PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

1

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO

EXTENSIÓN DE KANKINTÚ

Módulo Nª 2

Título del Módulo: Números Reales

Parte I. Números Racionales y sus Operaciones.

Parte II. Razones, Proporciones

Facultad de Ciencias Naturales Exactas y Tecnología. Departamento de Matemática

Facultad de servicio: Educación

Nivel: Pre-grado

Carrera: Licenciatura en Educación Primaria

Año: I

Curso: Matemática. NCMA 0011

Código de Asignatura: 22482

Código de Horario: 0404

Semestre Académico: Primero 2020.

Duración: 16 semanas

Horas Semanales: cuatro (4)

Facilitador responsable: Prof. Abel A. Caballero M.

G586

Licenciado en Matemática

DESCRIPCIÓN

Este curso pretende establecer bases sólidas con las operaciones fundamentales en matemática

(adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) por lo que se inicia con la

construcción intuitiva de los conjuntos numéricos y el estudio de estas operaciones en cada uno de

estos conjuntos.

OBJETIVO GENERALES

Del Curso

Facilitar la adquisición, interpretación y comprensión de conceptos matemáticos.

Desarrollar habilidades, destrezas, intereses, espíritu creador y analítico que permitan resolver

problemas relacionados con la matemática.

Resaltar la importancia de la matemática por su relación con los diferentes campos del acontecer

humano, tecnológico y científico.

Proporcionar un rico vocabulario que permita transmitir los conocimientos correctamente.

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

2

NÚMEROS RACIONALES ℚ

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción

común 𝒂

𝒃 con numerador (𝒂) y denominador (𝒃) distinto de cero. El término «racional»

alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota

por ℚ, que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de

números incluye a los números enteros ( Z), y es un subconjunto de los números reales ℝ.

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

3

Máximo Común Divisor: el máximo común divisor de dos o más números enteros al mayor número

entero que los divide a todos sin dejar residuo alguno, es decir, los divide a todos de manera exacta.

Ejemplos:

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

4

El MCD es (𝟐)(𝟑) = 𝟔. Para el cálculo del MCD utilizamos los

Mínimo Común Múltiplo: El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números, es

simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. Utilizando los números primos calculamos

el mínimo común múltiplo de todos los números involucrados.

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

5

Halle el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

1. 8, 14

2. 56, 24

3. 9, 18, 45

4. 10, 15

5. 64, 48, 120

6. 14, 42, 84

7. 12, 68, 24

8. 144, 15

Halle el máximo común divisor de los siguientes números:

1. 24, 36, 40

2. 72, 108, 60

3. 54, 90

4. 35, 48

5. 70, 62

6. 60, 100, 120

7. 40, 36, 45

8. 18, 24

9. 36, 54, 90

Pasos para adicionar o sustraer números racionales:

1. Buscar el mínimo común Múltiplo de los denominadores involucrados.

2. Trazar una raya fraccionaria y colocar debajo el MCM.

3. Dividir el MCM entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador, el resultado se coloca

sobre la raya fraccionaria separando por los signos correspondientes al problema.

4. Se suma o resta dependiendo de los signos.

5. Se simplifica la fracción si es posible. Simplificar significa dividir el numerador y el denominador

por un mismo número hasta que ya no se pueda más.

2

5−

7

15+

19

20−

1

4=

24−28+57−15

60

=38

60

=19

30

3

21−

9

2+

14

3−

51

14=

6−189+196−153

42

=−140

42

= −10

3

Taller Individual. Practicar

Operaciones con números racionales

Paso 1

5 – 15 – 20 – 4 2

5 – 15 – 10 – 2 2

5 – 15 – 5 – 1 3

5 – 5 – 5 – 1 5

1 – 1 – 1 – 1 60

Paso 2

60

Paso 3.

60 ÷ 5 = 12 × 2 = 24

60 ÷ 15 = 4 × 7 = 28

60 ÷ 20 = 3 × 19 = 57

60 ÷ 4 = 15 × 1 = 15

Paso 4 Paso 5. Dividiendo 38 ÷ 2 = 19 Y 60 ÷ 2 = 30. Y no se pueden dividir por otro número más.

Paso 1

21 – 2 – 3 – 14 2

21 – 1 – 3 – 7 3

7 – 1 – 1 – 7 7

1 – 1 – 1 – 1 42

Paso 2

42

Paso 3.

