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III REPEM – Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010

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UTILIZACION DE SCILAB EN LA ENSEÑANZA DE METODOS NUMERICOS

PARA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Lorena I. PASTRANA, Gabriel I. AVELLANEDA, Ana M. ARAMAYO

Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Salta - Argentina

[email protected]

Nivel Educativo: Educación Superior.

Palabras clave: Software libre, métodos numéricos, ecuaciones diferenciales.

RESUMEN

El uso de SCILAB para la integración numérica de ecuaciones diferenciales es provechoso,

por un lado por la compatibilidad con los sistemas operativos de Windows y Linux y por otro

lado, contiene paquetes y librerías que resuelven numéricamente ecuaciones y sistemas de

ecuaciones diferenciales ordinarias y grafica los resultados numéricos obtenidos.

En este trabajo se relata la experiencia del uso de SCILAB en un laboratorio no obligatorio

para los alumnos de Matemática 3 (Licenciatura en Química) en el mes de agosto de 2009, se

extendió con más sustento teórico en una asignatura optativa de la Licenciatura y Profesorado

en Matemática, en la cual se programó distintos métodos de resolución para su comparación y

se utilizó los paquetes incluidos en el programa. Por último, para que alumnos y docentes de

distintas áreas pudieran aprender el uso de este software se dictó un curso de extensión a

principios del 2010.

La experiencia demuestra que el uso de SCILAB 5.1, es ameno en cuanto a su sintaxis y tiene

una buena aceptación por parte de los nuevos usuarios.

INTRODUCCIÓN

SCILAB posee librerías y paquetes para la resolución de problemas a valor inicial modelados

por ecuaciones y sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, con distintos métodos y

precisión. La sintaxis tanto para la resolución como para su representación gráfica es sencilla

ya que se obtienen resultados numéricos en vectores.

La interfaz de comandos resultó generalmente bien aceptada y comprendida por parte de los

alumnos en los distintos cursos. Revelando que no es necesario una interfaz más elaborada a

la hora de introducir y obtener resultados.

En la experiencia del laboratorio de Matemática 3, se puso énfasis en los distintos métodos

básicos para resolver una ecuación diferencial con valor inicial, con diferentes precisiones. En

la materia optativa de la Licenciatura en Matemática, se estudió el sustento teórico de los

métodos numéricos para resolver tanto problemas a valores iniciales como los de contorno.

En el curso de extensión se utilizaron tanto los paquetes incluidos en SCILAB como el editor


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de módulo de programas para implementar los algoritmos de los métodos de resolución no

incluidos como paquetes del SCILAB.

Se analizan los resultados obtenidos y se presentan las conclusiones de la experiencia.

METODOLOGÍA

Clase de laboratorio en materia de Licenciatura en Química

Una vez finalizado el cursado de la asignatura Matemática 3, se invitó a los alumnos a que

asistieran a una clase de laboratorio informático no obligatorio. Se desarrolló una guía

teórico-práctico de los métodos numéricos básicos para la resolución de una ecuación

diferencial ordinaria con valor inicial: Método de Euler, Euler Modificado, Euler Mejorado y

Runge Kutta.

Se mostró el método de programación básica y de utilización de paquetes del SCILAB. Para

la aplicación de los mismos, se utilizaron problemas concretos del área de Química.

Esto originó la necesidad de implementar un curso en el cual los alumnos crearan su propia

experiencia, en la utilización de distintos métodos y/o precisiones.

Clases en materia optativa de Profesorado y Licenciatura en Matemática.

En los planes de estudios del Profesorado y Licenciatura en Matemática tienen incluidos

materias optativas, que los alumnos eligen para completar el número de materias de su plan.

Durante el segundo cuatrimestre de 2009 se ofreció como optativa: Métodos Numéricos para

Ecuaciones Diferenciales.

Esta asignatura tiene dos bloques temáticos, el primero comprende la integración numérica de

ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales y de contorno y el segundo bloque

incluye la resolución de problemas con ecuaciones diferenciales parciales elípticas y

parabólicas, mediante el método de diferencias finitas y de volúmenes de control.

