5-1

Capítol 5

Corrent continu i resistència elèctrica

5.1 Introducció

5.2 Corrent continu i corrent altern

5.3 Corrent i moviment de càrregues

5.4 Intensitat i densitat de corrent

5.5 Llei d’Ohm. Resistència

5.6 Energia del corrent elèctric. Llei de

Joule

5.7 Combinacions de resistències

5.8 Problemes

Objectius• Definir els conceptes intensitat de corrent elèctric, velocitat de

tracció, densitat de corrent i resistència.

• Establir la llei d’Ohm.

• Definir la resistivitat, i conéixer la seua dependència de latemperatura.

• Calcular la resistència equivalent d’associacions deresistències.

• Conéixer els efectes energètics del corrent elèctric i l’efecteJoule.

5.1 IntroduccióFins ara s’ha abordat l’estudi de les càrregues elèctriques en repòs, és a

dir, l’electrostàtica. En aquest tema començarem a analitzar els fenòmensrelacionats amb el desplaçament de càrregues elèctriques entre dos punts, laqual cosa es defineix com corrent elèctric.

Hi ha distints mitjans que permeten el moviment de càrregueselèctriques al seu través. El cas més conegut és el dels metalls conductors,però no és l’únic: en un tub de raigs catòdics d’un monitor de televisió hi ha unmoviment de càrregues elèctriques, en aquest cas a través del buit. També enuna dissolució conductora, com ara clorur de sodi en aigua o a través d’unnervi, hi pot haver un moviment de càrregues.

5-2

Tanmateix, des d’una perspectiva tecnològica, el cas que ha tingut mésrepercussió és el moviment de càrregues elèctriques en els conductorsmetàl·lics. En aquest cas, la conducció s’estableix per una diferència depotencial entre dos punts, o el que és el mateix un camp elèctric, la qual cosaprodueix una força i, en definitiva, un desplaçament de les càrregueselèctriques.

5.2 Corrent continu i corrent alternEl corrent elèctric pot ser, d’acord amb la seua evolució temporal:

• Continu, si les distintes magnituds relacionades amb el corrent –tensió,intensitat…–, continuen invariables en el temps, tant en valor com en sentit. Ésel corrent que produeixen els generadors electroquímics (piles) i fotovoltaics, oel que es produeix en un circuit rectificador.• Altern, si les distintes magnituds relacionades amb el correntevolucionen periòdicament amb el temps, i canvien alternativament de sentit.Un cas particular és el corrent altern sinusoïdal, que varia amb el temps d’acordamb una funció sinusoïdal. És el corrent utilitzat per a ús domèstic, i és produïten els generadors electromagnètics. Es tractarà específicament en el capítol14.• Corrent variable en general, si es tracta d’una variació temporalqualsevol, com per exemple, el corrent que arriba a un altaveu.

t

V

t

V

t

V

a) b) c)

Figura 5.1. Diferència de potencial en funció del temps entre dos punts d’un circuit de a)corrent continu, b) corrent altern sinusoïdal i c) un corrent variable qualsevol.

En aquest capítol es tracta el corrent continu, tot i que la majoria delsconceptes tractats poden extrapolar-se a qualsevol corrent independentmentdel tipus que siga.

5.3 Corrent i moviment de càrreguesEn els conductors metàl·lics, les partícules mòbils són els electrons que

han sigut “alliberats” pels àtoms que atrauen dèbilment els electrons de la capade valència, qüestió que es tractarà amb detall en el capítol 8. Un àtom demetall aïllat roman neutre perquè no és afectat per les interferències d’àtomsveïns; tanmateix, en un sòlid, els àtoms estan molt pròxims els uns dels altres,la qual cosa provoca un debilitament de l’atracció, i consegüentment laionització d’aquest àtom i l’alliberament d’un o més electrons. Aquests electronsalliberats són compartits pel conjunt d’ions del metall, i constitueixen un enllaçentre els diferents àtoms, que és el denominat enllaç metàl·lic. D’aquestamanera, en un metall hi ha una gran quantitat de partícules mòbils carregades,

5-3

electrons lliures, que es mouen caòticament com a conseqüència de l’agitaciótèrmica. El metall es manté neutre en tot moment, ja que no experimentapèrdua d’electrons.

