13-1

Capítol 13

Inducció electromagnètica

13.1 Introducció

13.2 Fenòmens d’inducció

electromagnètica

13.3 Llei de Faraday. Llei de Lenz

13.4 Inducció mútua. Autoinducció

13.5 Circuit LR

13.6 Energia emmagatzemada en una

autoinducció. Densitat d’energia del

camp magnètic

13.7 Aplicacions dels fenòmens

d’inducció

13.8 Problemes

Objectius• Descriure fenòmens d’inducció electromagnètica.

• Enunciar la llei de Faraday i la llei de Lenz i aplicar-les alcàlcul de fem induïdes per fluxos magnètics variables.

• Conéixer aplicacions basades en els fenòmens d’inducció.

• Definir els conceptes d’autoinducció i inducció mútua.

• Analitzar circuits amb bobines i resistències.

• Definir energia magnètica i densitat d’energia.

13.1 IntroduccióEn els capítols anteriors s’han estudiat respectivament les forces que els

camps magnètics exerceixen sobre càrregues elèctriques en moviment i sobrecorrents, i a partir de l’experiència d’Oersted, com un corrent elèctric produeixun camp magnètic (llei de Biot i Savart), i s’estableix un vincle clar entreelectricitat i magnetisme, on el corrent elèctric és l’origen, la font delmagnetisme.

13-2

En aquest capítol veurem com no acaben ací les connexions entreelectricitat i magnetisme. Al voltant de 1830 Michael Faraday i Joseph Henry,independentment, van demostrar que un camp magnètic variable produeix uncamp elèctric. Els fenòmens basats en aquest fet es denominen “fenòmensd’inducció electromagnètica”.

Posteriorment, el 1873 James Clerk Maxwell en el seu Tractatd’electricitat i magnetisme va resumir les lleis experimentals de Gauss, Biot iSavart, Ampère (generalitzant aquesta llei i introduint el concepte de correntsde desplaçament) i Faraday, creant la que es coneix com teoriaelectromagnètica de la llum.

Les aplicacions basades en els fenòmens d’inducció electromagnèticasón la base del nostre sistema de generació elèctrica i de multitud dedispositius electromagnètics que han desenvolupat i transformat d’una maneradifícil d’imaginar el nostre mode de viure. Com a exemple podem indicar: elgenerador de corrent altern, el telèfon, el telègraf, els frens d’inducció, lescuines d’inducció, la lectura de la informació enregistrada en suportsmagnètics, etc.

13.2 Fenòmens d’inducció electromagnèticaAra descriurem una sèrie d’experiències i observarem què passa.

Suposem que tenim un imant i una espira conductora (Figura 13.1). Si apropeml’imant a l’espira i aquesta està connectada a un galvanòmetre, detectarem queper l’espira circula un corrent elèctric en un determinat sentit. Si al contrari,allunyem l’espira de l’imant hi apareix un corrent però en sentit contrari. Simantenim fix l’imant i movem l’espira, el fenomen passa igual. D’altra banda, sino hi ha moviment relatiu entre l’espira i l’imant, no hi apareix corrent.

NS

v i

NS

v

i

a) b)

Figura 13.1. Moviment d’un imant a prop d’una espira conductora.

Ara considerarem, segons la Figura 13.2, un circuit amb una resistènciavariable sobre el qual situem una espira conductora, mantenint la posiciórelativa entre el circuit i l’espira. Si pel circuit circula una intensitat de corrent I ,en l’espira superior no s’observa cap efecte. Si mitjançant la resistènciavariable del circuit augmentem la intensitat I, detectem, mentre es produeix elcanvi, que apareix un corrent en l’espira superior amb un determinat sentit.Quan s’estabilitza el corrent del circuit desapareix el corrent en l’espira. Sidisminuïm el corrent del circuit mitjançant la resistència variable, mentredisminueix, torna a aparéixer corrent però de sentit contrari a l’inicial.

13-3

Finalment, en l’experiència quemostra la Figura 13.3, es disposa d’unfilferro conductor en forma de U sobre elqual pot desplaçar-se una barra conductora.Aquest dispositiu es troba en l’interior d’uncamp magnètic uniforme B

r. Si la barra es

desplaça sobre el filferro en un sentit,s’observa que hi apareix un corrent peldispositiu descrit i aquest té un determinatsentit. Si la barra es desplaça en sentitcontrari a l’anterior, també hi apareix uncorrent però en sentit contrari. D’altra banda, si la barra no es mou, no esdetecta corrent.

Experiències semblants a aquestes vanser descrites de manera independent perFaraday i Henry el 1830, i es coneixen comfenòmens d’inducció electromagnètica, based’importantíssims dispositius electromagnèticscom ara generadors, motors, sistemes defrenada, forns d’inducció, sistemes de lecturade memòries magnètiques, etc.

13.3 Llei de Faraday. Llei de LenzEn les experiències descrites en l’apartat anterior apareix o s’indueix

corrent elèctric respectivament en haver moviment relatiu entre la font del campmagnètic i l’espira, en variar el camp magnètic en el temps o en canviar laforma del circuit. Si analitzem l’expressió del flux del camp magnètic, observemque en els tres casos hi ha hagut una variació d’aquest.

∫ ∫ α=⋅=Φ cosBdSSdBrr

Per tant, es pot produir una variació del flux magnètic amb el temps si hiha una variació temporal del camp magnètic, de la superfície del circuit o del’angle que formen el vector camp magnètic i el vector superfície.

D’altra banda, l’aparició d’intensitat de corrent en les experiènciesanteriors exigeix l’existència d’una força electromotriu a la qual denominem feminduïda, i a la intensitat de corrent, corrent induït.

D’aquesta manera, la llei de Faraday estableix que:

La força electromotriu induïda en un circuit ε, ésdirectament proporcional a la rapidesa amb què varia elflux magnètic a través del circuit.

dtdΦ

−=ε

Equació 13.1

El signe menys de l’equació fa referència al sentit del corrent i feminduïts i constitueix la llei de Lenz que enunciarem posteriorment.

I

i

Figura 13.2

rB

i

rv

Figura 13.3. Conductor en forma de U.

13-4

D’altra banda, definim la fem com el treball realitzat per la força elèctricaper unitat de càrrega. Si es realitza un treball, hi ha una força exercida sobre lacàrrega i associada amb la fem La força per unitat de càrrega és el campelèctric induït per la variació del flux del camp magnètic. D’aquesta maneraobtenim una nova expressió de la llei de Faraday a partir de:

lrr

lr

r

dEdqF

qW

⋅=⋅==ε ∫∫

dtddE Φ

−=⋅=ε ∫ lrr

Equació 13.2

És a dir, la fem induïda és igual a la circulació del camp elèctric al llargd’una corba tancada i igual a la variació temporal del flux del camp magnètic.L’expressió anterior pot escriure’s de manera més general, vàlida en qualsevolmitjà, conductor o no, i relacionant camps:

∫∫ ⋅−=⋅ SdBdtddE

rrlrr

Equació 13.3

És important observar, en aquest resultat, com el camp elèctric induït perla variació del flux magnètic és un camp no conservatiu, al contrari del campelèctric produït per càrregues elèctriques en repòs que estudiem enelectrostàtica.