42 ÷ 21 = 2 × 3 = 6

42 ÷ 2 = 21 × 9 = 189

42 ÷ 3 = 14 × 14 = 196

42 ÷ 14 = 3 × 51 = 153

Paso 5. Dividiendo 140 ÷ 2 = 70 Y 42 ÷ 2 = 21. 70 ÷ 7 = 10 y 21 ÷ 7 = 3

Paso 4

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

6

Multiplicación de Números Racionales: Se multiplica numerador por numerador para obtener el

numerador del resultado y denominador por denominador para obtener el denominador; teniendo en

cuenta que si se puede simplificar antes de desarrollar el producto; se debe simplificar. Tomamos en

cuenta la ley de los signos para la multiplicación de números enteros.

Ejemplos:

𝟓

𝟒×

𝟑

𝟐×

𝟒

𝟑×

𝟐

𝟑=

𝟓

𝟑 −

𝟐

𝟑×

𝟒

𝟓× −

𝟔

𝟏𝟏=

𝟏𝟔

𝟓𝟓

C

𝟑

𝟐× −

𝟓

𝟒×

𝟕

𝟏𝟎×

𝟒

𝟗= −

𝟕

𝟏𝟐

División de números racionales: Para dividir dos números racionales, se pone como numerador, el

producto del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del

primer denominador por el segundo numerador.

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

Ejemplos:

6

5÷

4

15=

6 . 15

5 . 4=

9

2

−24

49÷

8

−35=

−24 . −35

49 . 8=

15

7

Potencias de números racionales

Para resolver la potencia de un número racional se eleva al exponente tanto el numerador como el

denominador, y se desarrolla multiplicando la base la cantidad de veces que indica el exponente.

Si la base es positiva, la potencia es positiva.

Si la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva.

Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa.

(𝑎

𝑏)

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

1 1 1

1 1 1

2

1

1 1 1

1 3 2

2

3 3

1

3

1

5

7

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

7

Ejemplos:

(−𝟏

𝟐)

𝟑=

(−𝟏)𝟑

𝟐𝟑 = −𝟏

𝟖 (

𝟏

𝟏𝟎)

𝟐=

𝟏𝟐

𝟏𝟎𝟐 =𝟏

𝟏𝟎𝟎

(−𝟑

𝟐)

𝟒=

𝟑𝟒

(−𝟐)𝟒 = −𝟖𝟏

𝟏𝟔 (

𝟒

𝟑)

𝟓=

𝟒𝟓

𝟑𝟓 =𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟑𝟒𝟑

Raíces de números racionales

Para extraer la raíz de un número racional, extraemos la raíz tanto del numerador como del

denominador.

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

Ejemplos:

√4

9=

√4

√9=

2

3 √

36

49=

√36

√49=

6

7 √−

27

8

3=

√−273

√83 = −

3

2

TALLER INDIVIDUAL

Resuelva las siguientes operaciones con números racionales:

a) 5

2+

7

2−

9

2+

1

2−

5

2=

b) 1

4+

3

2−

5

6−

7

3+

19

2=

c) −7

3−

5

8−

2

3=

d) 6

5+ 8 − 3 +

19

10=

e) 7

8−

5

16+

21

4=

f) 3

2×

26

9×

3

4×

−18

15=

g) 16

9×

−15

4×

27

25×

−7

5×

50

49=

h) 13

12×

56

39×

−8

5×

1

16=

i) −8

15×

30

7×

14

15×

−16

21=

j) 9

5×

25

18×

13

36×

72

39=

k) 14

36÷

28

9=

l) 27

13÷

9

39=

m) −98

36÷ 56 =

n) 54

14÷

−28

27=

o) 48

14÷

16

7=

p) (−3

5)

3

=

q) (2

3)

4

=

r) (−1

7)

2

=

s) (6

5)

4

=

t) (−4

9)

3

=

u) √4

25=

v) √−27

1000

3=

w) √243

32

5=

x) √4096

729

6=

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

8

TALLER SUMATIVO

Valor: 100 ptos

Resuelva las siguientes operaciones con números racionales:

1. 𝟏

𝟓+

𝟐

𝟑−

𝟒

𝟕+

𝟐

𝟓 (8ptos)

2. 𝟒

𝟗−

𝟏𝟑

𝟑+

𝟖

𝟏𝟖−

𝟓

𝟐 (8ptos)

3. 20

3×

45

12× −

6

7× −

14

5 (6ptos)

4. −9

7× −

21

4× −

1

3 (6ptos)

5. 12

25÷

28

5 (6ptos)

6. 27

8÷ −

9

48 (6ptos)

7. (−3

7)

3

(6ptos)

8. (6

5)

4

(6ptos)

9. √𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟔𝟗 (6ptos)

10. √−𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟏𝟔𝟖𝟎𝟕

𝟓 (6ptos

Dé 5 ejemplos de números racionales, represéntelos gráficamente y escriba como se lee.

