Problemas solucionados - FLUIDOS II - UNSCH

Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 2 de 30

1A ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS 50 puntos

En el circuito de la figura circula agua, y tiene en su recorrido una válvula. La circulación se produce por gravedad entre el depósito superior y el inferior. Calcular: a) el caudal que circula cuando la válvula está completamente abierta (Kvalv = 0)

b) la pérdida que tiene que provocar la válvula (Kvalv = ?) para que el caudal que circule sea la mitad del

punto anterior

Notas: Fluido: agua, de densidad del agua ρ= 1000 kg/m3; viscosidad υ= 1.10-6 m2/s. Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula

válvula

∆z=10m

2

1

Kválvdiámetro D = 76,2mmlongitud L = 100 mrugosidad absoluta de la

tubería ε = 0.1 mm,

Datos: zA 10m:= zB 0m:= ρ 1000kg

m3

:= ν 1 106−

⋅m

2

s⋅:=

PA 0:= PB 0:=ε 0.1 mm⋅:= L 100m:=

D 76.2mm:=

a) caudal que circula con la válvula completamente abierta

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies A y B, resulta:

Q Weje− ρ Q⋅ zB zA−( ) g⋅PB PA−

ρ+ uB+ uA−

VB2

VA2

−

2

+

⋅=

Reemplazando PA=PB=0y VB=VA=0 ymultiplicando y dividiendopor g, resulta:

0 zB zA−( ) ∆htotal+=

Pérdidas de carga porfricción (se desprecian laslocalizadas por enunciado)

∆htotal fL

D⋅

V2

2g⋅

= fL

D⋅

Q

A

2

⋅1

2g⋅= f

L

D⋅

Q2

π D2

⋅

4

2

1

2g⋅

⋅= fL

D5

⋅Q

2

π2

16

1

2g⋅

⋅=f 8⋅ L⋅ Q

2⋅

D5

π2

⋅ g⋅

=


zB− zA+ ∆htotal=f 8⋅ L⋅ Q

2⋅

D5

π2

⋅ g⋅

=

QzB− zA+( ) D

5⋅ π

2⋅ g⋅

f 8⋅ L⋅=

___1º iteración____________________________________________________________________________________

Adopto f para empezariteración

f 0.02:= QzB− zA+( ) D

5⋅ π

2⋅ g⋅

f 8⋅ L⋅:= Q 0.012

m3

s=

Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.

⋅

exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd


Velocidad en la cañería VQ 4⋅

π D2

⋅

:= V 2.73m

s=

Reynolds y rugosidadrelativa

ReV D⋅

ν:= Re 208337=

ε

D0.00131=

Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:

1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]

Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0226=

Como el valor obtenido del coeficiente de fricción difiere del adoptado, se realiza un nuevo cálculo

___2º iteración____________________________________________________________________________________

f 0.0226= QzB− zA+( ) D

5⋅ π

2⋅ g⋅

f 8⋅ L⋅:= Q 0.012

m3

s=

Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.

Velocidad en la cañería VQ 4⋅

π D2

⋅

:= V 2.57m

s=

Reynold y rugosidadrelativa Re

V D⋅

ν:= Re 196131=

ε

D0.00131=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]


Coincide en las dos primeras cifras significativas por lo que finalizamos el cálculo

b) Coeficiente de pérdida localizada para disminuir el caudal a la mitad completamente abierta

En la segunda etapa, la válvula está cerrada de tal forma que se obtiene la mitad del caudal:

Q2Q

2:= Q2 0.006

m3

s=


∆htotal fL

D⋅ kvalv+

V2

2g⋅= f

L

D⋅ kvalv+

Q2

A

2

⋅1

2g⋅= f

L

D⋅ kvalv+

Q22

π D2

⋅

4

2

1

2g⋅

⋅=

∆htotal fL

D⋅ kvalv+

Q22

8⋅

π2

D4

⋅ g⋅

⋅=

zB− zA+ ∆htotal= fL

D⋅ kvalv+

Q22

8⋅

π2

D4

⋅ g⋅

⋅=

kvalv zB− zA+( )π

2D

4⋅ g⋅

Q22

8⋅

⋅ fL

D⋅−=

⋅exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones 2.xmcd


Velocidad en la cañería V2

Q2 4⋅

π D2

⋅

:= V2 1.29m

s=

Reynold y rugosidadrelativa

ReV2 D⋅

ν:= Re 98065=

ε

D0.0013=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]


El valor de las pérdidaspor fricción será: ∆h1y2 f

L

D⋅

V22

2 g⋅⋅:= ∆h1y2 2.62 m=

Finalmente, sereemplazarán losvalores, obteniendo:

kvalv zB− zA+( )π

2D

4⋅ g⋅

Q22

8⋅

⋅ fL

D⋅−:= kvalv 87.41=



1B ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS 50 puntos

Para el sistema de la figura determinar: a) ∆z si por él circula un flujo de agua de 750 l/min, para la válvula ángulo completamente abierta (Kvalv =

0) b) Una vez establecida la altura ∆z calculada en el punto anterior la válvula se cierra parcialmente de modo que deja pasar solamente un caudal de 300 l/min, calcular el valor de K para la válvula de ángulo. El material de la cañería es acero (ε=0,046mm). Notas:

Fluido: agua de densidad ρ= 1000 kg/m³; viscosidad υ= 1.10-6 m²/s. Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula

Ø=75mmL=35m ∆zválvula

la atmósfera

Datos: D 0.075m:= L 35m:= Q 0.75m

3

min:= ν 1.011 10

6−⋅

m2

s⋅:=

ε 0.046mm:=

a) Cálculo de ∆z

Velocidad en la cañería V2Q 4⋅

π D2

⋅

:= V2( ) 2.83m

s=

Ecuación de la Energíaentre 1 y 2

0 AρV

2

2

u+ g z⋅+p

ρ+

V

⌠⌡

d=

Ecuación de la Energíaentre 1y 2

0 ρ Q⋅V2

2V1

2−

2

p2 p1−

ρ+ z2 z1−( ).g+ u2 u1−( )+

⋅=

Siendo: V1=p2=p1=0 yz1-z2=H, resulta:

