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CARACTERIZACIÓN DE MODELO MESOESCALA EN HORMIGÓN DE ALTAS PRESTACIONES

JORGE MARÍN MONTÍN Página 35 CAPÍTULO 3: MODELO MESOMECÁNICO

CAPÍTULO 3

MODELO MESOMECÁNICO

El modelo mesomecánico implementado en este proyecto es descrito en el tercer

capítulo, detallando el algoritmo de generación del elemento representativo de

volumen así como el de discretización del dominio. También se justifica el método de

mallado empleado, explicando por otro lado las fases de las que consta el modelo, el

tipo de elemento finito empleado y el modelo de material.

3.1 DEFINICIÓN DE LA ESCALA MESOSCÓPICA Y ELEMENTO DE VOLUMEN

REPRESENTATIVO

El hormigón es un material heterogéneo con comportamiento cuasi-frágil. Aunque

tradicionalmente para describir el comportamiento macroscópico del hormigón se han

considerado sus propiedades homogeneizadas, una descripción detallada del material

teniendo en cuenta las distintas fases como heterogéneas es especialmente

interesante por varios motivos: permite estimar y comprender los mecanismos locales

de deformación y además llevar a cabo mejores simulaciones de iniciación y

crecimiento de grietas. Por otra parte, ayuda a estudiar y comparar distintas

composiciones de hormigón. Igualmente, mediante el estudio a nivel mesoscópico se

pueden describir con mayor exactitud procesos de degradación química que afecten a

cambios en la microestructura. El incremento en la capacidad computacional permite

el desarrollo de modelos numéricos mesoescala basados en descripciones realistas del

material.

En la escala mesoscópica el hormigón se considera como un material heterogéneo,

compuesto por una matriz (mortero) y unas inclusiones (áridos) de hasta 30 mm. En

los principales modelos mesoescala, presentados en el capitulo anterior, el material se

considera compuesto por tres fases: áridos, matriz de mortero, y zona de transición

interfase. En el modelo desarrollado en este proyecto, por simplicidad no se considera

la zona de transición interfase, sino la unión rígida entre árido y mortero.



En la mesoescala es necesario definir el elemento de volumen representativo. En la

literatura [22] existen numerosas definiciones de dicho elemento (en adelante, se

nombrará por sus iniciales en inglés: RVE, Representative volume element). Todas ellas

tienen en común que el RVE debe contener suficiente información de la

microestructura; y debe tener un tamaño suficientemente pequeño comparado con las

dimensiones estructurales macroscópicas. Para determinar el tamaño del RVE es

necesario asegurarse que sea estadísticamente representativo de la respuesta

macroscópica. Además la dimensión del RVE debe ser más grande que el tamaño del

árido mayor, figura (3.1). El RVE es por tanto la porción más pequeña de material que

contiene todas las peculiaridades del compuesto y que es representativa en su

conjunto. Las tensiones y deformaciones son no uniformes en el RVE porque el

material es heterogéneo. Sin embargo, el volumen ocupado por el RVE puede ser

reemplazado por un material homogéneo equivalente. El material se considera

uniforme y el concepto de continuo es aplicable.

RVE

Figura 3.1: requisito para el tamaño del RVE

(Wriggers, [68])



3.2 ALGORITMO GENERACIÓN RVE

En primer lugar, para poder evaluar el comportamiento del hormigón en la escala

mesoscópica es necesario generar la estructura aleatoria de los áridos, de modo que la

forma, tamaño y distribución de los mismos se asemejen lo más posible a la realidad.

Esta estructura estará compuesta por los áridos y la matriz de mortero rellenando los

espacios entre los áridos.

En hormigones normales los áridos gruesos se suelen definir como aquellos que tienen

un tamaño superior a 4.75 mm, y ocupan alrededor del 40% del volumen. La forma de

los áridos en el hormigón depende de la procedencia de los mismos. Las gravas de

origen natural tienen una forma redondeada, mientras que las procedentes de

machaqueo presentan bordes afilados y ángulos. En el modelo mesoscópico de este

Proyecto Fin de Carrera, al generar la distribución de los áridos se va a considerar por

simplicidad que los áridos tienen forma esférica. Posteriormente se discutirá la

influencia de la forma de los áridos en los resultados que ofrece el modelo.

