Catedra Metodos Numericos 2015 - UNSCH (14) [Modo de ......Capitulo XIV Integración Numérica. La...

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 14

Capitulo XIV

Integración Numérica

La integración es el proceso inverso de ladiferenciación, en donde la integración esjuntar partes en un todo, matemáticamentese representa por

que representa la integral de f(x) conrespecto a la variable x

3

COMENTARIOS

La integración numérica es utilizada para funcionesanalíticas complejas o tabulaciones dadas.

En el caso de las funciones tabulares dados se hadeterminado un polinomio de aproximación Pn (x) enun intervalo de interés, que aproxima la curva querepresenta a la función f(x), pero su diferenciación eintegración presentan discrepancias

4

COMENTARIOS

.

5

COMENTARIOS

1. El proceso de integración esta dado por el áreabajo la curva de f (x)

2. La integral aproximada está dado por el áreabajo la curva Pn (x)

6

COMENTARIOS

nx

xdxxf

0

)(

7

COMENTARIOS

nx

x n

n

dxxP

xP

0

)(

:)(

3. Los errores que se cometen al integrar los diferentessegmentos, tienden a cancelarse entre si o reducirlo loque permite afirmar que el error total al integrar Pn (x)desde x0 a xn puede ser muy pequeño; aun cuando Pn(x) no sea una buena aproximación de f (x).

8

COMENTARIOS

4. Por otro lado que proporciona la pendiente de larecta tangente a Pn (x) en un punto; puede variaren magnitud respecto a en el mismo punto aunquePn (x) sea una buena aproximación

Los métodos de integración usadas puedenclasificarse en dos grupos:

Fórmulas de Newton Cotes: Los que usanvalores dados de la función f (x) en abscisasequidistantes.Fórmulas de Cuadratura Gaussiana: Los queusan valores de f (x) en abscisasdesigualmente espaciadas determinadas porciertas propiedades de familias de polinomioortogonales.

9

COMENTARIOS

MÉTODO DE NEWTON – COTESSon los tipos de integración numérica mascomunes, su estrategia es remplazar a lafunción complicada o de datos tabulados porun polinomio de aproximación que es fácil deintegrar.Es decir supongamos que nos interesadeterminar ; entonces, tenemos:

10

MÉTODO DE NEWTON – COTES

b

adxxfI )(

En donde pn(x) es el polinomio aproximación,

Donde n es el grado del polinomio el método en estudiolo realiza en general en dos pasos.Observemos que cuando el polinomio de aproximaciónes lineal se trata de una línea recta como observamosen el caso (a) y cuando se trata de un polinomio desegundo orden tenemos el caso (b)

11


Caso (a) Caso (b)

12


f(x)

a b x

f(x)

a b x

En otros términos:Primero: Dividir el intervalo [a, b] en “n” intervalos deigual magnitud en donde sus valores extremos son:

, siendo ,

Segundo: Se aproxima f (x) por un polinomio de grado“n”, Pn (x) y se integra para obtener la aproximación def(x).

22/07/2015 13


h h h h h . . . x0 x1 x2 x3 xi xi + 1

a b

MÉTODO TRAPEZOIDAL

1.Este método de integración numérica sefundamenta en la integración de la fórmula deinterpolación lineal.2.Que ocurre con (*) si n = 1, i.e., x0 = a , x1 = b,entonces la aproximación polinomial de f (x) esuna línea recta, i.e., P1 (x)3.La aproximación a la integral es el área deltrapezoide bajo la línea recta.

14


MÉTODO TRAPEZOIDAL

Área del trapecio con vértices

15


)()()( 1

0

xdxPdxxfx

x i

b

a

)(),(,, 1010 xfxfxx

4.Para realizar la integración , se requiere usar unade las representaciones del polinomio P1 (x).5.Pero f (x) está dado para valores equidistantes de xcon distancia h, la relación lógica es una de lasfórmulas en diferencias divididas finitas (haciadelante, hacia atrás)6. Supongamos que elegimos las diferenciasdivididas finita hacia delante tendremos

16


En nuestro caso: , luegoTenemos la integral

(2)

