circuitos magneticos

5/8/2018 circuitos magneticos - slidepdf.com

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Prof. José Francisco Gómez González, [email protected] Dept. Física Básica

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Universidad de La Laguna

2. BASES FÍSICAS DE LA ELECTROMECÁNICA

2.1 IntroducciónEn los circuitos eléctricos, la conexión existente entre los elementos pasivos se realiza por medio demateriales conductores que obligan a que la corriente eléctrica siga determinados recorridos,obedeciendo las leyes de Kirchhoff. Cuando se trata de estudiar las máquinas eléctricas, electroimanesy otros dispositivos electromagnéticos, se plantea un problema similar de canalizar y concentrar altasdensidades de flujo magnético en las regiones donde se necesita, lo que se logra por medio demateriales ………………..………..Un circuito magnético está formado generalmente por una estructura de hierro, sobre la que se arrollanuna o más bobinas por las que circulan corrientes, que dan lugar a los flujos que aparecen en elsistema.

2.2 El campo magnéticoLos campos magnéticos son el mecanismo fundamental para convertir la energía de corriente alternaen energía de corriente continua, o viceversa, en motores, generadores y transformadores. Existen

cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos en estos aparatos:- Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor.- Un campo magnético variable con el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si pasa através de ésta (base del FUNCIONAMIENTO DEL TRANSFORMADOR).- Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerzainducida sobre él (base del FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR).- Un conductor eléctrico que se mueve en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducidoen él (base del FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR).

2.2.1 Producción de un campo magnéticoLa ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por una corriente es la ley de Ampère:

∫ =• netIdH lrr

donde Hr

es la intensidad del campo magnético producida por la corriente Inet.Ejemplo:

En la figura se muestra un núcleo rectangular con un devanado de N vueltas de alambre enrolladosobre una de las ramas del núcleo. Si el núcleo es de hierro oalgún otro material ferromagnético, casi todo el campomagnético producido por la corriente permanecerá dentro delnúcleo, de modo que el camino de integración de la ley de Ampère es la longitud media del núcleo, lc. La corriente quepasa por el camino de integración Inet es entonces Ni, puesto

que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientrasporta la corriente i. La ley de Ampère se expresa entonces

NiH c =l

donde H es la magnitud del vector de intensidad de campo

magnético Hr

. De esta manera, la magnitud de intensidad decampo magnético en el núcleo debido a la corriente

aplicada es

c

NiH

l=




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La intensidad de campo magnético Hr

es una medida del “esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende

también del material de éste. La relación entre la intensidad de campo magnético Hr

y la densidad de

flujo magnético resultante Br

producida dentro del material está dada por

HBrr

µ=

donde µ es la permeabilidad magnética del material y representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un material dado.En unidades del S.I, I se mide en amperes (A), H en amperes-vuelta por metro (A-v/m), µ en henryspor metro (H/m) y la densidad de flujo webers por metro cuadrado (Wb/m 2= T, teslas).La permeabilidad del espacio libre es µo=4π 10-7 H/mLa permeabilidad de cualquier material comparada con la del espacio libre se denomina permeabilidadrelativa:

o

rµ

µ=µ

La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de losmateriales. Por ejemplo, los aceros utilizados en las máquinas actuales tienen permeabilidad relativade 2000 a 6000 o más. Esto significa que, para una cantidad de corriente dada, en la sección de acero,habrá entre 2000 y 6000 veces más flujo que en la sección correspondiente en aire. Los metales queforman los núcleos de un transformador o de un motor cumplen un papel de extrema importancia paraincrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato.Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor parte del flujo en elnúcleo de hierro permanece dentro del núcleo en lugar de viajar a través del aire circundante.Para el ejemplo anterior, la magnitud de la densidad de flujo es

c

NiHB

l

µ=µ=

Y el flujo total en cierta área está dado por

∫ •=φA

AdBrr

Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A, y si la densidad de flujo esconstante en toda el área, la integración da

BA=φ

Por lo que para el ejemplo, el flujo total en el núcleo producido por la corriente i en el devanado es

c

NiABA

l

µ==φ

2.2.2 Circuitos magnéticosDe la ecuación anterior se puede ver que la corriente en una bobina de alambre conductor enrolladoalrededor de un núcleo produce un flujo magnético en éste. Esto es análogo al voltaje que produce un

flujo de corriente en el circuito eléctrico. Es posible definir un circuito magnético cuyo comportamientosea gobernado por ecuaciones análogas a aquellas establecidas para circuitos eléctricos. Confrecuencia, el modelo de circuito magnético del comportamiento magnético se utiliza en el diseño demáquinas y transformadores eléctricos para simplificar el proceso de diseño.




