Circunferencia

La ecuacion general de la parabola es: Si la parabola es vertical: (x− h)2 = 4p (y − k)Si la parabola es horizontal: (y − k)2 = 4p (x− h)

para este ejercicio nos piden encontrar la ecuacion de la circunferencia teniendo comodatos que la ecuacion de la circunferencia pasa por el vertice y los puntos extremos dellado recto de la parabola x2?4y = 0

De La parabola:x2 = 4y

Podemos obtener los siguientes datos:Por su forma es una parabola vertical Su vertice queda en el origen de coordenadas:

V (h, k) = (0, 0) =⇒ h = 0 k = 0 El valor del foco es 1 dado que: 4p = 4⇒ p = 1Para hallar los extremos del lado recto debemos saber que el lado recto es el segmento

de recta comprendido por la parabola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.Como el foco es p = 1 =⇒ y = 1. Reemplazando en la parabola:

(x− 0)2 = 4p (y − 0)

(x)2 = 4(1) (1− 0)

x2 = 4 =⇒ x = ±2

Entonces los lados extremos del lado recto son:

L1 = (−2, 1) L1 = (2, 1)

Se puede observar en la siguiente figura:

Luego encontramos el centro de la circunferencia, para ello encontramos primero elradio, que como vemos en la figura el centro estara a lo largo del eje y, entonces su centroestara en el punto C(h, k) = (0, R) .

1

Como L1 ∈ C y C es la ecuacion de la circunferencia, reemplazamos el punto L1 =(−2, 1) en la ecuacion de a circunferencia:

(x− h)2 + (y − k)2 = R2

(−2− 0)2 + (1−R)2 = R2

4 + 1− 2R + R2 = R2

2R = 5 =⇒ R = 2,5

La ecuacion de la circunferencia sera:

(x)2 +

(y − 5

2

)2

=25

4

Utilizaremos:

L{y′} = sy(s)− y(0)

L{y′′} = s2y(s)− sy(0)− y′(0)

L{y′′′} = s3y(s)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0)

L{y′′′} = s4y(s)− s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)

Utilizaremos la Transformada de Laplace con valores iniciales:

y(0) = y′(0) = 0 y′′(0) = y′′′(0) = 1

de la ecuacion diferencia

d4y

dx4− 3

d3y

dx3+ 3

d2y

dx2− dy

dx= 0

2

y′′′′ − 3y′′′ + 3y′′ − y′ = 0

L{y′′′′ − 3y′′′ + 3y′′ − y′} = 0

L{y′′′′} − 3L{y′′′}+ 3L{y′′} − L{y′} = 0

Aplicando la transformada de Laplace:

[s4y(s)− s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)

]−3

[s3y(s)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0)

]+3

[s2y(s)− sy(0)− y′(0)

]−[sy(s)− y(0)] = 0

[s4y(s)− s− 1

]− 3

[s3y(s)− 1

]+ 3

[s2y(s)

]− [sy(s)] = 0

s4y(s)− s− 1− 3s3y(s) + 3 + 3s2y(s)− sy(s) = 0

s4y(s)− 3s3y(s) + 3s2y(s)− sy(s)− s− 1 + 3 = 0

[s4 − 3s3 + 3s2 − s

]y(s) = s− 2

y(s) =s− 2

s4 − 3s3 + 3s2 − s

Aplicamos fracciones parciales,

s− 2

s4 − 3s3 + 3s2 − s=

s− 2

s(s− 1)3=

A

s+

B

s− 1+

C

(s− 1)2+

D

(s− 1)3

De donde obtenemos:

A = 2 B = −2 C = 2 D = −1

y(s) =2

s− 2

s− 1+

2

(s− 1)2− 1

(s− 1)3

Aplicando la transformada inversa:Recordar que:

tneat =n!

(s− a)n

y = L−1{2

s} − 2L−1{ 1!

s− 1}+ L−1{ 2!

(s− 1)2} − 1

6L−1{ 3!

(s− 1)3}

y = 2− 2tet + t2et − 1

6t3et

En conclusion:

y =1

6et[12− 12t + 6t2 − t3

]

3