La integral de lado derecho debe estar en funciónde s, i.e.,

17


0

03

02

000

!))1()....(3)(2)(1(

...!3

)2)(1(!2

)1()(

xfn

nsssss

xfsssxfssxfsxfshxP

n

n

)()( 1 xPxf 00011 )()( xfsxfshxPxP

1

000)(

x

x

b

adxxfsxfdxxf

hdsdxshxx

;0

18


)()()()()(:

2)(

)(

)(2

)(

)()()()(

01

000

00

1

0

0

2

0

1

0 00001

0

xfxfxfhxfxfPero

xfxfh

xfssxfh

dsxfsxfhdxxfsxfx

x

b

axfxfhdxxf )()(

2)( 01

Algoritmo del Método

Trapezoidal

Ejemplo: Usar el método trapezoidala) Aproximar el área A1 bajo la curva de la función

dada por la tabla siguiente, en el intervalo a =500, b = 1800

b) .c) .

19


Puntos 0 1 2 3 4 5

f (x) 9 13 18 23 25 27

x 500 900 1400 1800 2000 2200

6

02 )1( xA

4

2

23 )432( dxxxA

2

04

senxdxA

2

05 cos

xdxA

Solución : A) h = 1800 – 500 = 1300 ; x0 = 500 , x1 = 1800

b) h = 6 – 0 = 6 ; x0 = 0 , x1 = 6

c) h = 4 - (-2) = 6 ; x0 = -2 , x1 = 4 : f (x) = 2 + 3x + 4x2

d)

20


20800161300)923(2

13001 A

222 2424713)6()0(

26 uAfffA

223 270078123)4(4122)4(462

26 uA

senxxfxxhh )(,2

,0,2

02 10

244 442

04

uAsensenA

MÉTODO DE SIMPSON

Supongamos que el intervalo de integración esdividido en n subintervalos con longitudes iguales,i.e.,

Supongamos que n=2 es decir al intervalo [a,b] sele divide en dos subintervalos en toncestendremos:

21


Se aproxima f(x) por una parábola

Usemos la formula de Newton en diferenciasfinitas hacia delante

22


)(!2

1)()()()( 02

00022 xfssxfsxfshxPxP

Algoritmo del Método

Simpson

Ejemplos: usando los datos anteriores aplicar elalgoritmo de Simpsona)

b)

23


1800;1150650500;500;6502

5001800210

XXXh

)1800()1150(4)500(3

6501 fffA 33.2086923)08.16(49

3650

1 A

5

02 32 dxxA

5.4717)5.9(4235.2

))5(32())5.2(32(4235.2

)()(4)(35.2

5;5.25.20;0;5.22

05

2

2

2102

210

A

A

XfXfXfA

XXXh

GeneralizandoConsideremos el intervalo [a,b] dividido en nsubintervalos proporcionando n+1 puntos equidistantesen donde x0=a; xn=b, en esta oportunidad el polinomiode interpolación es de n-esimo grado, luego laaproximación de la integral:

24


...)(

!3)2)(1()(

!21)()()()( 0

30

2000 xfsssxfssxfsxfshxPxP nn

)(!

))1()...(2)(1(0xf

nnssss n

Entonces la aproximación de la integral estará dadopor::

Que ocurre si integramos los cinco primeros términos

22/07/2015 25


b

adxxf )(

dsshxPhdxxPdxxfnx

x

nnn

b

a 0 0

0 )()()(

dsxfn

nssssxfsssxfssxfsxfhn n

000

30

200 )(

!))1()...(2)(1(...)(

!3)2)(1(

!21)()(

nb

axfssssxfsssxfssxfsxsfhdxxf

00

42345

03

2340

223

02

0 )(872

1116120

)(6624

)(46

)(!2

)()(

b

axfnnnnxfnnnxfnnxfnxnfhdxxf )(

87211

16120)(

6624)(

46)(

!2)()( 0

42345

03

2340

223

02

0

Que ocurre si n = 1 Trapezoidal

Que ocurre para n = 2 Simpson 1/3

Si n = 3 ; Simpson 3/8

26


)()(2

)( 101

0xfxfhdxxf

x

x

2

002

2

0)(

2)(

x

x

x

xdsshxPhdxxf

)()(4)(3

)( 2102

0xfxfxfhdxxf

x

x

)()(3)(3)(83)( 3210

3

0xfxfxfxfhdxxf

x

xa = X0 X1 X2 = b

f (X0)f (X1)

f (X2)

MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓNEn ocasiones el intervalo de integración tiene unalongitud grande, entonces resulta conveniente dividirlo ensubintervalos y aproximar cada una por medio de unpolinomio.

