CIRCULO UNITARIO
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CÍRCULO
UNIDAD IIFUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS
A.PR.11.4.1 y A.PR.11.4.2J. Pomales / enero 2010
UNITARIOCONCEPTOS BÁSICOS
OBJETIVOSA través de esta lección pretendemos:
• Definir círculo unitario• Representar el círculo
unitario• Identificar ángulos:
– en posición estándar– cuadrantales– de referencia– coterminales
CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
CÍRCULOALGUNAS DEFINICIONES
Figura plana comprendida por una sola línea, llamada circunferencia.
Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.
CIRCUNFERENCIAALGUNAS DEFINICIONES
Es el conjunto de todos los puntos de un plano que está a una distancia fija de un centro.
Es el borde del círculo con medida C = 2r .
PARTES DEL CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
CENTRO
RADIO (r):
Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia
DIÁMETERO (d):
Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado.
CENTRO
Es el doble del radio. rd 2
PARTES DEL CÍRCULO
TANGENTE:
Línea que sólo toca la circunferencia
CUERDA:
Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.
ARCO:
Una parte de una circunferencia.
TROZOS DE UN CÍRCULO
SECTOR:
Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos. Tiene forma de un pedazo de pizza.
SEGMENTO:
El espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos.
SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO
CUADRANTE:Un cuarto de círculo.
SEMICÍRCULO:Medio círculo.
SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO
CUADRANTE:Un cuarto de círculo.
SEMICÍRCULO:Medio círculo.
EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULOwww.oup.com/word/es/12025722.doc
CÍRCULO UNITARIO
DEFINICIÓN
Círculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas).
REPRESENTACIÓN DEL CÍRCULO UNITARIO
1
1
-1
-1
(-1,0)
(0,1)
(1,0)
(0,-1)
1
u2 + v2 =1
(0,0)
¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo?
CUADRANTEII
CUADRANTEI
CUADRANTEIII
CUADRANTEIV
¿Cómo son sus signos?
ÁNGULOS
ÁNGULOSDEFINICIÓN
La unión de dos segmentos o rayos, llamados lados, con un punto de intersección llamado vértice.
ILUSTRACIÓN DE UN ÁNGULO
VÉRTICE
LADO
LA
DO
Es común utilizar letras griegas para nombrar los ángulos.
A la izquierda se muestra el ángulo (zeta).
Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los ángulos.
ALFABETO GRIEGO
El alfabeto griego fue desarrollado
alrededor del siglo IX, A. C. a partir del
alfabeto fenicio.
Continúa en uso hasta nuestros días principalmente para denotar eventos en las ciencias (física y
astronomía) y las matemáticas.
MEDICIÓN EN GRADOS
La unidad de medida grados, fue creada por los babilonios y aún es utilizada.
Ellos dividieron el círculo en 360 partes iguales.
1o
¿Existen medias mayores de 360o?
Explica
Así que un grado (1o) representa 1/360 parte del ángulo circular.
MEDICIÓN EN RADIANES
Es la unidad de medida de ángulos más usada en las matemáticas.
En un círculo se define el ángulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.
Las medidas en radianes de un ángulo se escribe solo con un número sin unidades.
1r
En esta figura, ¿cuánto mide r?
Compara el tamaño de 1 radian con 1o.
La medida de un radián es más grande que la medida
de un grado.
1r
1o
Grados Radián
OBSERVA ESTA REPRESENTACIÓNEn un semicírculo,
¿Cuántos radianes hay?
¿Por qué el punto (-1,0) = ?
(-1,0)
≈ 0.14
En el círculo unitario, ¿Por qué el punto (1,0) = 2 ?¿Qué valor podría tener , 2 en términos de grado?
(1,0)2
Recuerda: ≈ 3.14
esto es en términos de radianes
TIPOS DE ÁNGULOS
Ángulo agudo :
Los ángulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0º pero menor que 90º
Ángulo recto :
Los ángulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90º
Ángulo obtusos :
Los ángulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90º pero menor de 180º
Ángulo llano o plano :Los ángulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180º
http://www.primaryresources.co.uk/online/angle.swf
LOS ÁNGULOS NOS PERMITEN:• Precisar la posición de objetos• Describir:
– procesos dinámicos• rotaciones• patrones cíclicos• etc
– trayectoria de objetos en movimiento
– orientación entre dos o más rectas
POSICIÓN ESTÁNDAR DE LOS ÁNGULOS
El otro lado del ángulo se llama lado terminal.
Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen (0,0) y su lado inicial está a lo largo del eje horizontal positivo.
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
La medida de un ángulo será un número positivo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj.
La medida de un ángulo será un número negativo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj.
ÁNGULO POSITIVO ÁNGULO NEGATIVO
Aquí el signo del ángulo sólo representa la dirección del mismo
ÁNGULOS CUADRANTALESÁngulos que estando en posición estándar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado.
ÁNGULOS DE REFERENCIAUn ángulo de referencia para , , es el ángulo agudo que forman el lado terminal de y el eje horizontal.
2
Explica por qué los ángulos
cuadrantales no tienen ángulos de
referencia.
Ejemplos:Calcula ángulos de referencia de :
1) = 30º 2) = 190º
En este caso para calcular el ángulo de referenciautilizaremos la medida en grados.Por tal razón, equivale a 180º y 2 a 360º
Como esta en el cuadrante I
Por lo tanto,
30
Como esta en el cuadrante III
Por lo tanto,
10
180190
ÁNGULOS COTERMINALES
Dos ángulos en posición
estándar que tienen el
mismo lado terminal.
Lado terminal compartido
Los ángulos y son coterminales ¿Qué signo tiene cada uno de ellos?
ÁNGULOS COTERMINALES
En este caso el ángulo coterminal de tiene signo diferente.
Lado terminal compartido
Para un ángulo dado en posición estándar existen infinitos ángulos coterminales a él
pero no necesariamente
con signos diferentes.Explica.
ÁNGULOS COTERMINALES(Para los ángulos menores de 360º)
Encuentre ángulos coterminales con = 30 , en posición estándar. Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
ÁNGULOS COTERMINALES(Para los ángulos mayores de 360º)
Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
RESUMEN
PAREA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS1)Una parte de una
circunferencia.2)2r3)Distancia desde el centro hasta
un punto en la circunferencia.4)2r5)Una línea que va de un punto
de la circunferencia a otro.6)Todos los puntos de la
circunferencia y sus interiores.
___ Cuerda
___ Segmento
___ Radio
___ Arco
___ Circunferencia
___ Círculo
___ Sector
___ Diámetro
7) Dos rayos y el arco entre ellos.
8) Una cuerda y el arco que comparte sus puntos
Coloca los elementos necesarios para representar:
1. Círculo unitario
2. Un ángulo en posición estándar
3. Ángulo de referencia a
4. Un ángulo β que sea coterminal al ángulo
Las respuestas pueden variar
Suponga que todos estos ángulos están en posición estándar.
Calcula ángulos de referencia de :
1) = 25º
2) = 130º
3) = 57º
4) = 290º
5) = 93º
6) = 270º
7) = 38º
8) = 300º
Recuerda: = _____ 2 = _____
Los siguientes ángulos están en posición estándar, encuentre 2 ángulos coterminales positivos y 2 ángulos coterminales negativos en cada caso.
1) β = 120º
2) β = 240º
3) β = 60º
4) β = –225º
5) β = –30º
6) β = –150º
7) β = –790º
8) β = 1845º
Encuentre un ángulo con medida entre 0º y 360º que es coterminale con cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar.
1) = 570º
2) β = 2500º
3) α = 1361º
4) ω = 850º
REFERENCIAS• ALFABETO GRIEGO.
http://www.taringa.net/posts/offtopic/1434807/El-Alfabeto-Griego-[-Aprendelo-].html
• EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO www.oup.com/word/es/12025722.doc
• MEDICIÓN DE ÁNGULOS. http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm
• ÁNGULOS DE REFERENCIA. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo8.html
• LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. http://www.algobar.com/recursos/spip.php?article190
• Libro - Precálculo: Matemáticas para el cálculo http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
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11mo Grado
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Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel
Distrito Escolar de Naguabo