En aplicar un camp elèctric exterior, o el que és el mateix, una diferènciade potencial, cada partícula carregada es veurà sotmesa a una força, que comse sap és:

EqFrr

=

Velocitat de traccióSi les càrregues estigueren en el

buit, aquesta força produiria unaacceleració que les impulsaria a gransvelocitats, tal com passa en un tub debuit d’un monitor de televisió. Tanmateix,en un medi metàl·lic sòlid, hi ha unaxarxa atòmica ordenada que interfereixen major o menor mesura en aquestmoviment, i provoca una situació similara la de la Figura 5.1: els electrons sónaccelerats constantment, i alhoraexperimenten canvis de velocitat com a conseqüència dels xocs o lesinteraccions. Com a conseqüència, s’arriba a una situació d’equilibri on elsincrements de velocitat de les partícules són compensats pels xocs, i s’assoleixaixí una velocitat mitjana d’equilibri.

Per tant, i com a conclusió, pot afirmar-se que quan s’aplica un campelèctric a un conductor, els electrons lliures són accelerats pel camp, tot i queaquesta energia cinètica és immediatament dissipada pels xocs amb els ionsde la xarxa, que produeix un escalfament que s’estudiarà més endavant (efecteJoule). Els electrons són contínuament accelerats i frenats en un movimentsimilar a la de les bales de la Figura 5.1. El resultat net d’aquesta acceleració idissipació és una velocitat mitjana d’equilibri molt baixa denominada velocitatde tracció o velocitat de deriva.

5.4 Intensitat i densitat de correntLa magnitud que quantifica la

major o menor càrrega elèctrica quecircula a través d’un conductor és laintensitat de corrent. De la mateixamanera que és útil i necessariquantificar el cabal que porta un riu, i hofem expressant el volum d’aigua quetravessa per segon una àrea transversal al moviment de l’aigua, es defineix laintensitat del corrent elèctric com la càrrega elèctrica que travessa unasecció transversal de conductor per unitat de temps.

dtdQI = Equació 5.1

Figura 5.1. Analogia mecànica del moviment delsportadors en un conductor.

dQI

Figura 5.1. Intensitat de corrent.

5-4

La unitat en el SI de la intensitat de corrent és l’ampere (A), que ésunitat fonamental, i la seua definició es trobarà en el capítol 11. A partird’aquesta expressió pot deduir-se que la unitat de càrrega elèctrica, elcoulomb, equival a: C ≡ As.

El sentit del corrent s’ha adoptat, per raons històriques, com un flux decàrregues positives, és a dir, que encara que es deu al moviment d’electrons,considerarem la intensitat com si es deguera al moviment de càrreguespositives. Aquesta aparent confusió no ha de tenir conseqüències si tenim encompte que el moviment de partícules de càrrega negativa en un sentit ésequivalent al moviment de partícules positives en sentit contrari. D’aquestamanera, considerarem sempre que el sentit del corrent és contrari al movimentdels electrons, com si d’un corrent de càrregues positiu es tractara.

D’altra banda, en el present estudi considerarem que la secció normaldel conductor, entesa com aquella que és normal a l’eix, varia progressivamental llarg del conductor. Això és, la geometria del conductor evoluciona suaumental llarg de l’eix. Llavors, en aplicar un camp elèctric entre els extrems delconductor, podem fer una primera aproximació i suposar que tant el campelèctric aplicat com el desplaçament de les càrregues elèctriques sónperpendiculars a la secció normal. Atés que el camp elèctric és el gradient de lafunció potencial canviat de signe, les seccions normals són superfíciesequipotencials.

SnvaqSn

va dt

vaq

vaq

(a) (b)

Figura 5.2

Amb el fi d’obtenir uns resultats aplicables a qualsevol material i tipusde corrent, ja siga aquesta a causa d’electrons, buits, ions, etc., considerem elcorrent com un tram pel qual circula càrrega elèctrica com el de la Figura 5.2(a), de superfície normal Sn. Transcorregut un interval de temps dt lescàrregues elèctriques s’han desplaçat una distància igual a la seua velocitat detracció pel temps, després el volum assenyalat en la Figura 5.2 (b) escorrespon amb l’ocupat per les càrregues que han travessat Sn en un temps dt.La quantitat de càrrega, dQ, que ha travessat la superfície normal Sn en eltemps dt serà igual a la densitat de càrrega, ρ, pel volum del cilindre de laFigura 5.2 (b), S va dt

dQ = ρ S va dt

5-5

Si denominem n la densitat de portadors de càrrega, la densitat decàrrega serà n per la càrrega de cadascuna de les partícules |q|. D’aquestamanera, s’obté finalment:

dQ = n |q| S va dti la intensitat valdrà, per tant:

avSqndtdQI == Equació 5.2

Observem, per tant, com la intensitat del corrent està relacionada ambla velocitat de tracció i amb la densitat de portadors de càrrega.