La materia consiste de 10 horas semanales divido en clases teóricas y prácticas. En las clases

teóricas se dieron los fundamentados matemáticos de los diversos métodos numéricos y en las

clases prácticas se implementaron los algoritmos utilizando SCILAB. El régimen es de

promoción directa y para la aprobación de la misma los alumnos debían elaborar informes por

cada práctico y dos miniproyectos en el que aplicaron los distintos métodos a problemas

concretos.

Curso de Extensión

A fin de que los alumnos de distintas carreras aprendieran el uso de SCILAB, se dictó un

curso de extensión: Utilización del Scilab para la resolución de problemas de valores

iniciales y de contorno.

Este curso estuvo dividido en tres bloques temáticos, el primero consistió en aprendizaje de

los comandos básicos para la aritmética de vectores y matrices, generación de funciones y su

representación gráfica. El segundo bloque consistió en la utilización de las librerías

incorporadas en SCILAB para la resolución de problemas de valores iniciales y por último, el


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tercer bloque estuvo dedicado a la programación de los métodos de resolución de problemas

de contorno.

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Clase de laboratorio en materia de Licenciatura en Química

Debido a que la experiencia se realizó fuera del cursado de la asignatura, los alumnos no

presentaron informes de este laboratorio, por lo que no se puede realizar una evaluación

cuantitativa de esta experiencia. Durante esa clase se manifestó el interés de realizar un curso

donde se pudiera afianzar los métodos expuestos, lo que originó la presentación del curso de

extensión en una fecha con mayor disponibilidad horaria.

Clases en materia optativa de Profesorado y Licenciatura en Matemática

El resultado fue muy satisfactorio, ya que todos los alumnos que inicialmente se inscribieron

en el curso obtuvieron la promoción directa.

En cuanto a la redacción de los informes y miniproyectos, fue mejorando en forma paulatina,

hasta lograr un dominio esquemático en presentación de los mismos, utilizando una

distribución de software libre MIKTEX y un editor libre de latex (TexMaker).

Se resolvieron satisfactoriamente los miniproyectos propuestos, los cuales incluían los temas

de:

- Movimiento planetario.

- Resolución de mallas en circuitos eléctricos con inductancia, resistencia y

capacitancia.

- Determinación de geodésicas en superficies de revolución.

- Determinación de velocidad terminales en problemas de caídas libres y forzadas.

- Evolución de concentración de compuestos en reacciones químicas.

- Efecto de la presencia de una estufa y de una ventana abierta, en la climatización de un

ambiente cerrado.

- Efecto térmico de las paredes y techos de distintos materiales en ambientes cerrados.

A modo ilustrativo en el anexo al presente trabajo, se incorporan un informe y un

miniproyecto de algunos de los alumnos que se inscribieron y realizaron esta materia como

optativa, para completar sus currículo de planes de estudios en sus carreras de profesorado y

licenciatura en Matemática.

Es importante destacar, que dado que estas materias optativas están generalmente ubicadas en

los últimos años de los planes de estudio de estas carreras, el hecho de capacitar a los alumnos

en la utilización de software libre, en el caso de SCILAB como herramienta para la resolución

de problemas de índole matemáticos específicos y en el caso de utilización de editores de

texto especiales para la elaboración de informes de carácter científico, resultan absolutamente

provechosos y de una calificación invalorable para el desarrollo profesional futuro de quienes

la reciben.

Curso de Extensión

Se ha preparado guías teórico-prácticas para los diferentes bloques temáticos que abarcaba el

curso. Las guías uno y dos se adjuntan el anexo del presente, así como un Trabajo Final

desarrollado por un alumno que asistió al curso de extensión.


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La primer guía teórica- Practica, tuvo como finalidad presentar una breve introducción del

software “SCILAB” que se utilizaría como recurso durante su dictado y en esta instancia

principalmente las factibilidades que este software cuenta a la hora de representar conjuntos

discretos de puntos (modelado de funciones mediante tablas) y las diferentes opciones que

posee para que tales representaciones estén complementadas con una serie de detalles (ejes,

títulos, escalas, estilos, etc.). Así mismo como tarea accesoria a este primer objetivo, se insta a

la investigación de comandos que permiten obtener representaciones gráficas de otro tipo de

funciones (contornos, paramétricas, en tres y dos dimensiones).

