SEIT DGIT SEP

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO

cenidet " BALANCEO DE ROTORES ASIMETRICOS "

-..

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CENTRO DE INFORMACIO~

CENIDET T E S I S 0 PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN:

CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA

( O P C I O N D I S E N O )

P R E S E N T A:

J O R G E C O L I N O C A M P O

-J

CUERNAVACA, MORELOS. NOVIEMBRE DE 1996

- - A-,-

YI’P B SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS

;entro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

ACADEMIA DE LA MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIEdA MECANICA

Cuernavaca, Mor., a 10 de octubre de 1996.

Dr. Juan Manuel Fücaño Castillo Director del CENIDET P r e s e n t e

At’n: Dr. Octavio Salazar San Andrés Jefe del Departamento de Ing. Mecánica.

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:

6‘ BALANCEO DE ROTORES ASIMÉTRICOS “. Desarrollado por el Ing. Jorge Colín Ocampo, y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted

A t e n t a m e n t e Comisión Revisora &e.

Dr. Octavio Salazar San Andrés

Interior Internado Palmira S/N C.P. 62490 Apartado P. 5-164 Cuernavaca, Mor., México

Tels.: (73) 18-77-41; 12-23-14; 12-76-13, Fax: 12-24-34 cenidet/ rtn0070@rtn.infotec.conacyt.mx .

Doy gracias a DIOS por permitirme llegar a concluir una meta más en mi vida.

DEDICO ESTE TRABAJO A:

Mis padres Virginia y Victor que con su constante apoyo y cariño me siguen impulsando a seguir adelante. Para ellos con mucho amor.

Mis hermanos Victor M., N. Karina y Abel que han sido parte importante en mi vida.

Mis sobrinos Ana Mm'a, Manuel y Nestor quienes llegaron a darle nuevas ilusiones en la vida a mis padres.

Chonita ..............

A ti Adriana, que formas parte de lo hermoso de mi vida. Gracias por tu paciencia y por el gran cariño que sientes por mi.

y en forma muy especial:

a mi hijo Jorge Yusef quién es mi adoración.

AGRADECIMIENTOS

Ai Dr. Jorge Aguirre Románo y al M. C. Eduardo Preciado Delgado por el apoyo y dirección de este trabajo.

AI Dr. José M. Rodríguez L., Dr. Octavio Salazar, Karla Quevedo, Xochitl Aviña, Lucio Almaraz, M. Isabel Cepeda y Ernesto Jiménez por su amistad.

A los revisores Dr. Octavio Salazar, M. C. Enrique S . Gutiérrez, M. C. Yvonne Chávez por las varias e interesantes aportaciones a este trabajo.

A mis compañeros y amigos que fueron parte importante en la elaboración de esta tesis.

Al CENIDET y a los catedráticos que fueron parte de mi formación profesional.

AI M. C. Rodolfo Muñoz Q. y al Ing. Antonio Ramírez por su valiosa ayuda.

Al Instituto de Investigaciones Eléctricas por las facilidades otorgadas durante la realización de este trabajo

y en forma especial:

Ai Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Secretaría de Educación Pública (SEP) por el apoyo económico otorgado durante el programa de maestría.

CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

SIMBOLOGIA

INTRODUCCION

1 GENERALIDADES

1.1 Antecedentes 1.2 1.3 1.4 Revisión bibliográfica

Descripción del problema y objetivo del trabajo Metodología para el análisis y solución del problema

iv

vi

1

3

2 DESCRIPCION DEL MODELO MATEMATICO 14

2.1 Ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor simétrico con

2.2 Ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor asimétrico con desbalance

desbalance 2.2.1 Condiciones de análisis 2.2.2 Sistema de coordenadas 2.2.3 Ecuaciones diferenciales de movimiento

Algoritmo de solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor asimétrico Parámetros que influyen en la respuesta vibratoria de un rotor al considerar rampas de excitación

2.3 Rampa de excitación 2.4

2.5

3 RESULTADOS DEL MODELO MATEMATICO (DIAGRAMAS POLARES DE RESPUESTA)

14

16 16 16 18 22

23

25

21

3.1 Vibración de un rotor simétrico 27 3.1.1 Interpretación de la vibración del rotor 21 3.1.2 Efectos en la respuesta del rotor al considerar rampas de

excitación 29 3.1.2.1 Parámetros de análisis 29 3.1.2.2 Efectos generados debido a las rampas de excitación en

30 los diagramas polares de respuesta

I

3.2 Vibración de un rotor asimétrico 3.2.1 Interpretación de la vibración del rotor

32 32

3.2.2 Efectos en la respuesta del rotor al considerar rampas de excitación 34

3.2.3 Influencia de la posición angular Od de la fuerza de excitación en la respuesta del rotor 38

3.2.4 Influencia del amortiguamiento y la asimetría en la respuesta del rotor 42 3.2.4.1 Influencia del amortiguamiento en la respuesta del rotor 44 3.2.4.2 Influencia de la asimetría en la respuesta del rotor 46 Localización de la fuerza de excitación en el rotor utilizando diagramas polares de respuesta 50

3.2.5

4 METODO DE BALANCEO 51

4.1 Método de balanceo para rotores asimétricos 51 4.1.1 Procedimiento de balanceo mediante la localización de la fuerza

de excitación 51 4.1.2 Procedimiento de balanceo considerando las posiciones angulares

Qd = +45 o de la sección transversal del rotor 52 4.1.3 Método de balanceo 55

5 PRUEBAS DE LABORATORIO 56

5.1 5.2 5.3 Balanceo del rotor experimental

Arreglo del equipo de pruebas Descripción de las pruebas de laboratorio

5.3.1 Primera prueba de balanceo del rotor experimental considerando las posiciones angulares Od = +45 de la sección transversal del rotor Segunda prueba de balanceo del rotor experimental mediqte la localización de la fuerza de excitación Tercera prueba de balanceo del rotor experimental, método combinado

O

5.3.2

5.3.3

Discusión de los resultados experimentales Análisis del método de balanceo

5.4 5.5

56 58 62

63

68

73 77 81

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 83

6.1 Conclusiones 6.2 Recomendaciones

APENDICE A Ecuaciones diferenciales de movimiento

83 84

85

APENDICE B 92 Método de integración numérica RüNGE-KUTTA FEHLBERG

REFERENCIAS 95

... 111

LISTA DE FIGURAS

FIGURA DESCRIPCION PAGINA

2.1 3.1 3.2a 3.2b 3 . 2 ~ 3.3 3.4a

3.4b

3.4c

3.5a

3.5b

3.5c

3.6a 3.6b 3 . 6 ~ 3.6d 3.7a

3.7b

3.8a

3.8b

3.9a

3.9b

3.10a

Sección transversal de un rotor asimétrico en rotación. Diagrama polar de respuesta característico de un rotor simétrico. Diagrama polar de respuesta en estado casi estable, con E = 0.0052. Diagrama polar de respuesta distorsionado, con E = 0.31416. Diagrama polar de respuesta distorsionado, con E = 1.2566 . Diagrama polar de respuesta característico de un rotor asimétrico. Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, con Wu=64071.83,

Diagrama polar de respuesta distorsionado, con W~2676.03, ~ 0 . 0 8 3 6 8 , <=0.137, Bd=45 '. Diagrama polar de respuesta distorsionado, con W~267 .6 , p = 0.08368, <= 0.137, 8, = 45 '. Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, con W~64071.83,

Diagrama polar de respuesta distorsionado, con W~2676.03, j~0.08368, <=0.137, 8,=-45 . Diagrama polar de respuesta distorsionado, con W ~ 2 6 7 . 6 , p = 0.08368,

Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, 8, = O '. Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, 8, = 45 Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, = 90 O.

O Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, 0, = - 45 . Diagrama polar de respuesta, con W~2676.03, p = 0.08368, <= 0.137 y 8, = 45 O. Diagrama polar de respuesta, con W~2676.03, p = 0.08368, <= 0.137 y

Diagrama polar de respuesta, con W~2676.03, p = 0.08368, <= 0.1 1 y 8, = 45 O. Diagrama polar de respuesta, con W~2676.03, p = 0.08368, <= 0.09 y 8, = 45 O. Diagrama polar de respuesta, con W~2676.03, ,u = 0.08368, <= 0.1 1 y

Diagrama polar de respuesta, con Wu=2676.03, p = 0.08368, <= 0.09 y

Diagramapoiar de respuesta, con W~2817.52, p = 0.10459, <= 0.137 y 8, = 45 O.

/F 0.08368, <= 0.137, 8, = 45 O.

O F 0.08368, <= 0.137, 8 d = - 45 .

O

O <=0.137, 8d=-45 .

O 8,=-45 .

O 0,=-45 . O 8,=-45 .

17 28 30 31 31 33

34

35

35

36

37

37 39 40 40 41

43

43

44

44

45

46

47

iv

3.10b'

3.11a

3.11b

4.1 4.2a 4.2b 5.1 5.2 5.3

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 A. 1 A.2 A.3

Diagrama polar de respuesta, con Wu=2993.55, ,u = 0.12784, <= 0.137 y

Diagrama polar de respuesta, con W~2817.52, ,u= 0.10459, <= 0.137 y

Diagrama polar de respuesta, con W~2993.55, ,u = 0.12784, <= 0.137 y

Procedimiento de balanceo. O Diagrama polar de respuesta distorsionado, con W ~ 7 6 . 4 6 y @d = - 45 .

Diagrama polar de respuesta distorsionado, con W ~ 7 6 . 4 6 y & = 45 O.

Arreglo experimental del equipo de pruebas. Flecha asimétrica. Posición de los discos inerciales y de los soportes en el rotor experimental. Rampa de excitación (caso 5.3a). Rampa de excitación (caso 5.3b). Respuesta inicial del rotor. Respuesta del rotor después del primer peso de desplazamiento. Respuesta del rotor después del primer peso de balanceo. Respuesta del rotor después del segundo peso de desplazamiento. Respuesta inicial del rotor. Respuesta del rotor después del primer peso de balanceo. Respuesta del rotor después del segundo peso de balanceo. Vibración residual del rotor. Respuesta del rotor después del peso de desplazamiento. Respuesta del rotor después del peso de balanceo. Vibración residual del rotor. Diagrama polar de respuesta, masa de desbalance = 0.4 g., @d = 90 O.

Diagrama polar de respuesta, masa de desbalance = 0.4 g., '9, = 135 o Diagrama polar de respuesta, masa de desbalance = 0.4 g., = 180 O. Diagrama polar de respuesta, masa de desbalance = 0.4 g., 6, = 225 O. Componentes radial y tangencial. Sección transversal de una flecha asimétrica en rotación. Modelo de un rotor con desbalance.

@d= 45

O ed=-45 . O @d=-45 .

47

48

53

54 54 56 57

58 60 61 64 65 66 67 69 70 71 72 74 75 76 78 79 80 81 85 88 90

Y

LISTA DE TABLAS

TABLA DESCRIPCION

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 B-1

Posición de los sensores sobre el rotor experimental. Frecuencias naturales del rotor experimental. Rodados de balanceo (primera prueba de balanceo). Rodados de balanceo (segunda prueba de balanceo). Rodados de balanceo (tercera prueba de balanceo). Coeficientes para el método Runge-Kutta FEHLBERG.

PAGINA

57 59 63 68 73 93

vi

SIMBOLOGIA

Simbolo

C d E I,, E I , i k "in

k "ni"

m uvz Wa XYZ X , Y

,Y x,y

t

Significado

coeficiente de amortiguamiento; excentricidad; rigidez flexionante del rotor alrededor del eje OV; rigidez flexionante del rotor alrededor del eje OU;

rigidez máxima de la sección transversal del rotor; rigidez mínima de la sección transversal del rotor; masa del sistema; sistema de coordenadas rotatorio; tiempo; parámetro adimensional de la velocidad de la rampa de excitación; sitema de coordenadas fijo; desplazamiento; velocidad; aceleración;

Ji;

Simbología griega

Simbolo Significado

tasa de cambio de la frecuencia de excitación; ángulo de fase entre el vector de vibración y la fuerza de excitación; factor de asimetría modal; factor de asimetría seccional; pi = 3.1416; posición angular de la fuerza de excitación; relación de frecuencia de la excitación; frecuencia de excitación; frecuencia natural para un rotor simétrico; frecuencia natural debido a k .,,,,; frecuencia natural debido a k ;

frecuencia natural promedio de un rotor asimétrico , wt desplazamiento angular; rl & 6 factor de amortiguamiento;

vector de vibración ( x + j y) ; parámetro adimensional del efecto de la rampa de excitación;

vii

INTRODUCCION

De acuerdo con las propiedades de rigidez que poseen los rotores en su sección transversal, estos pueden clasificarse en dos tipos: rotores simétricos y asimétricos. Los primeros son de sección transversal circular y poseen propiedades de rigidez igual en toda su sección, mientras que los rotores asimétricos, en su sección transversal poseen propiedades de rigidez diferente en sus ejes de inercia principales, esto afecta a las velocidades críticas y a la magnitud de la respuesta al desbalance (fuerza de excitación) del rotor. Tal es el caso de los rotores de algunos generadores de dos polos y también de los excitadores de algunos de los turbogeneradores. Cuando un rotor tiene más de dos polos distribuidos uniformemente alrededor de su circunferencia, el comportamiento del rotor es similar al de un rotor simétrico.

Para el caso de rotores asimétricos, los diagramas polares de respuesta que se obtienen para el balanceo no son de forma similar a un círculo como sucede con los rotores simétricos, son de forma fundamentalmente elíptica y presentan en general características diferentes a los correspondientes a un rotor simétrico, lo que dificulta el proceso de balanceo mediante diagramas polares de respuesta (Balanceo modal).

Las características de la vibración de rotores asimétricos se han estudiado por años y se ha concluido que estos rotores diirante su operación presentan un comportamiento más complejo que el de los rotores simétricos, por lo que los métodos de balanceo para aquel tipo de rotores son escasos y en su mayoría complejos.

De acuerdo con la revisión bibliográfica realizada en el presente trabajo (sección 1.4, Capítulo uno), la mayoría de las investigaciones realizadas, se enfocan al análisis de rotores asimétricos considerando una solución analítica en estado estable, además los métodos de balanceo propuestos están referidos principalmente al método de coeficientes de influencia, en donde los coeficientes se obtienen en forma separada para cada eje de inercia principal del rotor.

Estas razones han motivado el interés de desarrollar un método de balanceo considerando la metodología del balanceo modal pero aplicado a rotores asimétricos, es decir, basándose en los diagramas polares de respuesta. Con esto se pretende lograr acoplar un método de balanceo convencional (balanceo modal) de fácil aplicación a rotores asimétricos.

El presente trabajo está limitado especialmente al estudio del comportamiento dinámico de los rotores asirnétricos, considerando masas excéntricas (desbalance) del rotor como causa de la generación de fuerzas centrífugas. Para el análisis, se consideró un modelo matemático de un sistema de dos grados de libertad, ya que el análisis modal permite

1

analizar un sistema de varios grados de libertad modo' por modo como si cada modo de vibración correspondiera a un sistema independiente. El modelo matemático utilizado se basó principalmente en el desarrollado por Taylor [ 1 1, donde la variación de la rigidez se representa como una función de la posición angular de la sección transversal del rotor.