Densitat de correntEs defineix la densitat de corrent J

r com un vector que en cada punt

del conductor té la direcció i el sentit del moviment de les càrregues positives iel mòdul del qual és igual a la quantitat de càrrega que travessa la unitat desuperfície normal a la velocitat per unitat de temps.

D’aquesta manera, Jr

s’expressa en forma diferencial com:

udSdIJ

n

rr=

sent dSn un element de superfícienormal al moviment de les càrregues,i ur

el vector unitari perpendicular aaquest element de superfície (és adir, paral·lel al moviment de lescàrregues). A partir d’aquestaexpressió, es pot comprovar fàcilmentque les unitats en el SI de la densitatde corrent són A/m2.

Coneguda la densitat decorrent, la intensitat es pot expressarcom el flux de la densitat de corrent alllarg d’una superfície transversalqualsevol del conductor:

IdIdSJdSJSdJSS

nSS

===θ=⋅=φ ∫∫∫∫ cosrr

Si prenem una secció normal al moviment de les càrregues, i si J ésuniforme al llarg d’aquesta secció del conductor, l’expressió anterior la podemescriure com,

nS

nS

nS

n SJdSJdSJSdJInnn

===⋅= ∫∫∫rr

dI

I

dSn

dSr

var

Figura 5.1. Densitat i intensitat de corrent.

5-6

sent Sn l’àrea de la secció del conductor perpendicular al moviment de lescàrregues.

D’altra banda, atés que la intensitat de corrent que travessa una secciótransversal d’un conductor Sn ve donada per:

I = n|q|vaSn

el corrent diferencial que travessa un element de superfície dSn, serà:

dI = n|q|vadSn

i d’aquesta manera, la densitat de corrent es podrà expressar també com:

aan

na

nvnqunqvu

dSdSnqvu

dSdIJ

rrrrr====

( uvv aarr

= , ja que ur

representa el vector unitari en la direcció del moviment deles càrregues).

avnqJrr

= Equació 5.1

Observeu que ha desaparegut la referència al valor absolut de lescàrregues, ja que en aquesta equació vectorial, q, tindrà el signe que tinga elportador. D’aquesta manera, si els portadors tenen càrrega positiva, J

r tindrà la

mateixa direcció i sentit que avr

, però si els portadors tenen càrrega negativa,

com passa en els conductors metàl·lics, Jr

tindrà la mateixa direcció i sentitcontrari que av

r.

Per aquest motiu, si en un medi hiha dos tipus de portadors amb signescontraris, com és el cas delssemiconductors, en aplicar un campelèctric extern, els portadors esdesplaçaran amb velocitats de tracció desentit contrari, però no obstant això, els vectors densitat de corrent tindran en elmateix sentit, que sumaran així els seus efectes.

Exemple 5.1

Si per un conductor d’1,3 mm de radi circulen 20 A. Quina és la densitatde corrent, i quina la velocitat de tracció? Quant tardarien els electrons arecórrer un metre de distància? Dades: la densitat electrònica és de1,806·1029 electrons/m3, i la càrrega de l’electró q = 1,6·10-19 C.

Solució:

Considerant que la densitat de corrent és uniforme, aquesta ve donada per:

26

232 mA1077,3

)103,1(20

⋅=⋅π

=π

= −rIJ

avqnJrr

)( ++ += avqnJrr

)( −− −=

J+r

rva

J-r

rva

5-7

i la velocitat de tracció:

mm/s13,0

eC106,1

me101,806

mA1077,3

193

29

26

=⋅⋅⋅

⋅==

−−

−nqJva

per la qual cosa tardarien t = e/va = 7692 s a recórrer 1 m de distància. És adir, tarden més de dues hores a recórrer 1 m de distància, i tanmateix elsllums s’encenen immediatament en encendre un interruptor. Aquestaaparent contradicció es deu al fet que la velocitat de tracció expressa lavelocitat mitjana d’avanç del núvol electrònic per la xarxa sòlida, que ésdistinta a la velocitat de transmissió del senyal elèctric, que és la velocitat depropagació del camp elèctric pel material, i que és molt alta (300000 km/s sies tractara del buit).

Exemple 5.2

Un fil de coure de 2,5 mm de diàmetre, transporta un corrent de 15 A.Suposant que cada àtom de coure cedeix de mitjana 1,2 electrons a laconducció, calculeu la velocitat de tracció dels electrons.Nota: Són dades conegudes: la càrrega de l’electró (q = 1,6·10-19 C); lamassa molar del coure (M = 63,5 g/mol), la densitat (ρ = 8,9·103 kg/m3) i laconstant d’Avogadro (NA=6,02·1023 àtoms/mol).