27


XX0 x1

a b

f(x0)

f(x1)

f(X)

f(x0)

f(x1)f(X)

f(x2)f(xn-1) f(xn)

f(x)

X0 x1 x2 xn-1 xn

a b

MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN

Donde:Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta quepasa por (Xi-1, f(Xi-1)), (Xi, f(Xi)).Aplicando el método del trapezoide en cadasubintervalo:

28


dxxPdxxPdxxPdxxPdxxfbnx

nxn

x

x

x

x

b

a

x

xa)()()()()(

1

3

23

2

12

1

01

)()(2

)()(2

)()(2 1

121

1210

01nn

nn xfxfxx

xfxfxx

xfxfxx

I

Que ocurre si todos los intervalos tienen la mismalongitud h, i.e.,Xi+1 - Xi = hi; i=0, 1,2,…,(n-1).

29


)()(2)(2

)()(2)(2)(2)(2

1

10

1210

nn

ii

nn

xfxfxfhI

xfxfxfxfxfhI

Ejemplos1) Usar el método trapezoidal compuesto para aproximar

el área bajo la curva de la función dada por tabulaciónen x = -1 y x = 4

Solución:Observación, se aplica cinco veces el método deltrapezoide. h=1

30


239238)76201010(2821

A

Ejemplos2)Aplicar el método en análisis si f(x)=x4 – 2x2 + x + 10;

x0= -1 xn =4; h = 1

Solución:

31


239238)76201010(2821

)()(2)(21

54

10

A

xfxfxfAi

i

MÉTODO COMPUESTO DE SIMPSONRecordemos que para aplicar el método de Simpson senecesita dos subintervalos y como queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir el intervalo [a, b] en unnúmero de subintervalos igual a 2n.Veamos gráficamente esto:

32


Observamos que cada par de subintervalossucesivos aproximamos f(x) por medio de unpolinomio de segundo orden (parábola) y seintegra usando el método de Simpson de talmanera que la suma de las áreas parcialesproporcione el área total, es decir:

22/07/2015 33


dxxPdxxPdxxPdxxPdxxfIbnx

nxn

x

x

x

x

b

a

x

xa)()()()()(

2

6

43

4

22

2

01

: Donde Pi; i=1,2,…; es el polinomio de grado dosque pasa por tres puntos consecutivos usando elmétodo del Trapezoide.

Si h1= h2=…= hn, entonces tenemos

34


)()(4)(3

)()(4)(3

)()(4)(3 12432

2210

1nnn

n xfxfxfh

xfxfxfh

xfxfxfh

I

1

1 20 )()(2)(4)(

3

n

i inii xfxfxfxfhI

)()(4)(3

)()(4)(3

)()(4)(3 12432210 nnn xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhI

Ejemplos:1) Usando el método de Simpson compuesto,aproximar el área bajo la curva considerando losdatos anterioresAplicamos Simpson cuando i=0, 1, 2, 3, 4Aplico el método trapezoidal X4, X5

entonces

35


)()(2))()((4)(31

322101 xfxfxfxfxfA 666.7476)10(2)2010(4831

1572387621

2 A666.231157666.74 I

Ejemplos:Hallar la integral aproximada de entre -1 y1 Usar el método trapezoidal compuesto compareel resultado con 0.682 obtenido de tablas.Solución:Con n = 1El error relativo considerando el valor de la tabla

(determinar para n=2, 3 y 4)