La distribución de los distintos tamaños de los granos que componen un árido tiene

gran importancia en las características del hormigón. En este modelo la curva

granulométrica que se emplea es la Parábola de Fuller:

(3.1)

donde:

p= Porcentaje en peso que pasa por cada tamiz

d= Abertura (diámetro) de cada tamiz

D= Tamaño máximo (diámetro) del árido



Una vez establecida la distribución de los tamaños de los áridos siguiendo la curva

granulométrica anterior, los áridos son colocados aleatoriamente en el volumen,

mediante el “método toma y reemplazo” (take-and-place). La idea básica de este

método consiste en colocar en primer lugar los áridos de mayor tamaño, de forma que

los menores se puedan colocar posteriormente. Para colocar un árido se deben

cumplir los siguientes requisitos: que todo el árido quede situado dentro del dominio,

y no sólo en el centro; no deben existir solapamientos entre distintos áridos. La

generación y distribución de los áridos dentro del dominio a estudiar se lleva a cabo

usando Matlab, y no ha sido objeto de este Proyecto Fin de Carrera. Se ha utilizado el

programa de Matlab elaborado por F. Montero.

CURVA

GRANULOMÉTRICA

0.149 0.590 0.297 1.19 2.38 4.76 9.50 19.0 38.0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ABERTURA DE

TAMICES

(mm)

TANTO POR

CIENTO QUE

PASA, EN

PESO, POR

CADA TAMIZ

Figura 3.2: Curva granulométrica y parábola de Fuller.

(Adaptación figura Jiménez Montoya)



Figura 3.3: Elementos representativos (de tamaños 25, 35 y 50 mm)

generados en MATLAB (imagen superior), y su correspondiente

discretización para el análisis por elementos finitos (imagen inferior).



3.3 ALGORITMO DE DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO: VOXELIZACION vs. TETRAEDROS

3.3.1 VOXELIZACION vs. TETRAEDROS

La discretización mediante elementos finitos está fundamentalmente condicionada por

dos factores, que están relacionados: la exactitud de la solución y el coste

computacional necesario para la discretización. Se debe por tanto seleccionar el

elemento finito buscando el equilibrio entre precisión y velocidad de convergencia.

ABAQUS cuenta en su biblioteca con tres tipos de elementos tridimensionales: de 4, 6

y 8 nodos. Siempre que sea posible utilizarlo, el elemento de 8 nodos, con integración

de primer orden, resulta por lo general el más conveniente debido a que suele

converger con más rapidez y precisión que los otros dos tipos de elementos antes

mencionados. El elemento tetraedro tiene la ventaja de poder adaptarse a cualquier

geometría.

Los elementos triangulares y tetraédricos son geométricamente muy versátiles y se

utilizan en muchos algoritmos automáticos de mallado. Cuando la forma es muy

compleja puede ser conveniente mallar con triángulos o tetraedros. Sin embargo, una

buena malla de elementos hexaédricos puede conseguir una solución con una

precisión equivalente y con menos coste computacional. Los hexaedros tienen una

mayor velocidad de convergencia que los tetraedros, y no presentan sensibilidad a la

orientación de la malla en mallas regulares. Por otro lado, los elementos tetraédricos

son excesivamente rígidos y exhiben una convergencia muy lenta.

Se ha realizado un estudio comparativo entre el uso de elementos hexaedros (vóxel) y

tetraedros. El estudio comparativo de la malla se basará en comparar los resultados

que devuelven ambas discretizaciones. En las siguientes figuras se comparan los

resultados para un mismo elemento representativo, siendo posible apreciar cómo se

obtienen resultados prácticamente idénticos mediante ambas discretizaciones. La gran

diferencia entre ambas es el coste computacional.



Figura 3.4: Elementos representativos (de tamaños 25 mm) discretizado

mediante tetraedros (superior) y mediante vóxeles (inferior)



U X

U Y

U Z

Figura 3.5: Comparativa discretización Voxel vs. Tetraedro: Ux (superior), Uy (centro), Uz (inferior),

ante tracción uniaxial dirección Z

Dirección Z



σ XX

σ YY

σ ZZ

Figura 3.6: Comparativa discretización Voxel vs. Tetraedro: σ XX (superior), σ YY (centro), σ ZZ

(inferior), ante tracción uniaxial dirección Z

Dirección Z



ε XX

ε YY

ε ZZ

Figura 3.7: Comparativa discretización Voxel vs. Tetraedro: ε XX (superior), ε YY (centro), ε ZZ

(inferior), ante tracción uniaxial dirección Z

Dirección Z



En las figuras anteriores (3.5, 3.6, 3.7 y 3.8) se observa que mediante ambas

discretizaciones se obtienen distribuciones prácticamente idénticas para las variables

desplazamientos, tensiones, deformaciones y tensión de von Mises.

