Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
DETERMINACIÓ DEL CENTRE DE GRAVETAT D'UNA PLACA DE FORMA IRREGULAR
1. Objectius
(A)  Obtenir experimentalment les coordenades del centre de gravetat   d'una placa de gruix
constant i forma irregular.
(B) Comparar el valor experimental de l'apartat (A) amb el valor calculat tenint en compte la forma
irregular de la placa.
2. Material experimental disponible
− Tres balances digitals de sensibilitat 1 gram.
− Regle.
3. Introducció teòrica
El centro de gravetat G d'un cos és el punt d'aplicació de la resultant de las forces de gravetat
(forces pes) que actuen sobre les distintes parts d'aquest. És el punt, respecto del qual, les forces pes
dels diferents punts materials del cos produeixen un moment resultant nul.
En un cos de forma irregular, per a realitzar el càlcul de la posició del centro de gravetat és
necessari, en general, el càlcul integral. Tanmateix, es pot simplificar el càlcul quan aquest cos pot
subdividir-se en altres de forma geomètrica regular,el centre de gravetat dels qual és conegut.
Mitjançant un sistema de forces paral·lel, la resultant de la qual equilibra el pes del cos, es pot
calcular experimentalment la posició del centre de gravetat. La resultant del sistema tindrà la recta
de acció paral·lela a totes les altres forces i passarà pel centre de gravetat del cos.
La resultant d'un sistema de forces paral·lel Fi passa per un punt fix. Eixe punt l'anomenem centre del sistema C , el vector de posició r C  del qual ve donat per l'expressió:
r C  =
∑ i= 1
 
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
Siendo r i (i = 1,2,...,N) els vectors de posició de cadascuna de les forces Fi respectivament.
4. Desenvolupament 4.1. Plantejament experimental
Es tracta de mesurar el sistema de forces paral·leles que equilibra el pes de la placa i trobar el
centre del sistema equilibrant que ha de coincidir amb el centre de gravetat d'aquesta.
Si es tracten de plaques planes en què dues de les seues dimensions són dominants, el número
mínim de forces paral·leles ha de ser tres. Per aquesta raó, es col·loca la placa sobre tres
recolzaments A1, A2, A3  i s'analitzen les reaccions verticals que s'exerceixen a través d'aquests
(vegeu il·lustració esquerra de la figura).
A1 A2
P3(x3,y3)P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
Placa
G
P
Les reaccions verticals R1, R2, R3 estan aplicades sobre tres punts arbitraris i no col·lineals
(elegits per nosaltres) P1, P2, P3,  que formen un triangle. Les seues coordenades (mesurades
respecte d'uns eixos dibuixats sobre la placa) són:
P1 (x1,y1); P2 (x2,y2); P3 (x3,y3)
En aquest cas, les forces Fi (vegeu apartat 2) són les reaccions Ri de cadascun dels tres
recolzaments de la placa. Tenint en compte que són forces verticals, la coordenada zC del centro del
sistema serà coneguda, perquè coincideix amb la meitat del gruix de la placa. Les altres dues
coordenades són:
 F  i
  El centre d'aquest sistema de forces ha de coincidir amb el centre de gravetat de la
figura, i per tant les coordenades del centre de gravetat són:
xG  = xC  ; yG  = yC
 
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
Qüestió A: ¿Què succeeix si la placa es recolza únicament sobre un de los recolzaments, estant aquest exactament en el centre de gravetat   Comproveu-lo experimentalment.
Qüestió B: ¿Perquè són necessaris, com a mínim, tres recolzaments? Quina condició
s'ha de complir si hi ha solament dos recolzaments?
4.2 Presa de mesures.
1. Es col·loquen les tres balances tan juntes com siga possible i s'ubiquen els suports
modulars sobre cada plat.
2. S'encenen les balances, polsant la tecla “ON” en cadascuna d'elles. Després d'uns
segons, cada lectura es posicionarà en zero, ja que haurà pres com a tara el que havia
damunt del plat.
3. Es diposita amb cura la placa, procurant que aquesta repose sobre els tres
recolzaments (vegeu la figura) i es deixen transcórrer uns segons fins que apareixen
les lectures sobre la pantalla de cada balança. Aquestes mesures corresponen a les
reaccions R1, R2, R3 que els recolzaments realitzen sobre la placa.
4. A continuació, s'apaguen les balances i s'assenyala amb el retolador els tres punts de
la placa on estan els recolzaments.
(NOTA IMPORTANT 1: Utilitzar únicament el retolador de marcat que es
 proporciona en la pràctica.)
5. Es retira la placa de damunt de las balances i es mesuren les coordenades de
cadascun del punts respecte dels eixos OX y OY grabats en la placa.
(NOTA IMPORTANT 2: Una vegada preses les mesures, netejar les marques. Hi ha
un tovalló de paper per a fer-ho).
6. Es repeteix el proces anterior dos vegades més , canviant l'orientació de la placa
respecte dels punts de recolzament, amb l'objectiu d'obtenir un total de tres grups de
mesures.
7. Es calculen les coordenades del centre de gravetat per a cada mesura i es calcula la
mitja, calculant l'error absolut corresponent.
3
 