Les equacions de Maxwell

En l’apartat 12.5 de la pàgina 12.22 s’introdueixen les equacionsde Maxwell per a camps estacionaris. Ara hem vist què passa quan hiha una variació temporal del flux magnètic en un circuit, i de maneramés general, en l’Equació 13.3, com la circulació del camp elèctric alllarg d’una corba tancada no és zero, com passava en un campelectrostàtic.De la mateixa manera, la circulació del camp magnètic al llarg d’unacorba tancada (teorema d’Ampère), també es modifica quan hi hacamps elèctrics variables amb el temps, i en concret, una variaciótemporal del flux del camp elèctric a través d’una superfície. Peraquests motius, les equacions de Maxwell es modifiquen per a campsno estacionaris, i queda de la manera següent:

0ε=⋅ ∑∫

QSdE

s

rv

0ερ

=∇Er

∫∫ ⋅∂∂

−=⋅ SdBt

dErr

lrr

tBE

∂∂

−=×∇

rr

(a) (b)

0=⋅∫s

SdBrr

0=∇Br

∫∫ ∑ ⋅∂∂

εµ+µ=⋅ SdEt

IdBrr

lrr

000

tEJB

∂∂

εµ+µ=×∇

rrr

000

(c) (d)

13-5

La (a) i la (c) no tenen cap modificació, la (b) ha sigut modificada coma conseqüència de la llei de Faraday: la circulació el camp elèctric alllarg d’una corba tancada, és la rapidesa, amb signe menys, amb quèvaria el flux magnètic que travessa qualsevol superfície delimitadaper aquesta corba tancada. La (d) és el teorema d’Ampère en el quals’ha afegit un nou terme que inclou la rapidesa de variació del flux delcamp elèctric a través d’una superfície.

Exemple 13.1

Una bobina de secció circular de 100 espires, radi 2 cm i eix paral·lel al’eix OZ, està a l’interior d’un camp magnètic (T) 2)( kttB

rr= . Calculeu la fem

induïda en la bobina.SolucióEl flux magnètic a través de la bobina és 100 vegades el flux magnètic através d’una espira.

Wb08,02 tRNBBdSNSdBN π=π==⋅=Φ ∫∫rr

I la força electromotriu induïda és, per la llei de Faraday:

V08,0 π=Φ

=εdtd

Llei de LenzEn les experiències descrites sobre els fenòmens d’inducció

electromagnètica hem observat com canviava el sentit del corrent induït siapropàvem o allunyàvem l’imant a l’espira, si augmentava o disminuïa laintensitat de corrent o si la barra mòbil del circuit en U es desplaçava en unsentit o en un altre. El signe negatiu de la llei de Faraday concreta el signe delcorrent induït, que es determina mitjançant la llei de Lenz:

El sentit del corrent induït és tal que s’oposa a lacausa que el produeix.

En la primera experiència (Figura 13.1) en apropar l’imant a l’espiraaugmenta el flux magnètic a través d’aquesta, i aquest augment crea el correntinduït. Per oposar-se a la causa que el produeix (augment del flux magnètic) elcorrent crea un camp magnètic tal que el seu flux siga en sentit contrari is’opose a aquest augment. Quan s’allunya l’imant de l’espira es produeixnovament una variació (disminució) en el flux del camp magnètic, que llavorscrea el corrent induït. En aquest cas el corrent induït crea un camp magnètic enel mateix sentit, el flux del qual s’oposa a aquesta disminució.

En el segon cas quan augmentem la intensitat del circuit mitjançant laresistència variable, augmenta el flux del camp magnètic a través de l’espira,llavors el corrent que apareix crea un camp magnètic el flux del qual s’oposa a

13-6

aquest augment. Quan disminueix la intensitat, disminueix el camp, disminueixel flux i el corrent induït crea un camp el flux del qual s’oposa a aquestadisminució (Figura 13.2).

Igualment, en la tercera experiència en desplaçar-se la barra sobre la U(Figura 13.3), augmentant la superfície d’aquesta, augmenta el flux del campmagnètic i el corrent que apareix s’oposa a aquest augment i crea un campmagnètic amb sentit tal que el seu flux s’oposa a l’anterior. Si la superfíciedisminueix, disminueix el flux i el corrent induït crea un camp en el mateix sentitque l’original sumant-se els fluxos per oposar-se a la disminució.

Finalment, un quart exemple, el tenim en la Figura 13.1 on un circuitactiu en el qual es tanca i s’obri un interruptor, indueix corrent en un altre circuitpassiu com a conseqüència de les variacions de flux magnètic produïdes en elsintervals de tancament i obertura de l’interruptor.

I creix

B

I decreix

B

a) b)

Figura 13.1. En a es tanca l’interruptor, la intensitat que circula pel circuit 1 augmenta, el flux creix, is’indueix en el circuit 2 un corrent que tendeix a disminuir el flux, per la qual cosa el corrent circula al

revés que en 1. En b s’obri l’interruptor, la intensitat que circula pel circuit 1 disminueix, el flux decreix, is’indueix en el circuit 2 un corrent que tendeix a mantenir el flux, per la qual cosa el corrent circula en el

mateix sentit que en 1.

La llei de Lenz compleix, evidentment, el principi de conservació del’energia. Així en l’exemple de la Figura 13.1, si el sentit del corrent fóra elcontrari, augmentaria indefinidament el flux del camp magnètic i el correntinduït, simplement apropant un poc l’imant.

Veurem, en una sèrie d’exemples, com s’apliquen les lleis de Faraday ide Lenz per raó de la seua importància.

13-7

Exemple 13.1

Calculeu la intensitat que circulaper una barra conductora deresistència R i longitud l que relliscasense fregament amb velocitat vsobre un conductor en forma de Usituat en un camp magnètic uniformeB, tal com mostra la figura. Quinaforça magnètica actua sobre la barra?

x

l

rB

rv

Solució

La situació ja s’ha descrit en la Figura 13.3. El flux magnètic creix com aconseqüència de l’augment de superfície que es produeix en el circuit.Aquesta superfície, la podem relacionar amb el temps de manera:

S(t) = lx = lvt

x

ldS

i rF

rv

rB

El flux és ∫ ⋅ SdBrr

, que ací esdevé BS pel fet de ser B uniforme i paral·lel alvector superfície en tot moment.

Φ(t) = BS = Blx = Blvtper la qual cosa la força electromotriu induïda val:

vBdt

tdl=

Φ=ε

)(

i la intensitat que circula:

RvB

Ri l

=ε

=

el sentit de la intensitat és tal que s’oposa a l’augment de flux, per la qualcosa tindrà el sentit indicat en la figura.La força magnètica que actua sobre el conductor val F = ilB per ser laintensitat en la barra perpendicular al camp magnètic,

RvBBiF

22 ll ==

que com ha de tenir sentit contrari al desplaçament, s’escriurà de maneravectorial:

vR

BFrlr 22

−=

Perquè la barra es moga amb velocitat constant, cal aplicar una força desentit contrari a la força magnètica.