36


2

2

21)(

x

exf

21

)1(1

h 484.0)606.0606.0(

21))()((

222

10

xfxfI

29.0682.0

682.0484.01

nE

ERRORES DE TRUNCAMIENTO EN LA APROXIMACIÓNTRAPEZOIDALEn esta oportunidad analizamos el error en unaintegración trapezoidal compuesta iniciemos por tener encuenta el i–esimo trapezoide, consideremos los puntos xi-1y xi con una distancia de h=(b-a)/n, además supongamosque F(x) es la primitiva del integrando f(x) luego entoncespodemos integrar f(x) en el intervalo [xi-1, xi ] es decir

37

ERROR DE TRUNCAMIENTO

Por otro lado la aproximación numérica de la integralusando el método del Trapezoide es:

Suponiendo que no existe errores en el cálculo entoncesse puede suponer que:Aplicamos la serie de Taylor alrededor de x= xi en f(x) detal manera que obtenemos f(xi-1).

.

38


Como h=xi-xi-1.

De manera análoga tenemos para F(xi-1

39


Entonces consideramos las relaciones anteriores tenemos,

Pero se tiene que

40


Considerando que h<<1 los términos h4, h5,... puedendespreciarse de tal manera que el error de truncamientodel i-esimo trapezoide es dado por,Si además paraentonces,De donde se tiene para n trapezoide

Consecuentemente para fines de análisis el error detruncamiento en el método trapezoidal se expresa así.

41


INTEGRACIÓN DE ROMBERGLlamado también como técnica de extrapolación deRichardson se usa finalidad de acelerar laconvergencia de muchas técnicas de aproximación.Estas técnicas tienen su base en el análisis del errorde truncamiento. Veamos la metodología.

Supongamos una aproximación y que suerror de truncamiento sea expresado de la siguientemanera, en donde c es independientede h , r es entero positivo y es un punto desconocidodel intervalo (a,b).

42

INTEGRACIÓN DE ROMBERG

Supongamos que obtenemos dos aproximacionesde I empleando h1 y h2 es decir I1 y I2, ydespreciamos los errores de redondeo podemosescribir:

Dividiendo miembro a miembro y considerando quey y son iguales entonces se tiene,

43


Considerando h2=h1/2 se tiene

Cuando se trata de una aproximación trapezoidal se usar=2 en consecuencia tenemos

En General se tiene el algoritmo

44


45


k Numero de

trapezoides 2k

Aproximación

trapezoidal

Primera

extrapolación

Segunda

extrapolación .......

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

:

Ejemplo. Encuentre una aproximación de la integral

Usando 1,2,4,8,16 trapezoides. Con los resultadosobtenidos usar la aproximación de Romberg para mejorarla integración compare los valores obtenidos con el valorcalculado analíticamente 0.6366197.Solución: Construir un programa para el ejemplo y obtener losvalores

46


k 2k

0 1 0.0

1 2 0.5

2 4 0.6035534

3 8 0.6284174

4 16 0.6345731

Obsérvese con estos tres breves cálculos se obtienenmejores aproximaciones de la integral.Si aplicamos Romberg con m=0 tenemos

47


Para valores de m=3, m=4

48


k 2k

0 1 0.00000

1 2 0.500000 0.6666667

2 4 0.6035534 0.6380712 0.6361648

3 8 0.6284174 0.6367054 0.6366143 0.6366214

4 16 0.6345713 0.6366250 0.6366196 0.6366197 0.6366197

:

Las formulas usadas hasta la actualidad para aproximarintegrales se basaban en polinomios de interpolación,considerando valores de la función igualmenteespaciados fenómeno que conducen a ciertaimprecisión.Con la finalidad de mejorar esta condición la cuadraturaGaussiana se usan puntos de evaluación, onodos que no son igualmente espaciados se eligennodos en el intervalo [a,b] y coeficientesque minimicen el error que se espera obtener en laaproximación.