En la tabla siguiente se comparan los valores de las propiedades globales, calculadas

según los procedimientos que se describen en el capítulo 4 de este documento:

Voxel Tetraedro

E=26.936 GPa E=26.27 GPa

(a) x=0.1394 (a) x=0.1379

(a) y=0.1451 (a) y=0.1438

(b) x=0.2068 (b) x=0.2124

(b) y=0.2001 (b) y=0.1938

Nuevamente se concluye que las desviaciones de los resultados obtenidos mediante

ambas discretizaciones apenas difieren.

En las siguientes figuras, 3.9 y 3.10, se comparan las curvas tensión-deformación

obtenidas tras llevar a cabo la simulación del ensayo a tracción completo del mismo

RVE (tamaño RVE 25 mm, tamaño máximo de árido 8 mm, porosidad 0%):

σ V.M.

Figura 3.8: Comparativa discretización Voxel vs. Tetraedro: σ V MISES



De las curvas anteriores se pueden obtener dos conclusiones importantes. La primera

de ellas es que los valores de la resistencia a tracción obtenidos por ambas

discretizaciones son prácticamente idénticos. Tanto en el caso del empleo de

tetraedros como el caso del uso de vóxeles, el valor de ft es de 3.75 MPa. La segunda

de las conclusiones que se deduce del análisis de estas curvas es a partir de la distinta

energía de fractura disipada entre ambos casos. Se observa una clara diferencia en el

valor al que tienden ambas curvas, siendo mayor en el caso de la discretización por

Figura 3.9: Curva tensión-deformación discretización mediante tetraedros. Tamaño

RVE 25 mm, tamaño máximo de árido 8 mm, porosidad 0%

Figura 3.10: Curva tensión-deformación discretización mediante vóxeles. Mismo

RVE que el del caso de la figura 3.9. Tamaño RVE 25 mm, tamaño máximo de árido

8 mm, porosidad 0%



vóxeles. Dado que el modelo de material, la distribución de áridos y condiciones del

ensayo son idénticos, esta diferencia no era esperable. Sin embargo, a partir del

análisis de posibles motivos se llega a la conclusión de la necesidad de modificación del

algoritmo de discretización por vóxeles. Se observa como en algunos casos, al llevar a

cabo la conversión del RVE creado a modelo de elementos finitos, se produce el

solapamiento entre áridos contiguos, algo que no se contempla en el algoritmo de

generación del RVE. En la siguiente figura aparecen marcados los solapamientos entre

áridos contiguos que se aprecian al realizar un corte al RVE.

La presencia de estos solapamientos influye en el desarrollo de la fisuración, ya que

una grieta puede quedar atrapada entre dos áridos y no seguir desarrollándose en la

matriz de mortero. A raíz de haber detectado la presencia de los solapes, para evitarlos

se modifica el algoritmo de discretización del dominio que se describe en el siguiente

apartado 3.3.2.

Volviendo a la comparación de las discretizaciones entre vóxeles y tetraedros, hasta lo

expuesto, se concluye que por ambos procedimientos se obtienen iguales resultados

de las propiedades globales del material (E, v y ft). Sin embargo, a continuación se

presenta la principal diferencia que justifica el empleo del vóxel, que es en coste

Figura 3.11: Corte transversal de RVE de 25 mm en el cual se aprecian los

solapamientos entre áridos contiguos.



computacional. El uso del tetraedro en las simulaciones anteriores ha supuesto del

orden de cuatro veces con respecto al uso del vóxel.

En la siguiente tabla se muestra un estudio comparativo de variables relacionadas con

la resolución en ABAQUS:

Vóxel Tetraedro

Nº Elementos 15625 151035

Nº Nodos 17576 27282

Nº Grados de Libertad 52728 81846

Tiempo resolución (s)* 7371 31009

(*) Los tiempos de cálculo se estiman tomando como base un procesador Intel Core i5

con 2 núcleos de 2.30 GHz de velocidad, y 6 GB de memoria RAM.

Queda patente el ahorro desde el punto de vista computacional que supone la

discretización mediante vóxeles frente a tetraedros.

Teniendo en consideración lo anteriormente expuesto, en el modelo de este proyecto

se emplean los elementos hexaédricos de primer orden (8 nodos), vóxel.



3.3.2 ALGORITMO DE DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO

Una vez generada la estructura aleatoria de los áridos mediante el algoritmo descrito

en el apartado 3.2 de este capítulo, usando MATLAB, se procede a la discretización de

la probeta generada, por medio de elementos vóxel. Para ello, se han desarrollado

una serie de programas de MATLAB con tal fin: en primer lugar, un programa que

genera los nodos, y los elementos, en función del tamaño de la probeta y del elemento

finito.