(35ptos)

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón: es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si

las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la

razón.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Método para obtener una cantidad de acuerdo con la razón dada:

1. Se suman los términos de la razón.

2. Se consideran las partes fraccionarias de cada término respecto a la suma de ellos.

3. Se multiplican estas fracciones por la cantidad a dividir. De su respuesta en frase completa.

Ejemplo:

La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.

Solución:

1. 5 + 9 = 14

2.

,5

14,

9

14

3. 5

14× 84 = 5 × 6 = 30.

9

14× 84 = 9 × 6 = 54 Las edades de las personas son de

30 años y 54 años.

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

9

El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5:3.

Calcula el área del rectángulo.

Solución: Tomamos en cuenta que la altura y la base son el doble. Además, que el área es base por

altura.

1. 5 + 3 = 8

2. 5

8,

3

8

3. 5

8× 128 = 5 × 16 = 80

3

8× 128 = 3 × 16 = 48. Para saber el valor exacto de la

altura y la base solo debemos dividir entre 2 y tenemos 80

2= 40𝑐𝑚,

48

2= 24𝑐𝑚 estos serían

los valores de la altura y la base.

4. Calculemos el área 𝐴 = 𝑏 × ℎ = 40𝑐𝑚 × 24𝑐𝑚 = 960𝑐𝑚2

Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles

hay?

Solución:

1. 4 + 7 = 11

2. 4

11,

7

11

3. Como se quiere la cantidad de automóviles basta con resolver 4

11× 33 = 4 × 3 = 12. Hay 12

automóviles en total.

ES HORA DE PRACTICAR

Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores

a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?

b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y

azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color?

c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños

y niñas conforman el taller?

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

10

Ejemplos:

1. Hallar el término desconocido en 8 ∶ 4 ∶∶ 10 ∶ 𝑥

Solución: Aplicando la propiedad de los extremos tenemos 𝑥 =4×10

8=

40

8= 5 , el valor de

𝑥 = 5.

2. Hallar el término desconocido en 10 ∶1

6∶∶ 𝑥 ∶ 4

Solución: Aplicando la propiedad de los medios tenemos que 𝑥 =10×4

1

6

=401

6

= 40 × 6 =

240. El valor desconocido es 𝑥 = 240.

3. Hallar el término desconocido de 25 ∶ 𝑥 ∶∶ 𝑥 ∶1

16

Solución: Aplicando la propiedad fundamental tenemos que:

𝑥 . 𝑥 = 25 .1

16

𝑥2 =25

16

√𝑥2 = √25

16

𝑥 =5

4

El valor desconocido es 𝑥 =5

4

Es hora de poner en práctica lo anterior…

Encuentra el valor desconocido:

TIPOS DE PROPORCIONES

Existen dos tipos de proporciones: La Proporción Directa y la Proporción Inversa.

Proporción Directa: es aquella en la cual dos variables están relacionadas en tal forma que, el

aumento o disminución en una, causa un aumento o disminución correspondiente en la otra.

A continuación, algunos ejemplos en los que podemos advertir que las magnitudes, variables están

directamente relacionadas; esto es, están en proporción directa.

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

11

A mayor velocidad, mayor distancia recorrida.

A mayor cantidad de hombres en un trabajo, mayor la cantidad de trabajo realizado.

Proporción Inversa: es aquella en que dos variables están relacionadas en tal forma que el aumento

en una, motiva el decrecimiento correspondiente en la otra.

A continuación, algunos ejemplos en los que podemos advertir que las variables están inversamente

relacionadas, es decir, están en proporción inversa.

A mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una distancia dada.

A mayor cantidad de hombres trabajando, menor el tiempo empleado en hacerlo.

A menor oferta, mayores precios.

MÉTODO DE LAS PROPORCIONES

Para resolver problemas por el método de las proporciones es necesario, primeramente, reconocer si

existe una proporción y de ser así, reconocer de qué tipo es (directa o inversa). Aquí entra en juego

la habilidad de cada individuo para discriminar si hay una proporción y además a qué caso

corresponde. Esta habilidad, indudablemente, aumenta con la experiencia y la práctica.