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En el circuito eléctrico de la figura, la fuente de voltaje V genera una corriente I a lo largo de laresistencia R. Según la ley de Ohm:

IRV = El voltaje o fuerza electromotriz, V, es la que genera un flujo de corriente. Por analogía, en un circuitomagnético el flujo magnético Φ es generado por Ni=F denominado fuerza magnetomotriz (fmm)

(unidades A-v).La fuerza magnetomotriz tiene polaridad, el terminal positivo de la fuente de fmm es el terminal dedonde sale el flujo y el terminal negativo es el terminal por donde el flujo retorna a la fuente.

La relación entre la fmm y el flujo esF=ΦR

donde R (unidades A-v/weber)es la reluctancia de un circuito magnético, que es el homólogo de la

resistencia del circuito eléctrico.Para el circuito magnético del apartado 1.2.1, la reluctancia del núcleo es…..

Los cálculos del flujo magnético en el núcleo utilizando el concepto de circuito magnético es una

aproximación. Efectuar el cálculo exacto utilizando las ecuaciones de Maxwell es muy difícil, y enmuchos casos no se requiere puesto que tonel método aproximado se obtiene resultados satisfactorioscon un error del 5% del valor real.

2.3 Efectos magnéticos en la materia

2.3.1 FerromagnetismoLos campos magnéticos interactúan con la materia en función devarios efectos. El efecto importante desde el punto de vista de laingeniería es el ferromagnetismo, que surge del momento

magnético inherente asociado con el spin de los electrones enórbita. En ciertos materiales, entre los que sobresale el hierro, losmomentos magnéticos (dipolos magnéticos) de los electrones de losorbitales interactúan para producir una región de coherenciamagnética en una región extensa del material: dominio magnético.Se puede imaginar un dominio magnético como un imán

microscópico, capaz de interactuar de forma importante con un campo externo. En condicionesnormales, los dominios magnéticos están orientados al azar, y no producen un efecto neto. Sinembargo, por influencia de un campo magnético externo los límites de los dominios se desplazan de talmanera que los dominios orientados en la dirección del campo aplicado aumentan de tamaño aexpensas de los que están en otras direcciones, y el efecto neto es una considerable intensificación del




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flujo magnético. Este efecto, llamado ferromagnetismo, es capaz de establecer los grandes flujosmagnéticos que los dispositivos electromecánicos requieren.

2.3.2 Densidad de flujo magnéticoConsideramos el estado de la materia que es imantada por un campo externo, de tal modo que los

dominios magnéticos producen un memento magnético neto. Definimos la densidad bipolar magnética(magnetización), M

r, como la suma vectorial de todos los mementos magnéticos en un volumen de

espacio, dividida entre dicho volumen. La magnetización caracteriza el efecto del campo magnético en

el estado magnético de la materia. La densidad de flujo magnético, Br

combina el magnetismo aplicadoy el inducido

)MH(B o

rrr+µ=

2.3.3 Propiedades magnéticas del hierro.Debido a la importancia del hierro en la electromecánica, nos concentramos e las propiedadesferromagnéticas del hierro. Con campos aplicados moderados, la magnetización producida es

proporcional al campo aplicado, y la densidad del flujo magnético es proporcional al campo magnético.HHBHM ro

rrrrrµµ=µ=⇒α

En el hierro la permeabilidad relativa es típicamente del orden de 1000 a 10 000, por tanto, una causa

magnética pequeña,Hr

, crea un efecto magnético grande Br

.Un cuadro más completo de los efectos magnéticos en el hierro requiere mostrar los efectos desaturación magnética e histéresis, como se indica en la figura

En la figura se muestra el efecto de aplicar un campo magnético externo al hierro no imantado. Lacurva de magnetismo comienza en el origen (a) y aumenta de forma lineal a medida que el campomagnético imanta el hierro. La pendiente de la curva en esta región es como describe la ecuaciónanterior. Tarde o temprano, todos los dominios magéticos se alinean con el campo magnético aplicado,y la curva se aplana cuando el hierro se satura magnéticamente (b). Si entonces el campo magnéticose reduce a cero, la densidad de flujo sigue una curva diferente porque el hierro tiende a retener suestado magnetizado anterior. Las fuerzas termodinámicas que desorientan los dominios magnéticos

del hierro no destruyen totalmente el orden impuesto por el campo externo, por lo que el hierroconserva un magnetismo residual (c). Se ha producido así un imán permanente. Al invertir el campomagnético aplicado, con el tiempo el hierro se magnetiza en la dirección inversa hasta saturarse unavez más (d). Si se prosigue modificando cíclicamente el estado magnético del hierro aplicando unacorriente ca a la bobina que crea el campo magnético aplicado, la curva continuará siguiendo unatrayectoria conocida como curva de histéresis.El área encerrada por la curva de histéresis es la pérdida de energía por unidad de volumen y por ciclo. Esta pérdida calienta el hierro, y es una de las razones por las que los motores eléctricos y lostransformadores se calientanEn resumen, podemos decir que el hierro intensifica el flujo magnético y gobierna su distribución en elespacio.




