Carlos Torres Hillbert, Kant y el fundamento de las Matemáticas

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1 Una versin preliminar de este trabajo fue leda en las Jornadas de Historia yFilosofa de la Ciencia que se llevaron a cabo del 20 al 22 de mayo de 1999 en el Centrode Investigacin en Matemticas (CIMAT) en la ciudad de Guanajuato, Gto. Quieroagradecer a Isabel Cabrera, Jaime scar Falcn, Juan Jos Rivaud y Pedro Stepanenkosus finas observaciones.

2 Entre las reas en que trabaj se encuentran las siguientes: fsica matemtica,teora de los invariantes, teora de los ideales de polinomios, teora de los nmerosalgebraicos, geometra elemental, clculo de variaciones, teora de las ecuacionesintegrales, anlisis funcional, ecuaciones diferenciales y lgica matemtica.

Hilbert, Kant y el fundamentode las matemticas1

Carlos Torres Alcaraz

na de las figuras ms sobresalientes de la matemtica contempo-rnea es, sin duda alguna, David Hilbert (1862-1943), no slo porsu destacada obra cientfica, sino porque en sus manos esta disci-plina adquiri una fisonoma que ha perdurado hasta nuestros das,

y que se caracteriza por el uso generalizado del mtodo axiomtico. Su nom-bre est indisolublemente ligado a teoras de la ms diversa ndole, muchas delas cuales le deben en gran medida sus mtodos y orientacin.2 Adems de suversatilidad como matemtico, podemos decir que su preocupacin por tan-tos y tan diversos temas no se dio en forma aislada, sino que siempre estuvoacompaada por una profunda reflexin en torno a la naturaleza de las mate-mticas, donde podemos observar un retorno a la filosofa crtica de Kant, almenos en los siguientes aspectos: 1) niega o evita la metafsica y reduce lafilosofa de las matemticas a una teora sobre el conocimiento matemtico y2) separa el conocimiento matemtico de sus aspectos psicolgicos, para sloconcentrarse en su forma lgica. De su concepcin de las matemticas y delvnculo de sta con la filosofa de Kant es de lo que me quiero ocupar en lassiguientes lneas, sobre todo en referencia con la primera fase de sus investi-gaciones aquella en que examina los principios de la geometra, pues enella se encuentra la raz de lo que ms tarde ser un programa tendiente afundamentar la matemtica clsica, que con tanto cuidado afinara en la dca-

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da de los aos veintes y que a tantos equvocos ha dado lugar en cuanto a suconcepto de esta ciencia.3

En efecto, si tomamos como gua la abundante literatura sobre el tema, esmuy probable que terminemos por creer que la visin que Hilbert tiene de lamatemtica es lo que podemos llamar un crudo formalismo, segn el cualesta disciplina consistira en una coleccin de teoras formales carentes detodo contenido y sujetas a estrictas reglas de manipulacin simblica. Un puntode vista similar al que Carnap sostuviera en la dcada de los aos treintas.4

Creo que sta es una imagen muy limitada de la concepcin que Hilbert tienede las matemticas y atae a ciertas ideas propias del ltimo periodo de susinvestigaciones en torno al fundamento de las matemticas. Ciertamente, enella habla de formalizar las matemticas a fin de llevar a buen trmino sufundamentacin lgica, mas confundir el mtodo con una posicin filosficame parece un error. Creo, por el contrario, que la propuesta sintctica propiade esta fase de su carrera opaca la verdadera visin que tena de las matemti-cas y que debemos recuperar. Al respecto me propongo reconsiderar el papelque asigna al mtodo axiomtico y a la formalizacin en las matemticas,mostrando con ello que Hilbert, lejos de ese tajante formalismo que se le atri-buye, ve en ellas algo ms que una coleccin de teoras formales, y que para lla estricta formalizacin es tan slo un instrumento que posibilita el examende la estructura deductiva de las teoras, a fin de dotarlas de un fundamentolgico. Asimismo, quiero mostrar cmo su concepcin de las matemticas sesirve de algunas ideas extradas de la filosofa de Kant, lo que permite distinguirsu pensamiento del formalismo extremo de Haskel B. Curry o del logicismo deGottlob Frege y Bertrand Russell.5

Los fundamentos de la geometra

Podemos acercarnos al pensamiento de Hilbert en torno a la naturaleza delas matemticas observando cmo procede al momento de fundamentar lageometra.

3 Pese al inters que reviste el llamado programa de Hilbert, en estas lneas no meocupar mayormente de l, en parte porque mi propsito es otro, y en parte porque desuyo es digno de un estudio independiente. No obstante, este trabajo se puede enten-der como un primer paso en esa direccin.

4 Cf. Rudolf Carnap, The Logical Syntax of Language. Nueva York, HarcourtBrace, 1937.

5 Cf. Haskell B. Curry, Foundations of Mathematical Logic. Nueva York, Dover,1976; Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet.Jena, H. Pohle, vol. 1, 1893, y Bertrand Russell, The Principles of Mathematics.Londres, George Allen and Unwin, 1903.

113Hilbert, Kant y el fundamento de las matemticas

En 1899 Hilbert publica un libro titulado Grundlagen der Geometrie6 (alque nos referiremos como los Grundlagen) en el que expone una nue-va base axiomtica para la geometra euclidiana. Se puede decir que en estetrabajo se encuentra la primera exposicin moderna del mtodo axiomtico,en el que las limitaciones de la axiomtica material de Euclides se ven por finsuperadas. Se trata de la misma nocin de teora axiomtica que con tantanaturalidad se ha extendido a prcticamente todas las ramas de la matemticamoderna.

En los Grundlagen la geometra es tratada como un sistema hipottico-deductivo que depende de las definiciones implcitas de los conceptos de losobjetos espaciales y de las relaciones que contienen los axiomas, y no de ladescripcin de su contenido intuitivo. Una novedad que se presenta en eltexto es que al sistema de axiomas se le exige que satisfaga los requisitoslgicos de consistencia, independencia y completud, y se incluyen algunaspruebas relativas, construidas a propsito, de tales hechos por medio de cier-tas interpretaciones sui generis de los trminos primitivos. De este modo, sialguien preguntara en el contexto de la teora axiomtica qu son los pun-tos?, qu son las lneas?, la nica respuesta sera cualquier sistema de ob-jetos y relaciones entre ellos que satisfaga estos axiomas, y le mostrara lalista de los postulados. Podemos decir entonces que para Hilbert, los axiomasdefinen de manera implcita los conceptos bsicos contenidos en ellos.