13-8

Exemple 13.2

Dibuixeu el sentit de la intensitat induïda en els circuits de la figuraaplicant la llei de Lenz:a) En les dues espires circulars petites.b) En les tres espires rectangulars.c) En les tres espires circulars de la dreta.

I

rv

RI

b) c)

I

rv

rv

rv

rv

rv

rv

rv

a)

Els corrents induïts es produeixen sempre que el flux magnètic a travésd’un circuit varia per qualsevol motiu. La magnitud de la força electromotriuinduïda està determinada per la llei de Faraday. El sentit dels correntsinduïts ve determinat per la llei de Lenz que ens diu que els corrents induïtstenen un sentit tal que tendeixen a oposar-se a la variació del flux que lesprodueix.Des del punt de vista pràctic, això ens indica que per a determinar el sentitdel corrent induït en un circuit, primer haurem d’entendre com és el flux enaquest circuit i com varia per a després deduir com ha de ser el corrent enel circuit perquè es produïsca un flux magnètic tal que tendisca acompensar la variació de flux en el circuit.a) Aplicant la regla de la mà dreta veiem que el corrent del’espira central produeix un camp magnètic en la direcció capavall. A més sabem que el camp magnètic produït per unaespira circular disminueix amb la distància.Per tant, en l’espira superior, com s’apropa a l’espira queprodueix el camp magnètic, s’apropa a una zona on el campmagnètic és més intens, i com el flux és la integral del campmagnètic,

rv

I

rv

RrB

∫ ⋅=ΦS

SdBrr

el flux augmenta. D’aquesta manera, el corrent induït sobreaquesta espira ha ser tal que compense aquest augment delflux, és a dir, ha de crear un flux en sentit contrari, la qualcosa és possible si crea un camp magnètic en direccióoposada al camp magnètic inicial. Per tant, aplicant la reglade la mà dreta, obtenim que el sentit del corrent induït ésantihorari, tal com mostra la figura.

rv

I

rv

RrB

13-9

D’altra banda, en l’espira inferior, com aquesta s’allunya de la font de campmagnètic el flux a través d’aquesta disminueix i, per tant, el sentit del correntinduït ha de ser tal que cree un camp magnètic induït en la mateixa direccióque l’inicial, és a dir, sentit horari, tal com indica la figura.b) En aquest cas, aplicant la regla de la mà dretaveiem que el camp magnètic creat pel fil rectiliniés ixent del full en la part superior del fil i entranten la part inferior. A més, el camp magnèticdisminueix en allunyar-nos del cable.L’espira superior esquerra s’allunya del cable,per tant, el flux a través d’aquesta disminueix,amb la qual cosa ha de produir-se un correntinduït tal que s’opose a aquesta disminució delflux, per tant, ha de crear un camp en la mateixadirecció i sentit que l’inicial, és a dir, ixent del full,per la qual cosa el sentit del corrent induït seràcontrari al de les agulles del rellotge.

I

rv

rv

rv

rB

rB

L’espira inferior també s’allunya del cable, per laqual cosa igual que abans, crea un campmagnètic en el mateix sentit que l’inicial, és a dir,cap a dins del paper, per la qual cosa el sentitdel corrent serà el sentit de les agulles delrellotge, tal com mostra la figura.L’espira superior dreta es mou paral·lelament alcable. En aquest cas el camp magnètic no varia(en no variar la distància al cable) i, per tant, elflux no varia i no hi ha corrent induït.

I

rv

rv

rv

rB

rB

i

i

c) En aquest cas, el camp magnètic en la part dreta delcable és ixent.L’espira superior s’allunya de la font de camp magnètic,per tant, ha de crear un corrent induït tal que cree uncamp en la mateixa direcció que l’inicial, és a dir, uncamp ixent, la qual cosa implica que el sentit del correntinduït és antihorari.La segona espira s’apropa al cable, per tant s’ha decrear un camp magnètic oposat a l’inicial, és a dir, uncamp magnètic entrant, per la qual cosa el sentit de laintensitat induïda és horari.En la tercera espira, com es mou paral·lelament al fil elcamp magnètic no varia i, per tant, no varia el flux, perla qual cosa no hi ha corrent induït.

Irv

rv

rv

rB

i

i

13-10

Exemple 13.3

Pel conductor rectilini de la figura, delongitud infinita, circula una intensitat de corrent Ien el sentit indicat. En el mateix pla, i en laposició mostrada en la figura, hi ha una espira deresistència R, un dels costats d’aquesta, elsuperior, es mou amb una velocitat constant v enel sentit indicat. Calculeu:a) El flux magnètic que travessa l’espira produïtpel corrent I, expressat en funció de z.b) La fem i la intensitat induïda en l’espira,indicant-ne el sentit.c) La força magnètica que actua sobre el costatmòbil de l’espira, indicant la direcció i el sentit.

rv

zR

a

b

I

a) El camp magnètic creat pel conductor en lazona de l’espira tindrà direcció normal al pla deldibuix, i sentit entrant tal com indica la regla dela mà dreta. El mòdul vindrà donat per,

xIBπ

µ=20

sent x la distància de cada punt al conductor.

rv

zR

a

b

I

dS

dxx

irB

En calcular el flux hem de prendre una superfície elemental en la qual elcamp siga uniforme: una superfície rectangular d’alçada z i amplitud dx enla qual el valor de B és constant, i que podrem desplaçar sobre l’espira desd’una distància a del conductor fins a una distància b. D’aquesta manera,l’element de superfície ve donat per dS = zdx. La direcció i el sentit delvector superfície elemental coincideixen amb el del camp, amb la qualcosa,

πµ

=π

µ==⋅=Φ ∫∫∫ a

bzIx

dxzIdSBSdBb

aSS

ln2200

rr

b) La força electromotriu induïda, la calculem utilitzant la llei de Faraday.Primer apliquem la regla de Lenz per a obtenir el sentit del corrent induït:en moure el costat superior z augmenta, i el flux, que és proporcional a z,augmentarà també. El corrent s’oposarà a aquesta variació i crearà ambl’espira un camp en sentit contrari al del conductor. Aplicant la regla de lamà dreta a l’espira, el sentit del corrent induït és contrari a les agulles delrellotge, com s’indica en el dibuix anterior.Tenint en compte que l’única variable que depén del temps és z, el valorabsolut de la fem serà:

vabI

dtdz

abI

dtd

i

πµ

=

πµ

=Φ

=ε ln2

ln2

00

I, per tant, la intensitat de corrent induït serà igual a,

13-11

vab

RI

Ri i

πµ

=ε

= ln2

0

c) Finalment, la força magnètica sobre elcostat que es desplaça, la calcularem a partirde l’expressió general, ja que el camp no ésuniforme:

∫ ×=C

BldiFrrr

Hem de tenir en compte que la intensitat queapareix en aquesta expressió és la intensitatinduïda que circula pel costat mòbil, mentreque la que produeix el camp és la que circulapel conductor rectilini.