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
5. Càlcul teòric del centre de gravetat.
1. Utilitzant la tècnica detallada en l'Annex, es calculen les coordenades del centr de
gravetat de la placa. Les dimensions de cadascun dels trossos que intervenen en el
càlcul s'obtenen mesurant-les directament amb l'ajuda de la regla disponible.
2. Es calcula l'error absolut sobre la mesura indirecta de les coordenades del centre de
gravetat.
3. Es compara el valor obtingut teòricament amb el determinat experimentalment en
l'apartat 4, comparant els corresponents intervals d'error absolut.
El resultat és coherent? En cas negatiu, busqueu i resoleu les causes de la
incoherència.
4
 
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
ANNEX
CÀLCUL TEÒRIC DEL CENTRE DE GRAVETAT D'UNA SUPERFÍCIE
Ací presentem la tècnica per a calcular, mitjançant un càlcul, les coordenades del centre de
gravetat de cossos en forma de placa (NOTA: Els cossos en què dues de les seues dimensions són
molt majors que la tercera s'anomenen plaques. En el cas que la tercera dimensió (gruix) siga
constant, el seu centre de gravetat coincidirà amb el centre de la superfície determinada per les dues
primeres dimensions).
Introducció teòrica.
En un camp gravitatori uniform, el centre de gravetat G d'un cos coincideix amb el centre de masses. El seu vector de posició rC  ve donat por l'expressió següent:
r G =
∑ i=1
m i
on mi és la massa de cadascun dels trossos en què pot subdividir-se el cos, i r C  el corresponent
vector de posició del seu centre de gravetat. Per tant, si el cos és homogeni (és a dir, la seua densitat ρ és constant) i, a més a més, té un
gruix “e” constant, la massa mi es podrà expressar com:
mi = Vi·ρ = Si·e·ρ
on Vi es el volum que ocupa cada massa mi.
L'expressió del vector de posició del centre de gravetat queda, en forma simplificada, i si la
superfície plana es fa coincidir amb el pla OXY, les coordenades xG, yG del centre de gravetat serien
les components OX, OY del vector de posició  rC  :
 x G =
∑ i=1
e
2 és la meitat del gruix constant de la placa).
5
 
Dept. Física, Enginyeria de Sistemes i Teoria del Senyal E.P.S. Grau en ENGINYERIA D'EDIFICACIÓ Curso 2011/12 Fonaments Físics de les Estructures. Pràctiques de Laboratori.
Procediment pràctic.
La tècnica consisteix en dividir la superfície en trossos la forma geomètrica de la qual siga
regular (quadrats, rectangles, cercles, etc). El centre de gravetat de cada figura regular es pot
determinar fàcilment. A més a més, els forats en les plaques es poden tractar com a superfícies
negatives, que facilita el càlcul.
A modo d'exemple, en la figura es mostra una placa similar a la que es proposa en la
pràctica. Com pot veure's, la forma de la placa pot considerar-se como un rectangle al qual se li han
llevat dos trossos, també rectangulars, i se li ha practicat un forat circular.
=   -   -   -
G3
G4
G2
G1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
El càlcul es fa més pràctic construint, en cada cas, una taula com la següent:
Tros i Si xGi yGi Si·xGi Si·yGi
1 S1 x1 y1 S1·x1 S1·y1
2 -S2 x2 y2 -S2·x2 -S2·y2
3 -S3 x3 y3 -S3·x3 -S3·y3
4 -S4 x4 y4 -S4·x4 -S4·y4
S=∑ i=1
i
on, en l'última fila, es mostren les sumes de termes que es necessiten per al càlcul de les
coordenades del centre de gravetat.
Val la pena recordar que el centre de gravetat d'un cos no ha de correspondre
necessàriament a un punt material d'aquest. Per exemple, el centre de gravetat d'una esfera buida es
troba en el centre geomètric de la esfera que, òbviament, no pertany al cos.
6
 Tros
1
 Tros
2
 Tros
3
 Tros
4