Solució:A partir de l’Equació 5.2, la velocitat de tracció ve donada per:

nqSIva =

Com cada àtom de coure cedeix 1,2 electrons a la conducció, atenentels paràmetres coneguts del coure, podrem determinar una relació que enspermeta calcular el valor de n:

La constant d’Avogadro ens dóna el nombre d’àtoms presents en unmol de qualsevol material. Atés que coneixem el nombre de grams que téun mol de coure (pes atòmic), podrem conéixer el nombre d’àtoms presentsen un gram de coure:

(g/mol) (at./mol)

gàtoms

MN A=

El valor de la densitat ens permet conéixer la massa de coure presenten una unitat de volum, la qual cosa ens proporcionarà el nombre d’àtomsde coure presents en una unitat de volum.

)(g/m(àtoms/g)m

àtoms 33 ρ⋅=

MN A

Atés que cada àtom proporciona 1,2 electrons lliures, la densitat d’aquestsserà:

33 melectrons21

màtoms21 ρ

MN , ,n A ⋅==

Prenent valors en el Sistema Internacional:

5-8

)melectrons/(10 01,110 8,9 1063,510,026 2,1 3293

3-

23

⋅≈⋅⋅⋅⋅

⋅=n

La velocitat amb què es mouen aquestes càrregues és:

m/s 10 89,110

22,5 101,6 1001,1

15 42

319-29

−

−

⋅≈

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

≈=nqS

Iva

El resultat obtingut ens aporta la idea que la intensitat que circulaper un conductor es deu al gran nombre de càrregues lliures que esdesplacen per aquest, atés que la seua velocitat, en termes macroscòpics,sembla bastant baixa. Aquesta idea es veurà amb més comoditat desprésdel càlcul següent.

Si la intensitat és de 15 A, això implica que la superfície S éstravessada per 15 C cada segon. Coneguda la velocitat de tracció, podemsaber quina longitud de conductor conté aquesta càrrega lliure:

L = vat = 1,89·10-4 m = 0,189 mmaixò implica que 0,189 mm de conductor (amb un radi d’1,25 mm), contéuna càrrega de 15 C.

5.5 Llei d’Ohm. ResistènciaCom s’ha esmentat abans, el corrent

elèctric és provocat per un camp elèctric dinsdel conductor. El camp elèctric al llarg d’unconductor equival a una diferència depotencial entre els seus extrems, o el que ésel mateix; a una caiguda de tensió entre elsextrems. En termes energètics equival a dirque les càrregues elèctriques entren amb unaenergia qVa i ixen amb menys energia qVb com a conseqüència de lescol·lisions experimentades en la xarxa. D’aquesta pèrdua d’energia es tractaràen un altre apartat posterior. De la caiguda de tensió ∆V, pot dir-se que és moltmés gran com més gran siga la intensitat de corrent. Aquest resultatexperimental es coneix com llei d’Ohm, i pot enunciar-se com:

La diferència de potencial en els extremsd’un conductor és directament proporcionala la intensitat que circula per aquest.

Va – Vb = ∆V = IR

La constant de proporcionalitat es denomina resistència.La llei d’Ohm constitueix així la definició de resistència d’un conductor,

com el quocient entre la diferència de potencial aplicada a un conductor i laintensitat que circula per aquest.La unitat de resistència en el SI és l’ohm (Ω), i les dimensions:

[R]=ML2T -3I -2

Va

IVb

5-9

La magnitud inversa de la resistència es denomina conductància, i esmesura en siemens (S), 1 S ≡ 1 Ω-1.

La llei d’Ohm no és universal, sinó que la compleixen un tipus moltparticular, però molt usual, de conductors, que es denominen conductorsòhmics per distingir-los dels conductors no òhmics. En un conductor òhmic ladiferència de potencial és directament proporcional a la intensitat, és a dir queen un diagrama intensitat–tensió observarem una recta. En canvi en elsconductors no òhmics aquesta relació no és lineal. Per exemple, en un díodeper a tensions molt petites la intensitat és pràcticament nul·la i a partir d’undeterminat valor de la tensió, la intensitat creix molt ràpidament (vegeu la corbacaracterística tensió–intensitat d’un díode en el capítol 10). En aquest cas diemque l’element és no lineal o no òhmic.