Esta postura no fue del agrado de todos, ni fue, como veremos, tan riguro-sa como pudiera parecer a primera vista. Por ejemplo, Frege le reprocha quecon base en sus definiciones no se puede saber si un reloj de bolsillo es unpunto, pues en ningn sitio se da una explicacin de este concepto.7 Aun as,una respuesta a su pregunta es que un reloj de bolsillo ser un punto en casode que forme parte de un sistema de objetos que satisfagan los axiomas.8

Comparativamente, una diferencia radical de los Grundlagen con la ex-posicin axiomtica de Euclides es que los objetos denotados por los trmi-nos geomtricos (puntos, lneas, planos, etctera) no son entidades intuitivas,sino seres de los que lo nico que sabemos es lo enunciado por los axio-mas, y de los que nada podemos saber que no se deduzca de estos ltimos,

6 David Hilbert, Grundlagen der Geometrie. Leipzig/Berln, Teubner, 1899. Secuenta con una traduccin al ingls que incorpora algunas adiciones hechas porHilbert a la edicin francesa de 1899: D. Hilbert, Foundations of Geometry. Trad. deE. J. Townsend. La Salle, Open Court Publishing, 1962.

7 Cf. G. Frege, Philosophical and Mathematical Correspondence. Londres,Blackwell, 1980.

8 Esta polmica entre Hilbert y Frege es de gran inters y merece algo ms que unasimple mencin como la que aqu hago. No obstante, las limitaciones de espacio mehacen imposible extenderme en ella todo lo que quisiera.


evitndose de esta manera toda referencia a algo externo al sistema. Asimis-mo, dado que el propsito de la axiomatizacin es desarrollar la teora al mar-gen de la intuicin o de la experiencia, los axiomas no se pueden justificarapelando a su evidencia, sino que son simplemente proposiciones que seasumen como punto de partida de la demostracin.9

En cuanto a su sustento, podemos ver que Hilbert abandona toda preten-sin de fundar la geometra en lo real, es decir, de utilizar como soporte laidea de que describe relaciones entre objetos predeterminados. Ya no se tiene,como en Euclides, un conjunto de objetos geomtricos privilegiados de cuyarealidad se est convencido, ni proposiciones en el sentido clsico del trmi-no, que no slo enuncian un contenido sino que se afirman a ttulo de verda-des. Ahora lo nico que sabemos de los objetos geomtricos es lo que estable-cen los axiomas, y ya no viene al caso preguntar qu son los puntos y laslneas?, sino qu propiedades tienen los puntos y las lneas? En este sentido,el nico fundamento de la teora axiomtica es su coherencia lgica, esdecir, la propiedad de ser no contradictoria.10

Hilbert aborda este problema en los Grundlagen. De hecho, este ensayoconstituye el punto de partida de sus investigaciones en torno al fundamen-to de las matemticas, y con base en l pudo implantar el mtodo axiomticono slo en la geometra, sino en prcticamente todas las ramas de la matem-tica y la fsica. El libro contiene un captulo dedicado a investigar cuestionesque hoy en da se denominan metamatemticas, en las que los objetos deestudio ya no son aquellos de los que se ocupa la teora (puntos, lneas, pla-nos, etctera), sino la teora misma, sus proposiciones. De estas investigacio-nes la primordial es la destinada a establecer la consistencia de los axiomas,que slo logra en forma relativa, pues lo nico que consigue es exhibir un

9 Esto ltimo significa que para los fines de la demostracin el significado quepudieran tener los axiomas es irrelevante, pues lo nico que importa de ellos es elentramado de relaciones a que dan lugar. Por tanto, los trminos iniciales, junto con lasrelaciones bsicas, permanecen como algo no definido en el sistema, impidindose asque en las demostraciones intervengan elementos extraos a la teora, como sucede,por ejemplo, en los Elementos de Euclides, donde el significado de los trminosiniciales o las figuras que acompaan a la demostracin llevan a conclusiones que no sesiguen de los axiomas. En este sentido, la obra de Hilbert se debe considerar como unacontinuacin de la de Euclides, en la que los defectos de su construccin habran deser corregidos.

10 En otras palabras, en los Grundlagen lo nico que se tiene es un sistema deenunciados formales axiomas de enlace, de orden, de paralelismo, etctera cuyavalidez no deriva del hecho de que se refieran a objetos claros y distintos, sino de sucoherencia lgica. Un movimiento hipottico puro, independiente de la estructuraen que se origina, y en el que la verdad de los teoremas est condicionada a la de losaxiomas.


modelo aritmtico de los axiomas geomtricos, mostrando que no son msque una expresin distinta de los hechos del lgebra lineal y de la teora de lasecuaciones lineales.11

En cuanto al origen de los conceptos y de los axiomas geomtricos, Hilbertlo ubica en el mbito de la intuicin, mas no el de la intuicin pura, sino en laconsideracin de lo que la intuicin sensible supone. No ve en los axiomasverdades necesarias, sino proposiciones que pueden ser refutadas por la ex-periencia o incluso ser contradictorias entre s: la intuicin tambin nos pue-de engaar (por ello la necesidad de las pruebas de consistencia). En esto noconcuerda con Kant, que sostiene que los juicios de la geometra son sint-ticos a priori.