0

V22

2

∆z−+ u2 u1−( )+=

Dividiendo miembro amiembro por g, resulta:

∆zV2

2

2g∆h1_2+=

Número de Reynolds ReV2 D⋅

ν:= Re 209898=

ε

D0.00061=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]


Pérdida de carga, porfricción (se desprecian laslocalizadas por enunciado)

∆h1y2 fL

D⋅

V22

2 g⋅⋅:= ∆h1y2( ) 3.75 m=



Dividiendo miembro amiembro por g, resulta:

∆zV2

2

2 g⋅∆h1y2+:= ∆z 4.15 m=

b) si Q=300 l/min

Caudal y velocidad en lacañería

Q 0.3m

3

min:= y V2

Q 4⋅

π D2

⋅

:= V2 1.13m

s=

Siendo: V1=p2=p1=0 yz1-z2=H, resulta:

0

V22

2g∆z− f

L

D⋅ K+

V22

2 g⋅⋅+= => 0 ∆z− f

L

D⋅ Kvalv+ 1+

V22

2 g⋅⋅+=

Factor "k" para la válvula Kvalv∆z 2⋅ g⋅

V22

1− fL

D⋅−:= (1)

Número de Reynolds ReV2 D⋅

ν:= Re 83959=

ε

D0.0006=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]

Se buscará la raíz queanule la expresión [A]

F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0216=

Reemplezando el factor defricción en la expresión(1), resulta:

Kvalv 53.45=



1C ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS 50 puntos

Se desea conocer cuál es el caudal que puede transportar el sistema. La cañería es de hierro galvanizado y el fluido agua a 80ºC. Tenga en cuenta pérdidas localizadas. Considerar: ρ80ºC=971,8 kg/m³ υ80ºC = 0.367x10-6 m2/s

valvula

retención a

pistón

codo roscado 90º

válvula esf. paso total

Tanque

Longitud total de cañería = 15 m

Diámetro en todo el recorrido 32 mm

entrada

4m

Agua 80ºC

salida chorro libre

Datos: z1 4m:= z2 0m:= D 32mm:= L 15m:=

P2 0:= P1 0:= ε 0.15 mm⋅:=

ρ80ºC 971.8kg

m3

:=ν80ºC 0.367 10

6−⋅

m2

s⋅:=

500 D⋅ 16 m= >L => no se deberían despreciar las pérdidas localizadas

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies 1 y 2, resulta: Q Weje− ρ80ºC Q⋅ z2 z1−( ) g⋅

P2 P1−

ρ80ºC

+ u2+ u1−V2

2V1

2−

2

+

⋅=

Reemplazando P2=P1=0 yV1=0 y multiplicando ydividiendo por g, resulta:

0 ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( )V2

2

2 g⋅+ ∆htotal+

⋅= [1]

Pérdidas de carga ∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= ΣkV2

2

2g⋅ f

L

D⋅

V22

2g⋅+= [2]

Reemplazando (2) en (1)resulta: 0 ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( )

V22

2 g⋅+ Σk

V22

2g⋅+ f

L

D⋅

V22

2g⋅+

⋅=

0 z2 z1−( )V2

2

2 g⋅1 Σk+ f

L

D⋅+

+= [3]

Despejando V2 de (3),resulta:

V2

z2 z1−( )− 2⋅ g⋅

1 Σk+ fL

D⋅+

=

Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D 0.032 m= ft 0.022:=

kcodo90º 30 ft⋅:= kcodo90º 0.66=

kvalv_esf 3 ft⋅:= kvalv_esf 0.07=

⋅:= =



kvalv_ret 600 ft⋅:= kvalv_ret 13.2=

kentrada 0.5:=

Σk 3 kcodo90º⋅ kentrada+ kvalv_esf+ kvalv_ret+:= Σk 15.75=

___1º iteración____________________________________________________________________________________

La velocidad depende delfactor de fricción, por locual adopto un f yempiezo a iterar:

f 0.025:= V2

z2 z1−( )− 2⋅ g⋅

1 Σk+ fL

D⋅+

:= V2 1.66m

s=

Número de Reynolds yrugosidad relativa:

ReV2 D⋅

ν80ºC

:= Re 144780=ε

D0.0047=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=

Se buscará la raíz queanule la expresión

F 0.01:= root f F( ) F,( ) 0.0311= f root f F( ) F,( ):= f 0.0311=

___2º iteración____________________________________________________________________________________

El f obtenido es distinto alsupuesto, se adopta estefactor como F y se vuelvea calcular.

f 0.0311= V2

z2 z1−( )− 2⋅ g⋅

1 Σk+ fL

D⋅+

:= V2 1.58m

s=

Número de Reynolds yrugosidad relativa:

ReV2 D⋅

ν80ºC

:= Re 138042=ε

D0.0047=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=


F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0311=

El f obtenido es igual al supuesto en las dos primeras cifras significativas. Por lo tanto se termina la iteración y el Q buscado será:

Q V2π D

2⋅

4

⋅:= Q 0.00127m

3

s= Q 4.58

m3

hr=



1D ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS 50 puntos

Si 500 l/s de flujo se mueven desde el depósito 1 hasta el depósito 2, ¿cuál es la potencia necesaria para bombear el agua a 80ºC? La cañería es de acero de 203 mm de diámetro. Tenga en cuenta las pérdidas localizadas. Considerar: ρ80ºC=971,8 kg/m³ υ80ºC = 0.367x10-6 m2/s

codo radio largo a 90º

bomba

26m

65m

13m

valvula

retención a clapeta 2

1

13m

l liter:=

Datos: z1 39m:= Q 500l

s:= D 203mm:= ρ80ºC 971.8

kg

m3

:=

z2 13m:= Q 0.5m

3

s= ε 0.046 mm⋅:= ν80ºC 0.367 10

6−⋅

m2

s⋅:=

L 26m 65m+:= L 91 m= P1 0:= P2 0:=

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies 1 y 2, resulta:

