TEGNOLOGIA MECANICA CIRCULO DE MOHR TEOREMA DE STEINERINGENIERO ALEJANDRO ROMERO

Vania Piérola Camargo

A12838-4

4875922 LP.

13INGENIERIA INDUSTRIAL 5 SEMESTRE

TEGNOLOGIA MECANICA CIRCULO DE MOHR TEOREMA DE STEINER

TEOREMA DE STEINER

En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o simplemente teorema de Steiner

es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje,

dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la

distancia perpendicular (r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de área de

una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre al geómetra

alemán del siglo XIX Jakob Steiner

Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente

fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de

momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser engorrosos, incluso para sólidos con alta

simetría.

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el

centro de masas de un objeto

Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al

primero y que se encuentra a una distancia D.

I=ICM+MD 2

Procedemos ahora la demostración del Teorema:

Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x , y ). Si ahora escogemos un sistema de

coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa

serán (x ' , y ')

x=x '+xCM

y= y '+ yCM

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Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

I Z=∫ (x2+ y2 )dm=∫ {( x '+xCM )2+ ( y '+ yCM )2}dmI Z=∫ {x '2+xCM2+2 x ' xCM+ y '2+ yCM

2+2 y ' yCM }dmI Z=∫ {x '2+ y '2 }dm+2xCM∫ x ' dm+2 yCM∫ y ' dm+(xCM2+ yCM2 )∫dmComo el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

∫ x ' dm=∫ y ' dm=0

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la

masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por

tanto:

I=ICM+MD 2

Círculo de Mohr

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Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.

Sea una barra, sometida a una carga P. Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte

de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de superficie (tensiones) que van a ser uniformes y a

las que vamos a llamar σ x porque van en la dirección del eje x.

σ x=PA

Si, ahora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua 2-2, de manera que la normal a la sección forme

un ángulo φcon el eje de la barra, de donde: σ=σ xcos φ

La máxima tensión se produce en los puntos de la sección normal al eje de la barra. Esta máxima tensión

vale σ x

En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σ x cosφ

Descomposición de σ en una tensión normal y en otra tangencial o cortante.

Vamos a descomponer la tensión σ en otras dos: una en la dirección de la normal a dicha sección, llamada

tensión normal σ n y la otra en dirección paralela a la sección, llamada tensión cortante.

En figura vemos que:

σ n=σ cos φ=σx cosφ

τ=σ senφ=σ x senφcos φ=( σx2 ) sen2φ

Efectos que producen la tensión normal y la cortante.

Los esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se definen como un conjunto de fuerzas y

momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección.

Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana de una viga son igual a la integral de las

tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección

de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o

lámina):

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Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de

tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo

normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones

cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

Convenio de signos de la tensión normal.

La tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la existencia de tensiones

normales, pero estas tensiones normales también pueden estar producidas por un momento flector, de

acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos también provocan tensiones normales por efecto del alabeo

seccional.

La tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la

existencia de tensiones tangenciales.

Convenio de signos de la tensión cortante.

La tensión cortante es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele denotar por la letra

griega tau . En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo

cortante o bien de un momento torsor.

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Círculo de Morh para la tracción simple.

El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión

normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y

calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las

características de un círculo (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo

absoluto y la deformación máxima absoluta.

El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos las tensiones normales y en el

de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la

figura.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del

círculo de Mohr.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

- El sentido de giro del ángulo φ en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la

realidad.

- El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj

alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

- El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.

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El círculo de Mohr permite el cálculo rápido y exacto de:

Los esfuerzos principales máximo y mínimo

σ max=σ1=12

(σ x+σ y )+ 12 √[ 12 (σ x−σ y )]

2

+τ xy2

σ min=σ2=12

(σx+σ y )−12 √[ 12 (σ x−σ y )]

2

+τ xy2

Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al

esfuerzo cortante máximo.

∅=12tan−1

−τ xy12

(σ x−σ y )

∅=12tan−1

12

(σ x−σ y )τ xy

El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al

esfuerzo cortante máximo

σ prom=12

(σ x+σ y )

Condición de esfuerzo en cualquier orientación del elemento sometido a esfuerzo.

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σ u=12

(σ x+σ y )+ 12

(σ x−σ y )cos (2∅ )−τ xy sin (2∅ )

τuw=−12

(σ x−σ y ) sin (2∅ )−τ xy cos (2∅ )

El circulo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante,τ ,marcado en el

eje vertical y el esfuerzo normal,σ , en el eje horizontal como se indica a continuación

La convención de signos es la siguiente:

Los esfuerzos normales positivos de tensión actúan hacia la derecha

Los esfuerzos normales negativos actúan hacia la izquierda

Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en sentido horario se

trazan hacia arriba en el eje τ

Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en sentido anti horario

se trazan hacia abajo

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Bibliografía

Http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%adsica/Din%C3%a1mica_de_rotaci%C3%b3n/Teorema_de_Steiner

Http://momentosdeinercia.blogspot.com/p/teorema-de-steiner.html

Http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/

Http://www2.ing.puc.cl/~icm2312/apuntes/circulo/circulo.html

Momentos de inercia Dra. Laura Abad Toribio y Dr. David Colorado Aranguren

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