanx(1+x¿¿2)2 dx¿ integrando por partes

U=arctanx dx= 11+x2 dx

Dv= xdx

(1+x¿¿2)2dx v= −12(1+x2)

¿

−arc tanx2(1+x2)2 +

12∫

11+x2

11+ x2 dx

−arctanx2(1+x2)

+ 12arctanx−1

4 Ln|1+x2|

Remplazandoa laintegral inicial:

I=X−ln|1+x2|+arctanx−12l n|1+x2|+ arctanx

2(1+x2)−1

2arctanx+ 1

4ln|1+x2|



I= x -54

ln|1+x2|+12arctanx+ arctanx

2 (1+x2 )+c

02.−∫ cos2 x . ex dx……………………….(Ejercicion¿34)

I=∫( 1+cos2 X2 )exdx

I=12∫ (1+cos2 X ) ex dx

I = 12 [∫ex dx+∫ ex cos2x dx ]

I= 12ex+ 1

2∫ ex cos2x dx

Hallandoesta integral por separado por par tes:

I 1=∫ ex cos2x dx u= cos2x du = -2 sen2x

dv=exdx v= ex

I 1=ex cos 2xdx+2∫ex sen2 xd x

Sea:

u = sen2x du=2cos2xdx

du=ex dx v=ex

I 1=ex cos2 x +2x2sen2x - 4∫ excos2xdx

I 1=ex cos 2x+2ex sen2 x−4 I 1

5 I1=excos 2x+2 ex sen2 x

I 1=ex

5[ cos2 x+2 sen2x ]+c

Remplazando en I



I= 1e x

2+

12 [ ex

5(cos2 x+2 sen2x )]+c

I= 1e x

2+[ e x

10(cos2 x+2 sen2 x )]+c

03. - ∫ x2 secx2

( tanx−xsec¿¿2 x)2 dx ¿ ……………………….. (Ejercicios n# 37)

I =∫ e2 tanx sec2 xtanx (tanx−x sec2 x )2

dx Integrando por partes:

u = x

tanx du = tanx−x sec2 xtan2x

dx

dv =xtanx sec2 x

(tanx−x sec2 x )2 v=

12 (tanx−x sec2 x )

dx

I= X

2tanx (tanx−x sec2 x ) - 12∫

dxtan2 x

I= X

2tanx (tanx−x sec2 x ) - 12∫ cot2 xdx

I= X2tanx (tanx−x sec2 x )

−12∫ (csc 2 x−1 )dx

I=12 ( X

tanx (tanx−x sec2x )+cot2 x+x )+c

04.−∫ (e2 x−x2 ) ( x−1 )x2ex dx………………….(Ejercicio n¿45)



I=∫ e2 x ( x−1 )x2ex

− x2 ( x−1 )x2 ex dx

I=∫ e2 x ( x−1 )x2ex

dx−∫ x2 ( x−1 )x2ex

dx

I=∫ xex−ex

x2 dx−∫ ( x−1 )ex dx

I=∫ xex

x2 dx−∫ ex

x2 dx−∫( x−1 )ex

dx

I=∫ ex

xdx−∫ ex

x2 dx−∫ ( x−1 )e x d x

Integrando por partes :

∫ ex

xdx u=1

x du=

−1x2

dv= ex v=ex

∫ ex

xdx = e

x

x+∫ ex

x2 dx + c

∫ ( x−1 )ex dx u=x−1 du=dx

dv=1ex

v= -1ex

∫ ( x−1 )ex dx =

−1 ( x−1 )ex +∫ dx

ex +c

Remplazando en I :

I= ex

x+∫ ex

x2 dx−∫ ex

x2 dx+x−1ex

−∫ dxex



I= ex

x+ x−1

ex −∫ dxex

I= ex

x+ x−1

ex + 1e x

I= ex

x+ xex −

1ex +

1ex

05.-∫ ( xsenx+cosx ) (x2−cos2 x )x2 cos2 x

dx…………… (ejercicion¿44)

I=∫ ( xsenx+cosx ) (x2−cos2 x )x2 cos2 x

d x

Inte grando por partes:

u=xsenx+cosx du=xcosxdx

dv=e2−cos2 xx2 cos2 x

v=tanx+ 1x

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−∫( t anx+ 1

x ) xcosx d x

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−[∫ ( xsenx+cosx ) ]d x

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−[∫ ( xsenx+∫cosx ) ]d x

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−∫ xsenxdx−∫ cosx d x

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−senx−∫ xsenxdx

Integrando por separados :


I= ex

x+ xex +c


∫ xsenxdx u=xdu=dx

dv=senx v=−cosx

∫ xsenxdx=−xcosx−∫−cosxdx

∫ xsenxdx=−xcosx+∫cosxdx

∫ xsenxdx=−xcosx+senx+c

Remplazando :