A diferencia de los autores estudiados (sección 1.4), en el presente trabajo se incluyeron en el modelo matemático rampas de excitación ( velocidad con la que se lleva a cabo el cambio de la frecuencia de excitación) de tipo lineal. Esto con el fin de observar los efectos generados por éllas en la respuesta del rotor, tomando como base los diagramas polares de respuesta. Para éllo, se implement6 un método de integración numérica para el cálculo de la respuesta dinámica del rotor.

En la solución numérica del modelo matemático, se consideró un intervalo de la frecuencia de excitación de aproximadamente 1.5 veces la frecuencia natural promedio del sistema, por cada sistema analizado se varió la posición angular de la fuerza de excitación, el factor de amortiguamiento y la asimetría del rotor.

En base a los resultados obtenidos se concluyó que no es posible proponer un método de balanceo que se base en considerar el vector vibración en condiciones de resonancia' en el diagrama polar de respuesta, como suele suceder con los rotores simétricos; ya que en la respuesta al desbalance de, un rotor asimétrico, el vector vibración en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase variable diferente de 90 grados con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación. Por esta razón, el método propuesto en este trabajo se basó principalmente en considerar el inicio y el eje mayor del diagrama polar de respuesta. Un método de balanceo similar fue propuesto por Shiraki y Kanki [2], basándose únicamente en el eje mayor y'considerando diagramas polares de respuesta en estado estable.

Finalmente, el método propuesto en el presente trabajo se validó experimentalmente en el laboratorio de vibraciones mecánicas del Instituto de Investigaciones Eléctricas. La validación se llevó a cabo aplicando el método de balanceo que se propuso con base en los resultados de la simulación numérica, a un rotor asimétrico experimental. El balanceo se realizó considerando un solo modo de vibración del rotor experimental y se logró reducir la vibración inicial hasta en un 90 % .

I Para cada modo de vibración del rotor, corresponderá una frecuencia natural del sistema y una forma especlfica que adopta el rotor al vibrar (forma modal).

2 Se considera que un sistema está en resonancia cuando la frecuencia de excitaci6n o del sistema coincide con su frecuencia natural (o = o, si el rotor es simetrico y w =o* si ei rotor es asimetrico).

L

CAPITULO 1

GENERALIDADES

En este capítulo se presenta el objetivo general del trabajo, la metodología que se siguió para su realización y una revisión bibliográfica.

1.1 Antecedentes

En los últimos años, se han empleado diversos métodos de balanceo, siendo uno de los principales el método de balanceo modal, que se basa en el análisis de los diagramas polares de respuesta o los de Bode. El diagrama polar de respuesta, consiste en una grafica polar donde se representa la variación en amplitud y fase del vector vibración para diferentes valores de frecuencia de giro del rotor, por su parte los diagramas de Bode consisten en gráficas de la amplitud de la vibración del rotor y el valor del ángulo de fase contra la frecuencia de giro del rotor.

Cuando la vibración del rotor se obtiene en estado estable, tanto en los diagramas polares de respuesta como los de Bode se pueden apreciar dos características importantes:

a) La vibración (desplazamiento) de máxima amplitud se presenta aproximadamente en condiciones de resonancia. Es decir, cuando la frecuencia de excitación del rotor coincide con la frecuencia natural del sistema.

b) La vibración (desplazamiento) en condiciones de resonancia se atrasa un ángulo de 90 o

con respecto a la posición angular donde se encuentra la fuerza de excitación.

Para propósitos de balanceo, se requiere colocar un peso opuesto a la posición angular de la fuerza de excitación. La vibración de mayor amplitud ocurre cerca de la resonancia y se encuentra en un Angulo de 90 o atrasado con respecto a la posición angular donde se encuentra la fuerza de excitación. Es fácil entonces localizar el punto de balanceo, midiendo un ángulo de 90 o en la dirección opuesta a la rotación del rotor a partir de la posición angular donde se localizó la vibración de amplitud máxima.

3 1

Los diagramas polares de respuesta son Útiles para el balanceo, ya que presentan en una sola gráfica información de los dos diagramas de Bode, además de que la mayor parte del diagrama polar de respuesta representa la variación del vector vibración en un intervalo estrecho de frecuencias alrededor de la resonancia. Esto constituye una ventaja en aplicaciones de balanceo; permitiendo visualizar con más precisión tanto la amplitud como la fase del vector vibración cerca de la resonancia. En estos diagramas, no es posible leer la frecuencia directamente, sin embargo ésta puede anotarse por separado.

Debido al defasamiento posible de los pesos de desbalance en diferentes discos o posiciones de un rotor, puede sei muy complicado el análisis de variaciones de fase, cuando se analizan más de una resonancia mediante diagramas de Bode. Resulta más sencillo analizar la amplitud y fase de la respuesta de un rotor que tenga varias resonancias, si se visualizan directamente los vectores de vibración correspondientes a cada resonancia (modo), como se puede hacer mediante el empleo de diagramas polares de respuesta.

1.2 Descripción del problema y objetivo del trabajo

El método de balanceo modal, se ha aplicado en forma exitosa en rotores simétricos (secci6n transversal circular), sin embargo existen rotores asimétricos, los que en su sección transversal presentan propiedades de rigidez diferentes en los ejes de inercia principales, lo que afecta a las velocidades críticas y a la magnitud de la respuesta al desbalance. Este es el caso de los rotores de algunos generadores de dos polos y también de los excitadores de algunos de los turbogeneradores. En éstos, los diagramas polares de respuesta que se obtienen para el balanceo no son de forma similar a un círculo como sucede con los correspondientes a los rotores simétricos, son de forma fundamentalmente elíptica, lo que dificulta la localización de la posición angular de la fuerza de excitación. La geometría del diagrama polar de respuesta, depende tanto de la asimetría del rotor como de la rampa de excitación, lo que hace que el proceso de balanceo mediante el método modal convencional se dificulte.

El objetivo principal de este trabajo fue determinar las características del comportamiento vibratorio de los rotores asimétricos, considerando para ello sistema con diferentes rampas de excitación además de variaciones de amortiguamiento y de asimetría y con base en éllo, proponer un método de balanceo que aproveche la forma geométrica de los diagramas polares de respuesta. Esto es con el fin de lograr obtener un método de balanceo de aplicación más sencilla que los propuestos por otros investigadores.

4

1.3 Metodología para el análisis y solución del problema

Para profundizar en el problema, se inició el estudio con una revisión bibliográika sobre investigaciones referentes a rotores asimétricos, concluyéndose que el comportamiento vibratorio de un rotor asimétrico depende principalmente de la asimetría, del factor de amortiguamiento del sistema y de la posición angular de la fuerza de excitación.

Identificados los parámetros anteriores, para reducir tiempos y costos de ejecución se procedió a realizar un estudio primeramente con base a simulación numérica. Esto permitió variar los parámetros antes mencionados y observar los efectos generados por cada uno de ellos en la respuesta del rotor, tomando como base los diagramas polares de respuesta.

A diferencia de los autores estudiados (sección 1.4), en el análisis del presente trabajo se incluyeron rampas de excitación lentas y rápidas, ya que uno de los objetivos fue observar los efectos generados por éstas en los diagramas polares de respuesta y determinar si influyen en el proceso de balanceo propuesto.

El modelo matemático utilizado, es un modelo simplificado de dos grados de libertad y es similar al presentado por Taylor [I], donde la variación de la rigidez se representa como una función de la posición angular de la sección transversal del rotor. Este modelo fue seleccionado debido a la facilidad que ofrece a ser modificado si se requiere observar los efectos generados en la respuesta del rotor al considerar rampas de excitación además de la rigidez de los soportes del rotor.

Debido a la facilidad con que se pueden modificar los parámetros que influyen en la respuesta del rotor en la computadora, se realizaron simulaciones de diferentes sistemas, variando la posición angular de la fuerza de excitación, además del factor de amortiguamiento y la asimetría del rotor, considerando un intervalo de frecuencia de excitación de aproximadamente 1.5 veces la frecuencia natural promedio del sistema. Esto permitió observar la evolución de los diagramas polares de respuesta, y con base en éllo establecer la metodología para balanceo.

~

Establecida la metodología, se aplicó al balanceo de un rotor asimétrico experimental en el Laboratorio de Vibraciones del Instituto de Investigaciones Eléctricas. El objetivo fue demostrar que el modelo matemático incluyendo rampas de excitación, describe satisfactoriamente el comportamiento dinámico de un rotor asimétrico real.

Finalmente se evaluó la metodologia de balanceo establecida de acuerdo con los resultados observados en las pruebas experimentales, y se obtuvieron las conclusiones generadas durante la realización del presente trabajo, proponiendo algunas recomendaciones para trabajos futuros.

5

1.4 Revisión bibliográfica

Jeffcoit [3] fue el primero en desarrollar la formulación básica para rotodinámica, considerando el modelo siguiente:

Una flecha de sección transversal circular soportada libremente sobre chumaceras rígidas, llevando un disco de masa M en la parte central. En el modelo el centro de masa del disco se encuentra desplazado una distancia d del centro de giro. Para el análisis del movimiento del disco, se consideró una fuerza elástica de restitución, un amortiguamiento viscoso, y una fuerza centrífuga producida por la rotación del disco y la excentricidad de su centro de masa.

Jeffcott concluyó que la vibración de una flecha en rotación está compuesta por dos partes. Una vibración transitoria amortiguada, que representa el movimiento libre del sistema debido a pequeños disturbios, y una vibración forzada (estado estable) que es función de la masa excéntrica y de la velocidad angular de la flecha.

La consideración del amortiguamiento viscoso que fue incluido por primera vez por Jeffcott, tuvo resultados importantes, ya que se pudo explicar la variación del ángulo de fase 4 de la vibración forzada con respecto a la posición angular 0, de la fuerza de excitación. Entre las conclusiones más importantes de Jeffcott pueden mencionarse la siguientes:

1) Cuando la velocidad angular de la flecha w + O, el ángulo de fase 4 del vector vibración con respecto a la posición angular donde se encuentra la fuerza de excitación (desbalance) tiende a O O.

2) El valor del ángulo de fase 4 se incrementa con la velocidad angular w de la flecha, hasta llegar a 90 con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación cuando w = w (w = frecuencia natural del sistema ). .

3) Para velocidades arriba de la frecuencia natural w >w el ángulo de fase 4 cambia de tal forma que para valores muy grandes de la velocidad angular de la flecha, el ángulo de fase tiende a un valor de 180 o con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación.

Las aportaciones realizadas por Jeffcott, son base fundamental para el balanceo de rotores en donde se tome en cuenta el ángulo de fase 4 " balanceo modal ".

~

~

6

Una versión extendida del modelo de Jeffcott fue analizada por Taylor [l] con el propósito de estudiar la inestabilidad de un turbogenerador de dos polos (la inestabilidad de un rotor asimétrico, se manifiesta como un incremento de la vibración, principalmente en la zona de resonancia (a =a ) del sistema). El modelo de Taylor consistió de una flecha asimétrica con un disco de masa m en la parte central, soportada sobre chumaceras rígidas; incluyendo los efectos de un amortiguamiento externo junto con una excitación gravitacional.

Taylor, en su análisis encontró que la fuerza elástica experimentada por el rotor no se encuentra en fase con el desplazamiento, llegando a la conclusión de que la fuerza elástica tiene un componente radial (paralelo al desplazamiento) y uno tangencial (perpendicular a la dirección del desplazamiento) con respecto a la dirección del desplazamiento. El componente tangencial de la fuerza elástica lo consideró como una característica única de las flechas asimétricas. En sus resultados experimentales encontró que la influencia de pesos colocados en una misma posición angular del rotor, no es proporcional con la respuesta vibratoria.

Bishop y Parkinson [4], también analizaron las propiedades de inestabilidad de un turbogenerador de dos polos, para éllo consideraron el mismo modelo que Taylor, incluyendo un amortiguamiento interno.

Taylor [l] y Bishop, et al. [4] entre otros, concluyeron que una flecha asimétrica en rotación presenta dos características importantes en su vibración:

1) La respuesta vibratoria del rotor cambia en amplitud y fase para diferentes posiciones angulares de la fuerza de excitación.

2) Una componente de la vibración del doble de la frecuencia principal del rotor.

Además, de que el comportamiento vibratorio de la flecha asimétrica depende del cociente de la asimetría modal p entre el factor de amortiguamiento 6 del sistema. Finalmente encontraron que cuando la asimetría modal es más grande que el factor de

amortiguamiento (- > 1 ) se presenta una inestabilidad3 en la zona de resonancia P 6

Si p 2 6 la amplitud del vector de vibración en condiciones de resonancia tiende a infinito I

donde :

o y = frecuencia natural debido a la rigidez máxima de la sección transversal del rotor. w, = frecuencia natural debido a la rigidez mínima de la sección transversal del rotor.

Los autores citados anteriormente, estuvieron interesados principalmente en las propiedades de inestabilidad de los rotores asimétricos. Sin embargo, la inestabilidad es parte del problema del balanceo ya que la asimetría afecta a las velocidades críticas y a la magnitud de la respuesta al desbalance, lo que ha motivado investigaciones para el desarrollo de métodos de balanceo para este tipo de rotores.

Parkinson [5], analizó el comportamiento vibratorio de una flecha asimétrica soportada mediante chumaceras flexibles. Para su análisis consideró una ecuación de movimiento para cada eje de inercia principal del rotor. De la solución de las ecuaciones de movimiento, encontró una expresión analítica que ilustra de una manera simple el efecto de la asimetría del rotor, siendo la solución similar a la de un rotor simétrico, con la diferencia de que en la expresión encontrada por Parkinson existen dos términos adicionales los cuales están en función de la asimetría modal de la flecha.

Parkinson, basándose en el trabajo de Salmon [6] realizó un análisis de la expresión analítica obtenida, considerando para éllo amortiguamiento histerético o en relación con la asimetría modal p . De acuerdo con los parámetros anteriores, los diagramas polares de respuesta para una flecha asimétrica pueden ser:

a) un circulo, si ( p = O ). b) una elipse, si (u > p # O ) c) una parábola, si (o = p # O ) d) una hipérbola, si ( o <g # O )

donde p es definido en la ecuación (I .I).

Si el amortiguamiento es de tipo viscoso, el comportamiento del rotor debe ser aproximadamente igual al comportamiento de un rotor con amortiguamiento histerético en frecuencias cercanas a la resonancia.

a

Parkinson para su análisis, consideró únicamente los diagramas polares de respuesta en forma de elipse, encontrando que al trazar una línea recta en el diagrama polar de respuesta entre el punto correspondiente a la frecuencia natural debido a la rigidez máxima y el punto correspondiente a la frecuencia natural debido a la rigidez mínima de la sección transversal del rotor, la dirección de la linea trazada es paralela a la posición angular de la fuerza de excitación.

