Ciclo de Carnot

Para otros usos de este trmino, vaseCarnot.

Esquema de una mquina de Carnot. La mquina absorbe calor desde la fuente caliente T1y cede calor a la fra T2produciendo trabajo.

El ciclo de Carnot se produce cuando un equipo que trabaja absorbiendo una cantidad decalorQ1de la fuente de alta temperatura, cede un calor Q2a la de baja temperatura produciendo untrabajosobre el exterior. Elrendimientoviene definido por

y, como se ver adelante, es mayor que cualquier mquina que funcione cclicamente entre las mismas fuentes de temperatura. Unamquina trmicaque realiza este ciclo se denominamquina de Carnot.

Como todos los procesos que tienen lugar en el ciclo ideal son reversibles, el ciclo puede invertirse. Entonces la mquina absorbe calor de la fuente fra y cede calor a la fuente caliente, teniendo que suministrar trabajo a la mquina. Si el objetivo de esta mquina es extraer calor de la fuente fra se denominamquina frigorfica, y si es ceder calor a la fuente caliente,bomba de calor.

El ciclo de Carnot[editar]

Diagrama del ciclo de Carnot en funcin de lapresiny elvolumen.

Diagrama del ciclo de Carnot en funcin de latemperaturay laentropa.

El ciclo de Carnot consta de cuatro etapas: dos procesos isotermos (atemperaturaconstante) y dos adiabticos (aislados trmicamente). Las aplicaciones delPrimer principio de la termodinmicaestn escritos acorde con elCriterio de signos termodinmico.

Expansinisoterma: (proceso 1 2 en el diagrama) Se parte de una situacin en que el gas se encuentra al mnimo volumen del ciclo y a temperatura T1de la fuente caliente. En este estado se transfiere calor al cilindro desde la fuente de temperatura T1, haciendo que el gas se expanda. Al expandirse, el gas tiende a enfriarse, pero absorbe calor de T1y mantiene su temperatura constante. Al tratarse de ungas ideal, al no cambiar la temperatura tampoco lo hace suenerga interna, y despreciando los cambios en laenerga potencialy lacintica, a partir de la1 ley de la termodinmicavemos que todo el calor transferido es convertido en trabajo:

Desde el punto de vista de laentropa, sta aumenta en este proceso: por definicin, una variacin de entropa viene dada por el cociente entre el calor transferido y la temperatura de la fuente en un proceso reversible:. Como el proceso es efectivamente reversible, la entropa aumentarExpansinadiabtica: (2 3) La expansin isoterma termina en un punto tal que el resto de la expansin pueda realizarse sin intercambio de calor. A partir de aqu el sistema se asla trmicamente, con lo que no hay transferencia de calor con el exterior. Esta expansin adiabtica hace que el gas se enfre hasta alcanzar exactamente la temperatura T2en el momento en que el gas alcanza su volumen mximo. Al enfriarse disminuye su energa interna, con lo que utilizando un razonamiento anlogo al anterior proceso:

Esta vez, al no haber transferencia de calor, la entropa se mantiene constante:Compresinisoterma: (3 4) Se pone en contacto con el sistema la fuente de calor de temperatura T2y el gas comienza a comprimirse, pero no aumenta su temperatura porque va cediendo calor a la fuente fra. Al no cambiar la temperatura tampoco lo hace la energa interna, y la cesin de calor implica que hay que hacer un trabajo sobre el sistema:

Al ser el calor negativo, la entropa disminuye:Compresinadiabtica: (4 1) Aislado trmicamente, el sistema evoluciona comprimindose y aumentando su temperatura hasta el estado inicial. La energa interna aumenta y el calor es nulo, habiendo que comunicar un trabajo al sistema:

Al ser un proceso adiabtico, no hay transferencia de calor, por lo tanto la entropa no vara:Trabajo del ciclo[editar]Por convencin de signos, un signo negativo significa lo contrario. Es decir, un trabajo negativo significa que el trabajo es realizado sobre el sistema.

Con este convenio de signos el trabajo obtenido deber ser, por lo tanto, negativo. Tal como est definido, y despreciando los cambios enenerga mecnica, a partir de la primera ley:

Como dU (diferencial de laenerga interna) es una diferencial exacta, el valor de U es el mismo al inicio y al final del ciclo, y es independiente del camino, por lo tanto la integral de dU vale cero, con lo que queda

Por lo tanto, en el ciclo el sistema ha realizado un trabajo sobre el exterior.