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2.4 Ley de Faraday: Voltaje inducido por un campo magnéticovariableLa ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá enéste un voltaje directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo, lo cualse expresa mediante la ecuación

dtdev φ−=

Si una bobina tiene N espiras y el mismo flujo circula en todas, el voltaje inducido en toda la bobinaestará dado por

dt

d

dt

dNNee vind

λ=

φ−==

donde λ es el enlace de flujo magnético o encadenamiento de flujo magnético.El signo menos se debe a la ley de Lenz, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en labobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran en cortocircuito, se produciría en ella una corrienteque generaría un flujo opuesto al cambio del flujo inicial. Puesto que el voltaje inducido se opone alacambio que lo causa, se incluye un signo menos en la ecuación.

2.5 Ley de Biot y Savart (ley de Laplace): Producción de fuerza

inducida en un alambreSobre todo conductor recorrido por una corriente y bajo la acción de un campo magnético, actúa unafuerza mecánica

( )BiFr

lrr×=

La magnitud de la fuerza esθ= BseniF l




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2.6 Voltaje inducido en un conductor que se mueve en un campomagnéticoSi un conductor se desplaza a través un campo magnético, se induce un voltaje en aquél. El voltajeinducido en el alambre está dado por

( ) lrrr

•×= Bveind

donde vr

es la velocidad del alambre y l

r

longitud del conductor en el campo magnético. El vector lr

apunta en la dirección del alambre hacia el extremo que forma el ángulo más pequeño con respecto al

vector Bvrr

× . El voltaje en el alambre se inducirá de modo que su extremo positivo esté en la dirección

del vector Bvrr

× .

2.7 Conversión de energía electro-mecánica. Ejemplo de máquinalineal de corriente continuaLa máquina lineal de corriente continua es la versión más sencilla y fácil de entender de una máquinadc, ya que opera con los mismos principios y exhibe la misma conducta que los generadores y losmotores reales. Por ello sirve como un buen punto de partida en el estudio de las máquinas eléctricas.En esta sección, mostraremos cómo la ley de Faraday y la ley de Ampere de la fuerza describen latransformación de energía de forma eléctrica, voltaje y corriente a la forma mecánica, fuerza y

velocidad y viceversa.

Transductor electromecánico. Un imán externo suministra el flujo magnético. El circuito eléctricoconsiste físicamente en una batería (V), un resistor (R), dos rieles estacionarios y una barra móvil quepuede rodar o deslizarse a lo largo de los rieles con contacto eléctrico. Supondremos que la barra tieneuna longitud activa de l entre los rieles y que inicialmente está inmóvil. Al cerrar el interruptor,observamos la siguiente serie de efectos:




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la corriente no se inicia de inmediato debido a la inductancia del circuito (es una bobina de una solavuelta). La constante de tiempo de L/R es muy pequeña, sin embargo.La corriente alcanza rápidamente el valor V/R.Se ejerce una fuerza sobre la barra debido a la interacción entre la corriente y el flujo magnético. Lamagnitud de esta fuerza es

uiBFupm l==

Esta potencia proviene del circuito eléctrico y, en último término, de la batería, yacelera la barra, realiza trabajo contra una fuerza externa, o ambas cosas.

El movimiento de la barra produce una fuerza electromotriz. Por lo que

luBv = La polaridad de la f.e.m es positiva cuando la corriente entra en la barra en movimiento. El

circuito equivalente que se muestra en la figura es un modelo de loas aspectos eléctricos del sistema.La barra en movimiento genera una fuerza contraelectromotriz que se opone a la corriente

La potencia eléctrica instantánea que entra en la barra pe, es

iuBvipe l==

Al comparar las ecuaciones anteriores se ve que la potencia eléctrica de alimentación y potenciaeléctrica de salida son iguales.

