Cinematica y Dinamica de Fluidos: Fundamentos Basicos

Santiago Lopez

Algunas Definiciones

Antes de empezar con el tema central de este captulo, se deben introducir unos conceptosque son utiles a la hora de de hablar del Teorema de Reynolds; aquellos conceptos correspondena la trayectoria de una partcula de fluido y su dependencia con el tiempo y el espacio.

Tipos de Flujo: Tiempo como Criterio

Se dice que el flujo de un fluido es permanente cuando ninguna de las propiedades del flujo(ni sus fronteras) cambian en el tiempo, es decir, son independientes de este. En su defecto, elflujo se dice no permanente.

Trayectorias del flujo: Lnea de corriente

Una linea de corriente es un lugar geometrico (curva) en el cual se cumple que las velocidadesson tangentes a cada instante (ver Figura 1). Matematicamente, esto implica que:

u ds = 0

O en coordenadas cartesianas,dx/u = dy/v = dz/w

En realidad, existen muchos tipos de lneas de flujo; sin embargo, por brevedad se ha decididoomitir el resto. En principio, cuando el flujo es permanente, una lnea de corriente es identica ala traza que dejara un chorro de tinta que se inyectase en el flujo.

dsu

Figura 1: Una lnea de corriente.

1

Leyes de Conservacion y Teorema de Reynolds

En esta seccion, las definiciones de las leyes de conservacion dadas en la mecanica clasica(leyes de Newton, termodinamica) para un sistema se extenderan para poder ser utilizadas enregiones, por las que cruzan sistemas. Esto debido a que en muchos casos de la mecanica defluidos, resulta conveniente analizar una region en el flujo donde cruzan sistemas1 en vez dePerseguir una partcula de fluido2.

Teorema de Transporte de Reynolds: Teorema de Leibniz

Matematicamente, el teorema de transporte de Reynolds no es mas que una generalizacion en3 dimensiones del teorema de Leibniz. Esta explicacion se desva un poco a la tradicionalmenteutilizada por los libros basicos de mecanica de fluidos3, y aduce al conocimiento previo que ellector tiene en calculo para hacer la discusion mas sucinta.

a bda db

dt

Ft dx

da F(a, t)

db F(b, t)

F (x, t+t)

F (x, t)

Figura 2: Representacion esquematica del teorema de Leibniz.

Considerese una funcion F que depende espacialmente de una dimension, x, y el tiempo t.En adicion, asuma que la derivada temporal de la integral de dicha funcion son de interes auncuando los lmites de integracion, a y b, dependen tambien del tiempo. El teorema de Leibnizestablece que la derivada temporal de la funcion F (x, t) entre x = a(t) y x = b(t), la cual seescribe como:

d

dt

x=b(t)

x=a(t)

F (x, t)dx =

b

a

F

tdx db

dtF (b, t) +

da

dtF (a, t) (1)

1Tambien llamado sistema Lagrangiano.2Llamado sistema Euleriano.3Dicha tradicion la inicio P. A. Thomson (1972) con su libro Compressible-Fluid Dynamics; se recomienda

revisar esta demostracion, ya sea en este u otro libro de Mecanica de fluidos.

2

Donde a, b, F , y sus derivadas al lado derecho de la ecuacion 1 son evaluadas en el tiempot. Esta situacion se muestra en la figura 2, donde las contribuciones a la integral pasado untiempo t son mostradas por las areas sombreadas. En el dibujo, el area encerrada por la lneasolida representa la integral

Fdx en un tiempo t, mientras el area encerrada en la lnea a trazos

representa la integral en un tiempo t + t. El primer termino en la ecuacion 1 representa laintegral de la tasa de cambio de F respecto a las fronteras a y b; el segundo termino representala ganancia de F en la frontera superior que se mueve a una velocidad db/dt; el ultimo terminorepresenta la perdida de F en la frontera inferior a una velocidad de da/dx. La generalizacion dedicho teorema a un espacio R3 se puede escribir como:

d

dt

V (t)

F (x, t) dV =

V (t)

F (x, t)

tdV +

A(t)

F (x, t)b n dA (2)

Donde V , A, b, n son volumen, area, velocidad de la superficie, y vector unitario normal adA, respectivamente. Notese que la region en el espacio descrita por V (t) y A(t), o volumen decontrol, puede deformarse.