Por otra parte, una respuesta de amplitud máxima se presenta en condiciones de resonancia en el caso particular cuando la fuerza de excitación se encuentra en una posición angular de 315 o (contrario al giro del rotor) con respecto al eje correspondiente a la rigidez mínima de la sección transversal del rotor. En contraste, una respuesta de amplitud mínima se presenta en condiciones de resonancia en el caso particular cuando la misma fuerza de excitación, se encuentra en una posición angular de 45 (contrario al giro del rotor) con respecto al mismo eje que el caso anterior. Para los dos casos, la respuesta en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase 4 igual a 90 con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación.

De su estudio concluyó, que para velocidades de la flecha asimétrica muy lejanas de las velocidades críticas correspondientes a los eje de inercia principales, el comportamiento vibratorio de la flecha, es similar al de una flecha simétrica.

Takuzo Iwatsubo y Masakatsu Nakamura [7], analizaron el comportamiento vibratorio de una flecha asimétrica. En el modelo se supone que la flecha está soportada sobre chumaceras rígidas con propiedades de rigidez iguales tanto en el eje vertical como el horizontal.

Para el análisis se obtuvo una ecuación diferencial de movimiento para cada eje de inercia principal del rotor, realizándose las simplificaciones siguientes:

1) El amortiguamiento interno no actúa en el sistema. 2) El desplazamiento inicial de la flecha es despreciablemente pequeño. 3) La asimetría en la sección transversal de la flecha se considera constante en cualquier punto a lo largo del eje del rotor.

En su análisis encontraron que la técnica de balanceo modal es dificil de aplicar a las flechas asimétricas, ya que en éstas el desplazamiento en condiciones de resonancia no siempre es de amplitud máxima y tampoco no siempre presenta un ángulo de fase 4 igual a 90 con respecto a la posición angular donde se encuentra la fuerza de excitación, como es el caso de los rotor& simétricos.

9

El método de balanceo propuesto, está basado en el método de coeficientes de influencia, en donde los coeficientes se definen en forma separada para cada eje de inercia principal del rotor.

Cuando w < w

Cuando w > w

t

Cuando * \ w = w

Iwatsubo et al. [7] mediante el análisis de los diagramas de Bode (amplitud vs frecuencia) concluyeron que el máximo desplazamiento r] se da en las condiciones siguientes:

r] =máximo paraed=90 '

r] = máximo para 8, = 0

r] = máximo paraQd =-45O

siendo r] el desplazamiento (vibración) de la flecha, w la frecuencia de excitación, w ' la frecuencia natural promedio del sistema y 8, ia posición angular de ia fuerza de excitación con respecto al eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor.

Los autores encontraron que la sensibilidad de la flecha asimétrica es función del cociente de las rigideces correspondientes a los ejes de inercia principales de la flecha, de la frecuencia de excitación y de la posición angular de la fuerza de excitación.

K. Shiraki y H. Kanki [2] proponen un método de balanceo que se basa en considerar los diagramas polares de respuesta en estado estable. El método propuesto considera las posiciones angulares de 145 ' con respecto al eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor. El método de balanceo propuesto por K. Shiraki et al. está basado en las siguientes características de los diagramas polares de respuesta:

a) Los diagramas polares de respuesta son elípticos teniendo el eje mayor y el eje menor orientados a 45' y -45' respectivamente con respecto al eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor.

Los ángulos de referencia de los diagramas polares de respuesta se consideran como ángulos de retraso, 4

es decir son positivos en sentido contrario al giro del rotor

10

b) La respuesta vibratoria del rotor es de amplitud máxima, cuando la fuerza de excitación se encuentra en una posición angular de 3 15 ' (- 45 O). Para este caso en particular, la respuesta del rotor en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase de 90 ' con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación, por lo que el vector vibración en condiciones de resonancia se encuentra en fase con el eje mayor de la elipse.

c) En contraste con lo dicho en el inciso anterior, la respuesta vibratoria del rotor es de amplitud mínima cuando la fuerza de excitación se encuentra en una posición angular de 45'. Similar al caso del inciso b), la respuesta en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase de 90 ' con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación, de tal forma que el vector vibración en condiciones de resonancia se encuentra en fase con el eje menor de la elipse.

De acuerdo con Matsukura y Mataichiro [8 ] , la asimetría que posee un rotor en su sección transversal se debe a muchas causas, por lo que la asimetría en diferentes puntos a io largo del eje del rotor se distribuirá con incrementos desconocidos en forma no uniforme. Matsukura et al. consideraron que la asimetría en la sección transversal en diferentes puntos a lo largo del rotor, puede ser estimada a través del comportamiento de la vibración, a causa de la asimetría existente, considerando para lo anterior tres comportamientos típicos de vibración.

i) La ocurrencia de una vibración del doble de la frecuencia principal, provocando una resonancia cerca de la mitad de la velocidad crítica principal [I] [4]. En ésta, la amplitud es proporcional a la asimetría.

2) La obtención de un diagrama polar de respuesta con forma elíptica . El porcentaje del eje mayor con respecto a eje menor es relacionado con la asimetría.

3) Diferentes frecuencias naturales en los ejes de inercia principales, que pueden medirse en forma exacta mediante pruebas de resonancia con el rotor suspendido en forma de péndulo. La diferencia entre las frecuencias es también una función de la asimetría.

El método utilizado por Matsukura et al. está basado en el inciso número tres, ya que de acuerdo con los autores en los puntos correspondientes a los incisos 1) y 2) durante los cálculos de la asimetría del rotor existe influencia de los soportes, chumaceras y de la estructura, lo que trae como consecuencia errores en la estimación de la asimetría.

CENTRO DE INFORMACIOk

C E NL DPT 9 6 0 2 7 9

Y. Matsukura [9], utilizó un método de balanceo convencional de rotores simétricos (coeficientes de influencia) para el balanceo de un rotor asimétrico, observando en su análisis desbalances residuales convergentes y divergentes que comprobó teórica y experimentalmente. En el método de balanceo utilizado se propone un factor de convergencia { para hacer que los desbalances residuales convejan y disminuyan rápidamente. El factor de convergencia { deberá aplicarse tantas veces como comdas de balanceo se realicen en el rotor. { puede ser un escalar o un vector y su magnitud deberá ser menor que la unidad.

Y. Matsukura de su análisis concluyó que ra efectividad del factor de convergencia es generalmente afectado por su propia magnitud, el ángulo de colocación de los pesos de

balanceo 8, y por el cociente de la asimetría modal entre el factor de amortiguamiento - ,

donde p es definido en la ecuación (1.1)

P 6

Inagaki, Kanki y Shiraki [IO] , desarrollaron un método analítico para la evaluación de la respuesta síncrona de un sistema general rotor-chumaceras asimétricos, ellos consideraron una flecha asimétrica incluyendo pedestales y chumaceras con propiedades de rigidez diferente en el eje vertical y horizontal, para su estudio tomaron en cuenta los efectos generados por flexión y cortante. El análisis fue verificado experimentalmente y los resultados fueron comparados con los resultados teóricos utilizando diagramas polares de respuesta.

Los resultados teóricos obtenidos, muestran que los diagramas polares de respuesta correspondientes a la primera velocidad crítica de cuatro casos con fuerzas de excitación en la posiciones angulares de O, 45, 90 y 315 respectivamente, son de forma geométrica elíptica y todos están orientados con el eje mayor aproximadamente a 45 O.

En la parte experimental, encontraron que los diagramas polares de respuesta correspondientes a la primera velocidad crítica (primer modo) son elípticos, debido a que el efecto de la asimetría modal p del rotor es significativo en comparación con el factor de amortiguamiento 5 del sistema. En contraste con lo anterior, los diagramas polares de respuesta correspondientes a la segunda velocidad crítica (segundo modo) son similares a los correspondientes a un rotor simétrico, concluyendo que esto es porque en el segundo modo, la asimetría modal p es muy pequeña en comparación con el factor de amortiguamiento 6 .

12

X. Songbo, W. Xinghua [11] analizaron la respuesta dinámica de un rotor flexible asimétrico, utilizando el método de coeficientes de influencia en combinación con la técnica del elemento finito. Songbo et al. determinaron la rigidez del rotor mediante una matriz de rigidez para una viga con cuatro grados de libertad, adicionando un coeficiente variable en funci6n del tiempo que representa'el cambio de rigidez del rotor de acuerdo con su posici6n angular. Para el balanceo, determinaron los coeficientes de influencia de acuerdo con la respuesta del rotor y los modificaron mediante un método experimental, encontrando que la exactitud de los coeficientes de influencia se incrementa considerablemente.

13

CAPITULO 2

DESCRIPCION DEL MODELO MATEMATICO

En este capítulo, se presentan las ecuaciones de un rotor asimétrico con dos grados de libertad en comparación con las de un rotor simétrico. Para éllo, primeramente se dan las ecuaciones diferenciales de movimiento que describen el comportamiento vibratorio de un rotor simétrico, así como su solución analítica en estado estable, y a continuación se presentan las ecuaciones diferenciales de movimiento correspondientes a un rotor asimétrico. Finalmente se mencionan los parámetros que influyen en la respuesta de un rotor al considerar rampas de excitación, además del algoritmo de solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento correspondientes al rotor asimétrico.

2.1 Ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor simétrico con desbalance

Con referencia a un sistema de coordenadas fijo (x,y), las ecuaciones de movimiento en forma escalar correspondientes a un rotor simétrico con desbalance, pueden definirse respectivamente como ( ver apéndice A):

(2.1) 1 m i + cx f kx = m d w Cos wt

m y + c y + k y = m d w Senwt

donde:

m = masa del sistema c = amortiguamiento del sistema k =rigidez del sistema d = excentricidad del rotor

Definiendo 7 como un parámetro complejo, de la forma:

q = x + j y (2.3)

14

La ecuación de movimiento del sistema en forma compleja puede escribirse como:

Suponiendo una solución particular para la ecuación (2.4) :

donde q = amplitud máxima de la vibración + = ángulo de fase de la respuesta con respecto a la posición angular de la fuerza de excitación

y sustituyendo (2.5) en (2.4) se encuentra la solución de la ecuación diferencial en estado estable . La expresión para el desplazamiento q se encuentra en función de rn, k, c , d , o y 4, que puede simplificarse introduciendo los parámetros R para la frecuencia de excitación y 5 para el amortiguamiento mediante las relaciones siguientes:

c= 5 c ,

con

."=E = frecuencia natural de oscilación no amortiguada

c, = 2 m o, = amortiguamiento crítico

entonces, la expresión final en forma adimensional para el desplazamiento q puede expresarse como:

donde:

rl Las ecuaciones (2.6) y (2.7) indican que la amplitud adimensional - y la fase 4 son d funciones únicamente del parámetro C2 y del factor de amortiguamiento 5 del sistema.

2.2 Ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor asimétrico con desbalance

Las condiciones con las que se determinan las ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor asimétrico, son las mismas que se consideraron para determinar las correspondientes de un rotor simétrico (apéndice A), lo que permite hacer un análisis de las diferencias que existen entre unas ecuaciones y otras.

2.2.1 Condiciones de análisis

Para propósitos del presente análisis, se consideró un modelo simplificado de dos grados de libertad de un rotor asimétrico. Las formas modales del sistema son las mismas para ambos ejes de inercia principales del rotor, despreciando de esta manera la rigidez de los soportes (rigidez infinita), además de que la asimetría considerada en el sistema, es la misma en cualquier punto a lo largo del eje axial del rotor.

2.2.2 Sistema de coordenadas

En la figura 2.1 se muestra la sección transversal de un rotor asimétrico. Para su análisis se supone que el eje O2 se encuentra perpendicular a la sección transversal del rotor y representa el eje axial del sistema. Por definición los ejes OXY2 forman un sistema de coordenadas fijo, en donde el eje OX se encuentra en la dirección horizontal y OY sobre la dirección vertical, tal y como se muestra en la figura 2.1. De forma similar, los ejes OUVZ forman un sistema de coordenadas rectangulares rotatorios, de tal forma que los ejes OU y OV giran alrededor del eje OZ con una velocidad angular o igual a la del rotor. Las direcciones OU y OV se asocian con los ejes de inercia principales del rotor, es decir se

16

encuentran paralelos a los ejes que contienen las rigideces minima ( k ",,,)) y máxima (k n,m)

de la sección transversal del rotor .

X Figura 2.1 Sección transversal de un rotor asimétrico en rotación.

Con referencia a la misma figura, los puntos S, G representan el centro geométrico del rotor y el centro de masa respectivamente y están separados por una distancia d (excentricidad), 0 es la posición angular de la fuerza de excitaci6n con respecto al eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor.

El desplazamiento del centro geométrico S de la flecha en las direcciones fijas OX y OY tomando como referencia el eje de coordenadas OZ puede expresarse como x(z,t) y y(z,t). De manera similar, el mismo desplazamiento también puede expresarse en función de las

17

coordenadas correspondientes a los ejes giratorios OU y OV que pueden expresarse respectivamente como u(z,t) y v(z,t). La transformación de un sistema de coordenadas a otro, puede llevarse a cabo mediante la relación siguiente:

donde i, j son vectores unitarios en las direcciones de los ejes OU y OV correspondientes al sistema de referencia rotatorio. Similarmente I, J son vectores unitarios en la dirección de los ejes OX, OY y corresponden al sistema de referencia fijo.

Para propósitos del presente análisis, las ecuaciones diferenciales de movimiento se obtuvieron en términos de las coordenadas x,y. Sin embargo, si se requiere el desplazamiento relativo a los ejes rotatorios OUVZ, este puede obtenerse a través de la relación (2.8).

2.2.3 Ecuaciones diferenciales de movimiento

En la figura 2.1 se muestra la sección transversal de un rotor asimétrico en rotación, en el que las propiedades del sistema están representadas por el coeficiente de rigidez de la flecha y el coeficiente de amortiguapiento.

Se considera que las fuerzas que actúan en el rotor son: fuerza de inercia debido a la aceleración del centro de masa, fuerza elástica debido a la rigidez de la flecha y la fuerza de amortiguamiento externo.

Con referencia al sistema de coordenadas fijo (x,y) figura 2.1 las fuerzas que actúan en el sistema pueden expresarse respectivamente como:

Fuerza de inercia

Las coordenadas del centro de masa G del rotor se definen como:

- O G = [ x + d cos (o r+O, ) ] I+ [y+d sen(a,r+O,)] J (2.9)

18

derivando la expresión (2.9) con respecto al tiempo, se obtiene la velocidad del punto G, con la que se puede obtener la energía cinética del centro de masa, que puede escribirse como:

m (2.10) T = - ( X 2 + y 2 + d 2 w 2 - 2 d O X sen(w f + O , ) + 2 d o y cos(w f + O , )] 2

aplicando la ecuación de Lagrange [I21 a (2.10), la fuerza de inercia que actúa en el sistema debido a la aceleración del centro de masa en las direcciones x,y están dadas respectivamente por:

2 F;, =- - - - = m ~ - m d w c o s ( w r + e , ) d f 8x 8 x

’* = - - d f ( d T ) - ~ = m j j - m d w ’ d y sen (o f+O, )

(2.11)

(2.12)

Fuerza elástica

La fuerza que actúa sobre el sistema debido a la rigidez de la flecha, en coordenadas rotatorias puede expresarse como:

Fe = - k,,, u i - k , , Y j (2.13)

aplicando la transformación (2.8) en (2.13) se encuentran los componentes con respecto ai sistema de coordenadas fijo.