El marco terico de los Grundlagen

En los Grundlagen podemos reconocer la simiente de las ideas que Hilberthabra de desarrollar ms adelante sobre el papel de la axiomatizacin y sulugar en la matemtica moderna. Para l, su obra es una continuacin de esalarga tradicin que inicia con los griegos, consistente en construir una teoraracional de la estructura del espacio en la que, sin embargo, todos saben dequ es de lo que se est hablando. De ah que eligiera un conjunto de trmi-nos rayanos con la intuicin y prefiriera el empleo del lenguaje ordinario an-tes que el ms preciso simbolismo lgico de Peano.12 Al referirse a los axio-mas para la geometra dice de stos que expresan ciertos hechos, conexosentre s y fundamentales, de nuestra intuicin.13 Para aclarar este punto vea-mos cmo expone uno de sus axiomas:

11 Sin entrar en detalles diremos que el modelo para la geometra euclidiana sedetermina con base en el sistema de los nmeros reales, de modo que Hilbert, alprobar la consistencia del sistema, supone algo externo a l. No obstante, esto nosignifica que tal referencia viole el principio de que el desarrollo de la teora se ha dedar evitando toda referencia a algo externo a la misma. Decir lo contrario es incurrir enun grave error: la prueba de consistencia relativa no establece nada acerca de losobjetos geomtricos (nada dice de los puntos, las lneas y los planos), sino que informaacerca de las propiedades lgicas de la teora, lo cual no se contrapone al desarrolloformal de la teora. En otras palabras: al investigar las propiedades lgicas de la teoraHilbert recurre a nociones semnticas, pero al derivar sus teoremas no lo hace.

12 Cf. Selected Works of Giuseppe Peano. Toronto, Universidad de Toronto, 1973,especialmente el trabajo Studies in Mathematical Logic de 1897, reproducido en elcaptulo XVII.

13 D. Hilbert, Foundation of Geometry, p. 3. Obviamente, Hilbert se refiere anuestra intuicin geomtrica.


II.4 (Postulado de Pasch) Una lnea que corta un lado de un tringulo yque no pasa por ninguno de sus vrtices deber cortar tambin otro lado deltringulo.

Lo que sorprende de esta presentacin es que Hilbert acompaa al axio-ma con una figura de la que no dice nada y de la que no hace ningn uso msadelante. Por qu entonces su presencia? La respuesta se puede buscar en laspalabras introductorias a los Grundlagen. Dice Hilbert:

La geometra al igual que la aritmtica requiere para su desarrollosistemtico slo de un reducido nmero de principios bsicos sim-ples. Estos principios son conocidos como axiomas de la geometra.Establecer axiomas para la geometra e investigar la forma en que serelacionan entre s es un problema que se ha discutido desde la pocade Euclides en diversas y admirables contribuciones a la literatura ma-temtica. El problema en cuestin equivale al anlisis lgico de nuestraintuicin espacial.14

La ltima frase no es circunstancial, sino una declaracin de propsitos.Esto lo aclara Hilbert al colocar al principio del libro, a manera de epgrafe, lassiguientes palabras, tomadas de la Crtica de la razn pura de Kant: As, todoconocimiento humano se inicia con intuiciones, pasa de stas a los conceptosy termina en las ideas.15 Podemos decir entonces que la figura que acompaa

A a B

C

14 Idem.15 Immanuel Kant, Crtica de la razn pura. Trad. de Pedro Ribas. Madrid,

Alfaguara, 1978, p. 566 [A702, B730]. La voz que Kant utiliza para referirse a laintuicin, Anschauung, tiene en alemn una acepcin un tanto ms precisa que enespaol. El significado literal de Anschauung sera intuicin con una fuerte cargade evidencia. Por ejemplo, Kant dira que un juicio como el camino ms corto entredos puntos es la lnea recta toma toda su fuerza en la siguiente figura:

y aadira que sin esta intuicin el juicio no tiene fundamento. Es as que el carctersinttico a priori que Kant atribuye a este juicio descansa en la evidencia intuitiva, enel Anschauung. En espaol, para expresar el origen intuitivo de este juicio, deberamos

h h


al postulado de Pasch es la intuicin que explica al axioma, y que ste expresatal hecho de la intuicin en trminos de una relacin entre los conceptos delnea, tringulo, pasar por y cortar (volveremos a esto en la siguienteseccin). Pero en su conjunto, la axiomatizacin constituye una idea en elsentido de Kant, es decir, un objeto de la razn que carece de realidad y queen su perfeccin sobrepasa la posibilidad de la experiencia.

En efecto, una vez empalmados los conceptos geomtricos en una teo-ra, sta no es susceptible de una comprobacin plena, y veo en ello la raznpor la cual Hilbert cita el pasaje de Kant: la geometra, una vez expuesta comoun sistema axiomtico, tiene la misma condicin que las ideas, pues en suconjunto trasciende toda posibilidad de verificacin absoluta. Por ejemplo,para verificar el postulado de las paralelas habra que recorrer el espacio alinfinito, lo cual resulta imposible. La cita de Kant es por tanto exacta paraHilbert.16

En una conferencia pronunciada en 1917 sobre el pensamiento axiomtico,Hilbert trata el tema de la axiomatizacin en su forma general con la siguien-tes palabras:

Si consideramos en conjunto los hechos que conforman una ciertaesfera del conocimiento ms o menos comprensiva, nos percataremosde inmediato de que la totalidad de los mismos es susceptible de unorden. La ordenacin se lleva a cabo recurriendo a una cierta trama deconceptos relacionados entre s, de tal manera que a cada objeto y acada hecho del campo de conocimiento de que se trata le correspon-

darle la siguiente forma: Veo que el camino ms corto..., o A mi modo de ver, elcamino ms corto ..., incorporando de esta manera el sentido del vocablo alemn.

16 Una diferencia entre Hilbert y Kant es que para el segundo los objetos matemticosson representaciones a priori en la intuicin (sin que esto quiera decir que pertenecenslo a la razn), mientras que para el primero stos son idealizaciones de lo dado en laintuicin sensible (no debemos olvidar que Hilbert ya tiene conocimiento de lasgeometras no euclidianas, y no puede seguir argumentando que dichos objetospertenecen a la intuicin pura). En este sentido, Hilbert considera que el espaciomatemtico es una libre construccin convencional que, aunque creada a partir deintuiciones, en su producto final ya no depende de ellas. Al respecto sostiene que lageometra no es sino parte del sostn terico de la fsica, y que su concordancia con elespacio fsico se apoya en un ajuste progresivo entre la intuicin y la experiencia. Noobstante, esto no significa que para l la construccin de una teora matemtica no pre-suponga cierto tipo de comprensin a priori de la realidad, pero en su opinin esteapriorismo no va ms all de la intuicin del signo. En este sentido, juzga que Kantsobrestim el papel y el alcance del a priori en esta disciplina. Cf. I. Kant, op. cit., pp.70 y 82-90 [B41 y B59-73] y D. Hilbert, La connaissance de la nature et la logique, enEinsegnement mathematique, vol. XXX, 1931, pp. 23-31.