En la dinámica del sistema electromecánico interviene sistema eléctrico




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R

uBV

R

vVi

l−=

−=

y el sistema mecánico:

−== R

uBVBiBF

l

ll

La barra tiene una velocidad de equilibrio de

B

Vu

l=

para la cual la corriente y la fuerza generada es cero. Si una fuerza mecánica externa la desplaza másaprisa, la barra se convierte en un generador, invierte la dirección de la corriente y suministra potenciaeléctrica al resistor y la batería. En estas circunstancias se podría demostrar que la potencia mecánicade alimentación es igual a la potencia eléctrica de salida suministrada por la barra al resistor y a la

batería.

2.8 Principio de la conservación de la energía. Parelectromagnético

El principio universal de la conservación de la energía, nos permite deducir también las ecuacionesdinámicas.La conversión de energía de uno a otro sistema sólo es posible si la energía almacenada en los

campos de acoplamiento se modifica o tiende a ser modificada.La energía total almacenada en los campos de acoplamiento es la suma de las energías de loscampos magnéticos y eléctricos.Wc=Wmg+Wel

En general Wc=W(Ψ, T, θ, q, i, u)entre estas variables hay una dependencia por lo que hay tres variables independientes

Wc=W(Ψ, q, θ)Para determiner el par debido a los campos de acoplamiento se supone un desplazamiento arbitrario,

dθ, el cual implicará una modificación de la energía almacenada. Pero el principio de conservación deenergía exige que se cumpla

En la mayoría de los convertidores electro-magnéticos, la energía almacenada en los campos deacoplamiento está en el campo magnético, despreciando la del campo eléctrico tenemos que .

dWel=dWmg+dWmec por tanto uidt=dWmg+Te dθ

dWmg= - Te dθ + (dΨ/dt) i dt

Si consideramos que la corriente i y θ son las variables independientes

Ψ= Ψ(i, θ) d Ψ=(∂Ψ/ ∂i) di+ (∂Ψ/∂θ) dθ

Energía eléctrica deentrada Aumento de energíaalmacenada Energía mecánica quesale=+




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i

Energía

Coenergía

Wmg= Wmg(i, θ) d Wmg =(∂ Wmg / ∂i) di+ (∂ Wmg /∂θ) dθ Sustituyendo en la expresión anterior y despejando

Te dθ=[- ∂ Wmg /∂θ+i (∂Ψ/∂θ) ] dθ+[- ∂ Wmg /∂i+i (∂Ψ/∂i) ] di

Para que el par, Te, sea independiente de las variaciones de la corriente, I, durante el despalzamiento

dθ, la expresión que multiplica a di debe ser cero por lo que la corriente es

i=∂ Wmg/ ∂Ψ Y el par es

Te =- ∂ Wmg(i,θ) /∂θ+i (∂Ψ (i,θ) /∂θ)

Si las variables independientes fueran Ψ y θ

Te =- ∂ Wmg(Ψ,θ) /∂θ

2.9 Concepto de coenergía

La energía eléctrica suministrada a un sistema electromecánico conservativo, durante un tiempo t,viene expresada por

∫ =t

0

uidtWel

Parte de esta energía quedará almacenada en el campo magnético del sistema y si considera Ψ comola variable independiente la energía magnética almacenada será

( )∫ ψ

ψ ψ ψ =0

diWmg

Integrando por partes tenemos que

ψ

ψ −+ψ = ∫ ∫ ddiiWmg

i

0

Se define la coenergía magnetica como

∫ ψ −=i

0

dimg'W

La suma de la energía y la coenergía es Wmg+ W´mg=Ψ i

En función de la coenergía magnética, las expresiones del par electromagnético cuando i y θ son laslas variables independientes es

Te =- ∂W´mg(i,θ) /∂θ

Ψ




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PROBLEMAS DE BASES FÍSCAS DE LA ELECTROMECÁNICA

1. El circuito magnético de la figura está construido de fundición de hierro y en el entrehierro se desea

obtener una inducción magnética de 1 T. Calcular el valor de la intensidad de corriente que debecircular por la bobina de 1000 espiras considerando que ningún flujo se dispersa fuera del circuito.Longitud total del hierro, LFe=38.6 cm y del entrehierro Le=0.4 cm

Sol. 7.16 A

2. Se usa un electroimán para levantar un tejo de hierro de 130 Kg. La rugosidad del hierro es tal quecuando está en contacto con el electroimán hay un entrehierro mínimo igual a 0,015 cm en cada

pierna. La resistencia de la bobina es 3 Ω. Calcule el voltaje mínimo de la bobina que se debe aplicar para elevar el tejo contra la fuerza de la gravedad. Desprecie la reluctancia del hierro.

Electroimán,área de la seccióntransversal 0 35 cm

2

Tejo de hierro,130Kg

500 vueltas, 3Ω

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