Conservacion de la Masa

Poniendo a parte reacciones nucleares y efectos relativisticos, la masa no se puede crear nidestruir en un sistema. El volumen ocupado por una cierta cantidad de fluido se le llama volumenmaterial V (t). Dicho volumen se mueve y deforma de tal manera que siempre contenga la mismacantidad de fluido presente inicialmente; esto implica que la superficie material, A(t), se debemover a la misma velocidad del fluido coincidente a la superficie. Para un sistema, la conservacionde la masa:

d

dt

V (t)

(x, t) dV = 0

Usando el Teorema de Reynolds:

d

dt

V (t)

(x, t) dV = 0 =

V (t)

(x, t)

tdV +

A(t)

(x, t)u n dA (3)

Siendo u la velocidad del flujo que coincide con la de la superficie material en un instante inicial.El problema de esta ecuacion es que esta escrita para el volumen material, es decir, para unsistema. En este caso, nos interesa poder utilizar el teorema de Reynolds para un volumen decontrol arbitrario el cual no persigue una cantidad de fluido en particular. Es sencillo demostrarque el teorema de Reynolds se puede escribir para un volumen arbitrario as:

V (t)

(x, t)

tdV +

A(t)

(x, t)(u(x, t) b) n dA = 0 (4)

Donde b representa la velocidad de la superficie. Si la superficie se mueve con el fluido cercaa este primero, la ecuacion 4 se reduce a la ecuacion 3. La ultima ecuacion se conoce como laecuacion de continuidad.

EJEMPLO

Supongase flujo permanente e incompresible dentro de una tubera que tiene secciones deentrada y de salida A1 y A2, respectivamente. Determinese la ecuacion de continuidad para elcaso en que: (a) se desprecia la condicion de no-deslizamiento, y (b) se considera.

3

Respuesta:

V2

n A2

V1

n A1

(a) Despreciando la condicion de no-deslizamiento, tenemos que la ecuacion 4 se reduce a:

A(t)

(x, t)(u(x, t) b) n dA = 0

Integrando, y sabiendo que el volumen de control (el tubo mostrado) no se mueve (b = 0),tenemos:

V2A2 V1A1 = 0O,

m = V1A1 = V2A2 = V A

Que se conoce como Flujo Masico. El flujo volumetrico, o caudal, se escribe como:

Q = V1A1 = V2A2 = V A

(b) La condicion de no-deslizamiento aplica. Esto implica que las velocidades ya no puedenser consideradas como una constante, sino mas bien siguen un perfil (por que?). Entoncestenemos que:

A2

v dA

A1

v dA = 0

O,

m =

A2

v dA =

A1

v dA =

A

v dA

El flujo volumetrico se describe como:

Q =

A

v dA

Conservacion de Impulso

Para un volumen material, la segunda ley de Newton se puede expresar como:

d

dt

V (t)

(x, t)u(x,t) dV =

V (t)

(x, t)g dV

Fzas de volumen

+

A(t)

f(n,x,t) dA

Fzas de Superficie

= F (5)

4

Siguiendo el mismo procedimiento propuesto para la ley de conservacion de masa, obtenemosque para un volumen de control arbitrario, la segunda ley de Newton se puede escribir como:

d

dt

V (t)

(x, t)u(x,t) dV +

A(t)

(x, t)u(x,t)(u(x, t) b) n dA = F (6)

Notese que en la segunda integral al lado izquierdo de la ecuacion se tienen tanto un productoescalar como un producto punto, no dos producto punto, es decir, (u(x, t)b) n es un productopunto y u(x,t)(u(x, t) b) n es un producto escalar.