da, respectivamente, un concepto de esa trama y una relacin lgicaentre conceptos de la misma. La trama de conceptos no es otra cosaque la teora de esa esfera del saber.17

El anlisis lgico al que Hilbert hace referencia en los Grundlagen con-siste entonces en precisar los conceptos y la relaciones bsicas de la teora, yen determinar las proposiciones relativas a los elementos que sirven comobase de la trama de conceptos, es decir, como punto de partida de la demos-tracin. Es una regla implcita que tras su axiomatizacin, la teora se ha dedesarrollar al margen de la intuicin, las figuras o la experiencia, siendola demostracin el nico medio para establecer sus proposiciones. Por tan-to, el fruto del anlisis lgico de una esfera determinada del conocimiento esuna teora en la que se han reemplazado los objetos propios de ese dominiopor conceptos abstractos, los vnculos materiales entre los objetos por rela-ciones entre los conceptos correspondientes, y la deduccin material (esdecir, los vnculos causales entre los hechos observables) por deduccionesformales que proceden con estricto apego a las leyes de la lgica. Un riguro-so orden formal que prescinde del significado de los trminos considerados.

Anlisis lgico e intuicin espacial

Segn parece, Hilbert comparte con Kant la idea de que el conocimientoterico slo adquiere significado y objetividad en las intuiciones bsicas delentendimiento, y comparte con l la idea de que la intuicin es una innegablefuente de conocimientos.18 En este sentido, ve en la axiomatizacin una for-ma de ordenar las teoras a que da lugar la intuicin, esclareciendo sus con-ceptos y supuestos bsicos. Es por ello que la axiomatizacin de la geometratiene como punto de partida el anlisis lgico de nuestra intuicin espacial, afin de determinar su forma abstracta. Por su parte, los axiomas son el resul-tado de precisar la forma lgica de ciertos juicios relativos a conceptos espa-ciales de los que, supuestamente, derivan las propiedades relevantes del es-pacio. El resultado es una teora cuya exposicin se realiza al margen de todaintuicin y que ya no depende de ella. ste es precisamente el sentido delanlisis lgico.

17 D. Hilbert, El pensamiento axiomtico, en Fundamentos de las matemticas.Trad. de Luis Felipe Segura. Mxico, UNAM, 1993, p. 23.

18 Esto no quiere decir que para Hilbert la aritmtica transfinita de Cantor o la teorade los nmeros reales, que suponen el infinito y rebasan el plano de lo intuitivo, notengan sentido, sino que en realidad no son conocimiento de nada.


19 Cf. D. Hilbert, La connaissance de la nature et la logique, en op. cit.

Aclaremos el punto anterior con un ejemplo especfico. En parte, el anli-sis lgico consiste en investigar cmo se vinculan entre s los puntos y laslneas de nuestra intuicin, y considerar el tipo de relaciones a que estosvnculos dan lugar. Por ejemplo, dicho anlisis nos lleva a situaciones como lasiguiente. Observemos la figura:

Como se ve, si tres puntos A, B, C estn en una lnea recta, uno y slo unode ellos est entre los otros dos. La validez de esta afirmacin descansa en laevidencia de los sentidos, en la intuicin espacial, y en ella se observa la ma-nera en que puntos y lneas se enlazan para dar lugar a una relacin de ordenentre los puntos.

1) La intuicin nos dice que si nos movemos de A a C, pasaremos por B.2) Tambin nos dice que si nos movemos de B a C no pasaremos por

A, incluso si continuamos el movimiento indefinidamente. Esto es parte de lanaturaleza de la lnea recta segn nuestra intuicin.

Podemos entonces reunir las proposiciones anteriores y escribir un axio-ma: II.3 Si A, B y C son tres puntos distintos en una misma lnea, entonces unoy slo uno de ellos est entre los otros dos.

Este ltimo enunciado expresa la forma de nuestra intuicin espacial, ycualquier representacin de los conceptos de punto, lnea y estar entrehabr de sujetarse a ella, pues as son los puntos y las lneas en esta geometra.Una caracterstica del axioma II.3 es que garantiza que la lnea recta no vuelvesobre s misma:

Hasta aqu, Kant estara de acuerdo con el modo de proceder y las con-clusiones alcanzadas. No obstante, para Hilbert el lmite que separa el a prio-ri de la experiencia se traza de otra manera, reconociendo que la geometrano es una determinacin sinttica y a priori de las propiedades del espacio,sino una rama del marco conceptual de la fsica.19 Si, por ejemplo, interpreta-mos lnea como rayo de luz podramos encontrar, en relacin con lasfiguras anteriores, que al movernos de B hacia C, al continuar el movimiento

A B C| | |

A B C| | |


en lnea recta tambin pasemos por A (es decir, que los rayos de luz en el es-pacio fsico siguieran trayectorias cerradas). Pero entonces diramos que elconcepto de lnea recta euclidiana no es aplicable a los rayos de luz, o questos describen trayectorias rectilneas, pero que el espacio no es euclidiano.

Los fsicos relativistas convienen en la segunda alternativa, pero hay quetener claro que se trata de un acuerdo. La matemtica no legisla acerca de laestructura del espacio fsico, ni dice qu objetos de ste son los correspon-dientes a la lnea recta. Por lo dems no podra hacerlo. El propsito del an-lisis lgico que practica Hilbert es elaborar una teora acerca del espacio denuestra intuicin no acerca del espacio fsico o del espacio como condicinde posibilidad de toda experiencia, y ordenar dicha teora con apego a lalgica. En esto abandona la propuesta de Kant que, por otra parte, ya no erasostenible a principios del siglo veinte. Tampoco es el propsito del anlisislgico dar una definicin explcita de los conceptos de punto, lnea, etc-tera, como pretende Frege.20

Por otra parte, para llevar a cabo el anlisis lgico de nuestra intuicinespacial es imprescindible separar la forma del contenido: la lgica no se ocu-pa de hechos de ninguna especie, sino de relaciones entre conceptos y deduc-ciones. As, el resultado del anlisis no puede ser otra cosa que el estableci-miento de un orden de construccin de conceptos y de un orden deductivoentre proposiciones, como habra pretendido Euclides sin lograrlo del todo.21