Teoremas de Carnot[editar]1.No puede existir una mquina trmica que funcionando entre dos fuentes trmicas dadas tenga mayor rendimiento que una de Carnot que funcione entre esas mismas fuentes trmicas.Para demostrarlo supondremos que no se cumple el teorema, y se ver que el no cumplimiento transgrede elsegundo principio de la termodinmica. Tenemos pues dos mquinas, una llamada X y otra, de Carnot, R, operando entre las mismas fuentes trmicas y absorbiendo el mismo calor de la caliente. Como suponemos que, y por definicin

, dondeydenotan el trabajo producido y el calor cedido a la fuente fra respectivamente, y los subndices la mquina a la que se refieren.

Como R es reversible, se le puede hacer funcionar comomquina frigorfica. Como, la mquina X puede suministrar a R el trabajoque necesita para funcionar como mquina frigorfica, y X producir un trabajo neto. Al funcionar en sentido inverso, R est absorbiendo calorde la fuente fra y est cediendo calora la caliente.

El sistema formado por las dos mquinas funciona cclicamente realizando un trabajoe intercambiando un calorcon una nica fuente trmica, lo cual va en contra del segundo principio de la termodinmica. Por lo tanto:

2.Dos mquinas reversibles operando entre las mismas fuentes trmicas tienen el mismo rendimiento.Igual que antes, suponemos que no se cumple el teorema y veremos que se violar el segundo principio. Sean R1y R2dos mquinas reversibles, operando entre las mismas fuentes trmicas y absorbiendo el mismo calor de la caliente, con distintos rendimientos. Si es R1la de menor rendimiento, entonces.

Invirtiendo R1, la mquina R2puede suministrale el trabajopara que trabaje como mquina frigorfica, y R2producir un trabajo.

El sistema formado por las dos mquinas funciona cclicamente realizando un trabajoe intercambiando un calorcon una nica fuente trmica, lo cual va en contra de la segunda ley. Por lo tanto:

Rendimiento[editar]A partir del segundo teorema de Carnot se puede decir que, como dos mquinas reversibles tienen el mismo rendimiento, ste ser independiente de la sustancia de trabajo de las mquinas, las propiedades o la forma en la que se realice el ciclo. Tan solo depender de las temperaturas de las fuentes entre las que trabaje. Si tenemos una mquina que trabaja entre fuentes a temperatura T1y T2, el rendimiento ser una funcin de las dos como variables:

Por lo tanto, el cociente entre los calores transferidos es funcin de las temperaturas de las fuentes. Ntese que como, por lasegunda ley de la termodinmica, el rendimiento nunca pude ser igual a la unidad, la funcin f est siempre definida.

Consideremos ahora tres mquinas que trabajan entre fuentes a temperaturas tales que. La primera mquina trabaja entre las fuentes 1 y 2, la segunda entre 1 y 3, y la tercera entre 3 y 2, de modo que desde cada fuente se intercambia el mismo calor con las mquinas que actan sobre ella. Es decir, tanto la primera mquina como la segunda absorben un calor Q1, la segunda y la tercera ceden y absorben Q2respectivamente y la primera y la tercera ceden Q3. De la ecuacin anterior podemos poner, aplicada a cada mquina:

Aplicando relaciones matemticas:

Como el primer miembro es funcin solamente de T1y T2, tambin lo ser el segundo miembro, independientemente de T3. Para que eso se cumpla f debe ser de la forma

De las distintas funciones que satisfacen esa condicin, la ms sencilla es la propuesta porKelvin,, con lo que el cociente entre calores queda

y trasladando este cociente a la definicin de rendimiento:

Otra forma de llegar a este resultado es por medio de laentropa, definida como. De ah se puede sacar los calores transferidos en los procesos 1 2 y 3 4:

Como puede observarse, el calor transferido con la primera fuente es positivo y con la segunda negativo, por el convenio de signos adoptado.