ÒHMIC NO ÒHMICV (V) I (mA) V (V) I (mA)2 6 2 34 12 4 116 18 6 348 24 8 11110 30 10 360

Taula 5.1. Exemples de relacióentre tensió i intensitat per a unmaterial òhmic i un altre de no

òhmic.

V (V)

I (mA)

ÒHMIC

NO ÒHMIC

Figura 5.1. Representació gràfica de les dades dela Taula 5.1.

En els esquemes de circuits elèctrics, s’utilitzenaquests símbols per a referir-nos a les resistències.

R

R

Llei d’Ohm microscòpicaL’anterior enunciat de la llei d’Ohm és la forma convencional amb què es

coneix aquesta llei física, ja que és la que habitualment s’utilitza en analitzarcircuits o mesurar resistències. És una llei macroscòpica, ja que relacionamagnituds com la tensió i la intensitat, que expressen la diferència de potencialentre dos extrems distants d’un conductor, i el moviment de gran quantitat deportadors per aquest. Per aquest motiu, té un caràcter estadístic, ja que quanmesurem una intensitat a través d’un conductor comptem un enorme nombrede partícules. La resistència R és un paràmetre que depén tant del materialcom de la geometria del conductor. En aplicar la llei a un punt de l’espai, es potobtenir una expressió que relacione dues magnituds vectorials de punt (ladensitat de corrent i el camp elèctric) a través d’un paràmetre que depénúnicament de les característiques estructurals del medi conductor: és el que esconeix com llei d’Ohm microscòpica. Aquesta llei estableix que,

5-10

La densitat de corrent en un punt és directamentproporcional al camp elèctric en aquest punt. EJ

rrσ=

La constant de proporcionalitat σ, es denomina conductivitat. De lamateixa manera que abans, aquesta llei és únicament vàlida en els materialsòhmics, i com veurem a continuació, ambdós enunciats de la llei d’Ohm sónequivalents.

Expressió geomètrica d’una resistènciaPot considerar-se la llei d’Ohm “convencional” com un cas particular de

l’expressió microscòpica, ampliant el domini d’aplicació des d’un punt fins untram de conductor amb una determinada longitud, i obtenir la resistència d’unconductor a partir de la seua geometria i la seua conductivitat.

Amb aquest fi calculem la diferència de potencial entre dos puntsconsiderant un camí tal que siga sempre paral·lel al camp (Figura 5.1), amb laqual cosa el producte escalar l

rrdE ⋅ serà igual al producte dels mòduls

d’ambdós vectors:

Va

Vb

a

bdlr

Er

Jr

Figura 5.1. Camí paral·lel al camp.

∫∫ =⋅=−b

a

b

aba dEdEVV ll

rr

Per al cas de materials òhmics en els quals J = σ E, s’obté,

∫∫ σ==−

b

a

b

aba dJdEVV ll

Si considerem ara que la densitat de corrent és uniforme en la secció delconductor al llarg de l’element de longitud dl, la densitat de corrent es potexpressar com I/A, sent A l’àrea transversal del conductor en el punt concret.D’aquesta manera,

∫ σ=−

b

aba d

AIVV l

i atés que la intensitat de corrent és uniforme al llarg de tot el conductor s’obtéfinalment que la diferència de potencial entre dos punts a i b per a un materialòhmic ve donada per,

5-11

∫ σ=−

b

aba A

dIVV l

Definint la resistència d’un conductor com:

∫ σ=

b

a AdR l

S’ha obtingut la llei d’Ohm “macroscòpica”.

A l’invers de la conductivitat d’un material es denomina resistivitat ρ:

σ≡ρ

1

Amb la qual cosa la resistència pot expressar-se també com:

∫ρ=b

a AdR l

Equació 5.1

Observeu que les magnituds ρ i A es mantenen dins de la integralperquè d’aquesta manera es considera el cas genèric d’un conductor que tingauna secció transversal no uniforme, i una conductivitat no uniforme al llarg delconductor.

Com es pot veure en l’expressió anterior, els factors que influeixen enla resistència d’un conductor són de dos tipus. Uns són de tipus geomètric id’altres estructurals. Els de tipus geomètric són la secció i longitud. Laresistència és directament proporcional a la longitud i inversament proporcionala la secció. Els factors estructurals estan recollits en la resistivitat. Laresistivitat és un paràmetre característic de cada substància.La resistivitat es mesura en Ωm, i la conductivitat en (Ωm)-1.