Fdr

rv

zR

a

b

I

dxx

irB

D’altra banda, el conductor i el camp són normals, amb la qual cosa elmòdul del producte vectorial serà el producte dels mòduls, i, conegut ja elsentit de la intensitat de corrent induït, el producte vectorial donarà el sentita les forces indicat en el dibuix, és a dir, frenant el moviment del costatmòbil, d’acord amb la regla de Lenz. Finalment, els límits del conductorestan situats a distàncies a i b del conductor, que seran els límitsd’integració. Amb tot això, el mòdul de la força és:

Rv

abI

xdxIidxBiF

b

aC

200 ln

22

πµ

=π

µ== ∫∫

13.4 Inducció mútua. AutoinduccióQuan per un circuit circula un corrent elèctric, aquest crea un camp

magnètic, i les variacions d’aquest corrent produiran variacions de flux a travésdel mateix circuit o d’altres circuits propers, i apareixen, com a conseqüència,un corrent induït en el mateix circuit o en els veïns. Aquests procés quedencaracteritzats pel coeficient d’inducció mútua per a la interacció entre circuits ipel coeficient d’autoinducció per a un únic circuit.

Inducció mútuaSuposem que pel circuit 1 de la Figura 13.1 circula un determinat corrent

I1. Aquest corrent crea un campmagnètic el flux del qual a través del’espira 2, el denominem Φ21. El fluxdel camp magnètic és proporcional alcamp magnètic, i aquest, al seu torn,proporcional a la intensitat, és a dir,el flux és proporcional a la intensitat.És a dir,

I1 Φ21

Figura 13.1. El corrent produït en el circuit 1produeix un flux magnètic a través del circuit 2.

13-12

Φ21 = M21I1 Equació 13.1

El coeficient de proporcionalitat M21 es denomina coeficient d’inducciómútua i depén únicament de la geometria dels circuits i de la seua posiciórelativa.

Anàlogament, si pel circuit 2, passara un corrent I2, aquest crearia uncamp el flux Φ12 del qual a través del circuit 1 és proporcional a I2.

Φ12 = M12I2Es pot demostrar que:

M21 = M12 = MD’altra banda, si el corrent I1 és variable, també ho és el camp magnètic

i, per tant, el flux varia. Per la llei de Faraday podem calcular la fem induïda enel circuit 2:

dtdIM

dtd 1

2 −=Φ

−=ε Equació 13.2

La unitat en el sistema internacional del coeficient d’inducció mútua ésl’henry (H), que el podem definir a partir de l’Equació 13.2 de la manerasegüent: entre dos circuits hi ha una inducció mútua d’un henry quan en variarper un d’aquests la intensitat per raó d’un ampere per segon, s’indueix en l’altreuna força electromotriu d’un volt.

AutoinduccióAnàlogament al raonament emprat per a la

inducció mútua entre dos circuits, quan tenim un solcircuit recorregut per una intensitat I, aquesta creaun camp magnètic el flux del qual a través delmateix circuit és directament proporcional a laintensitat que el recorre (Figura 13.2). És a dir:

Φ = LI Equació 13.1

La constant de proporcionalitat L, esdenomina coeficient d’autoinducció o inductància, i depénúnicament de la geometria del circuit. La seua unitat en elsistema internacional és l’henry igual que el coeficientd’inducció mútua. El símbol de l’autoinducció en els esquemes elèctrics és elmostrat en la Figura 13.1.

Si la intensitat I del circuit varia, també ho fa el camp magnètic que crea iel flux a través del circuit, de manera que per la llei de Faraday apareix una feminduïda:

dtdIL

dtLId

dtd

−=−=Φ

−=ε)(

El coeficient d’autoinducció L és sempre positiu, ja que segons la llei deLenz, la fem sempre s’oposa a la causa que la produeix.

Exemple 13.1

Determineu l’expressió del coeficient d’autoinducció del solenoide de

I

ΦrB

Figura 13.2. El corrent en uncircuit produeix un flux magnètic

al seu través.

Figura 13.1.Autoinducció.

13-13

la figura, suposant que és molt llarg comparat amb el seu radi, que elnombre d’espires N és gran, i coneixent que en circular-hi un corrent Il’expressió del camp magnètic al seu interior és: B = µ0NI/x. Apliqueu-lo alcas concret d’un solenoide de 500 espires de 5 cm de radi, i una longitudde 50 cm.

S

x

N

El coeficient d’autoinducció L es defineix, a partir de l’Equació 13.1, com elquocient entre el flux que travessa un circuit, dividit per la intensitat

IL Φ

=

El flux que travessa el solenoide és igual al flux a través d’una espira,multiplicat pel nombre d’espires

∫ ⋅=ΦS

SdBNrr

i com que el camp magnètic és constant i paral·lel al vector superfície,

Ix

SNSx

INNSBNdSBNdSBNSS

200 µ

=µ

====Φ ∫∫

amb la qual cosa el coeficient d’autoinducció és igual a:

xnx

SNL 20

20 µ=

µ=

on n és el nombre d’espires per unitat de longitud.

Com que la longitud és 10 vegades el radi, podem aplicar l’expressióobtinguda, i tindrem:

mH93,45,0

05,0500104 22720 =

⋅π⋅⋅π=

µ=

−

xSNL

13-14

13.5 Circuit LREs denomina circuit LR un circuit que conté

resistències i autoinduccions. La presènciad’autoinduccions en els circuits de corrent altern, ien general en circuits amb corrents variables,produeix l’aparició de fenòmens transitoris en elscircuits, de manera similar a com passa amb lapresència de condensadors. Per a analitzar aquestcomportament transitori, veurem com varia elcorrent amb el temps en dues situacions: entancar i obrir l’interruptor en un circuit de correntcontinu.

En primer lloc, en la Figura 13.1 es mostrael circuit amb una resistència, una autoinducció,un generador i un interruptor. En tancar aquest, laintensitat de corrent passa de zero al valor estacionari ie, que produeix unacaiguda de tensió en R i una força electromotriu induïda en l’autoinducció. Siutilitzem la llei de Kirchhoff:

0=−−ε iRdtdiL

Com pot veure’s, no és constant, i creix des de zero, en l’instant inicialde tancar l’interruptor, fins a un valor estacionari que s’assoleix quan el correntarribe el valor final. El terme Ldi/dt, correspon a la força electromotriu induïdaen l’autoinducció, que per tenir sentit contrari a la força electromotriu delgenerador, es comporta com un receptor de força contraelectromotriu Ldi/dt.Aquest terme s’anul·larà quan la intensitat deixe d’augmentar i assolisca el seuvalor estacionari ie.

;;0;R

idtdit ε

→→∞→R

ieε

=

Aquesta equació diferencial es resol separant les variables i i t:

dtdi

RLii e −= dt

LR

iidi

e−=

−El factor L/R té dimensions de temps i es denomina constant de temps

del circuit τ. Integrant des de l’instant inicial en què es tanca l’interruptor ent = 0, i = 0, fins a un altre instant qualsevol t, i(t), tindrem:

∫∫ τ−=

−

tti

e

dtii

di

0

)(

0Integrant

tti

etii

0

)(0)ln(

τ−=− ;

τ−=

− ti

tiie

e )(ln ; τ−

=−

t

e

e ei

tii )( ; τ−

−=t

ee

iti 1)(

condueix finalment a

R

ε

L

iR

dtdiL

+ -

i

Figura 13.1. Circuit LR quan estanca l’interruptor.