Fe = - k,,,,, ( x cosw f + y sen w f ) ( cosw t I +sen w t J ) (2.14)

- k , , ( y cos w t - x sen w t ) ( cos w f J - sen w f I )

desarrollando y simplificando (2.14), la fuerza elastica se define como:

19

Fuerza debida al amortiguamiento externo

El amortiguamiento considerado es de tipo viscoso, por lo que es proporcional a la velocidad del centro de giro S del rotor. En el sistema de coordenadas fijo, puede expresarse como:

Fdc =-CX I-CY J

donde c es el coeficiente de amortiguamiento externo,

Fuerza de gravedad

F, = - m g J

donde g es la gravedad.

(2.16)

(2.17)

Al aplicar la segunda ley de Newton, la ecuacibn diferencial de movimiento en forma matncial puede escribirse como:

donde

20

La influencia de la fuerza debida a la gravedad sobre la respuesta del rotor, queda fuera del alcance de este proyecto. Excluyendo la fuerza gravitacional, la expresión (2.18) en forma escalar puede expresarse como:

m X + c x + k ' x - k " [ x Cos 2 0 i + y Sen 2w r ] = m d w 2 C o s ( w I + @ , ) (2.19)

m y + c j + k ' y - k " [ - y Cos 2 0 f + x Sen 2w t ] = m d o 2 S e n ( w I + @ , ) (2.20)

las ecuaciones (2.19) y (2.20) pueden compararse con las de Taylor [l] (Apéndice A).

Se ha mencionado que los rotores asimétricos presentan rigidez diferente en los ejes de inercia principales de la secci6n transversal del rotor, io que trae como consecuencia que la fuerza elástica experimentada por el rotor en rotación, dependa de la posición angular del vector de vibración en la sección transversal del rotor, esto puede apreciarse en el último término del lado izquierdo de las ecuaciones (2.19) y (2.20).

La diferencia entre las ecuaciones de movimiento de un rotor simétrico (2.1) y (2.2) y las correspondientes con uno asimétrko (2.19) y (2.20) se da Únicamente en el término Correspondiente a la fuerza elástica que experimenta el rotor durante la excitación, por lo que, si la rigidez máxima ( k n , - ) es igual que la rigidez mínima (km,,") de la sección transversal del rotor, entonces las ecuaciones (2.19) y (2.20) se reducen a (2.1) y (2.2).

A diferencia de un rotor simétrico, la amplitud de la respuesta 7 y el ángulo de fase 4 correspondiente a un rotor asimétrico no son funciones únicamente del parhetro y del factor de amortiguamiento < del sistema, ahora depende principalmente del factor de asimetría del rotor p (ecuación 2.35) en forma conjunta con el factor de amortiguamiento 6 .

Para una flewencia de excitaci6n variable, las ecuaciones (2.19) y (2.20) pueden reescribirse respectivamente como:

nU: + cx + k'x - k"[ fi X + ] = ( m d [a ( I ) ] ' 1 Cos(j a ( I ) dr + 8, ) (2.21)

21

con:

Y

con:

Para simular la frecuencia de excitación variable o (0, se consideraron rampas de excitación ascendentes durante la solución de las ecuaciones (2.21) y (2.22), requiriéndose para su solución un método de integración numérica (ver Apéndice B).

2.3 Rampa de excitación

El término rampa de excitación, significa una' variación de la frecuencia de excitación de manera continua con una tasa específica con respecto al tiempo y puede ser en sentido ascendente (subidas) o descendente (bajadas).

La frecuencia de excitación de la mayoría de los sistemas rotatorios reales no varía linealmente con el tiempo. Sin embargo, en algunos casos, la variación de frecuencia es lo suficientemente lenta como para aproximarla a una función lineal en un intervalo limitado de frecuencias. Para la solución de las ecuaciones (2.21) y (2.22) se consideró que la variación de la frecuencia de excitación es de la forma:

w ( I ) = o , + p 1

donde: o p = tasa de cambio de la frecuencia de excitación con respecto al tiempo f = tiempo

frecuencia de excitación al inicio de la rampa

(2.23)

22

2.4 Algoritmo de solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor asimétrico

Para la soluci6n de las ecuaciones diferenciales de movimiento (2.21) y (2.22) se implemento el método de integración numérica Runge-Kutta FEHLBERG (ver Apéndice B). Para la aplicaci6n del método, se requiri6 de la transformación de las ecuaciones diferenciales de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden, de la forma:

Y x = f ( x , t )

Y = f ( Y 4

para la transfomaci6n se definieron las variables siguientes:

x , = x

Y1 = Y x , = x

Y 2 =Y

(2.24)

(2.25)

(2.26)

sustituyendo (2.26) , (2.23) en (2.21) y (2.22) se tiene que el sistema de ecuaciones en las direcciones respectivas, pueden escribirse como:

Dirección x:

C k' k" (2.27) m m m

~ 2 = [ ~ [ o , + p t ~ 2 ) ~ ~ ~ ( ~ [ ~ 0 + p t ~ d r + e , ) - -XI - X +

con

Y

XI = x2 (2.28)

23

Dirección y:

con

f ~ y + = - y , Cos ( w o + p r ) dt]) + x, Sen

Y

Y, = Y * (2.30)

donde los términos k *y k "son definidos en la ecuación (2.18).

Las ecuaciones (2.27) a (2.30) representan un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Este sistema es el requerido para la aplicación del método de integración numérica.

Para la soluci6n del sistema de ecuaciones de primer orden, es necesario conocer las condiciones del sistema al inicio de la rampa de excitación, esto es:

(2.31)

Las condiciones iniciales corresponden al desplazamiento y velocidad del sistema en las direcciones x,y respectivamente

24

2.5 Parámetros que influyen en la respuesta vibratoria de un rotor al considerar rampas de excitación

De acuerdo con los autores citados en la revisión bibliográfica (sección 1.4), y el análisis realizado en el presente trabajo sobre la respuesta vibratoria de un rotor asiméhico con excitación de frecuencia variable (rampa de excitación), se determinó que la respuesta depende principalmente de tres parámetros adimensionales:

a) Factor de amortiguamiento modal del sistema. Este parámetro es diferente para cada modo de vibración del rotor y puede expresarse de la manera siguiente:

C (2.32) 4 =- 2mw'

donde o es la frecuencia natural promedio del sistema para un modo de vibración en particular, definiéndose como:

= dw 2 + (2.33)

siendo w u y w y las frecuencias naturales correspondientes a las rigideces mínima y máxima respectivamente de la sección transversal del rotor.

b) Factor de velocidad de la rampa de excitación [13]:

(2.34)

donde N es el niunero de ciclos de la excitación que ocurren al variar la frecuencia de excitación desde cero hasta la frecuencia natural del sistema.

e) Factor de asimetría modal. Expresa el grado de asimetría existente en el modo de vibración considerado y está dado por [1][4]:

(2.35)

25

En el caso de rotores asimétrico, su comportamiento vibratorio depende de la relación del factor de asimetría modal ,u con el factor de amortiguamiento 6 del sistema. Para una respuesta vibratoria del rotor casi en estado, estable considerando rampas de excitación, debe satisfacerse la relación siguiente [ 1][4]:

6 ) P (2.36)

Si la relación (2.36) no se satisface, se presentará una región de inestabilidad en el sistema en la zona de resonancia.

Si el rotor analizado es simétrico, entonces para los parárnetros de los incisos a) y b) w = a>,, donde w se encuentra definido en la ecuación (2.6) y el inciso c) no es aplicable ya que el factor de asimetría modal se considera igual a cero.

26

CAPITULO 3

RESULTADOS DEL MODELO MATEMATICO ( DIAGRAMAS POLARES DE RESPUESTA )

En el presente capítulo, se da la interpretacibn de la vibracibn de un rotor simétrico con base en los diagramas polares de respuesta, también se presentan los efectos generados en su respuesta al considerar rampas de excitación. Los diagramas polares de respuesta del rotor simétrico se obtuvieron considerando la.rigidez máxima igual a la rigidez mínima de la sección transversal en el modelo matemático del rotor asimétrico, que se describe en el capítulo número dos.

A continuación, se presenta la interpretación de la vibración de un rotor asimétrico tomando como base las diagramas polares de respuesta, además de los efectos generados ai considerar rampas de excitacibn. Finalmente se explica la influencia del amortiguamiento, la simetría y la posición angular de la fuerza de excitación en la respuesta vibratoria del rotor.

3.1 Vibración de un rotor simétrico

3.1.1 Interpretación de la vibración del roter

La vibración en estado estable de un rotor simétrico debido a una masa de desbalance, se define por la ecuación (2.6 ). Si se obtiene la amplitud y la fase del vector vibración q para varias frecuencias a, puede trazarse una curva similar a la que se muestra en la figura 3.1 (diagrama polar de respuesta en estado estable), donde IT corresponde al vector vibración q, mientras que el ángulo 0, define la posición angular de la fuerza de excitación (desbalance ) e IM corresponde al vector vibración en condiciones de resonancia.

21

‘ 4 !

Figura 3.1 Diagrama polar de respuesta característico de un rotor simétrico.

De lo anterior puede decirse que los diagramas polares de respuesta, muestran el recorrido del extremo de un vector giratorio de magnitud 7 y corresponde a la amplitud de la vibración en el intervalo de frecuencias de operación del rotor. El hgulo de fase Q del vector q en el diagrama polar de respuesta esiá referido al vector de la fuerza de excitación (desbalance, línea ID). En estos diagramas, no es posible leer la frecuencia directamente, sin embargo esta puede anotarse por separado.

De la ecuación (2.6) puede demostrarse que para un intervalo de frecuencias limitado, la variación en R2 es pequeño, por lo que la curva descrita será aproximadamente un arco circular en las frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia ro, del sistema.(Figura 3.1)

Aguirre R. et. al [14], demostraron que para obtener diagramas polares de respuesta completamente circulares cuando la amplitud de la fuerza es proporcional a R’(ecuaci6n 2.6), es necesario integrar una vez la seflal de desplazamiento de la respuesta para el caso donde se considera amortiguamiento viscoso. La integración deberá entenderse como la operación inversa a la derivación con respecto al tiempo que transforma el desplazamiento en velocidad.

Si se considera el desplazamiento como parámetro de análisis, los diagramas polares de respuesta correspondientes a un rotor simétrico tal como el de la figura 3.1 presentan dos propiedades importantes para el balanceo de rotores:

28

1) La máxima amplitud de la respuesta se presenta aproximadamente en w /a, =1 (resonancia) , esto es el punto M de la figura 3.1.

2) El vector vibración en condiciones de resonancia (diámetro IM) se atrasa 90 o con respecto a la fuerza de excitación (línea ID).

Antes de presentar las características de los diagramas polares de respuesta correspondientes a un rotor asimétrico, se comentan los efectos generados en la respuesta del rotor simétrico al considerar rappas de excitación.

3.1.2 Efectos en la respuesta del rotor al considerar rampas de excitación

3.1.2.1 Parámetros de análisis

Debido a que las rampas de excitación llevadas a cabo con la misma velocidad afectan de manera distinta a la respuesta de sistemas diferentes, el análisis de los efectos generados en la respuesta del rotor considerando rampas de excitación, se llevó a cabo mediante los parámetros Wu , < y p (ver sección 2.5 Capítulo dos).

Con base en el parámetro Wu, la tasa de cambio de la frecuencia de excitación p en la rampa, puede calcularse como:

w '2 p=- Wa

(3.1)

donde w es la frecuencia natural del sistema.

Para el caso en particular de un rotor simétrico p = O. Además de que se consideró un parámetro adicional, que está definido como:

P 0 . 2 < = E = (3.2)

este parámetro fue utilizado entre otros por Gutiérrez [ 151 para el análisis de la respuesta vibratoria en la región correspondiente a la zona de resonancia. El parámetro asocia la velocidad con la que se lleva a cabo la rampa de excitación con el factor de amortiguamiento del sistema.

29

Para el análisis en el caso de rotores asimétricos, en el presente trabajo la relación (3.2) no se aplicará, ya que la respuesta del rotor al considerar rampas de excitación depende de un tercer factor, que corresponde al factor de asimetría modal.

3.1.2.2 Efectos generados debido a las rampas de excitación en los diagramas polares de respuesta

Para la solución de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento vibratorio de una flecha en rotación se consideró una rampa de excitación, en donde la variación de la frecuencia de excitación es de tipo lineal, ecuación (2.23).

En los resultados obtenidos, se observó que la tasa de cambio de la frecuencia de excitación p distorsiona la forma geométrica de los diagramas polares de respuesta y como consecuencia, el vector de vibración en condiciones de resonancia se encuentra con un ángulo de fase diferente al calculado considerando una solución en estado estable.

De acuerdo con Gutiérrez [IS], cuando sea importante conocer el ángulo de fase de la respuesta vibratoria, la vibración de un rotor simétrico aplicando rampas de excitación puede considerarse aproximadamente igual a la de estado estable si O 5 E 5 0.04, de lo contrario, el análisis convencional de vibraciones mediante diagramas polares de respuesta nos conducirá a resultados erróneos. Este efecto puede verse en las figuras 3.2.

awl. x ampl. y -3.482322 3.586847

tn. I m.130 O

KnaxiKmIn 1.0000

4 - 0.100 U.. 19D9aB9 a - %.O [Orados1

P - awwo

6 - a00621

OB

Figura 3.2a Diagrama polar de respuesta en estado casi estable, con E = 0.0052

30

-4.039602 1 I I -4.039602 am +.asa02

C X / d l

Figura 3.2b Diagrama polar de respuesta distorsionado, con E = 0.31416

1.780418

- o' ' 180 2- Y

-i.780.(18 I I I -4.780418 a70 4.780118

i X / d l Figura 3 . 2 ~ Diagrama polar de respuesta distorsionado, con E = 1.2566

En los diagramas polares de respuesta de las figuras 3.2, la posici6n de O coincide con la localizaci6n del sensor de vibración.

31

En las figuras el punto M conesponde a la frecuencia de excitación en condiciones de resonancia (o = ), la línea IM corresponde al vector de vibración en condiciones de resonancia y la línea ID corresponde a la fuerza de excitación. En el lado derecho de las

se muestran las amplitudes en las direcciones x,y del vector de vibración IM, así como su ángulo de fase 4.

la figura 3.2a se muestra el diagrama polar de respuesta de un rotor simétrico, con las = I , W~19098.59, E = 0.0052, un factor de

amortiguamiento de 6 = 0.1 y la fuerza de excitación en 0 d = 45 O. En esta figura, el parhetro E se encuentra dentro del rango de O 5 E I 0.04 el cual fue establecido por Gutiérrez, por lo que el diagrama polar de respuesta cumple con las características mencionadas en los incisos 1) y 2) de la sección 3.1.1, es decir, el vector de vibración en condiciones de resonancia ( línea IM) presenta un ángulo de fase de aproximadamente 90 con respecto a la fuerza de excitación (línea ID), además de que la máxima amplitud de la respuesta se presenta aproximadamente en condiciones de resonancia.

