INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y

ELECTRICA

SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E

INVESTIGACIÓN

SISTEMAS NO LINEALES

“CIRCUITOS CAOTICOS”

JAIME CRUZ CRUZ

PROFR.: DR. JORGE ANGEL DÁVILA MONTOYA.

El circuito de Chua es un circuito electrónico simple que exhibe el comportamiento caótico clásico. Fue introducido en 1983 por Leon Ong Chua, que estaba de visita en la Universidad de Waseda, Japón. A causa de la a facilidad de construcción del circuito, se ha convertido en un ejemplo común de un sistema caótico, y algunos lo han declarado "un paradigma de caos."

El circuito de Chua es el circuito electrónico más simple que satisface los criterios de comportamiento caótico para un circuito eléctrico:

uno o más elementos no lineales

uno o más resistores localmente activos

tres o más elementos del almacenamiento de energía.

El circuito de Chua es el circuito electrónico más simple que resuelve estos criterios. Según las indicaciones de la figura, los elementos del almacenamiento de energía son dos condensadores (C1 y C2) y un inductor ( L). Hay una resistencia (R), y un resistor no lineal llamado diodo chua, que consta de dos diodos y un amplificador operacional.

Fig. 1.- Circuito Chua

Fig. 2.- Diodo Chua

Al considerar los componentes exceptuando el diodo chua con características lineales ideales,

entonces el circuito se puede modelar mediante las leyes de Kirchhoff.

𝐶1𝑑𝑉1𝑑𝑡

=1

𝑅(𝑉2 − 𝑉1) − 𝑓(𝑉1)

𝐶2𝑑𝑉2𝑑𝑡

=1

𝑅(𝑉1 − 𝑉2) − 𝐼

𝐿𝑑𝐼

𝑑𝑡= −𝑉2

Donde: 𝑉1 - Voltaje en los extremos del condensador C1;

𝑉2 – Voltaje en los extremos del condensador C2; 𝐼 - Corriente a través del circuito. Además 𝑓(𝑉1) describe la característica no lineal voltaje‐corriente del diodo no lineal de Chua conocida como función no lineal de Chua, que está descrita por la siguiente ecuación:

𝑓(𝑉1) = 𝐺𝑏𝑉1 −1

2(𝐺𝑎 − 𝐺𝑏){|𝑉1 + 𝐸| − |𝑉1 − 𝐸|}

Donde

𝐸 – Voltaje de saturación del amplificador operacional.

𝐺𝑎, 𝐺𝑏 – Ganancias en la entrada y salida del amplificador operacional.

Y se obtiene el sistema de ecuaciones:

�̇� = 𝑘𝛼(𝑦 − 𝑥 − 𝑓(𝑥))

�̇� = 𝑘(𝑦 − 𝑥 − 𝑧)

�̇� = 𝑘(−𝛽𝑦 − 𝛾𝑧)

𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 −1

2(𝑎 − 𝑏){|𝑥 + 1| − |𝑥 − 1|}

Que modelan el sistema no lineal del circuito Chua.

Al modelar estas ecuaciones en Mathematica, se obtienen las siguientes gráficas:

Fig 3.- Circuito Chua y parámetros de simulación em Mathematica

Fig. 4.- Respuesta del Diodo Chua en un diagrama corriente-voltaje.

Fig. 5.- Respuesta de C1.

Fig. 6.- Respuesta de C2.

Fig. 7.- Respuesta de L

CIRCUITO RÖSSLER.

Un generador caótico, creado a partir del sistema de Lorenz, que fue propuesto por Otto Rössler en

1976, y es un modelo de circuito simplificado propuesto por Lorenz. Circuito Rössler (Fig. 8) se

compone de una matriz de elementos RLC pasivos y fuente de tensión controlada (e).

Fig. 8.- Circuito Rössler.

Modelando el circuito mediante las leyes de Kirchhof de corriente y voltaje.

Se obtienen las ecuaciones que modelan el circuito de Rössler.

De las ecuaciones anteriores al simular en Mathematica, se obtienen las siguientes gráficas.

Fig. 9.- Circuito Rössler.