Cal tenir present que la resistència és una característica pròpia d’unconductor donat i entre dos punts d’aquest, mentre que la resistivitat és unacaracterística d’una substància. Així, és correcte parlar de resistència entre elsextrems d’un cable, i de resistivitat del coure, però és incorrecte parlar deresistivitat d’un cable o de resistència del coure.

Utilitzant la llei d’Ohm, i l’Equació 5.1, podem relacionar la velocitat detracció amb el camp elèctric:

EEne

Jne

va

rrrrµ=

σ==

1

La constant de proporcionalitat neσ

=µ es denomina mobilitat, i és una

magnitud que expressa la facilitat de moure’s que tenen els portadors decàrrega en un determinat material en aplicar un camp elèctric.

5-12

Resistència d’un conductor de secció constant i homogeniUna situació concreta molt habitual és la d’un conductor de secció

constant i homogeni, és a dir que ρ i A no varien, amb la qual cosa l’Equació5.1 condueix fàcilment a:

AL

AdR

b

a

ρ=ρ= ∫l

sent L la longitud total del conductor.

Resistivitat d’algunes substàncies a 20 ºCA continuació, es mostren els valors de les resistivitats a 20 ºC de

diverses substàncies usuals. Solen classificar-se les substàncies en tres tipusamb relació a la resistivitat: conductors, aïllants i semiconductors. En elsconductors es presenten valors de la resistivitat molt petits (de vora 10-8 Ωm),en els aïllants molt gran (superior a 1010 Ωm), i en els semiconductors, valorsintermedis. En la taula apareix també el coeficient de temperatura que esdefinirà en la pròxima secció.

Substància ρ (Ωm) Coeficient detemperatura (K-1)

Plata 1,59·10-8 3,8·10-3

Coure 1,67·10-8 3,9·10-3

Or 2,35·10-8 3,4·10-3

Alumini 2,65·10-8 3,9·10-3

Wolframi 5,65·10-8 4,5·10-3

Níquel 6,84·10-8 6,0·10-3

Ferro 9,71·10-8 5·10-3

Platí 10,6·10-8 3,93·10-3

Conductors

Plom 20,65·10-8 4,3·10-3

Silici 4300 -7,5·10-2Semiconductors Germani 0,46 -4,8·10-2

Vidre 1010 - 1014

Quars 7,5·1017

Sofre 1015

Tefló 1013

Cautxú 1013 - 1016

Fusta 108 - 1011

Aïllants

Diamant 1011

Taula 5.1. Resistivitats i coeficients de temperatura de substàncies usuals a 20 ºC.

Exemple 5.1

Un fil de coure té un radi de 0,5 mm. Quina longitud es necessita per aaconseguir una resistència de 10 Ω? Utilitzeu els valors de resistivitats de laTaula 5.1.

Solució:

Suposant una temperatura de 20 ºC,

5-13

m462107,1

)105,0(108

23=

⋅⋅π⋅

=ρ

=−

−RAL

Exemple 5.2

Siga un conductor, homogeni de conductivitat σ, amb la forma d’un conrecte, truncat i de bases paral·leles (vegeu la figura). Responeu lesqüestions següents:

I

BA

LX

r2r1

x

a) Si pel conductor circula una intensitat I entre ambdues bases, determineucom varien en funció de la posició x dins del conductor les magnitudssegüents:

1. Intensitat.2. Densitat de corrent.3. Camp elèctric.4. Potencial (diferència de potencial entre la superfície recta A i un

punt de l’interior).b) Resistència del conductor entre ambdues bases.

Solució:

a.1. La inexistència de fonts o engolidors de càrrega elèctrica al’interior del conductor implica que la intensitat que travessa qualsevolsecció del conductor té el mateix valor. Doncs I = constant en qualsevolsecció del conductor.

a.2. Per a resoldre aquest punt suposem que les càrregueselèctriques es desplacen en tots els punts en la direcció perpendicular a lasecció recta. Aquesta hipòtesi té validesa quan hi ha un canvi progressiu isuau de la secció recta al llarg de l’eix.