El método para resolver proporciones es el siguiente:

Los valores correspondientes se colocan en línea.

Se tomaran las fracciones o razones con los valores correspondientes o de la misma especie.

Se resolverá la proporción atendiendo a:

a. Si la proporción es directa se resolverá sin modificaciones.

b. Si la proporción es inversa, una de las dos fracciones o razones se invierte para luego resolver la

proporción resultante.

Ejemplos:

Si una vara de 2,15 metros de altura da una sombra de 6,45 metros, ¿Cuál será la altura de una torre

cuya sombra a la misma hora es de 51 metros?

Los valores correspondientes al problema

Altura(m) Sombra(m)

2,15 6,45

x 51

Las fracciones o razones: 2,15

𝑥 𝑦

6,45

51

Este caso es proporción directa y resolvemos:

2,15

𝑥=

6,45

51

𝑥 = 2,15 × 51

6,45

𝑥 = 51

3

𝑥 = 17

La altura de la torre es de 17 metros.

A la velocidad de 30 kilómetros por hora un automóvil emplea 33

4 horas en efectuar un recorrido.

¿Cuánto tiempo menos se hubiese tardado si la velocidad hubiese sido el triple?

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

12

Los valores son velocidad y horas. El segundo valor de la velocidad sale multiplicando por 3 a 30

kilómetros por hora.

Velocidad (km/h) Tiempo (h)

30 33

4

90 x

Las razones son 30

90 𝑦

33

4

𝑥

Es una proporción inversa ya que al aumentar la velocidad del automóvil el tiempo de recorrido

disminuye por lo cual debemos invertir una de las dos razones, escogeré la primera. Entonces nuestra

proporción sería:

90

30=

334𝑥

𝑥 =

334 × 30

90

𝑥 =

334 × 1

3

𝑥 =33

4×

1

3

𝑥 =11

4

Entonces como necesitamos saber cuánto tiempo menos tardó restaremos el primer tiempo y el que

acabamos de encontrar y quedaría:

33

4−

11

4=

22

4

Tardó 22

4 de horas menos en realizar el recorrido.

Aplica lo aprendido…

Resuelva cada uno de los siguientes problemas utilizando el método de las proporciones.

1. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno.

Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál debe ser la capacidad

de esos toneles?

2. En una mueblería, 6 trabajadores hacen 8 sillones en 4 días. Si queremos saber cuántos

trabajadores se necesitan para construir los 8 sillones en 1, 2 y 3 días.

3. En una tienda se venden dulces nacionales e importados, a razón de 3:2 Si sabemos que al día se

vende 255 dulces nacionales, ¿Cuántos dulces importados se venden al día?

4. En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de 6 niñas

por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños ¿Cuántas niñas fueron?

5. Para armar una mesa, se necesitan 14 tornillos. ¿Cuántos tornillos necesitamos para armar 9

mesas?

6. Dos grúas mueven 50 contenedores en hora y media. ¿Cuántas grúas se necesitan para mover los

50 contenedores en media hora?

PROFESOR ABEL A. CABALLERO M. correo: abelc1311@gmail.com celular: 62519323

13

7. Si 4 alumnos realizan un trabajo en equipo en 45 minutos ¿Cuánto tiempo tardarán si el equipo

está formado por 6, 8, 10 y 12 estudiantes?

TALLER SUMATIVO

Valor 50 ptos

1) Una fábrica tiene 108 empleados y están distribuidos en 4 secciones A,

B, C, D en la razón 1: 3: 5: 9. ¿Cuántos empleados hay en cada sección?

(7 ptos)

2) Tres hermanos A, B, C deben pagar una cuenta de B/. 4800 considerando

la situación económica de cada uno, se ponen de acuerdo de pagar ésta,

en la razón 2: 3: 7. ¿Cuánto pagara cada hermano? (7ptos)

3) Encuentre el valor desconocido: (7ptos c/u)

a) 8

𝑥=

16

4 b)

1

3:

1

5∷ 𝑥:

2

3

4) Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 10 kilómetros. Si quedan en

el depósito 6 litros, ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

(11 ptos)

5) Un ganadero tiene pacas de forraje suficiente para alimentar 220 vacas

durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad

de pacas de forraje a 450 vacas? (11 ptos)