La segunda guía teórico-práctica, se centra en la enseñanza de como definir funciones y las

diferentes particularidades que se tienen en su manipulación. Esta tarea es fundamental ya que

permite introducir problemas de valor o valores iniciales (PVI's) como función. Se enseña el

comando ODE que permite resolver estos problemas en forma numérica, en toda su gama de

opciones. A modo de motivación se presentaron problemas de modelación matemática

presentes en diferentes áreas de conocimiento, que permiten valorar el uso de esta

herramienta. Como última actividad de esta guía se pide al alumno investigue sobre como

implementar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con SCILAB.

La tercera guía, abarcó la enseñanza de metodologías para la resolución de Problemas de

Valores Iniciales y Valores de Contorno asociadas a ecuaciones diferenciales de segundo

orden y a derivadas parciales. Los métodos que se enseñaron fueron el de Prueba y Error y el

de Diferencias Finitas. Los mismos fueron apropiadamente modelados en forma algorítmica e

implementados en SCILAB. De allí que algunos aspectos prácticos explotados en esta guía,

en relación a la utilización del programa, fue el implementar algoritmos y combinarlos con los

comandos de biblioteca que posee.

A los efectos de realizar una evaluación de lo impartido, se implementaron la elaboración de

trabajos finales con temas relacionados a:

- Difusión estacionaria en dominios bidimensionales.

- Deflexión de una membrana, altamente flexible.

- Conducción de calor transitoria en varillas, con distintas condiciones de borde.

Sobre los trabajos finales presentados por los alumnos, la evaluación de los mismos resultó

satisfactoria. Esta apreciación comprende el aprendizaje en la utilización de comandos básicos

y complejos de SCILAB, así como de conceptos teóricos y la resolución numérica a través de

la implementación de algoritmos utilizando el software. Además, a partir de las conclusiones

elaboradas por los alumnos, se deduce la correcta utilización de estas herramientas, así como

la interpretación de los resultados que obtuvieron. En algunos casos, los alumnos manifiestan

la posibilidad de poder explotar los conocimientos aprendidos y aplicarlos en diversas áreas

de su investigación, dado que ellos mismos sugieren modelos alternativos a los que se

plantearon.

CONCLUSIONES

La experiencia muestra que el programa SCILAB (o cualquier otro programa orientado a

comandos) es altamente aceptado por los nuevos usuarios, ya que una vez entendido la

sintaxis funcional básica, es posible implementar fácilmente algoritmos con mayor

complejidad.


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Los que participaron en el curso de extensión fueron alumnos y docentes de diversas áreas,

tales como de matemática, de física e informática. Lo que indica el interés de utilizar

herramientas informáticas a la resolución numérica en problemas de distintas áreas.

En particular a la hora de modelar y resolver problemas que involucren ecuaciones

diferenciales, SCILAB brinda una herramienta confiable para su resolución numérica,

ampliando de esta manera las herramientas disponibles en el modelado matemático.

BIBLIOGRAFÍA

CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P. 1988. Numerical Methods for Engineers. (Mc Graw-Hill,

Inc.)

GROSSI, R.O.; ALBARRACIN, C. 2000. Análisis Numérico. (Ediciones Magna

Publicaciones)

JAMES, M.L.; SMITH, G.M.; WOLFORD, J.C. 1985. Applied Numerical Methods for

Digital Computation. (Harper and Row, Publishers, Inc.)

KIUSALAAS, JAAN. 2005. Numerical Methods In Engineering With Matlab. (Cambridge

University Press)


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ANEXO

Nota: De acuerdo, a lo expuesto en el informe de presentación se incorporan a este anexo un

informe y un mini-proyecto desarrollados por alumnos de la materia Optativa, seguido por

dos de las guías utilizadas en el desarrollo del curso de extensión y un trabajo final presentado

por un alumno que ha participado y a aprobado el mismo.