Z

X Y

DIMENSIÓN

RVE

DIMENSIÓN ELEMENTO

FINITO

Figura 3.12: Esquema generación de la geometría del RVE en MATLAB. Los

parámetros de entrada son el tamaño del elemento finito, y tamaño del RVE. En

este caso 1 y 25 mm respectivamente. Se obtienen las coordenadas de todos los

nodos y elementos, así como los centroides de éstos.



A continuación, mediante un algoritmo de comprobación de las fases, a cada elemento

generado en el paso anterior se le asigna una fase (mortero, árido o poro, en cuyo caso

el elemento se elimina). En este algoritmo se comprueba la distancia de cada centroide

del elemento respecto a los áridos, de manera que se concluye si el elemento es árido

o mortero.

CENTROIDE DEL ELEMENTO

Figura 3.13: Esquema bidimensional del algoritmo de discretización del dominio.



Figura 3.14: Esquema tridimensional discretización del RVE.

for

Todos los áridos generados en el RVE

Se asigna fase

MORTERO en modelo

elementos finitos

if

distancia (coordenadas centro del árido – centroide del elemento) < radio del árido

else

else

Se asigna fase ÁRIDO

en modelo elementos

finitos

Figura 3.15: Diagrama algoritmo comprobación y asignación de fases al modelo de

elementos finitos, a partir de la geometría del RVE generado.



En este punto hay que hacer la siguiente corrección del modelo generado: se forzará

siempre que entre dos áridos distintos siempre haya elementos correspondientes a la

fase mortero interpuestos. Es decir, se evita el solape entre los áridos. El motivo

principal de esta corrección es tratar de evitar que las grietas, que de acuerdo al

modelo se generan y discurren por la fase mortero, queden atrapadas entre dos

posible áridos solapados, no pudiendo buscar trayectoria que bordeen los áridos.

Por último, a partir de un código elaborado por F. Montero, se automatiza la escritura

del archivo de entrada para ABAQUS para proceder a la resolución. A partir de la

estructura de los áridos aleatoria generada en Matlab, se ha obtenido el archivo de

entrada para el programa de elementos finitos, y poder proceder a su resolución.

Figura 3.16: corte transversal de modelo de elementos finitos de RVE cúbico de 35

mm de lado. En gris, fase mortero; en verde, fase áridos.



3.4 FASES DEL MODELO: ÁRIDO, MORTERO Y POROS

Las fases de las que consta el modelo mesoescala desarrollado en este proyecto son

los áridos, el mortero y poros en la matriz de mortero.

3.4.1 ÁRIDOS

Para modelizar los áridos en el modelo mesoescala hay que tener en cuenta la

influencia de distintos factores relacionados con éstos, que se describen a

continuación: geometría, tamaño, distribución, tamaño máximo y fracción volumétrica

de los áridos.

La forma de los áridos está relacionada con el origen de éstos. Se distinguen dos tipos

fundamentalmente: los áridos procedentes de cantos rodados y los procedentes de

machaqueos. Los primeros suelen ser de forma redondeada. En general, poseen

mayor dureza, y mayor resistencia. Son de origen natural y se forman por desgaste, ya

sea por erosión o por lavado. El segundo tipo de áridos, los procedentes de

machaqueos, suele presentar mayor resistencia a tracción, mayor adherencia, pero

una mayor dificultad en la puesta en obra. Provienen de la trituración de rocas.

Normalmente, en los modelos mesoescala se suelen emplear áridos con formas

esféricas en el caso tridimensional, y circulares en los modelos 2-D. El motivo de

emplear estas formas es simplificar el análisis por elementos finitos. Se han hecho

investigaciones en este sentido para estudiar el efecto de la geometría en los modelos

mesoescala, [35]. Considerando distintas formas de áridos: circular, hexagonal,

pentagonal, cuadrada, y poligonal arbitraria (Figura 3.17); se llega a la conclusión que

la geometría de los áridos tiene poco efecto en la resistencia obtenida en los distintos

modelos (Figura 3.19). Sin embargo, dicha geometría sí afecta a los patrones de

fisuración que aparecen. (Figura 3.18)

Figura 3.17: Distintas geometrías posibles de los áridos para el análisis mediante

modelos mesoescala.

Fuente: [35]



En el modelo que se desarrolla en el presente proyecto los áridos se modelizan con

forma esférica en la generación de las probetas. A la hora de llevar a cabo la

discretización del modelo mediante elementos vóxel, la forma que adoptan los áridos

en el modelo de elementos finitos no es la de una esfera perfecta, sin embargo, resulta

una forma aproximadamente esférica (figura 3.20), suficiente para modelizar los

áridos. Hay que tener en cuenta que el considerarlos como esferas perfectas es una

simplificación, ya que en la realidad no tienen esta forma.