Q Weje− ρ80ºC Q⋅ z2 z1−( ) g⋅P2 P1−

ρ80ºC

+ u2+ u1−V2

2V1

2−

2

+

⋅=

Reemplazando P2=P1=0y V1=0 y multiplicando ydividiendo por g, resulta:

Wbomba−( )− ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( ) ∆htotal+ ⋅= [1]

Pérdidas de carga∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= Σk

V22

2g⋅ f

L

D⋅

V22

2g⋅+=

Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D 203mm= ft 0.014:=

codo a 90º kcodo90º 14 ft⋅:= kcodo90º 0.2=

válvula de retención kvalv_ret 100 ft⋅:= kvalv_ret 1.4=

entrada de depósito a caño kentrada 0.5:=

salida caño a depósito ksalida 1:=

Σk kcodo90º kentrada+ kvalv_ret+ ksalida+:=Σk 3.096=

∆hlocalizadas ΣkV2

2

2g⋅:= ∆hlocalizadas 0.4 m=

⋅



Velocidad en la cañería V2Q 4⋅

π D2

⋅

:= V2 15.45m

s=

Número de Reynolds yrugosidad relativa: Re

V2 D⋅

ν80ºC

:= Re 8545117=ε

D0.00023=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=

Se buscará la raíz queanule la expresión F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0145=

∆hfricción fL

D⋅

V22

2g⋅:= ∆hfricción 78.98 m=

∆htotal ΣkV2

2

2g⋅ f

L

D⋅

V22

2g⋅+

:= ∆htotal 116.64 m=

Finalmente, reemplazandola pérdida en la ecuación(1), resulta:

Wbomba ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( ) ∆htotal+ ⋅:=

Wbomba 971.8kg

m3

⋅ 500l

s⋅⋅ g⋅ 13 m⋅ 39 m⋅− ∆htotal+( )⋅= 432062 W=

Otra alternativa para obtener el factor de fricción con el diagrama de Moody0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

52 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019

0,018

0,0178 9

5

2

3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor defricción

f

Rugosidadrelativa

ε/D

Número de Reynolds: Re=V.D ν

Tubería totalmente lisa

0.000005

64/Re

Material(nuevo)

Vidrio

Tubería estirada

Acero, hierro forjado

Hierro fundido asfaltado

Hierro galvanizado

Hierro fundido

Madera cepillada

Hormigón

Acero remachado

e(mm)

0,0003

0,0015

0,046

0,12

0,15

0,26

0,18-0,90,3-3,0

0,9-9,0

Rugosidad promedio de

tubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4

Flujo turbulento, tuberías rugosasZona de TransiciónZona

crítica

Flujo

laminar

Expresión de Colebrook-White

Zona de transición

0.000230.0145

8.500.000



1E ESCURRIMIENTO

PERMANENTE EN

CONDUCTOS 50 puntos

En el circuito de la figura se observa un sector de un circuito de cañería, que fluye desde un tanque sometido a presión P1 hacia la alimentación de una línea de procesos de una industria. Se sabe que se necesita en el punto 7 una presión de 240000 Pa. a) ¿qué presión P1 se necesita para hacer circular 380 l/s de agua hacia el punto 7? b) calcular las alturas piezométricas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 c) trazar la línea piezométrica desde el punto 1 al 7. Considerar: • tubería de hierro galvanizado de diámetro 356 mm. • el fluido es agua a 65ºC, con: ρ65ºC=980,6 kg/m³ y υ65ºC = 0.478x10-6 m2/s. • tener en cuenta las pérdidas localizadas

50m

50m

50m

Aire

Agua

P7

30m

valvula

retención a clapeta

P1

Codo radio largo a 90º

10m

2

3

5

7

1

4 6alimentación proceso industrial

Datos: Q 0.380m

3

s⋅:= p7 240000Pa:=

Datos del fluido ρ65ºC 980.6kg

m3

:= ν65ºC 0.478 106−

⋅m

2

s:= γ65ºC ρ65ºC g⋅:= γ65ºC 9620

N

m3

=

Longitud de la cañería L1_7 160m:= D 356mm:= Rugosidad de la cañería ε 0.15mm:=

z1 30m:= z7 50m:=

a) cálculo de la presión p1

Ecuación de la Energíaentre 1 y 2 0

V72

2 g⋅

p7

γ65ºC

+ z7+p1

γ65ºC

− z1− ∆h1_7+=

Despejando p1 ysuponidneo V1=0,resulta:

p1 γ65ºC

V72

2 g⋅

p7

γ65ºC

+ z7+ z1− ∆h1_7+

⋅= [1]

Pérdidas de carga∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= Σk

V72

2g⋅ f

L1_7

D⋅

V72

2g⋅+=

Velocidad en todas lassecciones de la cañería esla misma

VQ 4⋅

π D2

⋅

:= V 3.82m

s= V7 V:=

V2 V3= V4= V5= V6= V7= V=

Pérdidas por accesorios se tendrán en cuenta (por enunciado y porque la longitud de la cañería no supera los 500 D

⋅ =



500 D⋅ 178 m=

Factor de fricción turbulento, para diámetro D 356mm= ft356mm 0.013:=

codo a 90º kcodo90º 14 ft356mm⋅:= kcodo90º 0.18=

válvula de retención kvalv_ret 100 ft356mm⋅:= kvalv_ret 1.3=

entrada de depósito a caño kentrada 0.5:=

Σk 2 kcodo90º⋅ kentrada+ kvalv_ret+:= Σk 2.164=

Pérdidas localizadas ∆hlocalizadas ΣkV7

2

2g⋅:= ∆hlocalizadas 1.61 m=

Número de Reynolds yrugosidad relativa

ReV7 D⋅

ν65ºC

:= Re 2843255=ε

D0.00042=


1

F0.86− ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε

D 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:=


F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0166=

ver otra forma de calcular f al finalde la resolución.