En contraste con lo anterior, en la figura 3.2b se presenta el diagrama polar de respuesta del mismo rotor, con la diferencia de que en éste la tasa de cambio de la frecuencia de excitaci6n p es mayor que la anterior, proporcionando los parámetros W~318 .31 y E = 0.31416. En esta figura, el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) presenta un ángulo de fase menor de 90 con respecto a la fuerza de excitación (línea ID), además de que la respuestá de amplitud maxima, ya no se encuentra cerca del vector de vibraci6n en condiciones de resonancia (línea IM). Conforme se aumenta el parhetro E , el efecto de distorsi6n es mas notable, esto puede apreciarse en la figura 3 . 2 ~ ( W ~ 7 9 . 5 8 y E =1.2566).

En 10s diagramas Polares de respuesta de las figuras 3.2b y 3.2c, se aprecia claramente que la región correspondiente a la resonancia, es diferente para 10s casos en los cuales se aplican

de excitación donde E está fuera del rango antes mencionado, además la forma geométrica que Presenta el diagrama polar de respuesta, es diferente del correspondiente al de estado estable (figura 3.2a).

siguientes características: k ,,/k

3.2 Vibración de un rotor asimétrico

3.2.1 Interpretación de la vibración del rotor

A diferencia de los diagramas polares de respuesta de un rotor simétrico, los diagramas polares de respuesta Correspondientes a un rotor asimétrico no son de forma geométrica similar a un círculo, son de forma geométrica elíptica, encontrándose en éstos tres puntos característicos S, L y M (figura 3.3). Donde S y L corresponden a las frecuencias naturales o u y w y debido a la rigideces mínima k ",,,, y máxima k " , ~ de la sección transversal del

32 .'

rotor y M corresponde a la frecuencia natural promedio w *, que se debe a la ngidez kJtttn + kn2u y se define como: promedio de la sección transversal del rotor 2

jw::”: (3.3)

para referencias futuras a w se le considera como la frecuencia natural del sistema.

7.143353 mi awl. x arnpl. v - 6.606063 6.489364

fase - 89.257 \

> Kmexhln - 1.4020 JJ - 0.08368 6 - 0.137 ua = 1s11.49 % 319.0 f0rad051

7.113353

L

-7.143363 -7.14333 270

[ X / d l Figura 3.3 Diagrama polar de respuesta caracteristico de un rotor asimétnco

En la figura 3.3, la línea IM corresponde al vector de vibración en condiciones de resonancia e ID corresponde a la fuerza de excitación. En el lado derecho de la graficas, se muestran las amplitudes en las direcciones x,y del vector de vibración en condiciones de resonancia IM, así como su ángulo de fase 4.

33

La posición de O en los diagramas polares de respuesta correspondientes a un rotor asimétrico, coincide con el eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor (eje OU, ver figura 2.1) y con la localización del sensor de vibración.

A diferencia del método de balanceo para rotores simétricos, el método de balanceo propuesto para rotores asimétricos no considera el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM), ya que éste presenta un ángulo de fase 4 variable de 90 o (ver sección 3.2.3).

3.2.2 Efectos en la respuesta del rotor al considerar rampas de excitación

De forma análoga al caso de los.rotores simétricos, en los rotores asimétricos la tasa de cambio de la frecuencia de excitación /3 afecta el ángulo de fase del vector vibración en las tres frecuencias naturales principales (w ,, , w , w ' ), así como también, a la forma geométrica del diagrama polar de respuesta (figuras 3.4).

2.785839 . 90

SENTIDO - HORRRIO

awl. x am@. 9 - -1.582802 1.627708 U

' IS0 O >- KrnaxiKniin = 1.4020

6 - 0.137 Ua - 61071.83 % - 45.0 [Grados1

Y - 0.08368

-2.785839 -2.784033 a70 2.789835

C X / d l

Figura 3.4a Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, con W~64071.83, ,~=0.08368, <=o.i37 y ed=45 O

34

SENTICQ - HGQAR10

2.791974

mp1. x anpl. u -1.392636 1.812669

-. U

O \ 180 > KmauKniin = 1.4020

Y - a08368 Y

\ 6 = 0.137 Ue = 2676.03 Bi - 15.0 C6radosl

-2.791874 -2751974 270 2.791971

[ . X / d 1

Y

-2 807228 -

Figura 3.4b Diagrama polar de respuesta distorsionado, con Wa =2676.03, p=0.08368, <=o.i37y e ~ 5 0

KmaxAWn - 1.4020 Y - 0.08368 6 - 0.137 Ua 267.60 cy. 45.0 I e r a d O S l

2807228 I 90

I / \ I I / I I WNTO "W

-a360774 2.492473

fase - 63.343

Figura 3 . 4 ~ Diagrama polar de respuesta distorsionado, con Wa =267.6, p=O.O8368 , <=o.i37y e 8 s o

35

En la figura 3.4a se muestra el diagrama polar de respuesta de un rotor asimétrico con las siguientes características: k / k m,n = 1.402, Wa = 64071.83, factor de asimetría modal p= 0.08368, En las figuras 3.4b y 3 . 4 ~ se muestran los diagramas polares de respuesta del mismo rotor, pero con una tasa de cambio de la frecuencia de excitación p mayor que la anterior, proporcionando los parhetros W~2676.03 y Wa =267.6 respectivamente.

En la figura 3.4a el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) presenta un ángulo de fase 4 = 90 O, mientras que en las figuras 3.4b y 3 . 4 ~ se aprecia que conforme el parámetro Wu disminuye, el ángulo de fase del vector de vibración (línea IM ) es menor de 90 o y la forma geométrica así como la orientación del diagrama polar de respuesta cambia.

En las figuras 3.5, se muestran los diagramas polares de respuesta del mismo rotor pero ahora considerando la fuerza de excitación en Bd = - 45 O.

= 0.137 y fuena de excitación en B d = 45

7.136858

- U

' 1st > I

-7.1366%

ROTRCION

O

270 7.136868 -7.136688

i X / d l

PUNTO '"ti"

awl . x awl. q 6.633870 6661935

fase = 80.124

KmawKm1n 5 1.+om 0.08368

6 = 0.137

Ua - 64071.83 % - 316.0 CQredosl

Figura 3.5a Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, con W~64071.83, ~10.08368, <=0.137 y $d=-45

36

90

SENliW - HORCiRIO

su@. x awl. " 6.663288 6.670730

fase - 99.603

S

O

KmuXnin = 1.4020 P . 0.08368 6 - 0.137 U. I 206 .03 % - 316.0 tQradosl

-7.097496 -7.W496 270 7.097496

[ X / d l

Figura 3.5b Diagrama polar de respuesta distorsionado, con Wu =2676.03, p =0.08368, <=o.i37 y ed= - 45 O

7.111713

- U

' 181 3- I

f

ROTACION

PUNTO ~ v s ~ 1 awl. x mp1. "

6.369829 4.364603 I (-Se 5 94.169

O

Knax/((min I 1.4020 U - 0.08368

Ua D 267.60 % - 316.0 CQradosl

6 - 0.131

-7.Illil3 -7.111713 270 7.111713 . í X / d l

Figura 3 . 5 ~ Diagrama polar de respuesta distorsionado, con Wu =267.6, puO.08368, p0.137 y ed= - 45 O.

En el diagrama polar de respuesta mostrado en la figura 3.5a el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) también presenta un hgulo de fase 4 = 90 o y uno de los extremos del eje mayor de la elipse coincide con el origen del sistema de coordenadas. Conforme disminuye el parámetro Wa, el vecfor de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) modifica su ángulo de fase a un valor menor de 90 o (ver figuras 3Sb, 3 . 5 ~ ) y la forma geométrica así como la orientación del diagrama polar de respuesta cambia, sin embargo, el eje mayor presenta la misma característica que el eje mayor del polar de respuesta de la figura 3.5a.

El cambio de orientación del eje mayor de la elipse conforme disminuye Wa (figuras 3.4 y 3.5) es más notable cuando ia fuerza de excitación se encuentra en -45 o que cuando se localiza en e,= 45 ' (ver figuras 3 . 4 ~ y 3.5c.)

En las figuras 3.4 y 3.5 se observa que la misma tasa de cambio p de la frecuencia de excitación, tiene efectos diferentes en la respuesta del rotor, para las dos posiciones angulares 0, de la fuerza de excitación. Por ejemplo, cuando la fuerza de excitación se encuentra en 0, = 45 o (figura 3.4c), el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) se desplazó 35 ' con respecto a la p.osición que presentó en el diagrama polar de respuesta de la figura 3.4a. En contraste, cuando la fuerza de excitación se encuentra en -45 ' (figura 3 . 5 ~ ) y considerando la misma tasa de cambio de la frecuencia de excitación, el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) se desplazó únicamente 5.96' con respecto de la posición que presentó en el diagrama polar de respuesta de la figura 3.5a.

De lo anterior, puede decirse que la misma tasa de cambio de la frecuencia en las rampas de excitación generan efectos distintos en la respuesta del rotor para diferentes 0,.

3.2.3 Influencia de la posición angular 0, de la fuena de excitación en la respuesta del rotor

En las figuras 3.6a, 3.6b, 3 . 6 ~ y 3.6d se muestran los diagrama polares de respuesta de un rotor asimétrico con las siguientes características, k k ,,,=1.402 , ,u = 0.08368, <=0.137 y Vu= 64071.83 y fuerza de excitación en 0, = O, 45,90 y 315 o respectivamente.

En los diagramas polares de respuesta mostrados en las figuras 3.6 se consideró un factor de amortiguamiento constante, así como las mismas condiciones de operación del rotor, modificando únicamente la posición angular de la fuerza de excitación del rotor.

38

En las graficas, la línea IM corresponde al vector' de vibración en condiciones de resonancia, por io que este vector puede compararse con el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) de la figura 3.1. Los puntos S y L corresponden a las frecuencias naturales wu y co, debidas a las rigideces mínima y máxima de la sección transversal del rotor respectivamente.

Para el límite en donde cv,-+Cu, +w ' los puntos L, M y S tienden a coincidir de tal manera que el diagrama polar de respuesta correspondiente es similar ai de un rotor simétrico (figura 3.1), donde la línea ID (fuerza de excitación) es paralela a la línea tangente a la curva en el punto M, y el vector de vibración correspondiente a la línea IM (figura 3.1) es perpendicular a la fuerza de excitación (línea ID).

SWTIW - m 1 0

I

-6.891924 a70 5.891924

t X / d l

I -1. x nap]. 3.808550 ü.8+3088 I

tase - 99.030 o

KmawKnIn - 1.4020 P - 0.08368 6 - a i37 Un - 64071.83 % - 0.0 CQredosl

Figura 3.6a Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, B d = O o

39

7 2.788839

- U \

>. Y

aael. x -1. " -1.682802 I. 627708

fase. 89.190 O

Kauwümin- I.lO20 íJ - 0.08360 6 - aiw U. - 64071.83 - 45.0 COrado.1

2788839 -2.788839

270 -2.788839

i X / d l

Figura 3.6b Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, Bd= 45 O.

5.831603

,-. u \ L e o >. Y

L -0.snsm

-B831603 270 6.831603

i X / d l

Figura 3 . 6 ~ Diagrama polar de respuesta casi ed estado estable, Bd = 90 O.

40

7.1-

m n w - HORARIO

4npl. x mpl. 6.63387ü 6.6619%

las* . m 1 2 1

- U

' 100 O a- Y KnaxAmln - 1.4020

JJ - 0.08368 6 - 0.137

U. - 64071.83 B(. 3lRO tür&áosl

~

-7.1- -7. 1-w 270 7.1 MBBe

t X / d l

Figura 3.6d Diagrama polar de respuesta casi en estado estable, @ d = -45 O.

En las mismas figuras, se aprecia que los diagramas polares de respuesta son de forma elíptica y todos e s t h orientados en la misma dirección. Es decir en todos los casos el eje mayor de la elipse se localiza aproximadamente a 45 o con respecto al eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor, similarmente el eje menor se puede localizar a -45 o tomando como referencia el mismo eje.

De acuerdo con la posición angular @, que tiene la fuerza de excitación, el diagrama polar de respuesta se desplaza sin girar, de tal forma que la orientación del eje mayor de la elipse siempre es la misma. De lo anterior, puede concluirse que a diferencia de los rotores simétricos, si se cumple la relación 4 > p , la orientación de los diagramas polares de respuesta correspondientes a un rotor asimétrico es independiente de la posición angular de la fuerza de excitación (línea ID) y del factor de amortiguamiento ( 4 ).

En los casos particulares, cuando la fuerza de excitación se encuentra en í?d = 45 o o - 45 O,

el ángulo de fase 4 del vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) es igual a 90 o (ver figuras 3.6b y 3.6d) tal y como se presenta en los rotores simétricos. Sin embargo, la máxima amplitud de la respuesta no siempre se presenta en condiciones de resonancia (a, = a, O), lo que dificulta la localización de la posición angular de la fuerza de excitación tomando en cuenta el ángulo de fase del vector de vibración en condiciones de resonancia.

41

En contraste con lo anterior, cuando la fuerza de excitación (línea ID) se encuentra

<rectamente sobre 10s ejes de inercia principales del rotor ( 0, = 90 O o 0, = O O ) O

cualquier otro hgulo 0, diferente de f45 O, el bgulo de fase4 que presenta el vector de vibración en condiciones de resonancia (línea IM) es diferente de 90 o ( ver figuras 3.6a y 3.6~).

Para el caso de rotores ashétricos, la posición angular 0, de la fuerza de excitación es de gran interés, ya que a diferencia de los rotores simétricos, la respuesta vibratoria para aquel tipo de rotores presenta características diferentes: Por ejemplo, para el caso particular cuando la fuerza de excitación se encuentra en 0, = -45 O, se presenta una respuesta vibratoria de amplitud máxima. En contraste, cuando la misma fuerza de excitación del C a s 0 anterior se encuentra en 0, = 45 O, se presenta una respuesta vibratoria de amplitud mínima (ver figuras 3.6b y 3.6d).

3.2.4 Influencia del amortiguamiento y la asimetría en la respuesta del rotor

La respuesta vibratoria de un rotor asimétrico depende principaimente de tres parámetros adimensionales (sección 2.5, Capitulo dos) que son:

a) Factor de amortiguamiento modal 4 b) Factor de asimetría modal p c) Factor de velocidad de la rampa de excitación Wo.

Si la respuesta vibratoria del rotor es similar a una respuesta en estado estable (rampa de excitación lenta), debe satisfacerse que :

5 / P ’ 1 (3.4)

o se presentará una región de inestabilidad en la zona de resonancia.

Si la respuesta del rotor es diferente a una respuesta en estado estable, entonces la inestabilidad del sistema no depende únicamente de < y p como se muestra en la relación (3.4), también depende de la rampa de excitacibn considerada.