Figura 3.18: Patrones de fisuración bajo tracción uniaxial de los modelos con

distintas geometrías de los áridos.

Fuente: [35]

Figura 3.19: Comparación de las curvas carga-desplazamiento para distintas formas

de áridos.

Fuente: [35]



Para analizar la influencia de la fracción volumétrica y del tamaño máximo de árido, se

llevarán a cabo los ensayos considerando dos posibles tamaños máximo: 8 mm y 16

mm.

La distribución de los áridos en el RVE se genera aleatoriamente. Para asegurar que no

influye dicha distribución, las distintas simulaciones a realizar se repetirán un número

determinado de veces para que las propiedades obtenidas sean estadísticamente

significativas.

A los áridos se le asigna un comportamiento elástico lineal. El valor de las propiedades

elásticas son:

- Módulo de elasticidad= 70 GPa

- Coeficiente de Poisson= 0.2

Figura 3.20: forma de los áridos en el modelo de elementos finitos



3.4.2 MORTERO

La fase mortero se caracteriza como material elástico lineal, hasta el momento en que

aparece la fisuración, momento a partir del cual el comportamiento se modeliza

asociando plasticidad y daño plástico. Para ello, se emplea el modelo de material de

ABAQUS Concrete Damage Plasticity, que será descrito en un apartado posterior.

Se considera que la matriz de mortero rellena los espacios entre los áridos, existiendo

unión rígida entre áridos y mortero.

Es posible introducir un porcentaje determinado de poros en mortero, lo cual es un

hecho realista y que tiene influencia en el comportamiento mecánico del hormigón. La

porosidad se analiza en el siguiente apartado 3.4.3.

Las propiedades elásticas locales asignadas a esta fase son:

- Módulo de elasticidad= 20 GPa

- Coeficiente de Poisson= 0.2



3.4.3 POROSIDAD

En el modelo mesomecánico implementado en este proyecto se ha tenido en cuenta la

posibilidad de existencia de porosidad interna en la matriz de mortero del hormigón. A

continuación se justifica la importancia de considerar la porosidad, y del estudio de su

influencia en las propiedades globales del material.

La presencia de huecos y poros en un material conlleva la disminución de la resistencia

mecánica. Existe una relación directa entre la porosidad y la resistencia en el

hormigón. Se han llevado a cabo numerosas investigaciones que estudian la

correlación entre resistencia mecánica y porosidad en el hormigón, con independencia

de su dosificación, granulometría o tipo de cemento [71]. Estos estudios, junto con

ensayos en los que se determina la porosidad en probetas, confirman que las altas

resistencias en algunos hormigones vienen determinadas por su alto grado de

compactación.

La porosidad se define como la relación entre el volumen de huecos en un material y el

volumen total del mismo. La medida directa de la porosidad es una tarea compleja,

debido a que gran parte de los poros y huecos son internos. Por tanto, para determinar

el volumen de huecos hay que triturar completamente el material o recurrir a otros

métodos indirectos más complicados.

En el hormigón siempre van a estar presente los poros, ya que sus componentes (a

nivel mesoescala: áridos y mortero) poseen porosidad propia. Existe un amplio

intervalo de tamaños de los poros en el hormigón. Según diversos autores, se pueden

clasificar:

POROS RADIO [µm]

Poros gruesos >1

Macroporos capilares [0.1 ÷ 1]

Mesoporos capilares [0.01 ÷ 0.1]

Microporos [0.004 ÷ 0.01]

(Fuente: M. Olivares et al. [71])



Dentro de la matriz de mortero, a pesar de la compactación, siempre es posible

observar poros, de forma aproximadamente esférica, que quedan llenos de aire. En

algunas aplicaciones en las que la porosidad es favorable, esto se puede producir de

manera intencionada, impidiendo que se escape aire de la mezcla durante el amasado

y puesta en obra del hormigón, y mediante el empleo de aditivos aireantes.

La porosidad no solo influye en la disminución de la resistencia, sino también conlleva

una reducción de la durabilidad del hormigón. Los poros pueden tomar o ceder agua, y

originarse tensiones internas debidas a la congelación del agua interna, expansiones,

reacciones sulfatos-aluminatos, y fisuración.

En las siguientes figuras se confirma, mediante estudios experimentales, la relación

inversa existente entre porosidad y resistencia:

RESISTENCIA

(MPa)

RELACIÓN POROSIDAD y RESISTENCIA a COMPRESIÓN

POROSIDAD

(%)

Figura 3.21: Relación entre porosidad y resistencia a la compresión del hormigón.

