CI3201 Capitulo 5 Parte B (1)

CI3201 ANALISIS DE ESTRUCTURAS

ISOESTATICASProfesor Pedro Soto

CAPITULO 5

Anlisis de Sistemas Uniaxiales PlanosParte B

Otoo 2015

Enrejados

Nociones de Calculo Matricial de Enrejados

! Recordemos que todo equilibrio puede expresarse como una expresin matricial

[A] { R } = { P } donde [A] es la matriz del sistema{ R } , { P } son los vectores de reacciones y solicitaciones

! En el caso de enrejados, las relaciones de equilibrios en los nodos tambin pueden plantearse como

[B] { F } = { P } donde { F } es el vector de fuerzas en los nodos{ P } es el vector de solicitaciones en los nodos[B] se denomina matriz esttica porque depende de la geometra del enrejado " esta determinada por las coordenadas de cada nodo que definen los cosenos directores


L = !"# $ !%#

C& ' cos) ' DxLC* ' cos ' DyLx

y

Cosenos Directores " Permiten determinar las proyecciones del esfuerzo de

la barra segn cada eje

Dx

Dy


Cos ' C& ' DxLCos ' C* ' DyLNodo i

Nodo j

Dx

Dy

Cx

- Cy

- Cx

Cy

Si consideramos un esfuerzo unitario en la barra, tenemos que las componentes para direccin corresponde a Cx y Cy, adems compatibilizan por equilibrio sus signos en los nodos que definen la barra


Ejemplos

4

3

2

4

2 m

6 m

x

y

Cx = 4 / 5

Cy = 3 / 5

Cx = 4 / 20Cy = 2 / 20

Cx = 2 / 40Cy = 6 / 40


Analizando equilibrio en un nudo arbitrario de un enrejado

Nodo i

Barra b

Barra a

Cax, Cay

Fa

Cbx, Cby

Fb

Fa Cax - Fb Cbx + Fc Ccx = PxFa Cay - Fb Cby Fc Ccy = Py

Px

Py

Barra cCcx, Ccy

Fc En trminos matriciales tenemos-." / -0"-1"-.% / -0% / -1% 2.2021 ' 3"3%Formamos una matriz esttica con una lnea por componentes y una columna por cada barra que llega al nudo


PR2 R3R1

1

2

3

4 5

76

Aplicando lo anterior a un enrejado:

! Armamos el equilibrio con los cosenos directores de cada barra y recorremos cada nudo.

! Notar que solo P es conocido

F1 c1x + F4 c4x + R1 = 0F1 c1y + F4 c4y + R2 = 0-F1 c1x + F2 c2x + F6 c6x = 0-F1 c1y + F2 c2y + F6 c6y = 0-F2 c2x F7 c7x + F3 c3x = 0-F2 c2y F7 c7y F3 c3y = 0

Equilibrios en nodos A, B y C

A

B C

DF

-F3 c3x F5 c5x = 0F3 c3y - F5 c5y + R3 = 0- F6 c6x F4 c4x + F7 c7x + F5 c5x = 0F6 c6y + F4 c4y + F7 c7y + F5 c5y = P

Equilibrios en nodos D y F


Las ecuaciones anteriores las podemos agrupar en una tabla

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 R1 R2 R3 P

C1x C4x 1 0 0

C1y C4y 0 1 0

-C1x C2x C6x

-C1y C2y -C6y

-C2x C3x -C7x

-C2y -C3y -C7y

-C3x -C5x 0

C3y -C5y 1

-C4x C5x -C6x C7x 0

-C4y C5y C6y C7y 1

Notar que :! Cada 2 filas hay un

cambio de nodo y que cada columna corresponde a una fuerza de una barra, reaccin o carga aplicada.

! Siempre los cosenos figuran con ambos signos en la misma columna


Con la tabla anterior tenemos la matriz esttica B y los vectores F y P11"0014"00010011"0014%000010/11"12"00016"0000/11%12%000 / 16%00000 / 12"13"000 / 17"0000 / 12% / 13%000 / 17%0000013"0 / 15"000000013%0 / 15%00001000 / 14"15" / 16"17"000000 / 14%15% / 16%17%000

21222324252627515253'

0000000003


Ejemplo : Topologa y Cargas


F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 R1 R2 R3 PAx 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000Ay 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000Bx -0,707 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,707 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000By -0,707 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 2,000Cx 0,000 -0,707 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000Cy 0,000 -0,707 -0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2,000Dx 0,000 0,000 -0,707 0,707 0,000 0,000 -0,707 0,000 -1,000 0,000 0,000 0,000 0,000Dy 0,000 0,000 0,707 -0,707 0,000 0,000 -0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2,000Ex 0,000 0,000 0,000 -0,707 -1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000Ey 0,000 0,000 0,000 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000Fx 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 -1,000 0,707 -0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000Fy 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,707 0,707 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Ejemplo : Construccin Matriz B Esttica y vector de Cargas