13-15

−= τ

−t

e eiti 1)(

Equació 13.1

t

iie = ε/R

τ

0,63ie

equació que ens relaciona la intensitat en funció del temps, i la representaciógràfica del qual es mostra en la figura.

En la corba podem observar el significat de la constant de temps. Estracta del temps que caldria perquè el corrent assolirà el valor estacionari, sil’augment d’aquesta es mantinguera amb la mateixa rapidesa inicial. Equival altemps necessari perquè la intensitat augmente fins al 63 % del valorestacionari, ja que per a t = τ, i = ie (1 – e-1) = 0,63 ie.

En segon lloc, si retirem el generador, laintensitat començarà a decréixer des del valorinicial ie fins, transcorregut suficient temps, al valorzero. En el circuit anterior obrim l’interruptor demanera que la resistència estiga unida directamenta la bobina, quedant el generador, tal com potveure’s en la Figura 13.2, desconnectat.

Ara, l’equació del circuit és:

0=−− iRdtdiL

equació, que després de separar variables estransforma en:

dtLR

idi

−=

Novament, denominant el factor L/R constant de temps del circuit τ, iintegrant entre l’instant inicial t = 0, i = ie, i qualsevol altre t, i(t):

∫∫ τ−=

tti

i

dti

di

e 0

)( tti

iti

e0

)(lnτ

−= τ−

=t

ee

iti )(ln

I obtenim, finalment, la relació entre intensitat i temps,

τ−

=t

eeiti )(

t

iie

τ

0,37ie

Equació 13.2

En la corba podem apreciar el significat de la constant de temps. Estracta del temps que caldria perquè el corrent s’anul·lara totalment si la

R

ε

L

iR

dtdiL

- +

i

Figura 13.2. Circuit LR quan esretira el generador.

13-16

disminució d’aquesta es mantinguera amb la mateixa rapidesa inicial. Equival altemps necessari perquè la intensitat decresca fins al 37 % del valor inicial, jaque per a t = τ, i = ie e-1 = 0,37 ie.

La presència de bobines en els circuits de corrent altern, produeix unefecte similar al dels condensadors, introduint un efecte transitori en aquests.Tots els circuits presenten alguna inductància, no únicament les bobines; fins itot els circuits formats per conductors rectes tenen comportament autoinductiu.Aquest fet s’ha de tenir present en la transmissió de senyals elèctrics variablesamb el temps, tant si aquests són analògics com digitals. Per tant, si admetemque tots els circuits presenten algun comportament autoinductiu, podemconsiderar-los també com circuits RL.

Com exemple de la resposta que es produeix en els circuits davant desenyals elèctrics variables, suposem que en un circuit RL s’obri i es tanca uninterruptor amb un període sensiblement superior a la constant de tempsd’aquest circuit (per exemple, T = 100 τ). Atés que hi ha temps suficient per aassolir el corrent estacionari (tot i que segons l’Equació 13.1 no s’assoleix mai,tanmateix a partir d’un temps de 5 τ, s’ha assolit més d’un 99% del seu valor),es donarà una situació com la de la Figura 13.3a: el corrent assoleix el seuvalor estacionari i es manté en aquest valor fins que l’interruptor s’obri. Encanvi, si el període de commutació és semblant a la constant de temps(com T = 10 τ o menor), el corrent a penes arribarà a assolir el seu valorestacionari, o aquest serà molt breu, tal com mostra la figura b.

100 τ

i

t

ie

10 ττ

i

t

ie

a) T = 100 τ b) T = 10 τ

Figura 13.3. En a, corrent en escaló en un circuit RL amb un període 100 vegadessuperior a la constant de temps del circuit. En b, un corrent en escaló amb un període

10 vegades superior a la constant de temps del circuit.

Si en comptes de tractar-se d’un circuit que s’obri i es tanca, es tractad’una tensió en escaló com la que es dóna en la transmissió de senyalsdigitals, la situació és semblant. Si el període del senyal és comparable a laconstant de temps del circuit, aquest senyal es veurà alterat. Aquest fet s’ha detenir en compte en el disseny de circuits.

13-17

Exemple 13.1

Determineu la constant de temps d’un circuitamb una bobina de 9 mH i una resistència de 120Ω com mostra la figura. A quin corrent final estendeix quan es tanque l’interruptor? Quant detemps caldrà perquè la intensitat que circulaassolisca el 99% del valor estacionari?

Solució

9 mH

9 V

120 Ω

τ = L/R = 9/120 = 75 µs

El corrent estacionari valdrà ie = ε/R = 75 mA

Aïllant t de l’Equació 13.1, tindrem:

e

t

iie −=τ− 1

on, prenent logaritmes,

01,0ln=τ

−t → t = -75·ln 0,01 = 345 µs

Si analitzem el circuit des d’un punt de vista energètic, quan tanqueml’interruptor, podem establir la igualtat següent si multipliquem l’equació delcircuit per idt, perquè tinga dimensions d’energia:

εidt = Ri2dt + Lidi

El primer terme de l’equació representa l’energia subministrada pelgenerador en un temps dt. Aquesta energia es dissipa, d’una banda, en formade calor en la resistència (Ri2dt) i, de l’altra, s’utilitza per a portar la intensitatd’un valor 0 al valor corresponent al règim estacionari i en conseqüència acrear el camp magnètic (igual que necessitàvem una aportació d’energia per acrear un camp elèctric entre les armadures d’un condensador). Quans’establisca el règim estacionari, di/dt = 0, no hi haurà variació del fluxmagnètic, no hi haurà fem induïda i tota la potència subministrada pelgenerador es dissiparà en la resistència.

En definitiva, l’energia necessària per a assolir la intensitat en règimestacionari ie, és:

2

0 21

e

i

LiLidiWe

== ∫Aquesta energia, emmagatzemada en l’autoinducció, és tornada al

circuit quan obrim l’interruptor. En aquest cas tenim:

13-18

– Lidi = Ri2dt

on di<0, en disminuir progressivament la intensitat.Quan desconnectem un endoll o obrim un interruptor notem de vegades

una espurna. Això és deu al corrent induït, ja que en cessar el corrent, el fluxdel camp magnètic variable que apareix crea un corrent que s’oposa a ladesaparició del corrent inicial, és a dir, l’energia pot dissipar-se entre elscontactes de l’interruptor.

13.6 Energia emmagatzemada en una autoinducció. Densitat d’energia delcamp magnèticIgual que un condensador emmagatzema energia elèctrica entre les

armadures, on hi ha camp elèctric, una bobina (autoinducció) emmagatzemaenergia magnètica a l’interior, on s’estableix el camp magnètic.