(Adaptación figura M. Olivares et al. [71])



Queda justificada la importancia del estudio de la porosidad en el modelo

mesomecánico desarrollado en el presente proyecto.

Para el modelizado de los poros se han considerado como esferas de 1 mm de

diámetro, repartidos aleatoriamente por el interior de la matriz de mortero. Para no

condicionar el inicio de posibles grietas, se impide que aparezcan dos poros contiguos,

que pudieran ser lugar preferente de inicio de las grietas. Esto se llevado a cabo

implementando en MATLAB un algoritmo que comprueba la presencia o no de posible

poros en los vecinos de cada elemento candidato a ser poro. En caso de presencia de

poro en algún elemento vecino, se descarta dicho poro, y se pasa a comprobar un

nuevo candidato.

Figura 3.22: Diagrama de flujo de la generación aleatoria de los

poros.



Figura 3.23: Probeta cúbica de 25 mm de lado, 5% poros, en la que se

aprecian los poros superficiales. (verde: fase mortero; blanco: áridos)

Figura 3.24: Sección transversal de probeta cúbica de 25 mm de lado,

5% poros, en la que se aprecian los poros internos. (rojo: fase mortero;

azul: áridos)



3.5 ELEMENTOS FINITOS: CÚBICOS DE 8 NODOS, C3D8

Tal y como se ha justificado en un apartado anterior, el elemento finito que se ha

empleado ha sido el elemento hexaédrico de primer orden (8 nodos) de la librería de

ABAQUS: C3D8.

La conectividad del elemento y la numeración de las caras se muestran en la siguiente

figura:

Cara 1: nodos 1-4-3-2






Ha sido muy importante tener en cuenta la conectividad del elemento a la hora de

implementar los distintos algoritmos en Matlab que permiten convertir el modelo

aleatorio generado en un modelo de entrada para ABAQUS, discretizado mediante

este tipo de elemento.

Figura 3.25: conectividad elemento

C3D8



3.6 MODELO DE MATERIAL EMPLEADO

En el programa ABAQUS existen tres modelos de materiales específicos para el cálculo

de elementos de hormigón: el modelo de fisuración frágil (Brittle Cracking, BC), el

modelo de fisuración distribuida (Concrete Smeared Cracking, CSC) y el modelo de

daño plástico (Concrete Damaged Plasticity,CDP).

3.6.1 MODELO DE FISURACIÓN FRÁGIL (BC)

El modelo de fisuración frágil, BC, se caracteriza fundamentalmente por estar pensado

principalmente para hormigón armado, si bien también puede ser utilizado para el

hormigón en masa, y otros materiales como rocas o elementos cerámicos. El

comportamiento del hormigón a compresión en este modelo ha de ser elástico lineal;

a tracción también es elástico lineal hasta la fisuración.

Además, el modelo se define con los siguientes elementos:

- La curva tensión-deformación posterior a la fisuración: al producirse la

fisuración, la tensión en el hormigón no desaparece, sino que se define una

curva de descarga.

- Modelo de retención de cortante: una vez producida la fisuración el hormigón

sigue transmitiendo cortante, en función del grado de apertura de la fisura.

Figura 3.26: curva tensión-deformación después de la fisuración.

Figura 3.27: curva de retención del cortante después de la fisuración.



La principal limitación que presenta este modelo de fisuración frágil es que el

comportamiento del hormigón ha de ser elástico lineal. Por tanto, es un modelo a

emplear cuando el comportamiento de la pieza esté gobernado fundamentalmente

por la fisuración.

3.6.2 MODELO DE FISURACIÓN DISTRIBUIDA (CSC)

El modelo de fisuración distribuida, CSC, es más complejo que el modelo anterior. El

comportamiento en compresión es elástico lineal hasta el inicio de la plastificación. Se

define la superficie de plastificación a compresión con endurecimiento isótropo. El

comportamiento en tracción es elástico lineal hasta el inicio de la fisuración. A partir

de entonces, la tracción que se transmite se va reduciendo a medida que la fisuración

aumenta (reblandecimiento).

En la siguiente figura se representa el comportamiento unidimensional:

Se aprecia cómo en el caso de la compresión la pendiente de la rama de descarga es

igual a la de la rama elástica. En el caso de la tracción, la descarga se produce de forma

que no queda tensión residual.

Figura 3.28: curva tensión-deformación unidimensional.



Se deben especificar una serie de ratios:

- El ratio entre la compresión biaxial máxima y la compresión uniaxial máxima;

- Ratio entre la tracción uniaxial máxima y la compresión uniaxial máxima;

- Ratio entre la deformación plástica máxima en compresión biaxial y la

deformación pastica máxima en compresión uniaxial;

- Ratio entre la tracción máxima admisible cuando la otra tensión principal es la

compresión máxima y la tracción máxima uniaxial.