No obstante, y este es uno de los puntos centrales de mi argumento, Hilbertno olvida que no es la lgica sino la intuicin la que convierte a la geometraen un desafo para el entendimiento humano, en lugar de uno ms entre unainfinidad de ejercicios intelectuales arbitrarios. Por ello, el lenguaje de losGrundlagen es, lo repito, el de la geometra elemental, siempre cercano a laintuicin. Esto explica la profusin de figuras, algunas de gran belleza, quesin intervenir en las demostraciones aclaran el texto mostrando aquello de loque se habla. Hilbert practica con excelsitud un juego formal en el que ciertos

20 Por otra parte, nada nos asegura que el anlisis lgico ser capaz de precisar elcontenido de nuestra intuicin en todos los casos. Ms bien, parece que el lenguaje noes el medio adecuado para hacerlo. El teorema de Lowenheim-Skolem es una evidenciaen contra de la capacidad de nuestro lenguaje para abarcar el contenido de nuestraintuicin, e incluso la existencia de modelos no estndar numerables de los axiomas dePeano parece ser suficiente.

21 En este sentido, la obra de Hilbert es efectivamente una continuacin y puestaen forma de la de Euclides, quien, como sabemos, no logr independizar la demostracinde las intuiciones subyacentes. Prueba de ello es el hecho de que no reconoci ciertosaxiomas que correspondan a otras tantas intuiciones (v. gr., los axiomas de orden o elpostulado de Arqumedes) que, sin embargo, intervienen inadvertidamente en las de-mostraciones, sobre todo a travs de las figuras.


significados prohibidos estn siempre ah, presentes, dando sentido a la teo-ra, pero sin que se les pueda acusar de nada, pues cuando se les quiere incul-par de algn delito lo nico que permanece en su lugar son expresiones va-cas. Se trata de un equilibrio que supo mantener a la perfeccin: separa a laspalabras de sus denotaciones, mas no lo suficiente como para que stas nosigan dando sentido a la teora. En la geometra el nico sustento formal de losteoremas es la demostracin, pero es la intuicin la que seala el camino.

Consistencia y existencia matemtica

Respecto a la existencia matemtica, Hilbert la define por la falta de contra-diccin, sentido mucho ms dbil que la existencia emprica. Con ello tam-bin evita internarse en el realismo conceptual, conservando a la vez un sen-tido matemtico para los enunciados de esta ciencia. Decir que una nocinmatemtica existe significa simplemente que la podemos caracterizaraxiomticamente sin incurrir en contradicciones. No se trata de que la nocontradiccin sea la seal de una entidad preexistente, sino que la nocinmatemtica de existencia es lo mismo que ser no contradictorio. As lo hacesaber a Frege en una carta: De la verdad de los axiomas usted deduce que nopueden contradecirse entre s, mientras que yo, por mi parte, creo lo contra-rio, que cuando los axiomas no se contradicen entre s, por ese motivo sonverdaderos, y por ese motivo los objetos que definen existen.22

Lejos de tener un carcter absoluto, para Hilbert la verdad y la existenciamatemticas participan de la relatividad de la no contradiccin. Por ejemplo,para l la nocin central de la teora de conjuntos de Cantor, la de infinitoactual, aunque no se puede representar a priori en la intuicin ni correspon-de a nada emprico, tendr plena existencia matemtica cuando se pruebeque los axiomas que la definen no se contradicen entre s. Con ello evitaatribuir a la matemtica conocimiento de algn tipo de realidad, o al menosconvierte esta cuestin en algo irrelevante en relacin con sus fundamentos.Esta postura antimetafsica se revela con toda claridad en el siguiente pasaje:

La matemtica es una ciencia sin presuposiciones. Para fundamentarlano necesito a Dios, como lo hace Kronecker, o la suposicin de unafacultad especial de nuestro entendimiento en consonancia con el prin-cipio de induccin matemtica, como lo hace Poincar, o la intuicinprimaria de Brouwer, o, finalmente, como lo hacen Russell y Whitehead,

22 Carta mencionada por I. M. Bochenski, Formale Logik. Friburgo/Munich, K.Alber, 1955, p. 341.


axiomas de infinitud, reducibilidad o completud que de hecho sonsuposiciones materiales que no se pueden compensar con pruebas deconsistencia.23

En contra de lo que pudiera parecer, este pasaje no es un laudo formalista.En l, Hilbert no pretende dar cuenta de la naturaleza o esencia necesaria de lasmatemticas, como Haskell B. Curry cuando afirma que la matemtica es laciencia de los mtodos formales,24 con lo que proclama que su esencia radicaen el mtodo formal como tal. Ms bien, lo que dice es que para darle un fun-damento, es decir, una base segura a la matemtica, no necesita de supuestosmetafsicos, sin por ello afirmar o negar que sea obra de Dios, presuponga fa-cultades especiales, o est referida a un mundo inmaterial de esencias matem-ticas. Es ms, hacia 1904 Hilbert llega a la conclusin de que en la base de lamatemtica se halla una forma de pensamiento intuitivo que procede sin su-puestos axiomticos l le llama matemtica finitista misma que ms tardetratara de convertir en la base para las pruebas de consistencia absoluta.

Aunque no se cuenta con una definicin rigurosa de la misma, por mate-mtica finitista se entiende aquella parte de las matemticas en la que laevidencia descansa en la intuicin sensible. En ella, las demostraciones seapoyan en exclusiva en la consideracin de objetos concretos (combinacio-nes de signos, por ejemplo) y sus relaciones mutuas. Esto significa, entre otrascosas, que en la matemtica finitista no se acepta ningn tipo de evidenciaabstracta como, por ejemplo, la relacionada con las demostraciones de exis-tencia por reduccin al absurdo o con la nocin de construccin mental. Alcontrario, en todas las pruebas consideradas por Hilbert en este dominio slose apela a las propiedades combinatorias (espacio-temporales) de las combi-naciones de signos consideradas, teniendo como nico sostn la intuicin delsigno (a este punto habremos de volver en la siguiente seccin).