Pérdida por fricción entodo el recorrido

∆hfricción fL

D⋅

V72

2g⋅:= ∆hfricción 3.15 m=

Finalmente, las pérdidastotales entre 1 y 6serán:

∆h1_7 ΣkV7

2

2g⋅ f

L1_7

D⋅

V72

2g⋅+

:= ∆h1_7 7.15 m=

Reemplazando los valoresen [1], podremos obtenerla presión en 1

p1 γ65ºC

V72

2 g⋅

p7

γ65ºC

+ z7+ z1− ∆h1_7+

⋅:= p1 508351 Pa=

b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados:

Velocidad en la cañería(es la misma en toda lasección)

V1 0:= V2 V:= V3 V:= V4 V:= V5 V:= etc. V 3.82m

s=

En el punto 1 p1 508351 Pa= z1 30 m= H1

p1

γ65ºC

z1+:= H1 82.84 m=

planteando Ec. de laenergía entre 1 y 2 0

p2

γz2+

V22

2 g⋅+ u2+

p1

γz1+

V12

2g+ u1+

−=

0 H2

V22

2g+ H1− ∆h1_2+= => H2 H1

V22

2g− ∆h1_2−=



H2 H1

V22

2g− kentrada

V22

2g⋅−:= H2 81.73 m=

planteando Ec. de laenergía entre 2 y 3

0

p3

γz3+

V32

2 g⋅+

u3

g+

p2

γz2+

V22

2 g⋅+

u2

g+

−=

siendo V2=V3, resulta 0 H3 H2− ∆h2_3+= => H3 H2 ∆h2_3−= L2_3 50m:=

H3 H2 fL2_3

D⋅

V2

2g⋅−:= H3 80 m=

Procediendo de igual manera se calcularán todas las alturas piezométricas

siendo V2=V3, resulta 0 H4 H3− ∆h3_4+= => H4 H3 ∆h3_4−= L3_4 50m:=

H4 H3 2 kcodo90º⋅ fL3_4

D⋅+

V2

2g⋅−:= H4 77.99 m=

planteando Ec. de laEnergía entre 4 y 5

0 H5 H4− ∆h4_5+= => H5 H4. ∆h4_5−= L4_5 50m:=

H5 H4 fL4_5

D⋅

V2

2g⋅−:= H5 76.26 m=

planteando Ec. de laEnergía entre 5 y 6

0 H6 H5− ∆h5_6+= => H6 H5. ∆h5_6−=

H6 H5 1 kvalv_ret⋅( )V

2

2g⋅−:= H6 75.3 m=

planteando Ec. de laenergía entre 6 y 7

0 H7 H6− ∆h6_7+= => H7 H6 ∆h6_7−= L6_7 10m:=

H7 H6 fL6_7

D⋅

V2

2g⋅−:= H7 74.95 m=

Verificaremos estevalor, calculando laaltura piezométrica enel punto 7 con los datos

H7 z7

p7

γ65ºC

+:= H7 50 m⋅240000 Pa⋅

980.6kg

m3

⋅ g⋅

+= H7 74.95 m=

c) línea piezométrica.



1

H2

H3

H4H5

H6

H7

plano de referencia

50m

50m

50m

Aire

Agua

P7

30m

valvula retención a clapeta

P1

Codo radio largo a 90º

10m

2

3

5

7

1

4 6

Como no cambia eldiámetro ni el materialde la cañería, Re y e/Dse mantienen constanteen todo el recorrido, porlo que la pendiente dela línea piezométrica,entre los tramos, es lamisma.

Otra forma de hallar el factor de fricción utilizando el diagrama de Moody


tubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4


crítica

Flujo

laminar


Zona de transición

0.00042

0.0166

2.800.000

0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

52 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019

0,018

0,0178 9

5

2

3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor de

fricción

f

Rugosidad

relativa

ε/D

Número de Reynolds: Re=V.D


0.000005

64/Re

Material(nuevo)

Vidrio

Tubería estirada



Hierro galvanizado

Hierro fundido

Madera cepillada

HormigónAcero remachado

e(mm)

0,0003

0,00150,046

0,12

0,15

0,26

0,18-0,9

0,3-3,0

0,9-9,0



1F ESCURRIMIENT

O PERMANENTE

EN CONDUCTOS 50 puntos

La figura esquematiza la instalación de un Complejo Hidroeléctrico. Se desea saber: a) qué ganancia tendrá la turbina para un caudal Q=100 m³/s. b) qué presión absoluta habrá en el punto C, a la entrada de la turbina Considerar: • las características de las tuberías según se indican en el gráfico • el fluido es agua a 15ºC, con: ρ65ºC=999 kg/m³ y υ15ºC = 1.146x10-6 m2/s. • presión atmosférica patm=93.700 N/m² • despreciar las pérdidas localizadas

T

185m

Tramo 1L1=330mmaterial:acero remachado

ε1=9mm

Ø=4m

Tramo 2L2=6 kmmaterial: roca excavada

ε2=10cm

Ø2=7,5m

EmbalseA

EmbalseB

A

B

60mC

Turbina

zA 245m:= PA 0:= patm 93700N

m2

:=

zB 60m:= PB 0:=

zC 0m:=

ε1 9 mm⋅:= L1 330m:= D1 4m:=

ε2 10 cm⋅:= L2 6000m:= D2 7.5m:=

Q 100m

3

s:= ρ15ºC 999

kg

m3

:= ν15ºC 1.146 106−

⋅m

2

s⋅:=

a) Ganancia de la turbina

Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies A y B, resulta: Q Wturb Wbomba−( )− ρ15ºC Q⋅ zB zA−( ) g⋅

PB PA−

ρ15ºC

+ uB+ uA−VB

2VA

2−

2

+

⋅=


Wturb( )− ρ15ºC Q⋅ g⋅ zB zA−( ) ∆htotal+ ⋅= [1]


∆htotal ∆h1.fricción ∆h2.friccion+= f1

L1

D1⋅

V12

2g⋅ f2

L2

D2⋅

V22

2g⋅+=

Pérdidas de carga en el tramo 1

⋅



Velocidad en la cañería, enel tramo 1

V1Q 4⋅

π D12

⋅

:= V1 7.96m

s=

Reynolds y rugosidadrelativa Re

V1 D1⋅

ν15ºC

:= Re 27775732=ε1

D10.00225=


1

F0.86− ln

ε1

D1 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε1

D1 3.7⋅

2.51

Re F⋅+

⋅−:= [A]

Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F 0.01:= f1 root f F( ) F,( ):= f1 0.0247=

ver otra forma de calcular f al finalde la resolución.