- Se puede especificar también la curva de reducción de la capacidad de

transmisión del cortante al aumentar la fisuración.

3.6.3 MODELO DE DAÑO PLÁSTICO (CONCRETE DAMAGE PLASTICITY, CDP)

El modelo de daño plástico (concrete damage plasticity, CDP) es el modelo más

complejo que incorpora ABAQUS para el modelado del hormigón. Presenta como

principal novedad el hecho que el módulo de elasticidad en descarga no es igual al

elástico, sino que depende de un coeficiente de daño, función del grado de fisuración

o plastificación alcanzado. En este modelo, se emplea el concepto de daño plástico

combinado con plasticidad isótropa tanto en compresión como en tracción. Es posible

usarlo con cargas estáticas, dinámicas o cíclicas, y permite controlar la rigidez en los

ciclos de descarga y recarga. El comportamiento del material hasta plastificación ha de

ser elástico lineal. Es posible emplear este tipo de modelo para problemas

termodependientes.

En este modelo se asume que el hormigón tiene dos posibles modos de fallos: la

fisuración y el aplastamiento. Los puntos de inicio de estos dos fenómenos se

controlan mediante dos superficies que presentan endurecimiento isotrópico

controlable mediante la introducción de los puntos de la gráfica correspondiente.

Comportamiento uniaxial

En la figura 3.29 se puede observar que el material se comporta como elástico lineal

hasta que alcanza la tensión σc0. A partir de ese punto comienza un comportamiento

plástico con endurecimiento isótropo hasta que la tensión alcanza el valor σcu (tensión

última del material). A continuación sufre un reblandecimiento.



Aparece una variable de daño dc cuyo valor mínimo es cero (material intacto) y cuyo

valor máximo es uno (material totalmente dañado). Este valor marca la pendiente de

la rama de descarga. De esta manera, si E0 es el módulo de rigidez del material elástico

lineal, el módulo de la rama de descarga pasa a ser (1- dc) E0.

El comportamiento a tracción se caracteriza por una rama inicial elástica lineal que se

prolonga hasta alcanzar el valor de la tensión de fisuración σt0, una vez alcanzado este

valor se inicia la fisuración en el hormigón. A partir de este punto, la tensión de

tracción que transmite el material no desaparece, sino que va disminuyendo

progresivamente conforme la deformación aumenta. De la misma forma que en el

caso de la compresión, hay un parámetro de daño dt que varía entre cero y uno, que

reduce la rigidez de la rama de descarga.

Figura 3.29: Comportamiento uniaxial a compresión.

Figura 3.30: Comportamiento uniaxial a tracción.



En lo que respecta a una carga uniaxial cíclica, en el caso de la tracción, la rigidez se ve

afectada no solo por el coeficiente de daño a tracción, sino también por el de

compresión.

Comportamiento multiaxial

En el caso de tensiones principales no nulas en más de una dirección, la relación

tensión-deformación adopta la forma:

σ = (1-d)D0el : (ε-εpl) (1)

Donde D0el es la matriz elástica inicial (sin daño).

La matriz de rigidez resulta no simétrica. La forma de la superficie de plastificación es

similar a la del modelo de fisuración distribuida. En la siguiente figura se puede ver una

sección de esta superficie, para el caso de tensión plana.

Figura 3.31: Comportamiento ante carga cíclica uniaxial.



Además de las curvas de comportamiento en tracción y compresión y de las curvas de

daño del material, hay que introducir una serie de parámetros necesarios para definir

la forma de la superficie de plastificación. Éstos son:

- Ángulo de dilatación, Ψ.

- Excentricidad, e.

- Parámetro de forma de la superficie de plastificación, K.

- Relación entre la tensión a compresión máxima uniaxial y biaxial, f=fb0/fc.

Figura 3.32: Superficie de plastificación para tensión plana.



En el modelo mesomecánico que se describe en este proyecto se ha hecho uso del

modelo CDP para la fase mortero. A la fase correspondiente a los áridos se le ha

asignado propiedades de material elástico lineal. En la siguiente figura se presentan

los parámetros empleados para modelizar la fase mortero:

Figura 3.33: Parámetros empleados para definir modelo

CDP:

Ley lineal ablandamiento bajo tensión (izquierda)

Ley bilineal parámetro de daño bajo tensión (derecha)



3.7 ASPECTOS DE RESOLUCIÓN (SOLVER) Y POSTPROCESO

Para llevar a cabo las distintas simulaciones se ha empleado el programa de elementos

finitos ABAQUS.