Adems, Hilbert considera que la matemtica clsica es una extensin deesta forma bsica del pensamiento intuitivo, la cual se obtiene al adjuntar, aesta ltima, nociones ideales que nada significan por s mismas. En esto searroga las mismas reservas que Kant cuando, en una conocida nota de la Cr-tica de la razn pura, dice:

El conocimiento de un objeto implica el poder demostrar su posibi-lidad, sea porque la experiencia testimonie su realidad, sea a priori,

23 D. Hilbert, The Foundation of Mathematics, en Jean van Heijenoort, ed., FromFrege to Gdel. Trad. de Stefan Bauer-Mengelberg y Dagfinn Fllesdal. Cambridge,Universidad de Harvard, 1967, pp. 464-479.

24 H. B. Curry, op. cit., p. 14.


mediante la razn. Puedo, en cambio, pensar lo que quiera, siempreque no me contradiga, es decir, siempre que mi concepto sea un pen-samiento posible, aunque no pueda responder de si, en el conjunto detodas las posibilidades, le corresponde o no un objeto. Para conferirvalidez objetiva (posibilidad real, pues la anterior es simplemente lgi-ca) a este concepto, se requiere algo ms.25

En este sentido, y aun a costa de no poder verificar los enunciados de lamatemtica individualmente, Hilbert se niega a limitar esta ciencia a nocionesdescriptivas o a la construccin de conceptos en la intuicin pura.26 A dife-rencia de Brouwer y Poincar, est dispuesto a admitir cualquier nocin pormedio de postulados siempre que no se incurra en contradicciones, indepen-dientemente de que tales nociones estn o no referidas a intuiciones.27 Tal esel caso, por ejemplo, de la nocin de infinito actual, en la que ve el comple-mento ideal de las nociones concretas de la matemtica finitista:

El papel que resta al infinito es el de una idea, segn la concepcinkantiana de sta, como un concepto de razn que supera toda expe-riencia y por medio de la cual se complementa lo concreto en el senti-do de una totalidad. Pero a la vez, el infinito es una idea en la quepodemos confiar sin reservas en el marco de la teora que acabo dedelinear. [La teora en cuestin es la metamatemtica, que asegurarasu consistencia.]28

Y si bien la nocin de infinito no corresponde a nada en la realidad, Hil-bert no ve en ello una razn para dejarla fuera de la matemtica: Podra ocu-rrir, no obstante, que el lugar propio y justificado del infinito no sea la reali-

25 I. Kant, op. cit., p. 25 [B XXVII, nota k].26 En su trabajo, ya citado, sobre los fundamentos de las matemticas, dice al

respecto: Convertir en una exigencia universal que cada frmula individual seainterpretable por s misma no es de ninguna manera razonable; por el contrario, lasteoras son de tal naturaleza que no necesitamos apoyarnos en la intuicin o elsignificado a la mitad de un argumento (Cf. J. van Heijenoort, ed., From Frege toGdel, p. 475).

27 A las nociones cuyos objetos no pueden ser dados en ninguna experienciaposible Kant las denomina ideas de razn. Al respecto, admite la posibilidad deextender el conocimiento mediante su adjuncin a condicin de que el sistemaamplificado no sea contradictorio. No obstante, advierte que tal extensin no aumentael conocimiento terico y que su funcin es meramente prctica, punto en el queHilbert coincide plenamente.

28 D. Hilbert, Acerca del infinito, en Fundamentos de las matemticas, p. 121.


dad, sino nuestro pensamiento. Y podra muy bien resultar que en ste elinfinito asuma una funcin conceptual absolutamente imprescindible.29

La consistencia como nico fundamento racional

Para Hilbert, el nico soporte racional (no ontolgico) de una teora es sucoherencia lgica, y su nica justificacin una prueba de consistencia.30 Sloque aqu se presenta un problema: si lo que se pretende es llevar a cabo unanlisis de la demostracin, no es suficiente con organizar la teora con apegoal mtodo axiomtico, sino que es preciso darle una forma concreta, accesi-ble a la intuicin que otrora nos dictara los axiomas de la geometra. Como essabido, en este caso el recurso es la formalizacin, en la que las proposicio-nes de la teora se representan por medio de frmulas (combinaciones de sig-nos) perfectamente definidas y las formas de argumentacin ordinaria se reem-plazan por reglas de inferencia explcitas que slo ataen a la forma de lasfrmulas involucradas, no a su contenido o al significado de sus smbolos.

Una representacin de este tipo tiene como propsito convertir la demos-tracin en un mosaico de frmulas expuesto a la mirada, de manera que sucorrectud se pueda juzgar por medio de su inspeccin directa. En tal caso elenunciado de consistencia se convierte en un enunciado de la forma no esposible derivar a partir de estos axiomas y con estas reglas de inferencia dosfrmulas que sean una la negacin de la otra y estara referido a objetos quecaen en el mbito de la intuicin sensible. Una demostracin de consistenciade esta clase se podra sustentar en la intuicin del signo y caera por tanto en

29 Ibid., pp. 87-88. En el mismo texto, Hilbert se declara un acrrimo defensor de lamatemtica transfinita con las siguientes palabras, ahora famosas: Nadie podrexpulsarnos del paraso que Cantor ha creado para nosotros, dirigindoseinequvocamente a Brouwer, quien ha manifestado su rechazo a la nocin de infinitoactual en matemticas.

30 No slo las teoras matemticas se hallan en esta situacin: junto con ellastambin se encuentran muchos otros campos del conocimiento, principalmente lospertenecientes a la fsica terica. En cuanto a las pruebas de consistencia, pudieraparecer que, una vez axiomatizada una teora, bastara con referirla a otra que frente aella se localizase en un plano ms profundo. As, por ejemplo, los modelos euclidianospara las geometras de Riemann y Lobachevsky junto con el modelo algebraico para lageometra euclidiana, muestran que cualquier contradiccin que se presente en algunade ellas conduce necesariamente a un resultado similar en el sistema de los nmerosreales. No obstante, este reduccionismo tiene un lmite, que al parecer se halla en elterreno de la aritmtica de los nmeros enteros y la teora de conjuntos. Ciertamente,para estas teoras no se tiene ninguna disciplina a la que se pueda apelar, por lo que ensu caso el nico recurso es probar directamente su consistencia.