49

CUADRATURA GAUSSIANA

Los coeficientes son tomados arbitrariamentecon la única restricción de que los nodos se encuentrenen [a,b]. Estos nodos nos proporciona 2n parámetrospara elegir, s se considera los coeficientes de unpolinomio como parámetros, entonces la clase depolinomios de grados menores o iguales a 2n-1también tienen 2n parámetros y esto es la clase depolinomios donde se espera que la formula sea exacta.Los siguientes gráficos muestran como se integrausando el trapezoide uniendo el punto A decoordenadas (a,f(a)) con el punto B de coordenadas(b,f(b)) con h=(b-a)

50


Método Trapezoidal Método de Gaussiana con dos puntosPues el área del trapecio es

Que se podría escribirse como

51


BA

f(x)

a b x

yY

DC

f(x)

a b x

DEDUCCIÓN DE LA TÉCNICA GAUSSIANAConsideremos la figura a seguir donde se desea encontrar laintegral de la función mostrada entre los limites -1 y 1 si loslimites fueran diferentes se hace un cambio de variable con lafinalidad de pasar a -1 y +1 , los puntos C y D se seleccionansobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H

52


F(x)

F(x2)F(x1)

GD

C

F

-1 x1 0 x2 1

E H

Supongamos que

En donde deseamos obtener c1, c2, x1, y x2, yconsideremos que la integración proporcione unresultado exacto con f(x) de menor grado es decir2(2)-1 =3 en otros términos

esto para ciertos coeficientes a0,a1,a2,a3

53


Esto es equivalente probar que la formula proporcionaresultados exactos cuando f(x) es , 1, x, x2 y x3, entoncestenemos,

De donde se obtiene

54


Pero una alternativa para nuestro problema son los“polinomios de Legendre” es un conjunto {P0(x),P1(x),...,Pn (x),... } que tienen las siguientes propiedades,•Para cada n, Pn(x) es un polinomio de grado n

Siendo los primeros polinomios de Legendre

55


Debemos decir que todos estos polinomios tienenraíces distintas y se encuentran en el intervalo [-1,1] y seubican simétricamente con respecto al origen y lo masimportante son los nodos que se utilizan para resolvernuestro problema.Debemos tener en cuenta los nodos queson necesarios para generar una formula de integraciónnumérica que sea exacta en los polinomios de gradomenor o igual a 2n-1 son las raíces del polinomio deLegendre de grado n. En donde los coeficientesapropiados para evaluar las funciones en cada nodo sondado de la siguiente manera:

56


.

Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de lospolinomios de Legendre como los coeficientes se encuentrantabulados

.

57


Numero de puntos rn,i Raíces Coeficientes cn,i

20.5773502692 1.0000000000-0.5773502692 1.0000000000

30.7745966692 0.55555555560.0000000000 0.8888888889-0.7745966692 0.5555555556

40.8611363116 0.34785484510.3399810436 0.6521451549-0.3399810436 0.6521451549-0.8611363116 0.3478548451

50.9061798459 0.23692688500.5384693101 0.47862867050.0000000000 0,5688888889-0.5384693101 0.4786286705-0.9061798459 0.2369268850

Si consideramos la siguiente relación lineal.

Transforma la variable x del intervalo [a, b] en lavariable t del intervalo [-1,1] esto quiere decir quepodemos usar el polinomio de LEGENDRE.

58


Ejemplos:Determinar la aproximación decuyo valor con siete decimales, es 0.1093643.SoluciónPrimero. Transformar el intervalo [1,1.5] en un intervalo[-1,1]

59


Considerando la tabla y n=2 se tiene:

Para n=3

60


Las técnicas usadas para aproximar integrales puedenser modificadas de manera natural para usarlas enaproximaciones de integrales múltiples,Supongamos que tenemos , donde R es unaregión rectangular en el plano,

Donde a, b, c y d son constantes. Usando Simpsoncompuesto , determinamos el tamaño de pasoh =(b-a)/n; k=(d-c)/m en consecuencia se tiene

22/07/201561

INTEGRALES MÚLTIPLES

. Usamos la metodología de Simpson compuesto paradeterminar, considerando x como constante,sea yj =c+jk para j=0,1,2,...,m

62


Aplicando Simpson Compuesto en cada intervalo conxi=a+ih para cada i=1,2,...,n y j=0,1,2,...,m.