Teniendo en cuenta que para calcular el rendimiento de un ciclo se utilizan losvalores absolutosde los trabajos y calores,

tenemos finalmente el resultado querido:

Ciclo real[editar]Todos losprocesosreales tienen alguna irreversibilidad, ya sea mecnica por rozamiento, trmica o de otro tipo. Sin embargo, las irreversibilidades se pueden reducir, pudindose considerar reversible unproceso cuasiestticoy sin efectos disipativos. Los efectos disipativos se reducen minimizando el rozamiento entre las distintas partes del sistema y los gradientes de temperatura; el proceso es cuasiesttico si la desviacin delequilibriotermodinmico es a lo sumo infinitesimal, esto es, si eltiempo caractersticodel proceso es mucho mayor que el tiempo de relajacin (el tiempo que transcurre entre que se altera el equilibrio hasta que se recupera). Por ejemplo, si la velocidad con la que se desplaza un mbolo es pequea comparada con la del sonido del gas, se puede considerar que las propiedades son uniformes espacialmente, ya que el tiempo de relajacin mecnico es del orden deV1/3/a(dondeVes el volumen del cilindro yalavelocidad del sonido), tiempo de propagacin de lasondas de presin, mucho ms pequeo que el tiempo caracterstico del proceso,V1/3/w(dondewes la velocidad del mbolo), y se pueden despreciar las irreversibilidades.

Si se hace que los procesos adiabticos del ciclo sean lentos para minimizar las irreversibilidades se hace imposible frenar la transferencia de calor. Como las paredes reales del sistema no pueden ser completamente adiabticas, el aislamiento trmico es imposible, sobre todo si el tiempo caracterstico del proceso es largo. Adems, en los procesos isotermos del ciclo existen irreversibilidades inherentes a la transferencia de calor. Por lo tanto, es imposible conseguir un ciclo real libre de irreversibilidades, y por el primer teorema de Carnot la eficiencia ser menor que un ciclo ideal.

El ciclo de Carnot

Se define ciclo de Carnot como un proceso cclico reversible que utiliza un gas perfecto, y que consta de dos transformaciones isotrmicas y dos adiabticas, tal como se muestra en la figura.

La representacin grfica del ciclo de Carnot en un diagrama p-V es el siguiente

Tramo A-B isoterma a la temperaturaT1Tramo B-C adiabtica

Tramo C-D isoterma a la temperaturaT2Tramo D-A adiabtica

En cualquier ciclo, tenemos que obtener a partir de los datos iniciales:

La presin, volumen de cada uno de los vrtices.

El trabajo, el calor y la variacin de energa interna en cada una de los procesos.

El trabajo total, el calor absorbido, el calor cedido, y el rendimiento del ciclo.

Los datos iniciales son los que figuran en la tabla adjunta. A partir de estos datos, hemos de rellenar los huecos de la tabla.

VariablesABCDPresinp(atm)

pA

Volumenv(litros)

vAvB

TemperaturaT(K)

T1T1T2T2Las etapas del ciclo Para obtener las variables y magnitudes desconocidas emplearemos las frmulas que figuran en elcuadro-resumen de las transformaciones termodinmicas.

1. Transformacin A->B (isoterma)La presinpBse calcula a partir de la ecuacin del gas idealVariacin de energa internaTrabajo Calor

2. Transformacin B->C (adiabtica)La ecuacin de estado adiabtica eso bien,. Se despejavcde la ecuacin de la adiabtica.ConocidovcyT2se obtienepc, a partir de la ecuacin del gas ideal..

CalorVariacin de energa interna Trabajo

3. Transformacin C->D (isoterma)Variacin de energa internaTrabajoCalor

4. Transformacin D-> A (adiabtica)Se despejavDde la ecuacin de la adiabtica.ConocidovDyT2se obtienepD, a partir de la ecuacin del gas ideal..

CalorVariacin de energa internaTrabajo+

El ciclo completo Variacin de energa interna En un proceso cclico reversible la variacin de energa interna es cero

Trabajo Los trabajos en las transformaciones adiabticas son iguales y opuestos. A partir de las ecuaciones de las dos adiabticas, la relacin entre los volmenes de los vrtices es, lo que nos conduce a la expresin final para el trabajo. CalorEn la isotermaT1se absorbe calorQ>0 ya quevB>vAde modo queEn la isotermaT2se cede calorQ