REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR

UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DE LARA

“ANDRES ELOY BLANCO”

Integrantes

Duran David CI: 19324572

Torrealba Juan CI: 19113323

Yepez Samir CI: 17378957

Zabala Cristian CI: 15862411

Mauro Paramo CI: 12478220

Sección 3404

Catedra: Gerencia HSL

Círculo de Mohr

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

También se puede decir que es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Este concepto es muy usado en ingeniería, para determinar los tómanos y dimensiones mínimas requeridas en formas de acero utilizadascolumnas y vigas para elementos en la construcción.

Circunferencia de Mohr para esfuerzos

Caso bidimensional

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje

vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

Uso

Uno de los principios básicos de ingeniería, es el concepto de obtener fácilmente, esfuerzos cortantes y en tensión en elementos de maquinaria, usando el principio del

científico alemán que entre ingenieros denominamos, el círculo de mohr.

Se trata de una simple derivación circular, que nos permite a los ingenieros, de una manera simple y practica, descubrir puntos de esfuerzos máximos, en los planos principales, y sus principales esfuerzos, cuando por ejemplo estamos diseñando, una columna, o una viga

Vamos a recordar que existen miles de aplicaciones que asemejan el comportamiento de una viga, una columna o un simple purlin.

Esta herramienta utilizada en la ingeniería sirve para medir la tensión que soporta una estructura debido a una o varias cargas externas. Se estudiará una sección concreta, y a su vez, dentro de ella algunos o algún punto propio. Se utiliza para representar gráficamente el estado tensional que padece un punto de un sólido en un instante determinado. Aunque actualmente debido al procesamiento informático es posible calcular las tensiones con bastante precisión sin necesidad de utilizar este método. Aun así, me parece bastante interesante.

Considerar el estado de la tensión en un punto en un cuerpo. El círculo del Mohr se puede construir como sigue. Dibujar dos hachas perpendiculares con el eje horizontal que representa la tensión normal, mientras que el eje vertical la tensión de esquileo.

Trazar el estado de la tensión en el x - plano como el A, cuya abscisa (valor del punto de x) es la magnitud de la tensión normal, σx (la tensión es positiva), y cuya ordenada (valor de y) sea la tensión de esquileo (el esquileo a la derecha es positivo).

Marcar la magnitud de la tensión normal σy en el eje horizontal (tensión que es positiva).

Marcar el punto mediano de las dos tensiones normales, O (cuadro 1). Dibujar el círculo con el OA del radio, centrado en el O (cuadro 2). Un punto en el círculo del Mohr representa el estado de tensiones en un plano

particular en el P del punto. De interés especial están los puntos donde el círculo cruza el eje horizontal, porque representan las magnitudes de las tensiones principales (cuadro 3).

Ejemplo ilustrativo

En cierto punto de un sólido, los esfuerzos principales son

. Determinar en los planos donde cuyas normales

son de + 30o y + 120o

Con el eje x muestre los resultados en el croquis de un elemento diferencial.

Solución:

En la figura 9-15a se representa el estado de esfuerzos existente, se traza un sistema de ejes

perpendiculares a los que se nombran como se indica en la figura 9-15b

El diámetro del círculo de mohr es AB. Su centro C, punto medio A y B tiene de abscisa 20MPa, el radio de la circunferencia CA = 80-20 = 60 MPa por regla de circulo de mohr la dirección y el sentido del radio CA representa al eje x, y de acuerdo con las reglas del circulo de mohr, el punto d representa el estado de esfuerzos en el plano coya normal representa un Angulo de 300 con el Angulo +300 con el eje x, el punto E de los componentes del esfuerzo sobre la cara perpendicular a la anterior

Por reglas del circulo de mohr, las coordenadas del punto D representa los esfuerzos 30o, y de acuerdo con la figura 9-15b sus valores son