Calcularem l’energia magnèticaemmagatzemada en unsolenoide recte com el del’Exemple 13.1. Suposem queen ser molt llarg comparat ambel radi, el camp magnètic ésuniforme en l’interior i nul enl’exterior. Segons l’exempleesmentat el coeficient

d’autoinducció val:

ll

20

20 SnSNL µ=

µ=

L’energia emmagatzemada en el solenoide és:22

02

21

21 ISnLIW lµ==

i tenint en compte el camp magnètic en l’interior d’un solenoide,B = µ0nI

obtenim l’expressió per a l’energia del camp magnètic:

( ) VBSnIW 2

00

20 2

12 µ

=µ

µ=l

on V = Sl és el volum del solenoide.L’energia per unitat de volum ω, densitat d’energia, serà:

2

021 B

dVdW

µ==ω

expressió que tot i que ha sigut calculada per a un solenoide, és de validesageneral.Recordant l’expressió que vam obtenir per a la densitat d’energia elèctrica,

202

1 Eε=ω

quan tinguem camp elèctric i magnètic, la densitat d’energia electromagnèticatotal és:

B

l

SN

ri

Figura 13.1. Solenoide recte.

13-19

2

0

20 2

121 BE

µ+ε=ω

13.7 Aplicacions dels fenòmens d’inducció

Lectura d’informació enregistrada en suport magnèticEn el capítol anterior es va tractar de l’enregistrament d’informació en

suport magnètic mitjançant la utilització de discos o cintes de materialferromagnètic, on un capçal amb un solenoide per on circula un corrent amb lainformació que s’ha d’enregistrar imanta aquest suport. Per a llegir aquestainformació, el disc o la cinta ha de moure’s ara prop d’un capçal lector, formatper un circuit passiu en el qual hi ha un nucli de ferro amb una bobinaenrotllada al voltant. D’aquesta manera, en passar el suport magnetitzat,induirà en el nucli un camp magnètic variable que produirà un flux magnèticvariable en la bobina, i d’aquesta manera es produirà un corrent induït, i pertant, la transformació de la informació enregistrada en corrent elèctric per altractament posterior. El fonament és vàlid tant per a informació analògica comdigital.

1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

I

I

t

Figura 13.1. Lectura d’informació en suport magnètic.

13-20

Lectura per inducció

La tecnologia per a l’enregistrament i la reproducció d’informació haevolucionat al llarg de tot el segle XX, tot i que els fonaments físics a peneshan variat fins a l’arribada de la tecnologia òptica el 1979 amb l’aparició delsprimers CD.

Fins a l’arribada de l’era de la informàtica a mitjans del segle XX, enquè va començar a utilitzar-se també per a dades informàtiques, aquestatecnologia ha estat associada a la indústria musical.

Així, a principis del segle XX s’utilitzava elgramòfon per enregistrar i reproduir veu imúsica. Aquest es va transformar en tocadiscosamb fonocaptor electromagnètic en la dècadade 1930. Per a emmagatzemar la informaciómusical, s’utilitza un suport plàstic (discos devinil) que gira a 33 revolucions per minut. Enaquest suport, una agulla recorre els microsolcsgravats vibrant d’acord amb les irregularitatsdels microsolcs, igual que faria una bicicleta enun camí muntanyós. Les vibracions de l’agullasón transmeses a un imant, que indueixd’aquesta manera un flux magnètic variable enun bobina, i es transforma així la informaciótopogràfica del microsolc en corrent elèctricinduït que reprodueix les irregularitats delterreny. Pot fer-se amb imant mòbil (figura), oamb bobina mòbil.

N

S

I

Agujamicrosurcos

tI

Detall d’un fonocaptorelectromagnètic d’imant mòbild’un tocadiscos. L’agulla, enpassar per les irregularitats delmicrosolc, vibra i transmet lavibració a l’imant.

Al llarg del segle XX, el procediment va evolucionar dirigit cap a laminiaturització, i es va assolir una gran fita amb el desenvolupament delscassets portàtils a partir de 1961, que va permetre per primera vegadaenregistrar i reproduir música fàcilment d’una manera econòmica. El suporten aquest cas és una cinta de material ferromagnètic on la informació estàenregistrada, igual que en un disquet, en forma de dominis magnètics, quesón llegits en passar la cinta prop d’un capçal fèrric amb una bobina ons’indueix el corrent i, per tant, es llegeix la informació.

El 1951 es va usar la cinta magnètica per primera vegada per a dadesinformàtiques. El 1976 apareixen els primers disquets de 5,25 polzades. Afinals del segle XX, amb l’arribada de l’era informàtica, es van aconseguircapçals de dimensions molt petites capaços de llegir i enregistrar.Tanmateix, el fonament bàsic va continuar sent el mateix: un suport ambinformació, magnètica en aquest cas, indueix corrent en un capçal lector ambuna bobina enrotllada al seu voltant.

Corrents de FoucaultEn els exemples analitzats en l’apartat de fenòmens d’inducció

electromagnètica els corrents induïts per variació del flux magnètic tenien llocen circuits ben definits, però una variació del flux també indueix corrents enpeces metàl·liques, corrents denominats de Foucault.

13-21

En l’exemple de la Figura 13.1(a), disposem d’un imant i un disc metàl·licgirant al voltant d’un eix de manera que una part del disc passa per l’interior delcamp magnètic creat per l’imant. A través de qualsevol camí o línia tancadaque considerem de la peça metàl·lica hi haurà una variació del flux magnèticque induirà un corrent que s’oposarà a aquesta variació segons la llei de Lenz.

ω

S N N

(a) (b)

Figura 13.1. Corrents de Foucault.

Els corrents de Foucault produeixen dos efectes; d’una banda, esprodueix una frenada magnètica del disc i, de l’altra, un escalfament per efecteJoule, que pot suposar un inconvenient. Aquest es pot reduir evitant elspossibles camins en l’interior de les peces metàl·liques. Així, per exemple, enels transformadors (apartat següent) es laminen els nuclis de ferro per aminimitzar aquestes pèrdues (vegeu la Figura 13.2).

L’efecte de frenada es produeix en tenir un corrent elèctric en l’interiord’un camp magnètic. En la Figura 13.1 (b), sobre el disc apareix una força ques’oposa al moviment del disc. Aquest efecte s’utilitza en frens magnètics detrens d’alta velocitat, motors, balances de precisió, etc.

També els forns d’inducció es basenen els corrents de Foucault. En aquest cases tracta d’escalfar una peça metàl·licamitjançant corrents induïts com aconseqüència d’un camp magnètic variable.Es tracta d’un camp magnètic alternatiu demolt alta freqüència: B0sin ωt. En variar elcamp, i per tant el flux, també de manerasinusoïdal, s’indueixen corrents en una peçametàl·lica, que per la resistència elèctrica delmaterial, originen un despreniment de calor.Els corrents induïts són directament

B = B0 sin ωt

i

Figura 13.2. Corrents de Foucault en forns icuines d’inducció.

13-22

proporcionals a la rapidesa de variació de flux, i per tant a la freqüència devariació del camp magnètic. S’utilitzen en la fosa de metalls i en cuinesd’inducció.