Como se verá en las secciones siguientes 3.2.4.1 y 3.2.4.2, el efecto producido en la respuesta del rotor al v a h r el factor de amortiguamiento tendiendo al valor del factor de asimetría modal, es similar al efecto que se obtiene en la respuesta del rotor cuando se varia el factor de asimetría mo.dai tendiendo al valor del factor de amortiguamiento. La comparación de la respuesta del rotor se hace tomando como referencia los diagramas polares de respuesta de las figuras 3.7a y 3.7b que corresponden a un rotor asimétrico con

42

-278187i - C X / d l

Figura 3.7a Diagrama polar de respuesta, con Wa -2676.03. p 4.08368, 5=0.137 Y 0 d = 45 o

y. - 2Q6.03 * - 46.0 CBi.da1

.I37 y

3.2.4.1 Influencia del amortiguamiento en la respuesta del rotor

" o \

> Y

En las figuras 3.7% 3.8a y 3.8b se muestran los diagramas polares de respuesta de un rotor asimétrico con una fuerza de excitación en 8, = 45 O, k mu I k m1 = 1.402, W~2676.03, p=0.08368 y un factor de amortiguamiento ( 4 )de 0.137,O.ll y 0.09 respectivamente,

am411 - 90

m m - HCWIO

-1. x -1. y -0.0soo26 2.eZ68s

O

-am411 I I I -am411 am asmii

C X / d l

Figura 3.8a Diagrama polar de respuesta, con Wa ~2676.03. ~ 4 . 0 8 3 6 8 , 6=0.11 y 8 d = 4 5 O

7 . m n n , 90

' 180 / > / I

K.ovKiin* l.«Izo P = ama 6 - 0.090 u. 9 1w6.m * .) 48.0 C%.dal L

-7. ow272

-7. ow272 no 7. mnn C X / d l

Figura 3.8b Diagrama polar de respuesta, con wa =2676.0, p =0.08368,C=0.09 y 8 d = 45 o

44

\

Los diagramas polares de respuesta de las figuras 3.8, se obtuvieron variando el factor de amortiguamiento y en ellos se puede apreciar, que conforme el valor del factor de amortiguamiento tiende al valor del factor de asimetría modal, la vibración del sistema se incrementa (el sistema comienza a ser inestable) y la forma geométrica del diagrama polar de respuesta cambia, además el vector de vibración en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase más pequeño.

En las figuras 3.7b y 3.9 se muestran los diagramas polares de respuesta del mismo rotor, pero con la fuerza de excitación en 8, = - 45 O. A diferencia de los diagramas polares de respuesta de las figuras 3.8, conforme el valor del factor de amortiguamiento tiende al valor del factor de asimetría modal, el vector de vibración en condiciones de resonancia, presenta un ángulo de fase casi constante, aun cuando la vibración del sistema se incrementa y la forma geométrica del diagrama polar de respuesta cambia.

Figura 3.9a Diagrama polar de respuesta, con Wa =2676.03, p 4.08368, <=0.1 1 y 8 d = 45

45

-11.881244 I I I -41.8972i1 a70 41.067244

t X / d l

Figura 3.9b Diagrama polar de respuesta, con Wu =2676.03, p 4.08368, <=0.09 y O o,= - 45

Obsérvese en las figuras 3.8 y 3.9 que conforme 6 + p se comienza a manifestar la inestabilidad del sistema.

3.2.4.2 Influencia de la asimetría en la respuesta del rotor

En las figuras 3.7% 3.10a y 3.10b se muestran los diagramas polares de respuesta de un rotor asimétrico con una fuerm de excitación en 6, = 45 O, 6 = 0.137 y un factor de asimetria(p )de 0.08368 ( k ,,I k 1.529) y 0.12784 ( k ,, I k

1.402), 0.10459 ( k .,I k = 1.687) respectivamente.

46

I I

sonim - ARIO I

Figura 3.10a Diagrama polar de respuesta, con Wu =2817.52,p=0.10459, <=0.137 y e d =

4s O

a- 90

Figura 3.10b Diagrama polar de respuesta, con Wu =2993.55,~=0.12784, <=0.137 y 45 O

41

Los diagramas polares de respuesta de las figuras 3.10, se obtuvieron variando la asimetría del rotor y en ellos se puede apreciar que conforme el valor del factor de asimetría tiende al valor del factor de amortiguamiento, la vibración del sistema se incrementa (el sistema comienza a ser inestable) y la forma geométrica del diagrama polar de respuesta cambia, además el vector de vibración en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase más pequeño.

En las figuras 3.7b y 3.1 1 se muestran los diagramas polares de respuesta del mismo rotor, pero con la fuerza de excitación en = - 45 O. A diferencia de los diagramas de las figuras 3.10, conforme el valor del factor de asimetría tiende al valor del factor de amortiguamiento el vector de vibración en condiciones de resonancia presenta un ángulo de fase casi constante, aun cuando la vibración del sistema se incrementa y la forma geométrica del diagrama polar de respuesta cambia.

Figura3.11a Diagramapolarde respuesta, con Wu=2817.52,~=0.10459,<=0.137 y 6d=-45 '

48

ap1. x ampl., y 3i.MO33ñ 33.826879

d.5. * 88668 D

KaaxlKniln - 1.6870 Y - atmi 6 - a137 U.. 2ss3.m % - 3180 i ü r i d a l

-3B.7BMll -3&780411 ?Zo 35.7BMll

t X / d l

Figura 3.1 l b Diagrama polar de respuesta, con Wa =2993.55,p=0.12784,<=0.137 y Bd= - 45 O

Obsérvese en las figuras 3.10 y 3.11 que conforme p -+ < se comienza a manifestar la inestabilidad del sistema.

Note la similitud que hay entre las figuras 3.8, 3.9 y 3.10, 3.11, lo que demuestran que la relación p /< es un parámetro importante para definir los ltmites permisibles entre el factor de asimetría y el factor de amortiguamiento para evitar la inestabilidad del sistema.

49

3.2.5 Localización de la fuena de excitación en el rotor utilizando diagramas polares de respuesta

Para el balanceo, la razón principal de trazar un diagrama polar de respuesta es la de localizar la fuena de excitación, determinando para esto el ángulo 0, de la fuerza de excitación para un modo de vibración en particular.

En los diagramas polares de respuesta de las figuras 3.6 y 3.1 la fuerza de excitación corresponde a la línea ID y puede verse que para todos los rotores sean asimétricos o no la línea ID es tangente al diagrama polar de respuesta en el punto de inicio I de la curva. Por tanto, el procedimiento que se tomará en cuenta para localizar la fuerza de excitación en rotores asimétricos, es considerar el punto de inicio del diagrama polar de respuesta. El procedimiento se llevará a cabo en la forma siguiente:

I) Obtención del diagrama polar de respuesta del rotor.

2) Localización del punto de inicio del diagrama polar de respuesta (punto de más baja 0 1.

3) Trazar una línea tangente a la curva del diagrama polar de respuesta en el punto de inicio, en sentido tal que la línea tangente quede adelantada con respecto a la respuesta del rotor tal y como se muestra en las figuras 3.6.

50

CAPITULO 4

METODO DE BALANCEO

En este capítulo se propone un método de balanceo para rotores asimétricos, basado en las características que presentaron los diagramas polares de respuesta obtenidos mediante simulación numérica (ver Capítulo Tres). El método aquí propuesto es aplicado para el balanceo de un rotor experimental.

r

4.1 Método de balanceo para rotores asimétricos

De acuerdo con las características que presentaron los diagramas polares de respuesta de un rotor asimttrico, se propone un método de balanceo mediante dos procedimientos. El primero de éllos se basa en localizar la fuerza de excitación (desbalance) en el diagrama polar de respuesta, mientras que el segundo es similar al propuesto por Shiraki y Kanki [2] para diagramas polares de respuesta en estado estable y considera las posiciones angulares de 0, = f45 o de la sección transversal del rotor.

4.1.1 Procedimiento de balanceo mediante la localización de la fuerza de excitación

La localización de la fuerza de excitación se basa en trazar una línea tangente a la curva del diagrama polar de respuesta en el punto de inicio (punto de más baja o), de tal forma que la línea tangente quede adelantada con respecto al resto del diagrama polar de respuesta (ver sección 3.4, Capítulo tres). Lo anterior presupone la utilización de sensores de desplazamiento. Este procedimiento está limitado, ya que es indispensable que la curva al inicio del diagrama polar de respuesta esté lo suficientemente definida como para trazar la línea tangente requerida.

51

4.1.2 Procedimiento de balanceo .considerando las posiciones angulares de 0, = I45 de la sección transversal del rotor

De acuerdo con los resultados del modelo matemático del rotor asimétrico, los diagramas polares de respuesta son elípticos, teniendo sus ejes principales aproximadamente en C 45' con respecto al eje que contiene la rigidez mínima de la sección transversal del rotor. El procedimiento de balanceo propuesto se basa en considerar las características que presentan los diagramas polares de respuesta cuando la fuerza de excitación se encuentra en 0d = I 45O.

El procedimiento propuesto se basa principalmente en desplazar el diagrama polar de respuesta en forma perpendicular al eje mayor de la elipse; colocando pesos en 0, = 45 o 45+180 ' de la sección transversal del rotor, hasta que uno de los extremos del eje mayor de la elipse, coincida con el origen del sistema de coordenadas considerado. Una vez logrado io anterior, ahora la fuerza de excitación se encuentra en 8, = - 45 o - 45+180 ' sobre ia sección transversal del rotor. Por 10 que se procede a colocar un peso de balanceo para eliminar la elipse correspondiente.

De acuerdo con las características anteriores, se propone el procedimiento de balanceo siguiente:

1) Se obtiene el diagrama polar de respuesta.

2) Se coloca un peso en 0, = 45 o 45+180 ', Con esta acción el diagrama polar de respuesta se desplazará en dirección perpendicular al eje mayor de la elipse (ver figura 4.1). En este trabajo en particular, los pesos colocado en esta posición angular serán designados como pesos de desplazamiento.

.

a) Obténgase nuevamente el diagrama polar de respuesta correspondiente al peso colocado en el rotor. Se analiza la influencia del peso de desplazamiento en la respuesta vibratoria del rotor y se repite el paso No. 2 hasta que el desbalance total esté en 8d 4 5 O -45+180. Es decir, hasta que el extremo del eje mayor de la elipse coincida con el ongen del sistema de coordenadas considerado.

3) Ahora, se coloca un peso en 0, = - 45 o - 45+180 O. Con esta accibn se minimizará la elipse final obtenida en el paso No. 2 (ver figura 4.1). En este trabajo en particular, a los pesos colocado en esta posición angular se le designará como pesos de balanceo.

52

R I t ,! I)!. 2 MAXiMA

'>O ................

180

. . . . .

270

Figura 4.1 Procedimiento de balanceo

N6tese que al aplicar este procedimiento deber6 conocerse en el rotor la ubicaci6n de los ejes de simetria.

El procedimiento de balanceo puede aplicarse en casos donde la respuesta vibratoria del rotor se obtenga bajo condiciones no estables (rampas de excitaci6n rápidas). Sin embargo, esto es posible únicamente cuando ai final de la curva del diagrama polar de la respuesta analizada, no presente rizos como se muestra en las figuras 4.2. Los polares de respuesta de las figuras 4.2, corresponden a un rotor asimétrico con las siguientes características W~76.46, 64.137 y p = 0.08368.

53

270 RE

t X / d l Figura 4 . h Diagrama polar de respuesta distorsionado con W ~ 7 6 . 4 6 y 8, = - 45 O .

I I -2921572 270 28am

C X / d l

Figura 4.2b Diagrama polar de respuesta distorsionado con W ~ 7 6 . 4 6 y e d = 45 O.

54

La formación de rizos al final de la curva en los diagramas polares de respuesta, se debe a la alta velocidad con la que se lleva acabo la rampa de excitación al obtener la respuesta vibratoria del rotor. Conforme se aumente m& la velocidad de la rampa de excitación, la formación de rizos y la distorsión del diagrama polar de respuesta serán más notables. Esto, dificulta determinar el eje mayor de la elipse, principalmente cuando la fuerza de excitación se encuentra en ed = -45 o -45+180 O o ed = 45 o 45+180 O (ver figuras 4.2) que son los ángulos de interés para el método de balanceo propuesto en este trabajo.

4.1.3 Método de balanceo

El método de balanceo finalmente propuesto, es la combinación de los dos procedimientos descritos anteriormente.

Si el diagrama polar de respuesta obtenido Gene suficientemente definida la curva en el punto de inicio (punto de más baja o), es posible proceder a balancear el rotor mediante la localizaci6n de la fuerza de excitación (ver sección 4.1.1). En su defecto, se procede a balancear considerando las posiciones angulares t$ = M 5 o (ver sección 4.1.2). Durante ei proceso de balanceo de acuerdo con las características que presente el diagrama polar de respuesta, se recomienda aplicar una combinación de ambos procedimientos.

55

CAPITULO 5

PRUEBAS DE LABORATORIO

El objetivo de este capítulo es de reportar los resultados de la aplicación en pruebas de laboratorio del método de balanceo propuesto para rotores asimétricos (ver Capítulo cuatro). Se describe también el equipo y el arreglo del dispositivo experimental, así como el procedimiento que se llevó a cabo en las pruebas experimentales.

5.1 Arreglo del equipo de pruebas

El arreglo general del equipo de pruebas se muestra esquemáticamente en la figura 5. I . El rotor consiste de una flecha asimétrica y dos .discos inerciales con una masa de 0.840 kg. cada uno. La excitación del rotor se produce mediante un motor de comente continua de 1/10 HP. El motor esta acoplado a un variador de velocidad con el que es posible controlar la rotación del rotor y la rampa de excitación en un intervalo de O - 10000 revoluciones por minuto. Los detalles de la flecha asim6trica se muestran en la figura 5.2 .

. . .., . ...' l-.- .......... ; ' I i L-.

................... .-. ...... .................... !

I

Figura 5.1 Arreglo experimental del equipo de pruebas: 1) Motor, 2) Flecha asimétrica, 3) Cople flexible, 4) Sensores, 5 ) Discos inerciales, 6) Oscilador-demodulador, 7) Caja de conexiones, 8) Sistema de adquisición de datos (ADRE), 9) Computadora personal, 10) Variador de velocidad.

56

Las mediciones experimentales se llevaron a cabo mediante un equip de adquisición de señales de vibración (ADRE), utilizando un sensor óptico para la medición del gngulo de fase.

5.2 Descripción de las pruebas de laboratorio

Para el balanceo del rotor experimental se tomaron en cuenta dos diferentes posiciones de los discos inerciales sobre el rotor, como se muestran en las figuras 5.3. En el rotor, los discos inerciales fueron utilizados como planos de balanceo.

- _.___ __..

26 p- 26" Primer Cuso

Figura 5.3 Posiciones de los discos inerciales y de los soportes en el rotor experimental. Acotación mm.

Las frecuencias naturales (o y y (o correspondientes a las rigideces mínima y máxima de la sección tninsversal del rotor con influencia del conjunto rotor-soportes, para el primer y segundo caso (figuras 5.3a y 5.3b) se muestran en la tabla 5-2.

58

I1 I Material SAE 4140 I1 peso unitario

módulo de elasticidad (E) masa de la flecha exaerimental

76.5 KN/m' 207.0 GPa 0.260 Ke.

I 1 E I , - E I , Asimetría seccional p,, = - 2 E I . + E I .