TERMINOS DE LA MATRIZ [B]

TERMINOS DEL VECTOR DE CARGAS


Ejemplo : Solucin del enrejado


Algoritmo bsico para automatizar determinacin de [B]1) Para la barra i, definir los nmeros de los nudos inicial Ni y

final Nf2) Determinar Dx = CoordenadaX (Ni) CoordenadaX(Nf) y

Dy=CoordenadaY(Ni)-CoordenadaY(Nf)3) Calcular L4) Calcular cosenos directores Cx y Cy de la barra i5) Asignar los Cx, -Cx, Cy y -Cy segn la fila y columna que

correspondan a las incgnitas. 6) Asignar 1 o 0 en las filas y columnas que correspondan a

restricciones en el nudo7) Repetir 1 para la prxima barra.


Algoritmo bsico para automatizar determinacin de [P]1) Para el nudo i, revisar si hay cargas2) Asignar la carga en la fila que corresponda al eje de

aplicacin. Si no hay cargas poner 03) Repetir 1 para el prximo nudo.

Construidas [B] y {P} podemos resolver el sistema de ecuaciones con tcnicas numricas adecuadas (Gauss, etc)

Uso de Enrejados con otros Elementos Estructurales

#Cuando se utilizan los enrejados como elementos de una estructura, estos suelen conectar por medio de sus uniones rotuladas a vigas o columnas.

#La aplicacin mas comn es la conexin a columnas, generalmente empotradas en la base.

#Estas combinaciones son por lo general hiperestticas pero existen caso particulares que pueden resolverse parcialmente como estructuras isostticas si estn sometidas a estados de carga especficos que hacen que las incgnitas faltantes sean nulas.

#Lo anterior tambin depende de la geometra que puede impedir resolverlo como estructura isosttica


Modelacin Estructural


Aplicando superposicin de estados de carga podemos descomponer en dos el problemas, algo normal por requisitos de las normas de diseo

Cargas LateralesVientoSismo

Cargas GravitacionalesPesos propiosSobrecargas


Cargas GravitacionalesPesos propiosSobrecargas

Podemos resolverla como una estructura casi-isosttica porque no hay cargas que generen momentos en los empotramientos

Analizando el modelo con las cargas gravitacionales podemos recordar la estructura original


No podemos resolver como una estructura casi-isosttica porque a pesar de que no hay cargas externas que generen momentos en los empotramientos, los esfuerzos internos generan momentos en los empotramientos por la geometra.

Estructuras de Cables

Estructuras de Cables Son estructuras verstiles y simples. Permiten que sean utilizadas en varias aplicaciones tales como :

lneas de transmisin elctricas, torres de minera (Piques Mineros),puentes colgantes o atirantados.

La geometra que adquiere al aplicarse cargas asegura el equilibriosolo con esfuerzos de traccin.

Bajo solicitaciones, la geometra causa que :

! Cuando sometido a cargas puntuales " produce formas discontinuas.! Cuando sometido a cargas uniformes segn Y (proyeccin horizontal)

" produce formas similares a las de una parbola! Cuando sometido a cargas uniformes que siguen la geometra del

cable " se forma una catenaria (curva que puede ser necesarioresolver iterando numricamente) como los tendidos de alta tensin.


Supuestos bsicos#Los cables se puede modelar como elementos

rotulados, luego M = 0 en los nudos y se puedeutilizar el mtodo de los nudos para resolverlos

#Los cables solo transmiten esfuerzos axiales detraccin, en compresin fallan por pandeo.

#Los puntos de apoyo de sus extremos deben ser almenos apoyos rotulados, si un apoyo es deslizante elcable falla.

Estructuras de Cables! Cable con cargas puntuales

6 Fx '/Ax$ Bx ' 06 Fy ' Ay$ By/ P ' 0

670 ' 0 ' 8%9 / 3:Tag ' Ym ' AyAx

Por geometra sabemos que

Ax= A cos Ay = A sen

Estructuras de CablesResolviendo lo anterior Fx '/Ax$ Bx ' 0 = A cos + Bx " A cos = Bx = H Tensin horizontal

del cable670 ' 0 ' 8%9 / 3: 8% ' 3:9 By '3=98" ' >?@ABC D ' EFG HI = JKLMNO" ' P?@AB D ' EIG HF = JKLMN

Tambin tenemos que

La tensin horizontal H del cable es constante en toda la longitud

Por compatibilidad de deformaciones y geometra "Ym ' Yn

Luego tambin tenemos que :

Estructuras de CablesAplicando equilibrio ahora a un cable con varias cargas puntuales

Ax = Bx = H/AxLtag $ Ay L - PS L/ xS ' 0Consideremos varias cargas P en cable y tenemos :Ay = H tag + TN PS L/ xSAx = H "

Estructuras de CablesCortando en m y aplicando equilibrio con varias cargas puntuales

/HUxtag $ V=)+ Ay x - PW L/ xW ' 0Calculando Momento en mAyx ' Hxtag $ DV= + PW L/ xWSabemos que Ay = H tag + TN PS L/ xS

LuegoH x tag + XY PS L/ xS ' Hxtag $ DV= + PW L/ xW

H Ym = XY PS L/ xS / PW L/ xW " Teorema de cables

Estructuras de CablesDe lo anterior tenemos que en todo cable se verifica que

Donde H = Tensin Horizontal del Cable Ym = Flecha de un punto del Cable

HVL = ZN 7[ - 7L '7 Teorema del CableTeorema del cables = En un punto de un cable sometido acargas verticales, la componente horizontal de la tensin por laflecha es igual al momento que acta en ese punto si seconsidera el cable como una viga simplemente apoyada

Tenemos que es necesario conocer la flecha Ym o la tensinhorizontal H del cable para poder aplicar el teorema, luego elproblema depende de variables externas.

Estructuras de CablesDe la figura anterior tambin tenemos:T ' A ' Ax# $ Ay#Tensindelcable

" La tensin de un cable siempre es mxima en los apoyos

Luego A cos = T cos = H

Lo anterior explica el hecho de que los apoyos de cablessiempre son estructuras de construccin muy solida,incluyendo en algunos casos estructuras de tipomonolticas o masivas (Puentes Colgantes)


! Cable con una carga distribuida segn yConsideremos el siguiente cable

Estructuras de CablesTomando momento con respecto a B Ay L = H d + T# qL#

HYm 'qL#8

Cortando en seccin m y luego determinando momento con respecto a m

Ay xm = H ( xm Tag + Ym) + T# qxm#HYm = ZN 7P - 7L ' ]#NN^ / ]_L^#Aplicando el TeoremaTenemos que ym es la flecha medida desde la cuerda con xm medido desde A

Si xm = L/2 "Nota : Es la misma expresin del momento mximo de una viga horizontal con una carga q

Adems resulta que HYm = ]# 9 "= / ]# "=# Ecuacin de una parbola


H

V

T

Haciendo un corte en m para ver que ocurre con la tensin del cable tenemos que :

H = T cos " T = H T`ab C ' D 1 $ c.d)#Vemos que se sigue cumpliendo que la tensin es mxima en los apoyos

Lo que determina que

V = q xm

T = D# $ Ue"=f#Tag ' qxmHPor otra parte tambin tenemos que

Estructuras de Cables! Cable con una carga distribuida segn su eje

$ El peso propio del cable es una carga distribuida segn el eje del cable.$ La tensin no es constante.

T = Ug 1f#$Ug hf#

Definamos las coordenadas locales c= H/w s = posicin de una

seccin del cable

Con w = carga sobre el cable

Luego


Recordemos que en un cable la Tensin y la flecha dependen de X e Y,en este caso si aplicamos equilibrio a una seccin ds y dx podemosencontrar una expresin que relaciona la posicin horizontal con lalongitud del cable dada por :

T = w 1#$h#Luego la Tensin puede expresarse como :

s = c senh _iSi relacionamos un ds con un dy se llega a que

y = c cosh _i Ecuacin de una catenaria

Estructuras de CablesCon los resultados anteriores es posible expresar que

H = w c T = w y

$ Si los apoyos A y B estn a la misma elevacin, la distancia L que los separa se denomina Claro del Cable

$ La flecha h se define como la distancia vertical hasta el punto mas bajo de ella y esta dada por h = Ya c , donde Ya = altura de un apoyo

$ Cabe agregar que los problemas sobre catenarias involucran ecuaciones trascendentales, las que puede ser necesario resolver mediante aproximaciones numricas sucesivas.

$ En caso de un cable muy tenso, se puede asumir que la carga esta uniformemente distribuida segn y, transformando la catenaria en una parbola simplificando el problema con un error pequeo

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