Com el vector densitat de corrent té la mateixa direcció que la velocitat detracció, també serà perpendicular a la secció recta. A més, pel fet de tractar-se d’un conductor homogeni, la densitat de corrent tindrà el mateix valor encada punt del conductor d’una mateixa secció recta. En aquestescondicions:

∫ ∫∫ ===⋅=R RR S

RSS

JSdsJdsJsdJI rr

d’on, tenint en compte que el sentit és el del moviment de les càrregues

5-14

positives, el vector densitat de corrent serà:

iSIJR

rr=

r2

r1

r

xL

α

Atés que la secció recta depén de la seua posició respecte de l’eix OX:

SR (x) = π r2(x) = π(r1 + mx)2

on m és el pendent de la recta r(x) i té com expressió:

( ) =tg 12

Lrrm −

α=

Llavors, la densitat de corrent segueix l’expressió:

( )( )

imxr

IxJrr

21 +π

=

a.3. El camp elèctric, el podem conéixer en cada punt simplementaplicant la llei d’Ohm, que relaciona camp elèctric i densitat de corrent:

( ) ( ) ( )( )

imxrIxJxJxE

rrr

r

21

+πρ

=ρ=σ

=

atés que la resistivitat ρ té el mateix valor en qualsevol punt del material, elcamp elèctric varia amb la posició del punt considerat de manera anàloga alvector densitat de corrent.

a.4. En primer lloc veurem laforma de les superfícies equipotencials.La relació entre camp elèctric i potencialelectrostàtic ve donada per l’expressió:

VE −∇=r

on ∇V és la funció gradient.

PrE(x)

Vx

VA

A xX

Atés que el gradient és perpendicular a les superfícies equipotencials,també ho serà el camp elèctric. Com el camp elèctric és perpendicular a lasecció recta del conductor, d’ací deduïm que les seccions rectes delconductor són superfícies equipotencials.

La diferència de potencial entre la superfície A i qualsevol punt P delconductor, la podrem calcular com VA-Vx, on Vx és el potencial de la secció

5-15

recta que conté el punt P i es troba en la posició x de l’eix.Tenint en compte que la superfície A es troba en x = 0, si calculem

aquesta diferència de potencial:

( )∫ ∫ ∫ +πρ

=⋅=−x x

XA mxrdxIdxExdEVV

0 0

x

02

1

=

= rr

( ) ( )

x

01

x

02

1

1- =

+π

ρ+π

ρ∫ mxrm

Imxr

dxI

( )( )

( ) ( )mxrx

rI

rmxrmxrr

mI

rmxrmIVV XA +π

ρ=

+++−

πρ

=

+

+πρ

=−1111

11

11

11-

Com VA-Vx ≥ 0 (∀x > 0), el potencial elèctric disminueix en augmentarx.

b) Per a calcular la resistència del conductor, n’hi haurà prou ambd’aplicar la llei d’Ohm. Suposada una intensitat I i calculada la diferència depotencial entre les dues cares VA-VB, la resistència R, del conductor, serà:

IVVR BA −

=

Com la cara B es correspon amb la posició x = L, i tenint en compte elvalor de m,:

( ) 21121

111

rrLI

LL

rrr

LrI

mLrL

rIVV BA π

ρ=

−

+πρ

=+π

ρ=−

Llavors la resistència del conductor, serà:

21

rrL

IVVR BA

πρ

=−

=

Expressió que, tal com era d’esperar, sols depén de la geometria delconductor i de les propietats elèctriques del material de què està compost.

Variació de la resistivitat amb la temperaturaUn augment de la temperatura es tradueix en un augment de l’agitació

tèrmica, la qual cosa al seu torn produeix una major freqüència de lesinteraccions entre electrons i partícules i, consegüentment, una disminució delrecorregut mitjà dels electrons entre xocs, una disminució de la velocitat mitjanad’aquests i, finalment, una disminució de la conductivitat. Per tant, cal esperarque la resistivitat augmente amb la temperatura.

En el gràfic següent pot observar-se la dependència de la resistivitatdel coure amb la temperatura. S’hi pot observar una dependència no lineal,però que pot assimilar-se a lineal per a petits intervals de temperatura. Aixòfacilita els càlculs de gran manera si es coneix la resistivitat a una temperatura ise’n vol conéixer a una altra. En les taules sol aparéixer la resistivitat a 20º C iel coeficient de temperatura α, que és el pendent que tindria la corba si fóralineal a 20 ºC. D’aquesta manera tindríem:

5-16

0

2

4

6

8

-200 0 200 400 600 800t, (ºC)

200 400 600 800 1000T ,(K)

ρ·10

-8 ( Ω

m)

ρ = ρ20(1 + α(t - 20))

Figura 5.1. Variació de la resistivitat del coure amb la temperatura.

La variació de la resistivitat amb la temperatura per a altres materialsconductors té característiques similars a les descrites per al coure.

En el disseny de circuits s’ha de tenir en compte la temperatura defuncionament, ja que els conductors modifiquen la seua resistència, i enconseqüència se’n modificarà la intensitat i la diferència de potencial. D’altrabanda, una aplicació pràctica de la variació de la resistència amb latemperatura és el mesurament de temperatures en circuits prèviamentcalibrats.

