Medidas de Dispersión

• La otra característica muy importante de una población es el grado de dispersión de las observaciones. No es lo mismo si en nuestra población encontramos que todos los valores están entre 75 y 90 Kg. que si están entre 60 y 105 Kg., aunque el promedio sea el mismo. Es necesario agregar alguna idea de la dispersión de los valores.

• Una manera es a través del Rango de las observaciones, es decir, el valor Máximo y el valor Mínimo de los datos de la población. Entonces, una descripción mas realista acerca de los seres humanos sería decir que pesan en promedio 70 Kg. y que el rango es de 40 a 120 Kg. (Estos valores son supuestos).

• Una manera más precisa de dar idea de la dispersión de valores de una población es a través de la Varianza o su raíz cuadrada, que es la Desviación Standard.

METRICA EN EL ESPACIO ESTADÍSTICO

• Vamos a calcular la varianza y la desviación Standard de un número pequeño de datos (Una muestra) para ilustrar el cálculo. Supongamos que se midió la altura de 10 personas adultas y de sexo femenino, y se obtuvieron los valores siguientes (en cm.):

•165 ; 163 ; 171 ; 156 ; 162 ; 159 ; 162 ; 168 : 159 ; 167

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• El promedio de estas observaciones es:

= 163, 2 cm.

• Si a cada una de las observaciones le restamos el promedio, obtenemos los Residuos:

• Los residuos también nos dan una idea de la dispersión de las observaciones individuales alrededor del promedio. Si el valor absoluto (El valor numérico sin el signo) de los residuos es grande, es porque los valores están muy dispersos. Si el valor absoluto de los residuos es pequeño, significa que las observaciones individuales están muy cerca del promedio, y por lo tanto, hay poca dispersión.

• LA VARIANZA: Es un número que nos permite comparar poblaciones. Cuando la dispersión de las observaciones es grande (Datos que se alejan mucho por encima y por debajo del promedio), el valor de los residuos (distancia entre cada dato y el promedio) será grande. Entonces aumenta la suma de cuadrados de los residuos y por lo tanto la varianza.

• También se utiliza la raíz cuadrada de la varianza:

• Por lo tanto:

• La desviación Standard o desviación típica tiene las mismas unidades que la variable con la que estamos trabajando, en nuestro caso el centímetro. Tanto la varianza como la desviación Standard nos permiten comparar el grado de dispersión de distintas poblaciones.

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Media y Varianza de una Muestra• Cuando tenemos una muestra (Subconjunto de algunos datos

extraídos de una población), también podemos calcular su media, su varianza y su desviación Standard. Es muy importante distinguir entre la media, varianza y desviación Standard poblacional, de la media, varianza y desviación Standard muestral.

• La media, varianza y desviación Standard de una población o universo se denominan parámetros de la población y en general se designan con letras griegas: m para la Media, s2 para la Varianza y s para la Desviación Standard poblacionales. En el caso de una muestra, la media, varianza y desviación standard se denominan estadísticos y se utilizan letras de nuestro alfabeto:

para la Medias2      para la Varianzas      para la Desviación Standard muestral

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• El cálculo de la varianza y la desviación standard de una muestra de n observaciones se realiza con una fórmula levemente diferente que la ya vista para la varianza y desviación standard de una población:

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MUESTREO ALEATORIO

• En general, no es posible disponer de todas las observaciones de un universo o población, ya sea porque es un universo hipotético o porque la disposición de todos los datos resulta una tarea excesiva para nuestras posibilidades. Normalmente se dispone de una muestra de datos extraídos de un universo, y lo que se pretende es estimar (conocer de manera aproximada) los parámetros del universo por medio de cálculos realizados sobre la muestra. En este sentido decimos que la media muestral es una estimación de la media del universo, y que la varianza y desviación standard muestrales son estimaciones de la varianza y desviación standard poblacionales respectivamente.

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EJEMPLO:

• Supongamos que un partido político necesita averiguar la cantidad de personas que están dispuestas a votar por su candidato y encarga para ello a una empresa la realización de una encuesta un día previo a las elecciones. El encargado de la encuesta podría pensar en consultar la intención de voto de toda la población de votantes (más de 26 millones). Esto, obviamente, es una tarea excesiva que por distintas razones no se puede realizar. Entonces, el camino que resta es tomar una muestra representativa de esa población de personas y consultar la intención de voto en esa muestra. Los resultados que se obtengan son solamente una estimación del resultado que se hubiera obtenido si la consulta se hubiera efectuado sobre toda la población de votantes.

• Pero: ¿cómo se obtiene una muestra representativa?

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• Trabajemos con una población de muy pocos datos. Supongamos que nuestra población son 10 bolas con los siguientes números 2, 5 y 9 y una frecuencia según la tabla adjunta:

• El promedio de la población es 4. Supongamos que queremos obtener una muestra de 5 elementos de esa población. Hay varias formas de hacerlo. Supongamos que puedo ver los números y elijo 2, 2, 2, 2 y 5. El promedio de estos 5 números extraídos de la población es 2,6 que difiere sustancialmente del promedio de la población.

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• Es evidente que dicha muestra no es representativa de la población de la que fue extraída. No se mantiene la misma proporción de cada número que existe en la población. Una muestra de 5 elementos en la que hay la misma proporción de cada dígito debería tener 3 dos, 1 cinco y 1 nueve, y su promedio es 4, el mismo de la población:

• En una población de muchos datos, no es posible obtener una muestra eligiendo cada elemento para que figure en la misma proporción que en la población, porque para ello deberíamos disponer de todos los datos de la misma, y en ese caso no sería necesario sacar una muestra. Si a cada elemento de la población se le da la misma oportunidad de ser elegido, entonces se supone que cada número estará en la muestra en un número proporcional a la cantidad de veces que está en la población. Por ejemplo, el 2 va a estar en la muestra mas veces que el 5, porque en la población hay 6 dos y sólo 2 cincos.

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