Sensor Dirección

0.09%2

Posición (mm)

11

1 2 3 4

vertical 212 horizontal 212

vertical 38 horizontal 38

57

W , [ r ad l s ] w, [rad l ~ ] . rad/^] f l (r.p.m.) (r.p.m.) (r.p.m.)

Primer Caso 2 5 6.8 5 4 301.0378 279.8195 0.0787

Segundo Caso 223.922 265.1399 245.4013 0.0836 (2452.78) (2874.70) (2672.08)

(2138.30) (253 1.90) (2343.41)

En la misma tabla, también puede observarse en la antepenúltima y penúltima columnas la Erecuencia natural debida a la rigidez promedio de la sección transversal del rotor y el factor de asimetría modal para cada caso.

Figuras

5.3a

5.3b

Para el balanceo, la velocidad máxima del rotor considerada para cada uno de los casos que se muestran en la tabla 5-2, fue de tal forma,' que en los diagramas polares de respuesta obtenidos se observara únicamente la infiuencia del primer modo de vibración. Alcanzándose para el primer caso (figura 5.3a), una velocidad máxima de 2780 r.p.m. mientras que para el segundo caso (figura 5.3b) fue de 3200 r.p.m. Las rampas de excitación ascendentes para cada caso, se muestran en las figuras 5.4 y 5.5 respectivamente.

.

59

Figura 5.4 Rampa de excitación (Caso 5.3a).

60

Figura 5.5 Rampa de excitación (Caso 5.3b).

61

5.3 Balanceo del rotor experimental

En el rotor experimental, se realizaron tres pruebas de balanceo diferentes. La primera pmeba, se llevó a cabo mediante el procedimiento que se basa en considerar las posiciones angulares de 0, = f 45 de la sección transversal del rotor (ver sección 4.1.2) y se aplicó al caso del rotor de la figura 5.3b.

La segunda prueba, se basó en el procedimiento de localización de la fuerza de excitación mediante una línea tangente a la curva del diagrama polar de respuesta en el punto de inicio (ver sección 4.1.1) y fue aplicado al caso del rotor de la figura 5.3a. Finalmente, la tercera prueba, fue una combinación de los dos procedimientos utilizados en la primera y segunda prueba de balanceo y se aplicó al caso del rotor de la figura 5.3b.

Las pruebas de balanceo descritas en esta sección consideran un peso total, a h cuando los pesos fueron colocados en ambos discos inerciales del rotor (planos de balanceo). Esto se debe a la simetria que presenta la forma modal del rotor experimentai con respecto a los planos de balanceo, lo que permite colocar pesos en un solo plano y tener el mismo efecto que distribuir 10s pesos equitativamente en ambos planos de balanceo. para el maisis de la respuesta vibratoria se consideró únicamente el sensor número uno (ver tabla 5-11 que fue el que detecto mayor amplitud de vibración durante 1s pmebas.

62

5.3.1 Primera prueba de balanceo del rotor experhental considerando las posiciones angulares O,= 145 de la sección transversal del rotor

En la tabla 5-3, se muestran los resultados obtenidos para cada uno de los rodados realizados durante la pmeba de balanceo del rotor experimental. La vibraci6n mostrada en la tabla corresponde al eje mayor de la elipse del diagrama polar de respuesta.

Los datos del rodado cero corresponden a la vibración inicial del rotor sin pesos de prueba. La respuesta vibratoria inicial del rotor puede verse en el diagrama polar de respuesta de la figura 5.6, y se puede observar que el eje mayor de la elipse inicialmente se encuentra desplazado del origen del sistema de coordenadas.

63

90

ESCALA 460 M pp

! 170

Figura 5.6 Respuesta inicial del rotor

El procedimiento de balanceo utilizado (ver sección 4.1.2) requiere primeramente desplazar la elipse en direcci6n perpendicular al eje mayor, de tal forma que éste coincida con el origen del sistema de coordenadas.

El peso colocado para desplazar el diagrama polar de respuesta (peso de desplazamiento) y la posici6n angular en donde se colocó, se muestra en la tabla 5-3 (rodado uno); también se muestra la amplitud del eje mayor de la elipse después del peso colocado. La respuesta del rotor después del primer peso de desplazamiento corresponde al diagrama polar de respuesta de la figura 5.7.

64

180

ESCAU M e Y pp

* Figura 5.7 Respuesta del rotor después del primer peso de desplazamiento

Una vez centrado el eje mayor de la elipse, se procede a colocar el primer peso de balanceo. El peso considerado corresponde ai rodado número dos. Efectivamente, después del primer peso de balanceo, la vibración máxima del sistema disminuyó (ver figura 5.8). Sin embargo el eje mayor de la elipse resultante, nuevamente se encuentra desplazado del origen de coordenadas (figura 5.8), por lo que una vez mhs es necesario desplazar el diagrama polar de respuesta hasta que el eje mayor se encuentre en la posición centrada con el origen del sistema de coordenadas. El segundo peso de desplazamiento seleccionado corresponde ai rodado número tres y la respuesta del rotor se muestra en la figura 5.9.

65

270

Figura 5.8 Respuesta del rotor después del primer peso de balanceo

66

ESCALA 270 Rc4d4n aee L.. pp & &hlMDa0uddldnJ

Figura 5.9 Respuesta del rotor después del segundo peso de desplazamiento

Contrario a io que se esperaba, el segundo peso de desplazamiento redujo la amplitud del eje mayor de la elipse, a tal grado que el sistema se balanceó reduciendo la vibración hasta en un 90 % de la vibración inicial. Esto se debe a que en el diagrama polar de respuesta de la figura 5.8, aplicando el procedimiento de balanceo de la línea tangente a la curva en el punto de. inicio del diagrama polar de respuesta, se encuentra que la fuerza de excitación (desbalance) tiene una posición angular de 45 o , y 180 o adelante (225 ”) se colocó el peso de desplazamiento que finalmente balanceó al sistema.

67

Lo anterior demuestra que para tener un criterio más amplio durante el balanceo de un rotor ashétrico, deben considerarse en forma conjunta los dos procedimientos de balanceo descritos en las secciones 4.1.1 y 4.1.2.

5.3.2 Segunda prueba de balanceo del rotor experimental mediante la localización de la fuena de excitación

La localización de la fuerza de excitación se basa en trazar una línea tangente a la curva del diagrama polar de respuesta en el punto de inicio, de tal forma que la línea tangente quede adelantada con respecto al resto del diagrama polar de respuesta (ver sección 4.1.1, Capítulo cuatro).

En la tabla 5-4, se muestran los resultados obtenidos por cada uno de los rodados realizados durante el proceso de balanceo del rotor experimental. La vibración mostrada en la tabla corresponde al eje mayor de la elipse del d i a g k a polar de respuesta.

Tabla 5-4 Rodados de balanceo (segunda prueba de balanceo)

En la tabla 5-4 los datos del rodado cero corresponden a la vibración inicial del rotor sin pesos de prueba. La respuesta vibratoria inicial del rotor puede verse en el diagrama polar de respuesta de la figura 5.10.

68

AI trazar una línea tangente a la curva del diagrama polar de respuesta de la Figura 5.10 en el punto de inicio, se encuentra que el bngulo 0, de la fuerza de excitación sobre la sección transversal del rotor es de 90 o , por lo que el peso de balanceo, debe de colocarse 180 o

adelantados con respecto a la posici6n angular donde se localizb la fuerza de excitación. El primer peso de balanceo seleccionado corresponde al rodado número uno. La respuesta del rotor después del peso colocado se muestra en la figura 5.1 1.

a5 O 2BI

O 2BI i

10

Figura 5. IO Respuesta inicial del rotor

En el diagrama polar de respuesta de la figiua 5.1 1, se puede observar que con el peso colocado la vibración del rotor se redujo cerca de un 55% de la vibración inicial (tómese como referencia el eje mayor de la elipse).

69

am

Figura 5.1 1 Respuesta del rotor despuks del primer peso de balanceo

Si se vuelve a trazar una línea tangente a la curva del diagrama polar de respuesta de la figura 5.1 1 en el punto de inicio. Ahora, la fuerza de excitación se localiza en 0, = 45 o sobre la sección transversal del rotor, por lo que se procede a colocar un segundo peso de balanceo 180 o adelantados con respecto a la posición anguiar donde se localizó la fuerza de excitación. El peso seleccionado se muestra en el rodado número dos. La respuesta del rotor, después del segundo peso de balanceo se puede ver en la figura 5.12.

70

90

Figura 5.12 respuesta del rotor después del segundo peso de balanceo

Ai igual que el rodado anterior, después del peso de balanceo colocado, la vibración del sistema se redujo aún más. De manera similar a los primeros dos rodados, se procede a localizar la posición angular de la fuerza de excitaci6n en el diagrama polar de respuesta de la figura 5.12.

Finalmente en el rodado n h e r o tres, se muestra el tercer peso de balanceo colocado en el rotor así como la vibración final. La vibración residual del rotor se presenta en la figura 5.13.

71

Figura 5.13 Vibración residual del rotor

En la figura 5.13, se puede apreciar que la vibración se redujo aproximadamente un 80 % de la vibración inicial. La vibración residual que se muestra en la tabla 5-4 corresponde al eje mayor de la elipse, sin embargo en el polar de respuesta de la figura 5.13 se puede ver que la vibración residual máxima del sistema es menor que la correspondiente al eje mayor de la elipse.

Nótese que efectivamente, después de cada peso colocado en el rotor la vibración siempre se redujo, lo que demuestra que el procedimiento de la línea tangente nos proporciona la orientación de la fuena de excitación del rotor.

12

5.3.3 Tercera prueba de balanceo del rotor experimental, mbtodo combinado

La prueba de balanceo del rotor experimental que se presenta en esta sección se llevó a cabo combinando los dos procedimientos descritos en las secciones 5.3.1 y 5.3.2 del presente capítulo.

La secuencia que se sigui6 fue, centrar en primera instancia el eje mayor de la elipse correspondiente a la respuesta vibratoria inicial del rotor y a continuación se colocó un peso de balanceo. Estas acciones corresponden a los rodados número uno y dos respectivamente de la tabla 5-5. Finalmente se localizó la posición angular de la fuerza de excitación y se colocó el peso de balanceo correspondiente, esta acción corresponde al rodado número tres (ver tabla 5-5).

Tabla 5-5 Rodados del rotor (tercera Peso [ g. 1, Vibración [ micras ] RODADO

meba de balanceo)

La vibración inicial del rotor sin pesos de prueba es la misma que se mostró en la figura 5.10 y la respuesta del rotor de los rodados uno, dos y tres de la tabla 5-5, se muestran en las figuras 5.14,5.15 y 5.16 respectivamente.

73

270

Figura 5.14 Respuesta del rotor después del peso de desplazamiento

14

270

Figura 5. IS Respuesta del rotor después del peso de balanceo

75

270

Figura 5.16 Vibración residual del rotor

En el diagrama polar de respuesta de la figura 5.16 se aprecia que la vibración se redujo aproximadamente un 80% de la vibración inicial del rotor ( ver figura 5.10)

76

5.4 Discusión de los resultados experimentales

En las pruebas de balanceo efectuadas se logró reducir ia vibración del rotor hasta un 80 - 90 % de la vibración inicial. La reducción de ia vibración estuvo limitada Por las condiciones experimentales, debido a que los pesos finales de balanceo requeidos por el rotor fueron menores a 0.1 gramos.

Para facilidad del manejo de la información, en las tablas 5-3 a 5-5 se muestran únicamente tres rodados de balanceo; sin embargo, para cada una de las pruebas de balanceo del rotor experimental se requirió un promedio de 6 a 8 rodados, ya que no es posible aún tener un control de los pesos, esto es a causa de que el rotor presenta un coeficiente de influencia no lineal en su respuesta vibratoria para pesos colocados en una misma posición angular O,, además de que el coeficiente de influencia del rotor para diferentes 0, tampoco no es lineal.

Por otra parte, fue necesario verificar en forma cualitativa los resultados obtenidos mediante simulación numérica con los que se propuso el método de balanceo. Para él10 se consideró el rotor balanceado en la sección 5.3.1, cuya vibración residual se muestra en la tabla 5-3. A continuación se colocó un peso de desbalance de 0.4 gramos en cuatro posiciones angulares 0, diferentes, que son: 90, 135, 180 y 225 O. La respuesta del rotor para cada uno de los ángulos puede verse en las figuras 5.17, 5.18,. 5.19 y 5.20 respectivamente.

En las figuras puede apreciarse que las respuestas del rotor son similares a las que se obtuvieron en forma numérica (figuras 3.6, Capitulo tres). La verificación de los resultados en forma cuantitativa no se llevó a cabo, debido a que no fue posible medir el factor de amortiguamiento ni la masa modal del rotor experimental con la precisión necesaria.

10

Figura 5.17 Diagrama polar de respuesta, masa de desbaiance = 0.4 g., 0, = 90 O .

78

9

ESEAU 270 Ro<i& ano n PP .iotido 6 r h . e m w

Figura 5.18 Diagrama polar de respuesta, masa de desbaiance = 0.4 g., O,= 135 o

19

Figura 5.19 Diagrama polar de respuesta, masa de desbalance = 0.4 g., Bd = 180 o

80

O

no

Figura 5.20 Diagrama polar de respuesta, masa de desbalance = 0.4 g., 8, = 225 o

5.5 Anátiis del m6todo de balanceo

Es claro que el método propuesto para el balanceo de rotores asimétricos no considera la respuesta del rotor en condiciones de resonancia, si no que éste se basa en considerar el inicio del diagrama polar de respuesta y los ejes principales de la elipse, fundamentalmente el eje mayor, por lo que no importa la posicih del vector vibración en condiciones de resonancia.

81

De acuerdo con la experiencia que se tuvo en. las pruebas de laboratorio, se pudo observar que la metodología del proceso de balanceo propuesto se encuentra en una etapa inicial, por io que no es posible tener un control de los pesos de desplazamiento y de balanceo. Esto se debe a que el coeficiente de influencia que presenta el rotor en diferentes posiciones anguiares 0, no es lineal, además también, el coeficiente de influencia que presenta el rotor en una misma posici6n angular 0, para diferentes pesos, tampoco no es lineal. Lo anterior provoca que durante el proceso de balanceo se requiera de varios rodados del rotor.

Finalmente se propone que durante el balanceo de un rotor asimétrico, se utilice el método combinado ya que habrá ocasiones en que la curva del diagrama polar de respuesta obtenido esté suficientemente definida en su inicio. Entonces es conveniente localizar en el diagrama polar de respuesta la posicibn anguiar donde se encuentra la fuerza de excitacibn y proceder a balancear desde el primer rodado.

Por otra parte, si se procede a desplazar el diagrama polar de respuesta para centrar el eje mayor de la elipse, los primeros pesos colocados en el rotor servirán pa*i desplazar el eje mayor de la elipse, utilizando rodados extras para el balanceo.

I

I

82

CAPITULO 6

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 Conclusiones

En el presente trabajo se realin5 un estudio teóricoexpe~¡metal del comportamiento vibratorio de un rotor asiméüico, considerando fuerzas de excitación de tipo inercial (desbalance), así como rampas de excitación con frecuencia variable de tipo lineal. Para el análisis se consideró un sistema de dos grados de libertad.