Las pérdidas de cargapor fricción en el tramo 1serán:

∆h1.friccion f1

L1

D1⋅

V12

2g⋅:= ∆h1.friccion 6.57 m=

Pérdidas de carga en el tramo 2

Velocidad en la cañería,en el tramo 2

V2Q 4⋅

π D22

⋅

:= V2 2.26m

s=

Reynolds y rugosidadrelativa Re2

V2 D2⋅

ν15ºC

:= Re2 14813724=ε2

D20.0133=


1

F0.86− ln

ε2

D2 3.7⋅

2.51

Re2 F⋅+

⋅= => f F( )1

F− 0.86 ln

ε2

D2 3.7⋅

2.51

Re2 F⋅+

⋅−:=

Se buscará la raíz queanule la expresión F 0.01:= f2 root f F( ) F,( ):= f2 0.0427=

Las pérdidas de carga en eltramo 2 serán:

∆h2.friccion f2

L2

D2⋅

V22

2g⋅:= ∆h2.friccion 8.93 m=

Pérdidas de carga total ∆htotal ∆h1.friccion ∆h2.friccion+:= ∆htotal 15.49 m=

Finalmente, reemplazandola pérdida en la ecuación (1), resulta:

Wturb ρ15ºC Q⋅ g⋅ zA zB− ∆htotal−( )⋅:=

Wturb 999kg

m3

⋅ 100m

3

s⋅⋅ g⋅ 245 m⋅ 60 m⋅− ∆htotal−( )⋅= 166120 kW=

b) presión absoluta en el punto C

patm 93700 Pa= zC 0= γ15ºC ρ15ºC g⋅:= γ15ºC 9800.19N

m3

=

VC V1:= VC 7.96m

s=



planteando Ec. de laenergía entre A y C 0

pC

γzC+

VC2

2 g⋅+

uC

g+

pA

γzA+

VA2

2g+

uA

g+

−=

Siendo VA=0,

zc=-60m;uc-uA=∆h10

pC

γzC+

VC2

2 g⋅+

pA

γ− zA− ∆h1.friccion+=

Trabajando con valoresabsolutos de la presión,obtendremos:

pabs_C

patm

γ15ºC

zA zC−+VC

2

2g− ∆h1.friccion−

γ15ºC⋅:= pabs_C 2399 kPa=


Zona de transición

0.00230.0247

27.700.000

14.800.000

0.0130.0427

0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

105

106

107

108

52 3 4 6 7

0.00001

0.000001

0.00005

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.015

0.03

0.02

0.04

0.06

0,095

0,085

0,075

0,065

0,055

0,048

0,046

0,044

0,042

0,038

0,036

0,034

0,032

0,022

0,024

0,026

0,028

0,019

0,018

0,0178 9

5

2

3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9 52 3 4 6 7 8 9

6 7 8 9

Factor de

fricción

f

Rugosidadrelativa

ε/D

Número de Reynolds: Re=V.D ν


0.000005

64/Re

Material(nuevo)

Vidrio

Tubería estirada



Hierro galvanizado

Hierro fundidoMadera cepillada

Hormigón

Acero remachado

e(mm)

0,0003

0,00150,046

0,12

0,15

0,26

0,18-0,9

0,3-3,00,9-9,0


tubos comerciales

0,01

0,008

0,016

0,015

0,014

0,013

0,012

0,011

0,009

10 103 4


crítica

Flujo

laminar

Otra forma dehallar el factorde fricciónutilizando eldiagrama deMoody



2A CANALES

50 PUNTOS

En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 3m de ancho, circula un caudal regulado por un vertedero rectangular aguas arriba, que tiene una carga de H=0,7m. En su recorrido, el canal cambia de pendiente según se indica en la figura y se desea conocer: a) el caudal regulado por el vertedero rectangular b) los tirantes normales (uniformes) en cada tramo c) el tirante crítico d) evaluar si se produce resalto en algún sector e) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes, curva y nombre de cada una. Notas: Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniforme Se desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero

S02=0,025

B=3m

l=3m

H=0,7m

h0=3,3m

H=0,7m

h0=3,3m

Vertedero regulador de caudal aguas arriba

vista corte

S01=0,004

S03=0,004

Datos Cd 0.423:= l 3m:= H 0.7m:= B 3m:= Y 4m:= n 0.012m

1−

3s⋅:=

S01 0.004:= S02 0.025:=

a) flujo en vertedero rectangular

Utilizando la ecuación 10.30, y verificando luego si la velocidad de llegada (V1) es menor a 0,3 m/s de tal forma que sea despreciable

Como no hay contracciónlateral

lc l:= lc 3 m=

Q Cd lc⋅ 2g⋅ H

3

2⋅:=

Q 0.423 lc⋅ 2 g⋅⋅ 0.7 m⋅( )

3

2⋅= 3.29

m3

s= Q 3.292

m3

s=

V1Q

B Y⋅:= V1 0.274

m

s= Se comprueba que la velocidad es despreciable (< a 0,3

m/s)

b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0

[1]Partiendo de la ecuaciónde Maning

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= => 0 Q−

1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅+=

Siendo A B Y⋅= P B 2 Y⋅+= RhA

P= [2]

Reemplazando [2] en [1],resulta:

0 Q−1

nB Y0⋅( )⋅

B Y0⋅

B 2 Y0⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+= [3]