EjemploAplicar la metodología de Simpson para aproximar,

63


Primero, determinar h y k para ello consideramos n=4 ym=2, entonces, h=0.15, y k=0.25 .la región deintegración será:

64


| | | | |

1.40 1.55 1.70 1.85 2.00

1.50 –

1.25 –

1.00 --

Y

X

1 4 2 4

4 16 8 16

1 4 2 41

1

4

Segundo: calculo

Ejemplo.Calcular la aproximación de

SoluciónPrimero. Calculamos el k=(3-0)/6.=0.5

Segundo. Aplicamos Simpson compuesto a la integral manteniendoconstante a la variable y

65


Tercero. Integramos el eje y dividendo en m=8subintervalos,Cuarto. Aplicamos Simpson compuesto a la integral

66


INTEGRALES IMPROPIASDebemos decir que las integrales impropias hacen suaparición cuando se extienden la noción de integral a unintervalo con extremo infinito o los dos. En cualquierade los casos las reglas de aproximación deben demodificarse.En primer lugar nos interesa analizar cuando elintegrando no se encuentra acotado en el extremoizquierdo del intervalo de integración como se muestraen la siguiente figura.

67

INTEGRALES IMPROPIAS

En el caso anterior se dice que f (x) tiene una singularidad enel extremo aEn otras palabras la integral impropia con una singularidadizquierda.

converge si solo si 0<p<1 en tal caso,

68

INTEGRALES IMPROPIAS,,,,,,,

a b

y=f(x)

y

x

, al rededor de a.

Si f(x) es una función que podemos escribir como, con 0<p<1, g continua en [a, b], entonces la

integral impropia, , también existe y aproximaremos laintegral usando la metodóloga de Simpson Compuesto, sig pertenece a C5[a, b], en consecuencia podemos escribirel cuarto polinomio de Taylor de g al rededor de a.

69


Podemos determinar exactamente el valor de,

Esta relación es generalmente la aproximación dominanteespecialmente cuando el polinomio de Taylor es de cuartogrado y se acerca mucho a la función g(x) en todo elintervalo [a, b].. Para determinar la aproximación de f(x)se debe de agregar el valor de aproximación,

70


Para la aproximación definimos,

EjemploUsar la metodología de Simpson Compuesto con h=0.25para aproximar el valor de la integral impropia ,SoluciónEl cuarto polinomio de Taylor de ex alrededor de x=0 es

71


Una parte de la aproximación de , viene dadapor,

Para la otra parte de aproximación de es necesarioaproximar la integralsiendo

72


Para aplicar Simpson compuesto se necesita

73


x G(x)0.00 00.25 0.00001700.50 0.00040130.75 0.00260261 0.0099485

La integral impropia con singularidad en el extremoderecho, podemos aplicar la técnica que terminamos deusar solo que debemos desarrollar la función en elextremo derecho alrededor de b, por cuestionespedagógicas hacemos el cambio de variable z=-x , dz =- dxobteniendo,

que tiene su singularidad en el extremo izquierdoobservar la figura adjunta, y aplicar la aproximación decon la metodología anterior y obtenemos la aproximacióndeseada de :

74


Una integral impropia con singularidad en c tal que a<c<b,este caso se trata como la suma de dos integralesimpropias con singularidad en los extremos, es decir:

75


a b

y=f(x)

y

x-b -a

y=f(-z)

y

z

Otro tipo de integrales impropias son las que consideranlimites infinitos de integración el modelo básico deintegración convergente es:

para p>1 Esta integral se convierte en una integralimpropia con una singularidad en el extremo izquierdohaciendo el siguiente cambio de variables.t=x-1, dt=-x-2dx en consecuencia dx=-x2dt=-t2dt,Entonces se tiene,

76


De la misma manera el cambio anterior convierte a laintegral impropia , en una integral con singularidaden el extremo izquierdo.

Las integrales revisadas finalmente se pueden aproximarcon la metodología expuesta.EjerciciosUsar el método de Simpson compuesto para aproximar lasintegrales dobles con n=m=4

77


Muchas Gracias

Catedra Metodos Numericos 2015 - UNSCH (14) [Modo de ......Capitulo XIV Integración Numérica. La...

Documents

Transcript of Catedra Metodos Numericos 2015 - UNSCH (14) [Modo de ......Capitulo XIV Integración Numérica. La...