lll2.

itltl

Ffrate enlo siguiente...

El triángulo LOB es recfángulo y el ladomayor LO =384 es su hipotenusa. Por elteorema de Pitágoras 3842 = 6.3782 + LB2

Calculando los cuadrados y despejandolB obtenemos el valor 383.94'10. *Para resolver simultáneamente ambas

ecuaciones cuadráticas utiliza las técni-cas de reducción que conoces para siste-mas lineales: suma y resta, sustitución oigualación. Con esta última, por ejemplo,puedes comenzar despejando xt y des-

pués igualar las expresiones resultantes.

Despejamos

i =383.9470'- 6 -38+¡'

I =-f + 63i82

Igualamos

-y2 + 6.3782 =383.94702 - Cv - 3S4F

Desarrollando y simplifi cando obtenemosel valory = 0.1059. Sustituyendo este va-lor en la segunda ecuación cuadrática(más sencilla), se obtiene x = 6.377 | .

La pendiente de la recta tangente se de-termina así:

Obtienes la pendiente del radio OB, o

0.1059sea,

l'377l.uomo la tangente es per-

pendicular al radio, su pendiente es

-6'3771 =-60.219r.0.1059

Sugerencias parala autoevaluación 6A

1 a 4. Reemplaza los datos en el modelo de

ecuación

{*-h)'+(y-k)2=f/

-\13. ({8)-=s

SoluciónEn la figura, suponemos que todos los puntos están situados en el mismo plano de"

círculo ecuatorial terrestre.

,tr iqj:

a) El punto límite es el punto de contacto de la recta tangente que parte de lay toca a la circunferencia terresffe. Observa que hay dos posibles rectasdesde l: una porA y otra por B.

Por el teorema de Pitágoras, el punto B está a 383.94'70 mil km de la Luna. Cu,ni¡

quiera de los puntos que están a esta distancia de la Luna se halla en la circunÍrencia con centro en ¿(0, 384) y radio r =383.9470, es decir, en la cif + (y - 384)'? =383.94702. Los puntos A y B son las intersecciones de esta

cunferencia con la circunferencia terrestre, que tiene centro en el origen vigual a 6.378 mil km, con ecuación x' * y' = 6.318'. Resolviendo simultánete ambas ecuaciones obtenemos A(-6.31'l l, 0. 1 059) y 8(6.37 7 l, 0. I 059).

b) Si S(5.5, 43) es un punto de la trayectoria de la nave, es inminente una coüSin embargo, estas coordenadas no satisfacen la ecuación de la trayectoria de

nave:

v=-60.2191x+384.

que es la ecuación de la recta perpendicular a OB, con pendiente m = -6011y ordenada al origen igual a 384. No existe, por tanto, ningún riesgo de ientre la nave y el satélite. Calculando la distancia del punto S a dicha rectadetermina que la nave pasará aO.1626 mil km del satélite, es decir, al62.6kndistancia.

En los ejercicios 1 a 4 escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia cu¡irm

centros y radios se proporcionan.

l. C (5,2), r=3

3.

7

3.

c(-1, 1),

c (-3, -10),

c (0, -7),1r=-3

i.i¡'-¡i

* [+)'=;

i-

@ Grupo Editorial Patria

[r[t€-{

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias con cen-

tro en el origen, y cuiíles a circunferencias con centro fuera de éste? Obtén el

centro y el radio en cada caso.

a) (¡ +3)2 + (y -20)2 = {b) l+y2=12c) i+(y-5)'=36d) (¡+4)2+y2-9

¿Cuál de las circunferencias del ejercicio anterior tiene su centro en el eje -r?

¿Curál de ellas tiene su centro en el eje y? Enuncia y generaliza estas observa-

ciones.

Escribe la ecuación de la recta tangente en A(1, 2), ala circunferencia con

centro en C(-3,7).

Viaje espacial Una nave tripulada corrige una peligrosa trayectoria curva,

descendiendo en línea recta para amarizar en el punto T(4.821,4.175) al sur

del océano Pacífico. Escribe la ecuación de la nueva trayectoria.

5c y d. Su centro estií sobre un eje coorde-

nado.

6. Observa qw * +y'=26 puede escribirse

como:

(¡-0f+0-o)r=2orRecuerda que los puntos en el eje .r tienella forrgp (¡, 0) y los que estiln en el eje -t laforma (0, y).

Revisa el ejemplo 2b) y la correspondiente

nota en el margen.

7. Procede como sigue:

a) Calcula la peñdiente del radio que va

de C aA.

b) Invierte y cambia el signo a esta pen-

diente para obtener la pendiente de larecta tangente.

c) Escribe la ecuación de la recta tan-

gente que tiene esta pendiente y pasa

por el punto A.

8. Escribe la ecuación de la recta tangente

en 4 utilizando el procedimiento descrito

para resolver el problema anterior.

lal-úe-ri¿cir-dicEft-

iónela

Utiüá distintas ecuaciones de la circunferencia @