Las conclusiones generadas de los resultados del trabajo realizado se resumen a continuación.

1) Se encontró teórica y experimentalmente que los diagramas polares de respuesta de un rotor asimétrico son de forma elíptica y todos e* orientados en la misma dirección, localizándose el eje mayor de la elipse aproximadamente a 45 o y el eje menor a -45 tomando como referencia el eje que contiene la rigidez minima de la sección transversal del rotor.

2) Se comprobb teórica y experimentalmente que la respuesta resonante del rotor cambia en amplitud y fase para diferentes posiciones angulares 0, de la fuerza de excitación.

3) En las pruebas de laboratorio, se observó que el rotor presenta un coeficiente de influencia no lineal en su respuesta vibratoria para pesos colocados en una misma posición aagular 0, , además el coeficiente de influencia del rotor para difexentes 6, tampoco no es lineal.

4) Teóricamente se concluyó que la influencia de las rampas de excitación en la respuesta vibratoria del rotor, es diferente para cada posición angular 0, de la fuerza de excitación.

5) De acuerdo con las Canicteristkas que se observaron en los diagramas polares de respuesta obtenidos mediante simulación numérica, se propuso un método de balanceo que se basa en considerar el punto de inicio de la curva del diagrama polar de respuesta (punto

83

de mAs baja Q) ) y los ángulos 8, = f 45 O. El método de balanceo propuesto fue verificado experimentalmente, donde la reducción de las vibraciones estuvo limitada por las condiciones experimentales debido a que el rotor requería pesos menores de 0.1 gramo. La vibración del rotor se logró reducir hasta en un 90 % de la vibración inicial.

6) Se encontró que lo efectos en la respuesta del rotor cuando p + o 4 + p son semejantes por lo que la relación p / 4 es un parámetro importante junto con la velocidad con la cual se lleve a cabo la rampa de excitación del sistema. Esto permite definir los l i t e s entre el factor de asimetría y el factor de amortiguamiento para evitar la inestabilidad del sistema

7) Se concluyó que no es posible enconhzu una metodologia de balanceo que se base en considerar el vector vibraci6n en condiciones de resonancia, ya que éste presenta un ángulo de fase variable para diferentes 8d de la fuerza de excitación.

8) Aunque aún no perfeccionado, el método puede aplicarse al balanceo de rotores asimétricos que presenten un comportamiento semejante al aqui reportado.

6.2 Recomendaciones

Para investigaciones futuras y como complemento del presente estudio se recomiendan las siguientes actividades. ,

1) Buscar la forma de determinet curvas del coeficiente de influencia del rotor con base en los ejes principales de la elipse o en función del desplazamiento del eje mayor, considerando para éllo: el factor de amortiguamiento, asimetria y rampas de excitación del sistema

2) La actividad antexior permitirá automatizar el método de balanceo propuesto en este trabajo, dando lugar a buscar una metodología para determinar arreglos de pesos modales, con el fin de balancear varios modos a la vez y minimku el número de rodados durante el proceso de balanceo.

3) Obtener en forma experimental diagramas polares de respuesta con rampas de excitación descendentes y determinar si el comportamiento de la respuesta vibratoria es igual que cuando se aplican rampas de excitación ascendentes.

4) Aplicar el método de balanceo en un rotor asimétrico real.

84

APENDICE A

ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO

En el presente apéndice se describe el procedimiento para obtener las ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor asimétrico de acuerdo con el estudio realizado por Taylor [l].

Finalmente se presenta la deducci6n de las ecuaciones diferenciales de movimiento de un rotor simétrico.

A.l Ecuaciones de movimiento de un rotor asimétrico con desbalance

A.l.1 Componentes radial y tangencial de la f u e m elástica

Se ha mencionado que los rotores asimétricos presentan rigidez diferente en los ejes de inercia principales, io que trae como consecuencia que la fuerza elastica experimentada por el rotor en rotaci6n dependa de la orientación angular de la respuesta vibratoria en la seccibn transversal del rotor.

De acuerdo con el trabajo realizado por Taylor [I] , para la obtencibn de fa ecuaci6n diferencial de movimiento, primero se lleva acabo el análisis del rotor sin rotaci611, como se muestra en la figura A. 1.

I -

figura A. 1 Componentes radial y tangencial

ES

De acuerdo con la figura A.l, para lograr un desplazamiento constante OS es n e c e h o variar la fuerza elástica conforme ai ángulo de la sección transversal del rotor. Por ejemplo, la fuerza elástica requerida para lograr el desplazamiento OS ( OS = r) ) es mínima cuando el desplazamiento está en fase con el eje que contiene a la rigidez minima del rotor ( a = 09 y es máxima cuando el desplazamiento se encuentra en fase con el eje que contiene a la rigidez máxima del rotor (a = 90 ). Para una posición intermedia, como se muestra en la figura A.l, la fuerza elástica Fe puede representarse mediante un vector OB, donde su magnitud y sentido está limitado por un d i e a circular (figura A.l).

Fuera de los ejes de inercia principales del rotor, la fuerza elástica Fe no está en fase con el desplazamiento, pudiendo ésta representarse en función de un componente radial (en fase con el desplazamiento) y uno tangencial (perpendicular ai desplazamiento).

Descomponiendo el desplazamiento r) en componentes paralelos a los ejes de inercia principales, se tiene que los componentes de la fuerza elástica con respecto a los ejes que contienen las rigideces mínima y máxima del rotor, e s th dados respectivamente por:

F, = k,, 17 Cos a

F, = k- 7 Sen a

('4.1)

( A 4

Las ecuaciones anteriores puede ponerse en función de un componente radial (paralela al desplazamiento ) y uno tangencial ( perpendicular ai desplazamiento ) que al sumarse respectivamente proporcionan una fuerza radial y tangencial total:

FR = q (k,,,," Cos2 a + k,, Sen2 a )

FT = q (k- - kmh) Sen a Cos a

introduciendo los términos:

k' = km= + k,h 2

k" = km= - k,a> 2

la fuena radial y tangencial se definen como:

F R = q (k'- k " C o s 2 a ) (A.5)

86

En la figura A. 1, por definici6n el vector OC es el componente radial promedio de la fuerza elástica, y está dado como:

O(?= k' q (A.7)

sustrayendo (A.7) de (AS) se tiene que el vector AC es igual a :

A(? = q k" Cos 2 a

de las ecuaciones (A.6) y (AX) se obtiene el radio vector BC del diagrama circular, que es el que limita la magnitud y sentido de la fuerza elástica (figura A. 1):

B e = k" q (A.9)

es importante notar que el ángulo entre los vectores OC y BC es de 2a y que el componente tangencial se debe exclusivamente a la asimetría del rotor.

A.1.2 Ecuaciones de movimiento para una flecha asimétrica con desbalance

En la figura A.2 se muestra una sección transversal de una flecha asimétrica en rotación. El centro de la flecha esta representado por el punto S y en un instante en particular el desplazamiento lateral de la flecha es represeniado por el radio vector q.

87

j !.) t

I

Figura A.2 Sección transversal de una flecha asiméüica en rotación,

La rotación de la flecha se representa en sentido contrario a las manecillas del reloj con una velocidad angular w. La condición de desbalance se representa por el vector d, es decir el centro de masa G del rotor está desplazado del centro geométrico S de la flecha una distancia SG.

Los ejes OX y OY corresponden a un sistema de coordenadas fijo y los ejes OU y OV a un sistema de coordenadas rotatorio, de tal forma que OU y OV siempre son paralelos a los ejes de inercia principales del rotor.

En la figura A.2, a corresponde a el ángulo del desplazamiento de la flecha y tiene el mismo significado que en la figura A.l, 0, corresponde a la posición de la fuerza de excitación, tomando como referencia el eje que contiene a la rigidez mínima del rotor y 4 a el ángulo de fase de la respuesta (q) referido a la fuerza de excitación.

Para determinar la ecuación de movimiento, es necesario encontrar una expresi6n vectorial de la fuerza elástica experimentada por la flecha, referida a los ejes fijos.

.

En la figura A.2, la reflexión de q con respecto al eje rotatorio OU se muestra como i j * adelantando a q con un ángulo de 2a, de tal forma que i j * es paralelo pero en sentido opuesto al vector representado por k"q en la figura A.l (ecuaci6n A.9). Por tanto, la fuerza elástica en coordenadas rotatorias puede escribirse como:

( A J O ) .. - * -. F , = k ' q - k q

88

donde k'r] es el componente radial promedio.

Ahora, la reflexión de r] con respecto al eje fijo OX, se indica como 7 , y es el mismo que íi * excepto que tiene una diferencia angular de 2w I , por lo que puede deducirse que :

7' = jj ,i 101 (A.ll)

de tal forma que la ecuación (A.lO) puede reescribirse como:

F , = k ' q - k 8.- q e J i m 1 (A.12)

En lugar de la fuerza ejercida sobre la flecha, se considerará la fuerza ejercida por la flecha y le llamaremos fuerza elástica de restitución, definida como:

F, = -k'q + k"? eJ 2 0 ' (A.13)

Se supone que además de la fuerza elástica de restitución, actúa una fuerza F debido al amortiguamiento, y una fuerza de inercia F, debido a la aceleración del centro de masa del sistema. Estas fuerzas pueden expresarse respectivamente como:

F, ~ = -c 4 (A.14)

4 = m r i , (A.15)

donde qG = I] + d .

Finalmente, la ecuación diferencial de movimiento caracteristica de un rotor asimétrico puede escribirse como:

Definiendo q Y 7 como parámetros complejos de la forma:

(A.16)

q = x + j y

= x - j y

y sustituyendo en la ecuación (A.16), se obtienen las ecuaciones diferenciales de movimiento correspondientes a las direcciones x,y respectivamente.

89

A.2 Ecuaciones de movimiento de un rotorsimétrico con desbalance

En la figura A.3a se muestra un sistema de una flecha soportada sobre chumaceras, con un disco de masa m en la parte central. Las propiedades elásticas del sistema están representadas por el coeficiente de rigidez k y el coeficiente de amortiguamiento c. Suponiendo que el rotor está sujeto a una excitaci6n en estado-estable debido a la masa de desbalance, las fuerzas que actúan en el rotor son: fuerza de inercia debido a la aceleración del centro de masa, fuerza de rigidez debido a la elasticidad de la flecha y fuerza de amortiguamiento externo.

Y

b ). Figura A.3 Modelo de un rotor con desbalance

Con referencia ai figura A.3b O representa la posici6n de equilibrio de la flecha cuando ésta se encuentra balanceada, w corresponde a la velocidad angular (frecuencia de excitación) de la flecha, los puntos S y G corresponde al centro de giro y el centro de masa respectivamente y d es la excentricidad del centro de giro con respecto al centro de masa (desbalance). Considerando un sistema de coordenadas fijo como referencia (x,y), las diferentes fuerzas que actúan en el sistema pueden expresarse como:

90

Fuerza de inercia: - & = m &

donde qG corresponde el radio vector del centro de masa G , dado por:

(A.17)

v c = ( x + d Cos w r ) f + ( y + d S e n o t ) J (A.18)

siendo I, J los vectores unitarios en las direcciones x,y respectivamente. La ecuaci6n (A.17) puede reescribirse como:

6 = m((x- d o Cos o r)f + ( y - d w Sen wr)J] (A.19)

Fuerza elástica:

- F , = - k ( x f + y J )

donde k es la rigidez de la flecha.

(A.20)

Fuena de amortiguamiento externo:

F , . = - c ( X I + y J ) (A.21)

donde c es el coeficiente de amortiguamiento externo.

Aplicando la segunda ley de Newton, las ecuaciones de movimiento en forma escalar para las direcciones x y y pueden definirse respectivamente como:

m i + cx + la = m d o2 Cos or (A.22)

m y + c y + k y = t n d o 2 Senor (A.23)

. 91

APENDICE B

METODO DE INTEGRACION NUMERICA RUNGE-KUTTA FEHLBERG

LOS métodos de integración numérica pueden ser condicionalmente o incondicionalmente estables [16]. Ello depende de que requiem o no el uso de un incremento de tiempo menor que un valor crítico. El uso de un incremento de tiempo mayor que el critico, en un método condicionalmente estable, provocará que la solución se comporte inestablemente, lo cual significa que el error de tnincación resultante de la integración numérica crecerá de tal forma que haga que los resultados pierdan significado.

El método numérico seleccionado Runge-Kutta FEHLBERG evita este problema ya que automáticamente el método selecciona el paso adecuado para la evaluación de la función. La técnica consiste en usar el método de Runge-Kutta con error de truncamiento local de orden cinco, para estimar el error local en el método de Runge-Kutta de orden cuatro.

B.1 Descripci6n del método Runge-Kutta FEHLBERG

El método Runge-Kutta FEHLBERG requiere de seis evaluaciones de la función por cada paso de la integración, por lo que la forma general del método se puede definir mediante las ecuaciones siguiente:

6

Y,, + I =Y, + c Yi Ki i - 1

donde:

Para las ecuaciones anteriores existen veintisiete coeficientes, de los cuales seis corresponde a a, , quince a P y los seis restantes corresponden a y , . Hay muchas posibles combinaciones que producen métodos de quinto orden, el conjunto de valores en

92

particular propuesto por Fehlberg se muestra en la tabla B-l. Observe que los valores de p .I forman un arreglo triangular inferior, lo que significa que cada valor de k, es obtenido de un k ., previo.

En la tabla B-1 se muestra un conjunto de coeficientes los cuales corresponden a Y j , estos coeficientes producen un método de Runge-Kutta de cuarto orden que puede utilizarse en combinación con el método de quinto orden, lo que permite obtener una estimación del error de tnincación local en los cálculos por cada incremento de tiempo.

B.2 Implantación eomputacional del método

Para la implantación computacionai del método Runge-Kutta de cuarto-quinto orden, deberán considerarse los siguientes puntos.

a) El método requiere de seis evaluaciones por cada paso de la integración. Estas evaluaciones de la función se definen por:

donde i = 1, . . . , 6 .

b) Las seis evaluaciones de la función se combina con un conjunto de coeficientes Y j para producir un método de quinto orden.

c) Cinco de las seis evaluaciones de la función se combinan con el conjunto de coeficientes y para producir un método de cuarto orden.

d) Los coeficientes para las expresiones de quinto y cuarto orden son dados en las Últimas dos columnas de la tabla B-l. Sustrayendo una columna de otra, se obtiene una aproximación del error de truncación local para la f6nnula de cuarto orden.

La expresión para el error de truncación local puede escribirse como:

e) En cada paso, el método requiere que el valor absoluto del error de truncación local sea menor o igual que el valor promedio de la solución entre el tiempo t y t ,,+, , multiplicado por una tolerancia definida por el analista. Esto es:

donde ER'es el error relativo permitido por el analista.

t) La expresión anterior puede usarse para el control del tamafio del paso. Si esta expresión no se satisface, la solución aproximada es rechazada y el tamaAo del paso es reducido.

94

REFERENCIAS

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[16]

96 CENTRO DE INFORMACION

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