EJEMPLO

Usando el concepto de tubo de corriente (es una region de fluido la cual es encerrada por unosplanos que contienen lineas de corriente y otros que pasan ortogonales a los mismos, ver figura)de longitud diferencial ds, demuestre que la ecuacion de conservacion de impulso es equivalentea la ecuacion de Bernoulli4 para flujo permanente, inviscido (sin friccion), incompresible y dedensidad constante.

ds

g

p

A

U

p+ (p/s)ds

A+ (A/s)dA

U + (U/s)ds

Tubo de corriente

La estrategia para resolver este problema se reduce a usar un volumen de contro elementalequivalente a un tramo ds de un tubo de corriente, as para poder integrar las ecuaciones deimpulso y continuidad a lo largo de la linea de corriente que es eje del volumen de control. Paraun volumen de control estacionario e inviscido la velocidad relativa y las fuerzas de friccion a lolargo de las paredes son cero, quedando las ecuaciones de continuidad y momentum:

A(t)

u(x) ndA yA(t)

u(x)u(x) ndA =V (t)

gdV A(t)

pndA

Un concepto clave yace en la misma definicion de tubo de corriente: solo flujo puede pasar atraves de las superficies de control perpendiculares a las lneas de corriente. Por las superficiesque contienen las lineas de corriente no puede pasar fluido (por que?). Por ende, la ecuacion decontinuidad queda como:

(U +

U

sds

)(A+

A

sds

)= UA

4Nota curiosa: De un tiempo para aca, se ha tomado esta demostracion como la derivacion de la ecuacion deBernoulli, lo cual no es correcto ya que esta ultima nace de la primera ley de la termodinamica, no de la segundaley de Newton. Esto puede ser por el hecho que los estudiantes son mas familiares con los conceptos basico de lamecanica que con los de termodinamica.

5

Notese que solo se han tomado variaciones de primer orden (una expansion en series de Taylor,recuerdan?) en la velocidad U , el area A, y la presion p a lo largo del tubo de corriente. Laecuacion de impulso se escribe como:

U2A+ (U + Us ds

)2 (A+ As ds

)

= g sin (A+ As

ds2

)ds+ pA+

(p+ ps

ds2

)As ds

Aqu, el termino(p+ ps

ds2

)As ds proviene de la presion que actua sobre la superficie conica

mostrada en la figura. Para llegar a la forma final de la ecuacion de Bernoulli, usese la ecuacionde continuidad sobre la ultima ecuacion (se mostrara este paso primero):

U2A+ U(U +

U

sds

)A = UA

U

sds

= g(A+

A

s

ds

2

)dz +

p

s

A

s

(ds)2

2Ap

sds p

s

A

s(ds)2

Todos los terminos diferenciales de segundo orden se eliminan identicamente (se supuso expansionde Taylor de primer orden), as quedando:

UU

sds = gdz 1

p

sds o

[d(U2/2) + gdz + (1/)dp = 0

]linea de corriente

Integrando a lo largo de la lnea de corriente:

1

2U2 + gz +

p

= cte a lo largo de la l. de corriente (7)

PROBLEMAS

1. Considere una pequena onda solitaria que se mueve de derecha a izquierda sobre la superficiede agua de un canal de profundidad sin perturbar h. Asumiendo un cambio pequeno sobreel tirante de agua (profundidad) debido al paso de dicha onda, describa una ecuacion parala velocidad de propagacion, U , si el canal es horizontal y sin friccion.

2. Derive la ecuacion diferencial que explica el movimiento vertical de un cohete que tieneun area de boquilla Ae que apunta hacia abajo (Duh?!), una velocidad de gasto masico enel exhausto (boquilla) Ve, una densidad de e, sin considerar el flujo interno en el cohete.Denote la masa del cohete como M(t) y asuma que el gasto masico es uniforme.

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