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−senx+xcosx−senx

I=( xsenx+cosx )( tanx+ 1x )−2 senx+xcosx+c

06.-∫ arctanxx2 dx…………… ..(Ejercicion¿18)


u=arctanx du= 1x2+1

dv= 1x2 v = −1

x

I=−arctanxx

+∫( 1x2+1 ) 1

xd x

I=−arctanxx

+∫( 1x− xx2+1 )d x

I=−arctanxx

+∫ 1xdx−∫ x

x2+1d x

I=−arctanxx

+ ln ⌈ x ⌉−12∫

xx2+1

dx


¿−arctanxx

+ ln ⌈ x ⌉−12

ln ⌈ x2+1⌉+c

I=−√1−X2 ln( x+1x−1 )+2arcsenx+c


Utilizando cambiodevariable

07.−∫ x√1−x2

ln( x+1x−1 )dx………….(Ejercicion¿20)


u=ln( x+1x−1 ) du= 2

1−x2 dx

dv= x√1−x2 v=√1−x2

I=−√1−X2 ln( x+1x−1 )+∫ 2

1−x2 √1−x2d x

I=−√1−X2 ln( x+1x−1 )+2∫ 1

√1−x2d x

08.−∫ (arccosx−lnx ) dx………………(Ejercicion¿28)

I=∫arcosxdx−∫ lnxdx

Integrando por separado:

I 1=∫ arccosxdx u=arcos du= −1

√1−x2dx

dv= dx v= x

I 1=∫ arccosxdx=xarcosx+∫ x√1−x2

d x

I 1=∫ arccosxdx=xar cosx−12

ln ⌈ 1−x2 ⌉+c


I=xarcosx−12

ln ⌈ 1−x2⌉+x−xln ⌈ x ⌉+c


I 2=∫ lnxdx u=lnx du=dxx

dv=dx v=x

I 2=xlnx−∫ dxxx

I 2=xlnx−X+C

Remplazando en I

I=∫arcosxdx−∫ lnxdx

09.−∫ ln (√x+√1+x )dx………… (Ejercicion¿24 )


u=ln ¿ du=

12√x

+ 12√1+x

√x+√1+xdx

du=1

2√ x+ x2dx

dv=dx v=x

I=∫ ln (√ x+√1+x )d x

I=xln (√x+√1+x )−∫ x dx2√x+x2

I=xln (√x+√1+x )−∫ x2√ x+x2

d x

I=xln (√x+√1+x )−14∫

2 x+1−12√x+x2

dx



I=xln (√x+√1+x )−14 [∫ 2 x+1

√x+x2dx−∫ dx

√x+x2 ]

I=xln (√x+√1+x )−14 [2√x2+x−2∫

12√x

+ 12√x+1

√ x+√x+1 ]I=xln (√x+√1+x )−1

4 [2√x2+x−2∫ 2√x+1+√ x√x √x+1√ x+√x+1

dx ]I=xln (√x+√1+x )−1

4(2√x2+x )−∫

√x+1+2√x√ x√ x+1√ x+√x+1

dx

Integrando por cambio devariable :

∫√x+1+2√x√ x√ x+1√x+√x+1

dx u=(√x+√ x+1 )

du= 2√ x+1+2√ x4√ x √x+1

∫ duu

=lnu ln ⌈ √ x+√x+1⌉+c

Remplazando en I

I=xln (√x+√1+x )−12

(√ x2+x )−12

ln|√x+√x+1|+c

10.−∫ (esenxcos4 x )−1cos3 x

dx………… ..(Ejercicio n¿26)

I=∫esenxcosx dx− 1cos3x

d x


I=esenx−12 ( secxtanx+ ln|secx+tanx|)+c


I=∫esenxcosx dx−∫ 1cos3 x

d x

I=∫esenxcosx dx−∫ sec3 xdx

Integrando por separados:

I 1=∫ esenx cosx dx u=senx du=cosxdx

I 1=∫ eudu=eu+c=esenx+c

I 2=∫ sec3 x dx u=secx du=secxtanxdx

dv=sec2 x v=tan

I 2=secxtanx−∫ secx tan 2x d x

I 2=secxtanx−∫ secx ( sec2 x−1 )d x

I 2=secxtanx−∫ ( sec3 x−secx )d x

I 2=secxtanx−∫ sec3 xdx+∫secxdx

I 2=secxtanx−I 2+ln|secx+tanx|+c

2 I2=secxtanx+ln|secx+tanx|+c

I 2=12 (secxtanx+ ln|secx+tanx|)+c

Remplazando en I :

I=∫esenxcosx dx−∫ sec3 xd x



BIBLIOGRAFIA

Moisés Lázaro Carrión, Segunda edición (2008), Editorial Moshera.

Eduardo Espinoza Ramos, Quinta edición, (2010), Editorial eduqperu.

N.Piskunov, Tercera edición, Editorial Mir Moscú (1977).

Máximo Mitacc Meza - Luis Toro Mota, Tercera edición. (2009), Editorial Thales,

S.R.L.


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