la esfera de la matemtica finitista, que si bien no es suficiente para dar cuentadel contenido de las teoras matemticas, s lo es, en opinin de Hilbert, paradarles un slido fundamento. Al respecto dice lo siguiente: El enfoque queconsideramos adecuado y necesario para la fundamentacin no slo de lasmatemticas puras, sino en general de todo el pensamiento, la comprensin yla comunicacin cientficas, puede entonces expresarse en una frase dicien-do: en un principio era el signo.31

Por signo Hilbert entiende no los trazos sobre el papel, que seran merasinscripciones que los representan, sino algo cuya forma es independientedel espacio y del tiempo, as como de las condiciones especiales en las quese produce, de las variaciones insignificantes en su trazado y que, en general,de manera segura puede ser identificado.32 Como seala Jean Ladrire, paraHilbert, la solidez del pensamiento matemtico y la validez de sus pretensio-nes reside finalmente en la intuicin del signo, intuicin que disfruta de unaevidencia privilegiada.33 Como ya lo he mencionado, para l esta forma deintuicin no slo se halla en la base de toda consideracin de las teoras for-males como un factor que nos permite reconocer a priori cierta realidad re-querida en su construccin, sino que incluso se encuentra en el punto departida del conocimiento matemtico, permitindonos, por ejemplo, recono-cer algunas leyes generales de la aritmtica cuando se le aplica a un tipo es-pecial de expresiones simblicas (como, por ejemplo, |, ||, |||, ||||, etcte-ra), o cuando se examinan ciertas operaciones con ellas (como, por ejemplo,la suma o unin de expresiones: || + ||| = |||||, etctera).34 Hilbert difiereen esto de Kant, quien difcilmente admitira una opcin de esta naturale-za, en la que la intuicin aplicada a cierta clase de expresiones simblicasllevara al conocimiento de proposiciones aritmticas de carcter general. Aunas, Hilbert ve en l un tipo de discernimiento intuitivo en el que el pensa-miento bsico y general de Kant retiene su importancia, a condicin de que ela priori no se considere ms que la expresin de ciertas condiciones prelimi-nares e indispensables para el pensamiento y la experiencia.35 Como quieraque sea, esta confianza en la intuicin del signo ya se encuentra en Kant,quien al referirse al lgebra se expresa con las siguientes palabras:

31 D. Hilbert, La nueva fundamentacin de la matemtica, en Fundamentos delas matemticas, p. 45.

32 Idem.33 Jean Ladrire, Limitaciones internas de los formalismos. Trad. de Jos Blasco.

Madrid, Tecnos, 1969, p. 27.34 Como hemos visto, Hilbert sostiene que la matemtica presupone esta forma

especial de intuicin y que debido a ello no se le puede reducir a la lgica.35 D. Hilbert, La connaissance de la nature et la logique, en op. cit., pp. 28-29.


El mismo procedimiento del lgebra con sus ecuaciones, a partir de lascuales, por reduccin, produce la verdad juntamente con su prueba,aunque no es una construccin geomtrica, es una construccin ca-racterstica por la cual se presentan en la intuicin los conceptos atravs de los signos, especialmente los que se refieren a relaciones demagnitud. Aun sin atender a su elemento heurstico, este mtodo ga-rantiza la ausencia de errores en todas las inferencias por el hecho deponer a la vista cada una de ellas.36

Tal parece que Hilbert se inspir en este pasaje al momento de idear laformalizacin. Al igual que en el lgebra, en un sistema formal las pruebas sonfiguras expuestas a la mirada, y la presencia de una contradiccin se manifes-tara en la existencia de dos pruebas formales que concluiran en frmulascontradictorias, de la forma A y A. De este modo, Hilbert encuentra unamanera de transformar el problema de la consistencia en un problema re-lativo a un juego reglamentado de smbolos, es decir, en un problema de com-binatoria.

Sin entrar en detalles sobre cmo se lleva acabo la formalizacin ni culeshan sido los resultados obtenidos, podemos decir que para Hilbert laformalizacin tena un valor instrumental, no ontolgico: el de llevar adelanteel examen de la estructura deductiva de las teoras y darles un fundamentolgico.

Esta tarea era especialmente importante en relacin con la teora de con-juntos de Cantor, donde tras la aparicin de las paradojas entre 1895 y 1904se debi rehacer el edificio entero. En su reconstruccin, Hilbert no quiererenunciar a nada: ni a sus elegantes demostraciones basadas en el principiodel tercero excluido, ni a las nociones transfinitas que hicieron de ella laflor ms admirable que el espritu matemtico ha producido [...] [y] uno delos logros ms elevados de la actividad intelectual humana en general.37 Enesto tampoco se asemeja a un formalista vehemente, sino a un soador.

La postura antimetafsica

Debe ahora quedar claro que sealar a Hilbert como el padre de ciertas for-mas extremas del formalismo es un error histrico que hay que corregir. Meparece que su figura ha sido indebidamente valorada en este terreno, y que elerror se debe a que se ha confundido la adopcin de un mtodo para resolver

36 I. Kant, op. cit., pp. 587-588 [B762].37 D. Hilbert, Acerca del infinito, en op. cit., p. 90.


un problema especfico (el de la consistencia) con el sostn de una posturafilosfica. Veamos cmo se expresa Howard Eves:

La tesis formalista es que la matemtica se ocupa de sistemas simbli-cos formales. De hecho, la matemtica se considera como una colec-cin de tales desarrollos abstractos, en el que los trminos son merossmbolos y los enunciados son frmulas en las que figuran estos smbo-los; la base ltima de la matemtica no se encuentra en la lgica, sinoslo en una coleccin prelgica de marcas o smbolos y en un conjun-to de operaciones con estas marcas. Como, desde este punto de vista,la matemtica carece de un contenido concreto y slo contiene ele-mentos simblicos ideales, el establecimiento de la consistencia de lasdistintas ramas de la matemtica se convierte en una parte importantey necesaria del programa formalista. Sin tal prueba de consistencia altere, todo el estudio no tiene sentido. En la tesis formalista tenemosel desarrollo axiomtico de la matemtica llevado a su extremo.38

No pretendo discutir el alcance de lo dicho en este pasaje. Lo nico queme interesa por el momento es la manera en que en l se detalla una corrientede pensamiento en torno a la naturaleza de las matemticas, para despusatribuir a Hilbert su paternidad:

