CÍRCULO DE MOHR

La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Círculo de Mohr, ya que no se trabaja con un área sino con el perímetro) es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS

Caso bidimensional:

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de

los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

Circunferencia de Mohr para esfuerzos

Caso tridimensional:

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

CIRCULO DE MOHR DE TENSIONESEl círculo de Mohr de tensiones es una aplicación del círculo de Mohr al cálculo de las tensiones en planos con distintas orientaciones alrededor de un punto de una pieza sometido a un estado tensional biaxial. Si se dibuja un elemento diferencial alrededor del punto analizado, con dos planos orientados según un sistema de ejes plano x-y y el tercero inclinado un ángulo genérico j, estableciendo el equilibrio de fuerzas en las direcciones de s y t en dicho elemento se tiene:

(1)

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores por la longitud AB y teniendo en cuenta que OA=AB·cos(j), OB=AB·sen(j) se llega a:

(2)

Expresión que también puede escribirse como:

(3)

Derivando la primera ecuación (3) respecto a j e igualando a cero se obtienen los valores de j (inclinaciones del plano AB) para los que la tensión normal es máxima o mínima:

(4)

Ecuación que tiene dos soluciones de j. Sustituyendo cada una de las soluciones en la segunda de las ecuaciones (3) se comprueba que la tensión cortante es nula para dichos planos y sustituyendo en la primera de las ecuaciones (3) se obtienen las tensiones normales máxima y mínima (tensiones principales):

(5)

La expresión de las tensiones en cualquier plano con inclinación j respecto a los planos principales, en función de las tensiones principales, se deduce tomando las direcciones x,y orientadas según los planos principales y sustituyendo en (3):

(6)

El círculo de Mohr de tensiones es un círculo dibujado en el plano s-t en el que cada punto de su circunferencia representa las tensiones normales y cortantes en un plano AB con una inclinación cualquiera. Así los puntos X e Y de la figura corresponden a los planos perpendiculares a los ejes x e y. Como se observa se sitúan en puntos opuestos del círculo, a 180º. Los puntos de corte de la circunferencia con el eje t =0 corresponden a los planos principales y de la figura se deduce que el valor de s en dichos puntos es el valor de las tensiones principales (s1,s2) obtenido mediante las ecuaciones (5). Estos planos están igualmente separados un ángulo de 180º en el círculo, indicando que el ángulo entre los planos principales es de 90º en la realidad. En general, dos planos entre los cuales hay un ángulo j en la realidad están separados un ángulo 2j en el círculo de Mohr. En la figura se observa también que el ángulo j entre los planos

principales y los planos x,y, obtenido mediante la expresión (4) queda representado por 2j en el círculo de Mohr.

El círculo de Mohr se utiliza como recurso gráfico para el análisis de las tensiones en estados tensionales biaxiales. Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.

Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden reescribirse para formar una ecuación de circunferencia:

Se tiene que:

sx’ = ( sx + sy )/2 + (( sx - sy )/2 (cos 2a)) + txy (sen 2a)

tx’y’ = txy (cos 2a) - (( sx - sy )/2 ) (sen 2a)

La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma:

sx’ - ( sx + sy )/2 = (( sx - sy )/2 (cos 2a)) + txy (sen 2a)

Elevando al cuadrado se tiene:

(sx’ - (sx + sy)/2)2 =(sx - sy)2/4 (cos 2a)2 + (sx - sy) (cos 2a) txy (sen 2a) + txy2 (sen

2a)2

Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene:

tx’y’2 = txy

2 (cos 2a)2 - txy (cos 2a) (sx - sy) (sen 2a) + (sx - sy)2/4 (sen 2a)2

Sumando ambas expresiones:

(sx’ - ( sx + sy )/2)2 + tx’y’2 = txy

2 + (( sx - sy )2/2)2

Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces:

txy2 + (( sx - sy )2/2)2 = b2

( sx + sy )/2 = a

Reescribiendo queda:

(sx’ - a)2 + tx’y’2 = b2

Si los ejes son:

x = sx’

y = tx’y’

Tenemos:

( x - a )2 + y2 = b2

Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b

Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características:

Centro en: x = ( sx + sy )/2 ; y = 0

Radio de: r2 = txy2 + (( sx - sy )2/2)2

La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema: