Es una ecuación que involucra derivadas de una función

desconocida de una o más variables. Si la función

desconocida depende solo de una variable la ecuación

se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin

embargo, si la función desconocida depende de más de

una variable la ecuación se llama una ecuación

diferencial parcial

El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al

de la derivada de mas alto orden que aparece en la

ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden. El orden de una

ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es

el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por

ejemplo:

d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex

dx2 dx

es una ecuación diferencial de segundo orden.

Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada

de mayor orden. La ecuación debe tener una forma

polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es

decir:

• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna

potencia distinta de uno o cero.

• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo

interviene la variable independiente.

• Una combinación lineal de sus soluciones es también

solución de la ecuación.

Clasificación según su tipo:

Si una ecuación contienen solo derivadas

ordinarias de una o más variables dependientes

con respecto a una sola variable dependiente se

dice que es una ecuación diferencial ordinaria

por ejemplo:

Una ecuación con derivadas parciales de

una o más variables dependientes de dos

o mas variables independientes se le

llama ecuación diferencial parcial

Por ejemplo

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO

o EDP) es el orden de la derivada mayor en la

ecuación por ejemplo:

En símbolos, la ecuación diferencial ordinaria de

n-esimo orden de una variable dependiente,

se puede expresar mediante la forma

general:

F(x, y, y’, … )

Segundo

ordenPrimer

orden

Grado de una ecuación diferencial

Existe si la función incógnita se puede expresar como un

polinomio en los distintos órdenes, el grado de la

ecuación diferencial se considera el grado mayor en que

aparece el orden mayor. Pueden ser de primer y

segundo grado como aparece en el siguiente ejemplo

Primer grado:

Homogénea de segundo grado:

Hay tres tipos de soluciones:

: una solución de tipo genérico,

expresada con una o más constantes. La solución

general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud

de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante

corresponde a una familia simplemente infinita, dos

constantes a una familia doblemente infinita, etc). En

caso de que la ecuación sea lineal, la solución general

se logra como combinación lineal de las soluciones

(tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación

homogénea (que resulta de hacer el término no

dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más

una solución particular de la ecuación completa.

: Si fijando cualquier punto

P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente

la solución de la ecuación diferencial, existe un

único valor de C, y por lo tanto de la curva

integral que satisface la ecuación, éste recibirá

el nombre de solución particular de la ecuación

en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de

condición inicial. Es un caso particular de la

solución general, en donde la constante (o

constantes) recibe un valor específico.

una función que verifica la

ecuación, pero que no se obtiene

particularizando la solución general

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de representa una superficie .

Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano

vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la

traza de la superficie sobre el plano . De manera

semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la

curva . Ambas curvas pasan por el punto .

Observe que la curva es la gráfica de la función de manera

que la pendiente de su recta tangente en el punto es La

curva es la gráfica de la función así que la pendiente de

su tangente en el punto.

Observación : si es una función de dos variables e ,

entonces sus derivadas parciales y también son

funciones de dos variables, de modo que podemos

considerar sus derivadas parciales y , las cuales se

llaman segundas derivadas parciales de Si.

La notación o significa que primero derivamos con

respecto a y luego con respecto a , mientras que para

calcular el orden se invierte.

En ingeniería a menudo el problema geométrico de

encontrar una familia de curvas (trayectoria ortogonal)

que intersequen ortogonalmente en cada punto a una

familia dada de curvas. Por ejemplo, es posible que se

den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación

de las líneas equipotenciales. Consideremos la familia

de curvas descrita por la ecuación F(x, y, y’)=0, la

ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a

ella, es otra familia de la forma F(x,y,1/y’)

Para obtener las trayectorias octogonales de una ecuacion

diferencial se toma :

Mi= = f(x, y), M2= - 1/m1

M2= = dada la trayectoria ortogonal a la

primera ecuación

Cuando un problema de valor inicial modela

matemáticamente una situación física, la existencia y

unicidad de la solución es de suma importancia, pues,

con seguridad se espera tener una solución, debido a

que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se

supone que la solución sea única, pues si repetimos el

experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los

mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea

determinantico. Por lo tanto, al considerar un problema

de valor inicial es natural preguntarse por:

Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?

Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?

Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la

determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras

interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la

determinación de solución para el próximo capítulo.

Teorema:

Sea R[a,b] x [c,d] c tal que . Si f(x, y) y son

continuas en R , entonces existe un intervalo abierto I,

centrado en XD y una función f(y) definida en I , que

satisface el problema de valor inicial

Suponga que nos da la ecuación diferencial F(x, y)

Donde f(x, y) satisface las condiciones del teorema de

existencia-unicidad. En cada punto (a, b) de la región R

podemos construir una línea corta, llamada un elemento

lineal, con pendiente F(a, b). Si hacemos esto para un

gran número de puntos, obtenemos un grafico tal como

se muestra en la figura siguiente, llamado campo de

direcciones de la ecuación diferencial. Los elementos de

la línea representan líneas tangentes a las curvas

solución en estos puntos

Pedro Damian Segoviano Aguilar 9310367

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