___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________




Y01 0.01m:=Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

f Y01( ) Q−1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 0.432 m=

______________________________________________________________________________________________

Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

Y02 0.01m:=f Y02( ) Q−

1

nB Y02⋅( )⋅

B Y02⋅

B 2 Y02⋅+

2

3

⋅ S02

1

2⋅+:=

Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 0.24 m=

______________________________________________________________________________________________

c) Cálculo del tirante crítico Y c

El tirante crítico es aquelque hace 1 el número deFroude

FrV

g Dh⋅= [4]

velocidad VQ

A=

Q

Y B⋅= profundidad hidráulica Dh

A

T=

Y B⋅

Y= Y=

Reemplazando la velocidady la profundidad hidráulicaen [4], resulta

FrQ

Y B⋅

1

g Y⋅⋅= Fr

Q

B Y

3

2⋅ g⋅

=

al igualar el número deFroude a 1, encontraremoslas variables críticas

Fr 1= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 0.5 m=

d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto

e) curvas de la superficie libre

S02=0,025

S01=0,004

S03=0,004

y02=0,24m

y01=0,43myc=0,50m

y03=y01=0,43m

F2

F3



2B CANALES 50 puntos

En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 5m de ancho, escurre un caudal controlado aguas arriba por un vertedero triangular (de ángulo recto) de carga H=2,5m. El canal cambia de pendiente según se indica en la figura y se desea conocer: a) el caudal regulado por el vertedero triangular b) los tirantes normales (uniformes) en cada tramo c) el tirante crítico d) evaluar si se produce resalto en algún sector e) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes, curva y nombre de cada una. Notas: Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniforme Se desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero

2,5m

b=5m

S01=0,00036

S02=0,000095

S03=0,00036


Datos: B 5m:= S01 0.00036:= S02 0.000095:= n 0.012m

1−

3s⋅:= H 2.5m:=

a) flujo en vertedero triangular

flujo en vertederotriangular

Q 1.346m

s2

⋅ H

5

2⋅:= Q 1.346

m

s2

⋅ 2.5 m⋅( )

5

2⋅= 13.3

m3

s=



Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= => 0 Q−

1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅+=


P= [2]

Reemplazando [2] en [1],resulta: 0 Q−

1

nB Y0⋅( )⋅

B Y0⋅

B 2 Y0⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+= [3]


Y01 0.00001m:=Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

f Y01( ) Q−1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.68 m=



Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]

Y02 0.000001m:=f Y02( ) Q−

1

nB Y02⋅( )⋅

B Y02⋅

B 2 Y02⋅+

2

3

⋅ S02

1

2⋅+:=

Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 2.74 m=

______________________________________________________________________________________________



FrV

g Dh⋅= [4]

velocidad VQ

A=

Q


A

T=

Y B⋅

Y= Y=


FrQ

Y B⋅

1

g Y⋅⋅= Fr

Q

B Y

3

2⋅ g⋅

=


Fr 1= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 0.9 m=

d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto

e) curvas de la superficie libre

2,5m

b=5m

línea de profundidad crítica

línea de profundidad normal

S01=0,00036

S02=0,000095

S03=0,00036


y02=2,74m

Y01=Y03=1,68myc=0,9m

D1

D2



2C CANALES 50 puntos

Los ingenieros civiles, con frecuencia encuentran flujo en tuberías donde éstas no están completamente llenas de agua. Por ejemplo esto ocurre en alcantarillas y, por consiguiente, el flujo es a superficie libre. En la figura se muestra una tubería parcialmente llena, si el n de Manning es 0.015 a) ¿cuál es la pendiente necesaria para un flujo normal de 25000 l/s? b) si la sección puede escurrir como máximo a sección llena, qué diámetro se debería poner para transportar el mismo caudal en un tramo de la cañería en donde la pendiente es de 1/200? Considere que la ecuación de Manning es válida también para escurrimientos a sección llena en conductos circulares.

d0=2,5m

0,625m

Datos: Q 25000liter

sec⋅:= Q 25

m3

s= n 0.015m

1−

3s⋅:= a 0.625m:= d0 2.50m:=

a) Cálculo de la pendiente

Despejando la pendientede la expresión deManning, resulta:

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= S0

Q n⋅

A Rh

2

3⋅

2

= Radio de la cañería rd0

2

:= r 1.25 m=

CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulica

de Canales Abiertos, Ven Te Chow)

Sección

Área A

Perímetro mojado

P

Radio Hidráulico R

Ancho Superficial

T

Profundidad Hidráulica

D

Factor de Sección Z

yd0

θ

T

Círculo

1

8θ sen θ( )( ). d 0

2.

θ

d 0

2

.

1

41

sen θ( )

θ

. d 0.

senθ

2d 0.

ó

2 y d 0 y..

1

8

θ sen θ( )

senθ

2

. d 0.

2

32

θ sen θ( )( )1.5

senθ

2

0.5

. d 02.5.

a=0,5m

d0=2,50m

θ

T

αr

gráfico de análisis α asina

r

:= α 30 deg=

θ π 2 α⋅+:= θ 4.19= θ 240deg=

Área de la cañería A1

8

d02

⋅ θ sin θ( )−( )⋅:= A 3.95 m2

=

Pmojado θd0

2

⋅:= Pmojado 5.24 m=Perímetro mojado

RhA

Pmojado:= ó Rh

1

4

1sin θ( )

θ−

⋅ d0⋅:= Rh 0.754 m=Radio hidráulico

Pendiente normal S0Q n⋅

A Rh

2

3⋅

2

:= S0 0.013134=



b) Cálculo del diámetro, si la pendiente cambia, para transportar el mismo caudal a sección llena

Datos: S01

200

:= S0 0.005= Q 25m

3

s=

Área de la cañería asección llena

A π r2

⋅= Perímetro mojado a secciónllena

Pmojado 2 π⋅ r⋅( ):=

RhA

Pmojado=

π r2

⋅

2 π⋅ r⋅=

r

2

= RhA

Pmojado=

Radio hidráulico

Reemplazando lasexpresiones anteriores enla ecuación de Manning,resulta:

Q1

nA⋅ Rh

2

3⋅ S0

1

2⋅

=1

nπ r

2⋅( )⋅

r

2

2

3

⋅ S0

1

2⋅

=1

nπ⋅ r

2⋅

r

2

3

2

2

3

⋅ S0

1

2⋅

=1

nπ⋅ r

8

3⋅

S0

1

2

2

2

3

⋅=

Despejando r:

rQ n⋅ 2

2

3⋅

π S0

1

2⋅

3

8

:= r 1.45 m= d0 2 r⋅:= d0 2.89 m=



2D CANALES

50 PUNTOS

En un canal rectangular de ancho B = 4 m, de pendiente S0=0,01 y de rugosidad n = 0,015, que transporta un caudal Q = 29 m³/s, se coloca una compuerta que eleva el tirante a 7,18 m, y tiene una abertura inferior de 1,50 m. Considerar que las longitudes de los tramos son tales que la altura del tirante alcanza el tirante normal antes y después de la compuerta. Determinar: a) el tirante uniforme b) el tirante crítico c) determinar si se produce resalto; si es así: calcular los tirantes conjugados. d) dibujar en forma aproximada las líneas de las curvas de la superficie libre, indicando su forma y su denominación

1.5m

7,18m

S01=0,01

ATENCIÓN: HAY UN ERROR EN EL GRÁFICO DEL ENUNCIADO, SE CAMBIA LA ABERTURA INFERIOR DE 1,5m A 0,75m

Datos: B 4m:= S01 0.01:= Q 29m

3

s⋅:= n 0.015m

1−

3s⋅:=

a) Cálculo de los tirantes normales Y01 Y02

Partiendo de la ecuaciónde Maning

Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= A B Y⋅= P B 2 Y⋅+= Rh

A

P=

Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación f Y01( ) Q−

1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 0.01m:= Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.28 m=

b) Cálculo del tirante crítico Y c


Fr 1= FrVc

g Dh⋅= Vc

Q

A=

Q

Y B⋅=

A Y B⋅= DhAc

T=

Y B⋅

Y= Y=

1Q

Yc B⋅

1

g Yc

1

2⋅

⋅= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 1.75 m=

c) Cálculo de tirantes conjugadosTomamos como Y1 altirante uniforme antes delresalto

Y1 Y01:= Y1 1.28 m=

Y2

Y1

2

1 8 Fr12

⋅+ 1−

⋅=

Y1

2

1 8

V1

Y1 g⋅

2

⋅+ 1−

⋅=



Y2

Y1

21 8

Q

Y1 B⋅

2

⋅1

Y1 g⋅⋅+ 1−

⋅:= Y2 2.32 m=

Al ser Y2<Y02, el tirante se forma en el tramo fuerte y la curva desde el tirante conjugado hasta el tirante uniforme Y02, toma la forma F1.

d) gráfico ATENCIÓN: HAY UN ERROR EN EL GRÁFICO DEL ENUNCIADO, SE CAMBIA LA ABERTURA INFERIOR!

0.75m

7,18m

S01=0,01

y2=2.32m

y0=1.28m

y1=y01

resalto

F1

F1yc=1,75m

y0=1.28m

se modifica compuerta



2E CANALES 50 puntos

En un canal rectangular de hormigón, de 10 m de ancho, escurre un caudal de 90 m³/s. El canal cambia de pendiente como se muestra en la figura, y se pide calcular: a) los tirantes normales en cada tramo, para el canal de hormigón (n=0,013) b) el tirante crítico c) evaluar si se produce resalto en algún sector, si es así: calcular los conjugados d) trazar las curvas del perfil de superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes, forma y nombre de las curvas. e) tomando como límite máximo de nivel el marcado en línea punteada, qué caudal máximo puede escurrir con la pendiente S02? La planicie de inundación es de pasto (n=0,035) cuyas dimensiones se muestran en la figura.

y2=2mB2=20mB1=10m

y1=5m Planicie de inundaciónPaston=0,035

Canal principal

Hormigónn=0,013S02=0,00095

S01=0,006

Datos: B 10m:= S01 0.006:= Q 90m

3

s⋅:= n 0.013m

1−

3s⋅:=

S02 0.00095:= npasto 0.035

1−

3s⋅:=



Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅= => 0 Q−

1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅+=


P= [2]

Reemplazando [2] en [1],resulta: 0 Q−

1

nB Y0⋅( )⋅

B Y0⋅

B 2 Y0⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+= [3]


Y01 0.00001m:=Se buscará el valor de Y01que haga 0 la ecuación [3]

f Y01( ) Q−1

nB Y01⋅( )⋅

B Y01⋅

B 2 Y01⋅+

2

3

⋅ S01

1

2⋅+:=

Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.42 m=

Se buscará el valor de Y02que haga 0 la ecuación [3]

Y02 0.000001m:=f Y02( ) Q−

1

nB Y02⋅( )⋅

B Y02⋅

B 2 Y02⋅+

2

3

⋅ S02

1

2⋅+:=

Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 2.64 m=

_______________________________________________________________________________________________





FrV

g Dh⋅= [4]

velocidad VQ

A=

Q


A

T=

Y B⋅

Y= Y=


FrQ

Y B⋅

1

g Y⋅⋅= Fr

Q

B Y

3

2⋅ g⋅

=


Fr 1= 1Q

B Yc

3

2⋅ g⋅

= YcQ

B g⋅

2

3

:= Yc 2.02 m=

c) Evaluación de resalto: Al producirse un cambio en la altura del tirante, desde un nivel inferior al crítico a unosuperior: se produce resalto y se calcularán los tirantes conjugados

Tomamos como Y1 altirante uniforme antes delresalto

Y1 Y01:= Y1 1.42 m=

Y2

Y1

21 8 Fr1

2⋅+ 1−

⋅=

Y1

21 8

V1

Y1 g⋅

2

⋅+ 1−

⋅=

Y2

Y1

21 8

Q

Y1 B⋅

2

⋅1

Y1 g⋅⋅+ 1−

⋅:= Y2 2.78 m=

Al ser Y2>Y02, el tirante se forma en el tramo débil y se calcula de la siguiente manera:

Tomamos como Y2 altirante uniforme despuésdel resalto

Y2 Y02:= Y2 2.64 m=

Y1

Y2

21 8 Fr2

2⋅+ 1−

⋅=

Y2

21 8

V2

Y2 g⋅

2

⋅+ 1−

⋅=

Y1

Y2

21 8

Q

Y2 B⋅

2

⋅1

Y2 g⋅⋅+ 1−

⋅:= Y1 1.51 m=

d) gráfico



Y02=2,64m

yc=2,02m

Y01=1,42m

S02=0,00095

S01=0,006

D3

resaltoY1=1,51m

Y2=Y02=2,02m

línea de profundidad crítica

línea de profundidad normal

canal principal

área planicie de inundación

perímetro planicie de inundación

perímetro mojado canal principal

y2=2mB2=20mB1=10m

y1=5m Planicie de inundaciónPaston=0,035

Canal principal

Hormigónn=0,013

e) caudal máximo que escurre por el canal principal y la planicie de inundación

Datos: S0 0.00095:= ncanal_ppal 0.013m

1−

3s⋅:= nplanicie 0.035m

1−

3s⋅:=

Característicasgeométricas de la planiciede inundación: área,perímetro mojado y radiohidráulico:

Aplanicie 2m 20m⋅:= Aplanicie 40 m2

=

Pplanicie 2m 20m+:= Pplanicie 22 m=

Rhplanicie

Aplanicie

Pplanicie:= Rhplanicie 1.82 m=

Característicasgeométricas del canalprincipal: área, perímetromojado y radio hidráulico:

Acanal_ppal 10m 7⋅ m:= Acanal_ppal 70 m2

=

Pcanal_ppal 10 m⋅ 7m+ 5m+:= Pcanal_ppal 22 m=

Rhcanal_ppal

Acanal_ppal

Pcanal_ppal:= Rhcanal_ppal 3.18 m=

Reemplazando los valoresanteriores en la ecuaciónde Manning, resulta:

Qplanicie1

nplanicieAplanicie⋅ Rhplanicie

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Qplanicie 52.47

m3

s=

Qcanal_ppal1

ncanal_ppalAcanal_ppal⋅ Rhcanal_ppal

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Qcanal_ppal 359.03

m3

s=

Q Qplanicie Qcanal_ppal+:= Q 411.51m

3

s=



2F CANALES 50 puntos

Se desea construir un canal con sección transversal en forma de trapecio, del que ya se han definido las dimensiones indicadas en la figura, pero no se ha decidido todavía el valor del tramo horizontal que forma el fondo del canal. a) Determine el valor de la longitud b del fondo del canal para que pueda evacuar un caudal de 4 m3/s siendo la profundidad y = 1 m. b) Altura crítica y tipo de escurrimiento c) Con el valor de b calculado en el punto a), determine el máximo caudal que puede evacuar el canal sin desbordarse. DATOS: -Coeficiente de Manning: n = 0.022. -Pendiente: S0 = 0.0024.

1

z

b

y=1m60º

ymáx

1

z

Datos: Q 4m

3

sec⋅:= y 1m:= n 0.022m

1−

3s⋅:= S0 0.0024:=

tan60º1

z= z

1

tan 60deg( ):= z 0.58=

a) cálculo de la longitud del fondo b

Ecuación de Manning Q1

nA⋅ R

2

3⋅ S0

1

2⋅=

CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulica de Canales Abiertos, Ven Te Chow)

Sección

Área A

Perímetro mojado P

Radio Hidráulico R

Ancho Superficial T

Profundidad Hidráulica

D

Factor de Sección Z

1

z

b

yz

1

Trapecio

b z y.( ) y. b 2 y. 1 z2.

b z y.( ) y.

b 2 y. 1 z2.

b 2 z. y.

b z y.( ) y.

b 2 z. y.

b z y.( ) y.( )1.5

b 2 z. y.

Área del canal A b z y⋅+( ) y⋅=

Radio hidráulico Rhb z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

=

Reemplazando A y Rh enla ecuación de Manning,resulta: Q

1

nb z y⋅+( ) y⋅[ ]⋅

b z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅=

Como es una ecuaciónimplícita -no se puededespejar b directamente-se busca la raíz.

f b( ) Q−1

nb z y⋅+( ) y⋅[ ]⋅

b z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

2

3

⋅ S0

1

2⋅+:=

b 0.01m:= b root f b( ) b,( ):= b 1.96 m=



b) Profundiad crítica y tipo de escurrimiento

El tirante crítico es elque hace 1 el número deFroude

Fr 1= FrVc

g Dh⋅= [1]

Siendo la velocidad y laprofundidad hidráulica: Vc

Q

A= [2] Dh

A

T=

Y b z Y⋅+( )⋅

b 2 z⋅ Y⋅+= [3]

Reemplazando [2] y [3] en[1], resulta:

1Q

A g⋅A

T⋅

=Q T⋅

A

3

2g⋅

=

Es difícil despejardirectamente el valor deYc, se buscará la raíz dela ecuación.

f Yc( ) 1−Q b 2 z⋅ Yc⋅+⋅

Yc b z Yc⋅+( )⋅[ ]

3

2g⋅

+:=

Yc 0.1m:= Yc root f Yc( ) Yc,( ):= Yc 0.7 m=

Al ser el tirante crítico menor que el uniforme, el escurrimiento es lento

c) Caudal máximo sin desborde

Para un ymax=1,2m secalculará el caudal

ymax 1.2m:= y ymax:=

Área del canal A b z y⋅+( ) y⋅:= A 3.19 m2

=

Radio hidráulico Rhb z y⋅+( ) y⋅

b 2 y⋅ 1 z2

+⋅+

:= Rh 0.67 m=

Caudal Q1

nA⋅ Rh

2

3⋅ S0

1

2⋅:= Q 5.45

m3

s=


Problemas solucionados - FLUIDOS II - UNSCH

Engineering

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