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PAU - SEPTIEMBRE 2009 MATEMÁTICAS II - OPCIÓN A

Resuelto por: Ana Isabel Aparicio Cervantes, Araceli Arjona Muñoz y Carmen de la Llave Peral http://ticmatec.blogspot.com/

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. OPCIÓN B

EJERCICIO 1: (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuacio nes, dependiente del parámetro

real k:

� � � � � � � � � �� se pide:

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.

Para discutir un sistema debemos tener en cuenta el Teorema de Rouché:

1. El sistema AX=B es compatible ↔ rango ( �)=rango (A)

2. Si el sistema es compatible y rango (A)=r:

• Si r=n, el sistema es compatible determinado (tiene solución única)

• Si r<n, el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)

PASO 1

Obtenemos la matriz de coeficientes del sistema A y la matriz � � �1 1 11 � 1� 0 3� ; � � �1 1 1 31 � 1 3� 0 3 6�

PASO 2

Calculamos el determinante de la matriz A

| | � �1 1 11 � 1� 0 3� � 3� � � �� 3 � �� 2� � 3 � �� 3�� 1� �� 2� 3 � 0 � � � 2 � �2� 4 ! �3�2 � 2 � √4 � 122 � 2 � √162 � 2 � 42 � #�$ � 3�� 1 �



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PASO 3

Discutimos el sistema

• Si % �� % ' entonces |(| % ) � *+( � *+(, � � luego es un sistema

compatible determinado

• Si � �

� � 1 1 11 3 13 0 3� � | | � 0 � -. / 3. Calculamos un menor de orden 2

03 10 30 � 9 � -. � 2

El -. � 2 3 probamos con � 1 1 33 1 30 3 6� � 6 � 27 � 3 � 18 � 54 % 0 � -. � � 3

*+( � 6 % *+(, � � luego es un sistema incompatible

• Si � '

� �1 1 11 1 11 0 3� � | | � 0 � -. / 3. Calculamos un menor de orden 2

01 10 30 � 3 � -. � 2

El -. � 2 3 probamos con �1 1 31 1 30 3 6� � 6 9 � 9 6 � 0, 01 10 30 � 3 � -. � � 2

*+( � *+(, � 6 % � luego es un sistema compatible indeterminado

b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluci ones.

�7 � 8 � 9 � 37 � 8 � 9 � 37 39 � 6 � Como la 1ª y la 2ª ecuaciones son iguales quitamos una de ellas

:7 � 8 � 9 � 37 39 � 6 � Es un sistema de 2 ecuaciones con tres incógnitas, por lo que para resolverlo

usamos un parámetro (9 � λ).



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De la 2ª ecuación obtenemos 7 � 6 39 � 6 � 3λ. Metiéndola en la 1ª ecuación 8 � 3 9 7 � 3 λ �6 � 3λ� � 3 λ 6 3λ � 3 4λ

Solución: � � λλλλ; � � � � �λλλλ; � � � ;λλλλ

c) Resuélvase el sistema para k = 3.

� 7 � 8 � 9 � 37 � 38 � 9 � 337 39 � 6 � Hay varios métodos para resolverlo

FORMA 1. MEDIANTE LA REGLA DE CRAMER

Si A es cuadrada y | | % 0, la única solución de AX=B es la dada por 7< � |=>||?| �1 1 11 3 13 0 3� � 9 � 3 9 � 3 � 12 % 0

� � �3 1 13 3 16 0 3�12 � 27 � 6 18 � 912 � 3012 � @6

� � �1 3 11 3 13 6 3�12 � 9 � 9 � 6 9 6 � 912 � 012 � )

� � �1 1 31 3 33 0 6�12 � 18 � 9 27 612 � 612 � '6

FORMA 2. MEDIANTE EL MÉTODO DE GAUSS

�1 1 1 A 31 3 1 A 33 0 3 A 6� �1 1 1 A 30 2 0 A 00 3 6 A 3�

�1 1 1 A 30 1 0 A 00 3 6 A 3� �1 1 1 A 30 1 0 A 00 0 6 A 3�

B1 1 1 A 30 1 0 A 00 0 1 A $�C D1 0 0 A E�0 1 0 A 00 0 1 A $�F

G� 2⁄ G$ G� 3G$ GI

GI 3G� GI 6⁄

G$ G� GI



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EJERCICIO 2: (PuntuaciÓn máxima: 3 puntos)

El beneficio semanal (en miles de euros) que obtien e una central lechera por la

producción de leche desnatada está determinado por la función:

J�� 6 � K� ')

en la que x representa los hectolitros de leche des natada producidos en una semana.

a) Represéntese gráficamente la función B(x) con � L ).

La función dada es una parábola, por tanto tendremos que seguir los pasos que ya

conocemos para representarlos (si necesitáis un repaso sobre este tema, os recomiendo

echar un vistazo al post sobre funciones cuadráticas).

Lo primero que observamos es que 0<a . Lo que significa que estará abierta hacia abajo.

A continuación tenemos que halla el vértice: 25,25,32

=⇒=−= yx Va

bV

Y por último, los puntos de corte con los ejes:

� Corte con el eje X:

==

⇒=−+−5

20107

2

12

x

xxx

� Corte con el eje Y: 10−=y

Recuerda que sólo nos piden la parte de la función del eje X positivo.



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Con estos datos ya podemos dibujar la función:



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b) Calcúlense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la

central lechera para maximizar su beneficio. Calcúl ese dicho beneficio máximo.

Como podemos observar en la función que hemos representado, el beneficio máximo

coincide con el vértice de la parábola. Así que, en este caso, ya tendríamos la solución.

Sin embargo, no siempre vamos a tener la función. El procedimiento analítico a seguir es el

siguiente:

0)(' =xB . Calculamos )(' xB y lo igualamos a cero.

72)(' +−= xxB

25,2)5,3(5,3072 =⇒=⇒=+− Bxx

Solución: Los hectolitros de leche que se han de pr oducir cada semana para obtener

el beneficio máximo son: 3,5. Siendo ese beneficio máximo de 2250€.

c) Calcúlense las cantidades mínima y máxima de hecto litros de leche desnatada que

debe producir la central lechera cada semana para n o incurrir en pérdidas (es decir,

beneficio negativo).

Como ocurría en el apartado anterior, esta información ya la tenemos del aparatado a).

Viendo el dibujo, observamos que el área comprendida entre la función y el eje OX es positiva entre los puntos de corte que ya hemos calculado.

Solución: La cantidad mínima de hectolitros de lech e es 2 y la máxima es 5 para no incurrir en pérdidas.



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La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad de Madrid

le guste la música moderna es igual a 0,55; la prob abilidad de que le guste la música

clásica es igual a 0,40 y la probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es igual

a 0,25. Se elige al azar un habitante de dicho pueb lo. Calcúlese la probabilidad de que

le guste:

Este problema se resuelve mediante los diagramas de Venn, en este caso el diagrama

sería:

Donde:

� )(CP : probabilidad de que le guste la música clásica (azul+verde)

� )(MP : probabilidad de que la guste la música moderna (amarillo+verde)

� )( MCP ∪ : probabilidad de que le guste al menos una de las dos

(azul+amarillo+verde)

� )( MCP ∩ : probabilidad de que le gusten las dos(verde)

� )( MCP ∪ : probabilidad de que no le guste ninguna (rosa)

a) al menos uno de los dos tipos de música.



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75,025,01)(1)( =−=∪−=∪ MCPMCP

Solución: 75,0)( =∪MCP

b) la música clásica y también la música moderna.

2,075,055,04,0)()()()( =−+=∪−+=∩ MCPMPCPMCP

Solución: 2,0)( =∩MCP

c) sólo la música clásica.

2,02,04,0)()()( =−=∩−= MCPCPsóloCP

Solución: 2,0)( =sóloCP

d) sólo la música moderna.

35,02,055,0)()()( =−=∩−= MCPMPsóloMP

Solución: 35,0)( =sóloMP



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Se supone que la estancia (en días) de un paciente en un cierto hospital se puede

aproximar por una variable aleatoria con distribuci ón normal de desviación típica

igual a 9 días. De una muestra aleatoria simple for mada por 20 pacientes, se ha

obtenido una media muestral igual a 8 días.

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un

paciente en dicho hospital.

Definimos X= estancia en días de un paciente en un cierto hospital.

X es una variable aleatoria con distribución normal, es decir, X~N�µ, σ�, σ � 9.

Para una muestra de 20 pacientes se ha obtenido una media muestral, X,S � 8

El intervalo de confianza para la media del tiempo de estancia en un hospital a partir de la

media de una muestra de tamaño n viene dado por la expresión:

�X,S TU� ! V√W , X,S � TU� ! V√W�

Luego hallamos el valor de TUX, que se obtiene a partir del nivel de confianza.

Nivel de confianza = 0.95 = 1U; �U� 0.05

ZU� � \]$ ^1 U2_ � \]$ `1 0.052 a � \]$�0.9750� � 1.96

Con lo cual sustituyendo los valores en el intervalo, tenemos:

`8 1.96 ! 9√20 , 8 � 1.96 ! 9√20a � �4.055,11.944�

Solución: Con una confianza del 95% se puede estima r que el tiempo medio de

estancia en un cierto hospital va a estar comprendi do entre 4 y 11 días.



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b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que dicho intervalo de confianza tenga una longitud total inf erior o igual a 4 días?

Recordamos que el tamaño muestral se obtiene a partir del error máximo admitido, y este,

de la amplitud del intervalo c.

Ecáe � c2 � 42 � 2

Ecáe L TU� ! V√W � W L �TU� ! VEcáe��

Ya sabemos del apartado anterior que TUX � 0.96, luego sustituyendo en la fórmula tenemos:

W L �TU� ! VEcáe�� W L �1.96 ! 92�� 77.792

Solución: Luego el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que el

intervalo de confianza tenga una longitud total inf erior o igual a 4 días es g L Kh.

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