La escuela formalista fue fundada por David Hilbert despus de haberconcluido su estudio axiomtico de la geometra. En su Grundlagender Geometrie (1899), Hilbert haba afinado el mtodo axiomtico,llevndolo de la axiomtica material de Euclides a la axiomtica for-mal de nuestros das. El punto de vista formalista fue desarrollado mstarde por l para enfrentar la crisis desencadenada por las paradojas dela teora de los conjuntos y el desafo que significaba la crtica intuicio-nista para la matemtica clsica.39

Ciertamente, lo dicho en el ltimo pasaje describe el desarrollo y los plan-teamientos histricos de Hilbert, mas la caracterizacin que Eves hace delformalismo en el primer pasaje no corresponde a la concepcin de la ma-temtica del mismo Hilbert, que si bien propone formalizar las distintas teo-ras matemticas a fin de lograr una prueba absoluta de su consistencia, en

38 Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics. 4a. ed. NuevaYork, Holt Rinehart and Winston, 1976, p. 481.

39 Idem.


ningn momento sostiene que sta slo sea una coleccin de teoras formalescarentes de contenido.40 Por el contrario, para l la formalizacin es slo unaherramienta, y considera que la matemtica s posee un contenido, si no enun sentido trascendente, al menos en el sentido kantiano de representacio-nes a priori,41 y ve en la axiomatizacin un paso inevitable que hay que darpara estructurar racionalmente tal conocimiento.42 Lo que s se encuentra enel pensamiento de Hilbert es la idea de que toda teora matemtica, una vezalcanzada su madurez, se puede reducir a un sistema simblico abstracto,proceso en el cual el anlisis lgico desempea un papel muy importante.

En cuanto a la naturaleza de los objetos considerados en la matemtica,me parece que Hilbert, adoptando una postura kantiana, no puede afirmar,pero tampoco negar, su existencia autnoma, y con base en ello asegurar laconsistencia de sus teoras. Por ello es que no puede aducir como pruebade consistencia que los axiomas de la geometra expresen ciertos hechos rela-tivos a nuestra intuicin espacial y considerar esto como su fundamento, oaducir que hay una intuicin que nos revela las propiedades de los nmerosenteros, y que esto asegura la consistencia de sus axiomas. A sus ojos, elnico camino es ofrecer una prueba de su consistencia sin apoyarse en talessuposiciones.43

Esto se corrobora al observar que Hilbert siempre evit participar en losinterminables debates en torno a la naturaleza de los objetos matemticos.Con su silencio pareciera suscribir en el terreno de la filosofa de la matemti-ca las palabras con que Kant inicia el prlogo a la primera edicin de la Crticade la razn pura: La razn humana tiene el destino singular, en uno de suscampos de conocimiento, de hallarse acosada por cuestiones que no puederechazar por ser planteadas por la misma naturaleza de la razn, pero a las quetampoco puede responder por sobrepasar todas sus facultades.44

En el caso especfico de la matemtica, tales cuestiones seran las relati-vas a la existencia de una realidad conceptual o ideal a la cual estaran refe-

40 De haberse logrado la reduccin propuesta por Hilbert, quiz habra habidorazones suficientes para sostener esta tesis, y a lo mejor Hilbert habra cambiado supunto de vista al respecto. No obstante, esto nunca lo sabremos.

41 Vase la Seccin primera, Captulo I de la Doctrina trascendental del mtodo, enla Crtica de la razn pura de Kant.

42 Algo que Hilbert s defendera es que el anlisis lgico de nuestra intuicinespacial puede producir un cuadro completo de la estructura del espacio. Esta es unatesis secundaria de este trabajo.

43 Aunque no por ello la prueba sera enteramente racional, pues recurrira a laintuicin del signo. En realidad Hilbert no suprime el recurso a la intuicin: slo lodesplaza a una zona ms segura.

44 I. Kant, op. cit., p. 7 [AVII].


ridas las teoras matemticas ms significativas: la teora de los nmeros y lateora de conjuntos. En este sentido, gran parte de la filosofa de las mate-mticas la debemos entender como un esfuerzo sostenido por responder aestas cuestiones, sin la esperanza de poder resolverlas en definitiva, y otraparte como el silencio que tal imposibilidad nos impone. Gdel sera un re-presentante de la primera tendencia, y Hilbert un representante de la segun-da. Esto implica, entre otras cosas, la necesidad de replantear la visin que setiene de la posicin filosfica de Hilbert. Creo que lo que l hace es llevarla postura kantiana hasta sus ltimas consecuencias, guardando un silenciomuy prximo al de Wittgenstein en la ltima frase del Tractatus: De lo queno se puede hablar, hay que callar, sin que ello signifique que asume lavacuidad de las matemticas.

Un comentario final

La tesis de Hilbert, segn la cual la consistencia es la nica condicin quepodemos exigir a una teora para que sea admisible en la matemtica, la con-vierte a sta en la ciencia de lo posible, donde por posible se entiende aquelloque no lleva a contradiccin. Con esto queda descartada la idea de que lamatemtica es el estudio de un orden particular de objetos, y deja al investiga-dor en libertad de desarrollar el tipo de teora que prefiera, es decir, a nolimitarse a nociones referidas a intuiciones o a experiencias. En esto Hilbert yano concuerda con Kant, aunque hay que tomar en cuenta que entre ellosmedian ms de cien aos de historia y la aparicin de la matemtica moderna,que habra obligado a Kant a modificar su punto de vista (una de cuyas varian-tes es la de Hilbert). No obstante, esta postura no hace de Hilbert un formalistaextremo, pues la caracterizacin propuesta no tiene en s ninguna carga on-tolgica: el investigador est en libertad de atribuir el significado que quiera asus conceptos; lo nico que no se permite es que viole las reglas de la lgicao que se contradiga. Prueba de ello es que las teoras matemticas que revistenun mayor inters para Hilbert, la aritmtica y el anlisis, poseen a su juicio uncontenido que les es asegurado al margen de la lgica. En todo caso esta tesistendera, ms que a afirmar o negar que las matemticas poseen algn conteni-do, a suscribir la mxima cantoriana segn la cual la esencia de las matem-ticas radica en su libertad.

Carlos Torres Hillbert, Kant y el fundamento de las Matemáticas

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