En términos generales, existen fundamentalmente dos tipos de resolución numérica

de un modelo de elementos finitos, según el modo de integración (pasos matemáticos

requeridos para la integración temporal de la ecuación de movimiento): el implícito y

el explicito.

La integración implícita es incondicionalmente estable, lo cual significa que requiere la

solución en cada paso de un sistema global de ecuaciones. Este método consiste en

realizar el mismo proceso iterativo que la explícita, pero al final de cada incremento se

realiza otra iteración mediante Newton-Raphson u otros métodos para encontrar el

equilibrio entre las fuerzas externas y las internas. Este tipo de análisis es más preciso y

permite realizar incrementos mayores.

Métodos de iteración para conseguir llegar a la solución son el método de Newton-

Raphson, line search y método de la longitud de arco.

Newton-Raphson es el método de iteración por defecto en la integración implícita.

Se proyectan rectas tangentes a la curva fuerza-desplazamiento hasta alcanzar la

fuerza aplicada, para luego descender encontrando la fuerza interna. Se alcanza la

solución final cuando la diferencia entre la fuerza interna y la fuerza externa es inferior

al error de la precisión de la solución.

Si no se llega a la solución una vez realizado el número máximo de iteraciones, el

cálculo diverge.

Figura 3.34: Convergencia mediante Newton-

Raphson



El método line search, es un complemento del Newton-Raphson con el que se

resuelven problemas de divergencia como el mostrado en la gráfica anterior.

En el siguiente gráfico se observa por un lado, la divergencia ocurrida mediante el

método Newton-Raphson (a la izquierda), y la resolución de esta divergencia mediante

line search (a la derecha).

Figura 3.35: Divergencia mediante Newton-

Raphson, debido al cambio de tangencia en la curva.

Figura 3.36: comparativa Newton-Raphson, y line-

search.



El método de la longitud de arco es el más costoso computacionalmente, pero permite

resolver problemas con grandes desplazamientos y pérdidas de rigidez inesperadas. Se

traza un arco de circunferencia y se itera mediante el método de Newton-Raphson

hasta alcanzar la solución.

La integración explícita es condicionalmente estable, lo cual significa que el paso de

tiempo se ve limitado por un tiempo crítico que depende del tipo de problema. Este

tipo de resolución realiza un procedimiento incremental y al final de cada incremento

actualiza la matriz de rigidez con los cambios geométricos y de los materiales.

Construye una nueva matriz y en el siguiente incremento esta matriz se aplica al

sistema. En este tipo de análisis se precisa de incrementos pequeños para conseguir

buenos resultados. La necesidad de realizar pequeños incrementos es su principal

desventaja. En este método no se busca el equilibrio entre las fuerzas internas y las

fuerzas aplicadas, esta condición se presupone, y para que sea válida esa suposición

los incrementos deben ser muy pequeños.

Figura 3.37: método de la longitud de arco



Ambos procedimientos parten de la misma ecuación diferencial, pero el método de

resolución empleado en cada uno de ellos es distinto.

Ejemplo de formulación:

Ecuación diferencial: (1)

Integración implícita:

(2)

(3)

(4)

Integración explicita: (5)

(6)

(7)

En un cálculo explícito se dan pequeños pasos hasta llegar a la solución, suponiendo

siempre que el sistema se encuentra en equilibrio, en cambio, en cálculos implícitos se

realizan pasos grandes y se busca el equilibrio del sistema.

En la integración explicita, únicamente hay que invertir la matriz de masas que se

construye de tal forma que sea diagonal. En cambio, en la integración implícita hay que

invertir una matriz mucho más compleja para resolver el sistema de ecuaciones.

En principio, el modelo de este proyecto podría ser resuelto mediante análisis implícito

o explícito. Según lo anteriormente expuesto, podría ser más favorable resolver

mediante análisis implícito, por lo que inicialmente se optó por ese tipo. No obstante,

se comprobó que al aumentar el tamaño de las probetas a resolver, aparecían

dificultades de convergencia, resultando un gran número de iteraciones. En algunos

casos no se llegaba a la resolución completa del problema y por este motivo se optó

por la resolución explicita.



Para llevar el post-proceso y análisis de los resultados se ha empleado la interfaz

gráfica de visualización de resultados de ABAQUS, así como el programa MATLAB para

llevar a cabo alguno de los cálculos necesarios para obtener las propiedades elásticas

globales de las probetas ensayadas numéricamente.

Nº grados de libertad

coste Explícito

Implícito

Figura 3.38: comparativa resolución Implícita vs.

Explícita

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