TransformadorUna aplicació fonamental dels fenòmens d’inducció és el dispositiu que

veiem en la Figura 13.1, el transformador, utilitzat par a augmentar o reduir elvoltatge en un circuit. Consta de dues bobines (primari i secundari) enrotlladesa un nucli de material ferromagnètic bla per a evitar les pèrdues per calorproduïdes en el cicle d’histèresi i laminatge, pels corrents de Foucault queapareixen en el nucli. Si pel primari amb N1 espires, connectat a una font detensió variable V1, circula un corrent I1, aquest crea un camp magnètic el fluxvariable del qual està canalitzat pel nucli del transformador i travessa elsecundari amb N2 espires.

Segons la llei de Faraday, tindrem tant en el primari com en el secundariuna fem induïda:

dtdNV

dtdNV Φ

==εΦ

==ε 222111 ;

Comparant les dues expressions, sent la variació del flux magnètic lamateixa en les dues bobines, tindrem:

11

22

2

2

1

1 V VNN

NV

NV

=⇒= ,

relació que ens dóna la relació de transformació del voltatge. Així, si el nombred’espires del primari N1, és superior al nombre d’espires del secundari N2, tenimun transformador reductor ja que la tensió en el secundari serà inferior que enel primari. Al contrari, tindrem un transformador elevador, tensió més alta en elsecundari que en el primari, quan el nombre d’espires del secundari sigasuperior que les del primari.

El transport d’energia elèctrica es realitza des de les centralsproductores fins als usuaris a voltatges grans i corrents petits per evitarpèrdues per efecte Joule, ja que la potència dissipada en forma de calor depéndel quadrat de la intensitat. Posteriorment, mitjançant transformadors esredueix a voltatges més baixos i corrents més alts.

N1 N2

V1 ~ V2 ~

11

22 V

NNV =

Figura 13.1. Transformador.

13-23

De la mateixa manera, molts dispositius que funcionen a baix voltatge ies connecten a la xarxa domèstica necessiten reduir la tensió fins als valors defuncionament.

Br

Br

i

(a) (b) (c)

Figura 13.2. Per a dificultar la formació de corrents de Foucault (a) es laminen elstransformadors (b). Així, es fragmenten els circuits de corrent grans (c), i augmenta d’aquesta

manera la resistència i disminueix l’energia dissipada en forma de calor.

Generació de corrent alternEl fonament de la generació d’un corrent altern es basa a fer girar una

espira en l’interior d’un camp magnètic uniforme, tal com es mostra en la Figura13.1.

Segons gira l’espira, el flux magnèticvaria, i crea un corrent induït, que podemdeterminar aplicant la llei de Faraday:Si suposem el camp uniforme:

ϕ=⋅=⋅=Φ ∫ cosBSSBSdBS

rrrr

on ϕ és l’angle que formen el vectorsuperfície i el camp magnètic. Si tenim Nespires amb les mateixes característiques, elflux quedarà multiplicat per N:

Φ = NBScosϕ

Si la velocitat de gir de l’espira és constant (ω velocitat angular o pulsació):ϕ = ωt + ϕ0

Apliquem la llei de Faraday per a obtenir la força electromotriu induïda:

( )=ϕ+ωω=

ϕ+ω−=

Φ−=ε )sin()cos(

00 tNBS

dttNBSd

dtd T

BNSωcos(ωt + ϕ0 + π/2)

Obtenim una força electromotriu sinusoïdal. Aquest principi, fer girar unabobina en l’interior d’un camp magnètic, és el fonament de tots els generadors

N S

Sr ω t·

ω

Figura 13.1. Generació d’un corrent alternsinusoïdal.

13-24

d’electricitat, tant d’una central tèrmica, com hidràulica, nuclear, com també dela dinamo d’una bicicleta.

A causa de la rellevància tecnològica i de tot tipus que té el correntaltern, en el pròxim capítol es tractarà específicament del corrent alternsinusoïdal.

Comptadors d’electricitat

Les Rosenau Investigación y Ciencia, maig de 2000El comptador tancat en una carcassa de vidre que penja d’una paret de la vostra casa, al soterrani od’un pal proper a l’aire lliure, enregistra l’energia que flueix al vostre domicili procedent d’una plantade la companyia de llum. Aquest aparell mesura el corrent (flux d’electrons, que s’expressa enamperes) i el voltatge, o tensió que impulsa els electrons pel fil conductor. Per a determinar elconsum, el comptador multiplica automàticament ampere per volt.

Un comptador és, agrans trets, un motormogut per les forcesmagnètiques creadespel pas d’un correntelèctric a través debobines. Els conductorsd’entrada estanconnectats a unabobina de voltatge; elcorrent flueix llavorsper la bobinad’amperatge cap alcircuit del domicili.Quan el correnttravessa les duesbobines, el campmagnètic induït fa queun disc d’alumini gire auna velocitatproporcional a laquantitat de wattsconsumits.

Sobre ambdues cares del disc d’alumini hi ha muntats imants permanents per a assegurar-ne laprecisió del moviment; un altre camp magnètic manté suspesos en l’aire el disc i el seu eix, i eliminaaixí els fregaments que puguen destorbar una lectura correcta.Cada revolució del disc sol equivaler a 7,2 watts-hora. (Com a referència, una bombeta consumeix100 watts-hora d’electricitat per hora.) Com més potència consumisca la casa, més ràpid gira el disc.Com les companyies d’electricitat mesuren els consums en grans unitats, o siga, en kilowatts-hora,cada 138,88 revolucions del disc indiquen un consum elèctric d’1 kilowatt-hora (1000 watts-hora).Consegüentment, cada 1000 voltes del disc indiquen un consum de 7,2 kilowatts-hora.Un tren d’engranatges transfereix la informació sobre el nombre de revolucions del disc al conjunt dedials d’un registrador; el nombre de dials depén del tipus de comptador. El lector del comptadorenregistra la posició del dial de kilowatt-hora i determina el consum del mes per sostracció de lalectura anterior. La implantació d’una nova tècnica permet que els comptadors comuniquen leslectures de kilowatt-hora a una instal·lació central mitjançant radioones, línies telefòniques o fins i totmitjançant la mateixa línia de distribució d’electricitat.

13-25

13.8 Problemes

1. Indiqueu en els circuits de la figura el sentit del corrent induït, com també el dela força magnètica que apareix sobre la part mòbil d’aquests.

a)

I(t) augmenta amb t

b)

v

I

c)

v

rB

d) ω

rB

e)

mgrB

2. Dibuixeu el sentit de la intensitat induïda en les espires que convinga en elscasos següents.

a) v

I

v

b) rv r

v

rv I

c)

Irv

rv

rv

d) rB

rv

e) rB

rv

3. Calculeu el flux magnètic i la fem induïda enuna espira de superfície S que gira ambvelocitat angular ω en un camp magnèticuniforme B.Sol: Φ =BScosωt ε = BSω sinωt

ω

B

S

13-26

4. Siga una bobina real amb coeficientd’autoinducció L = 2 H i resistència R = 12 Ω. Esconnecta a un generador ideal de fem ε = 24 V(fig.(a)).Una vegada assolit el règim estacionari:a) Quina és la intensitat del corrent en el circuit?b) Quant val l’energia emmagatzemada en labobina?c) Si es curtcircuita la bobina i se suprimeix elgenerador (fig. (b)), quant val l’energia dissipada en la bobina en forma de calora causa de la resistència?Sol: a) I = 2 A , b) W = 4 J , c) WQ = 4 J

5. Una barra conductora de resistència negligible ilongitud L rellisca sense fregament, amb velocitatconstant v sobre un conductor en forma de U ambresistència R situat en un camp magnètic B

r

perpendicular com es mostra en la figura. Calculeu:a) Flux magnètic que travessa l’espira en funció de x.b) Intensitat induïda en l’espira, indicant-ne el sentit.c) Força que s’ha d’exercir sobre la barra perquè esdesplace amb velocitat v

r.