INFORME Y MINIPROYECTO DE ALUMNOS DE LA MATERIA OPTATIVA

GUIAS TEÓRICAS-PRACTICAS UTILIZADAS EN EL CURSO DE EXTENSIÓN

GUIA N° 1:

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Exactas – Departamento de Matemática

Curso de Extensión: Utilización del Scilab para la resolución de PVI y PVC

Teórico – Práctico N° 1: Librerías del Scilab para gráficos 2 y 3D


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Introducción

El objetivo de este práctico, es que se aprenda a utilizar las librerías existentes en el Scilab

para graficar tanto curvas como superficies.

Cuando se ejecuta el Scilab, aparece una pantalla como la mostrada en la figura 1.

Figura 1: Consola del Scilab, para ejecutar comandos

La escritura de vectores se puede realizar de dos modos:

1. Indicando cada una de las componentes del vector, por ejemplo con x=[0 0.5 1 1.5 2]

se obtiene un vector fila de 5 componentes. Si se desea tener un vector columna sólo

se debe agregar el símbolo de punto y coma (;) luego de cada componente, esto es

x=[0; 0.5; 1; 1.5; 2]

2. Indicando un punto inicial, el paso y un punto final, por ejemplo se puede obtener el

mismo vector fila anterior usando el comando x=[0:0.5:2]. Si se desea obtener un

vector columna se puede trasponer el vector x, utilizando el comando x'. Si se omite el

paso, se sobreentiende que el paso es 1.

Por ejemplo para conocer las librerías disponibles para gráficos y como se las utiliza se puede

utilizar el comando

--> help plot2d

Luego de su ejecución, aparece una ventana con la descripción de esta librería y los

argumentos necesarios para su invocación, como se muestra en la figura 2

Se puede observar que el comando plot2d, puede tener 1, 2 ó más argumentos:

Si se escribe un solo argumento, por ejemplo plot2d(y)

1. Si y es un vector de n componentes, se obtiene un gráfico 2d, de los puntos (i, y(i))

para i=1,2,…,n

2. Si y es una matriz nxm, se obtiene m curvas correspondientes a cada fila de y

Si se escribe dos argumentos, por ejemplo plot2d(x,y)

1. Si y es un vector de n componentes, se obtiene un gráfico 2d, de los puntos

(x(i),y(i)) para i=1,2,…,n

2. Si y es una matriz nxm, se obtiene m curvas correspondientes a cada fila de y

GUIAS TEÓRICAS-PRACTICAS UTILIZADAS EN EL CURSO DE EXTENSIÓN

GUIA N° 2:

TRABAJO FINAL DE UN ALUMNO DEL CURSO DE EXTENSION

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Exactas – Departamento de Matemática

Curso de Extensión: Utilización del Scilab para la resolución de PVI y PVC

Trabajo Final

Problemas de contorno asociados a una ecuación diferencial parcial: Difusión

transitoria unidimensional de calor

OBJETIVO: Implementar los algoritmos de los esquemas explícito e implícito de diferencias

finitas, usando el caso de conducción de calor unidimensional transitoria:


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EL MODELO: corresponde al calentamiento de una varilla de acero (α= 40*106) que

inicialmente está a una temperatura inferior que la de los extremos. La ecuación que describe

esta situación y sus condiciones de borde e inicial son las siguientes:

La función T(x, t) indica la temperatura de una barra uniforme, en la posición x y en el tiempo

t. En el avance temporal se tendrá que notar como la temperatura de toda la varilla tiende a

alcanzar el valor de los extremos.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA

Método explícito de diferencias finitas

Las temperaturas en el siguiente paso temporal se obtienen a partir de las temperaturas en el

tiempo precedente para el nodo y sus vecinos. El esquema de relaciones es el siguiente:

CONCLUSIÓN

La utilización de métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales, aplicadas a la

transferencia de calor unidimensional, es un método que conduce a una buena aproximación

de la solución analítica. Ambos métodos de resolución, explícito e implícito, proporcionan

resultados similares. Estos programas pueden ser útiles en la simulación con otros materiales,

otras condiciones de borde e iniciales y con diferentes pasos espaciales como temporales,

aunque sujetos al cumplimiento de condiciones de convergencia para el método explícito.

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