Sol: a) R

vLB=F c) R

BLv=I b) BLx=22

Φ

6. Siga un conductor rectilini infinit per qual circula uncorrent d’intensitat I = Kt on K és una constantpositiva. Una espira rectangular de costats a i b sesitua en el pla del conductor tal com es mostra en lafigura. Calculeu:a) fem induïda εi.b) Si l’espira té una resistència R, quant val la i induïda,indicant-ne el sentit.c) Força magnètica sobre el costat AB. )(tF

r (mòdul,

direcció i sentit).d) Coeficient d’inducció mútua entre el fil i l’espira (M).Sol:

c

b+ca= Md)

Rat

cb+cK

=F c)

c

b+cRKa

=i b) c

b+cKa= a) i

ln2

avall cap i AB alar perpendiculn2

ln2

ln2

02

20

00

πµ

πµ

πµ

πµ

ε

24 V

2 H, 12 Ωa)

b) 2 H, 12 Ω

R

x

Lrv

rB

IA B

c a

b

13-27

7. Un cèrcol metàl·lic de radi L i resistèncianegligible, obert entre C i C', està situat en l’interiord’un camp magnètic B, uniforme, normal al pla delcèrcol i sentit el que s’indica en la figura, una barrade coure, en el dibuix OA, gira al voltant de l’extremO, coincident amb el centre del cèrcol, amb velocitatangular ω constant, i l’extrem A es manté enpermanent contacte amb el cèrcol. Entre O i C hi haun fil conductor de resistència R. Calculeu:a) Flux magnètic, expressat en funció del temps, através del circuit OACO.b) Força electromotriu induïda en aquest circuit.c) Intensitat de corrent que circula per la resistència R.

Sol: a) R

BL=I c) BL= b) tBL=2

222

22 ωωε

ωΦ

8. El coeficient d’inducció mútua entre els dos circuitsde la figura és M, sent i(t)=I0cos(ωt+φ). Quina ésl’expressió de la intensitat induïda en el circuit 2?

Sol: )(0 φωω

+tsinR

MI

9. Pel conductor rectilini de la figura, de longitudinfinita, circula una intensitat de corrent de 2 A en elsentit indicat.En el mateix pla, i en la posició mostrada en lafigura, es troba una espira de resistència R, un delscostats de la qual es mou amb velocitat constant ven el sentit indicat.Calculeu:a) El flux magnètic que travessa l’espira, en funcióde z, degut al corrent de 2 A.b) La fem induïda en aquesta espira.c) Intensitat induïda en l’espira, indicant-ne el sentit.d) Força que actua sobre el costat mòbil de l’espira.

Sol: a) Rvb/aI=F d) R=i c vb/aI= b b/aIz=

2000

2)ln(/))ln(

2))ln(

2

π

µε

πµ

επ

µΦ

A

C

C’

O

B

ω

L

R(1) (2)

i(t)

R

I

z

a

b

v

13-28

10. Una espira rectangular, de costats a i b, iresistència R situada en el pla X=0, es mou ambvelocitat constant v en la direcció de l’eix OY, tal coms’indica en la figura. En aquesta regió de l’espai hi haun camp magnètic no uniforme TiCyB

rr= . Suposant

que en l’instant t = 0 el costat AA' de l’espira coincideixamb l’eix OZ, calculeu per a un instant t:a) Flux que travessa l’espira.b) Fem induïda en l’espira.c) Intensitat que circula per l’espira, indicant-ne el sentit.d) Resultant de les forces magnètiques que actuensobre l’espira, indicant-ne la direcció i el sentit.

Sol: a) 2

)2( avt+aCb=2

Φ b) ε = avCb c) i = avCb/R d) jR

vCba=Frr 222

-

11. Dues espires circulars, de radis a=1 cm i b= 50 cm,concèntriques, estan situades en el mateix pla. (Esconsidera a<<b). Calculeu:a) Coeficient d’inducció mútua d’ambdues espires.b) Flux magnètic que travessa l’espira de radi b quan per la de radi a circula unaintensitat I = 5 A.

Sol: a) H1042

211-2

0 =ba=M π⋅

πµ b) Φ = 2π2·10-10 Wb

12. Un cable coaxial llarg està constituït per dos cilindres concèntrics de radis ai b. El seu conductor central és buit i porta un corrent I, el conductor exteriorproporciona el camí de retorn.a) Calculeu l’energia emmagatzemada en el camp magnètic per a un tram delongitud h d’aquest cable.b) Quina és l’autoinducció per al mateix tram de longitud h?

Sol: a) ( ) ( )

π

µ

πµ

2

ln

4

ln 020

abh

=L b) ab

hI=W

GLOSSARI

Llei de Faraday: Llei que ens quantifica els denominatsfenòmens d’inducció electromagnètica i que podem enunciar dela manera següent: “La força electromotriu induïda en un circuit,ε, és directament proporcional a la rapidesa amb què varia el flux

magnètic a través del circuit” (dtdφ

−=ε ).

Llei de Lenz: El sentit del corrent induït és tal que s’oposa a lacausa que el produeix.

X

Y

Z a

b

A

A rv

rB

a

b

13-29

Corrents de Foucault: Corrents que apareixen en l’interior demasses metàl·liques quan es produeixen variacions del fluxmagnètic al seu través.

Coeficient d’autoinducció (L): Constant de proporcionalitatentre el flux magnètic que travessa un circuit i la intensitat quecircula per aquest (Φ = LI).El seu valor depén únicament de la geometria del circuit.

Coeficient d’inducció mútua (M): Donats dos circuits, elcoeficient d’inducció mútua es defineix com la constant deproporcionalitat entre el flux del camp magnètic que travessa uncircuit i la intensitat que circula per l’altre i que crea el campmagnètic (Φ2 = MI1).El seu valor depén de la geometria dels circuits i de la posiciórelativa d’ambdós.

Henry (H): Unitat dels coeficients d’inducció en el SistemaInternacional. Entre dos circuits hi ha una inducció mútua d’unhenry quan, en variar el corrent en un dels circuits per raó d’unampere per segon, s’indueix en l’altre una fem d’un volt.

Constant de temps d’un circuit RL ( RL=τ ): En tancar un

circuit, equival al temps necessari per a assolir un 63% de laintensitat del règim estacionari.