Exemple 5.1

Quin augment de temperatura a partir de 20º C farà augmentar laresistivitat del coure en un 50%?

Solució:

Aïllant de ρ = ρ20(1 + α(t - 20)), tindrem:

5,120

=ρρ ; 3109,3

5,015,1−⋅

=α−

=∆t = 128 ºC

5-17

SuperconductivitatAlguns metalls presenten resistivitat pròxima

a zero a temperatures per sota de determinat valordenominat temperatura crítica. El fenomen esdenomina superconductivitat, i va ser descobert el1911 pel físic holandés H. Kamerlingh Onnes. Lasuperconductivitat implica resistència zero i, pertant, la persistència del corrent en un circuit encaraque no hi haja generador. La Figura 5.1 mostra labrusca caiguda de la resistència del mercuri a 4,2K. Altres metalls com el niobi tenen unatemperatura crítica de 9,2 K. Tanmateix, latemperatura és massa baixa per poder donar utilitata aquest fenomen, ja que aquestes temperaturesencareixen enormement qualsevol procés. A partirde 1987, tanmateix, s’han descobert molts òxids ceràmics que tenentemperatures crítiques més altes, i s’han aconseguit aliatges que presentensuperconductivitat a temperatures de vora els 90 K, temperatura que tot i queencara és baixa, no planteja tants problemes, en estar per damunt de latemperatura d’ebullició del nitrogen líquid.

5.6 Energia del corrent elèctric. Llei de JouleJa s’ha esmentat abans amb la

llei d’Ohm, que el corrent elèctricimplicava una caiguda de tensió entredos punts i, per tant, pèrdua d’energia.Si considerem un element qualsevolentre els extrems del qual circula unaintensitat I, les càrregues, queinicialment tenen una càrrega dqV1, entravessar l’element la seua energia hadisminuït fins a dqV2. La diferènciad’energia és:

∆U = dq (V2 - V1)

la rapidesa amb què les càrregues perden l’energia és la potència consumida

IVVVdtdq

dtdUP =−== )( 12

Si l’element considerat és una resistència, aplicant la llei d’Ohm, l’expressió dela potencia consumida es pot reescriure de les formes següents:

RVRIVIP

22 ===

Convé recordar respecte això que la potència es mesura en watts (W).En una resistència l’energia consumida ho és per dissipació de calor.

Aquest fet físic, la transformació de l’energia elèctrica en energia calorífica, es

0,05

0,10

0,15

0,004,0 4,1 4,2 4,3 T (K)

R (Ω)

10-5 Ω

Figura 5.1. Superconductivitat enel mercuri. (font P. A. Tipler).

I

dqV2

dqV1

x

R

U

Figura 5.1. Pèrdua d’energia en una resistència.

5-18

denomina efecte Joule. Aquest fenomen és indesitjable en els casos queutilitzem el corrent com a vehicle de la informació, és a dir, en aplicacionsinformàtiques o telemàtiques i, en general, en els casos que, a diferència delque passa en escalfadors i estufes, no es tracta de produir explícitamentenergia calorífica.

5.7 Combinacions de resistènciesQuan s’associen resistències, pot fer-se en sèrie, en paral·lel i en

associacions mixtes. Es defineix en aquests casos la resistència equivalentd’un conjunt de resistències com aquella resistència que, sotmesa a la mateixadiferència de potencial que el conjunt, deixa passar la mateixa intensitat decorrent (i per tant la mateixa energia) que tot el conjunt de resistències. Estracta de considerar l’associació com un dipol únic i substituir-la amb unaresistència que es comporte igual.

Associació en sèrieUn conjunt d’elements amb dos terminals estan associats en sèrie quan

es disposen l’un a continuació de l’altre, de manera que el corrent no trobebifurcacions.

R2R1

A B C

ILes resistències disposades ensèrie són travessades per la mateixaintensitat de corrent, ja que lescàrregues no troben cap desviació nies creen o destrueixen ni s’acumulenen cap punt. D’altra banda, ladiferència de potencial és acumulativa,és a dir, l’energia de les càrregues vadisminuint des de A fins a C de lamateixa manera que ho faria l’energiad’una pedra que baixe per un pendentdes de A fins a C. Així, la diferència depotencial entre els extrems A i C és:

VBC

VAC VAB

A

C

Figura 5.1. Associació en sèrie.

VAC = VA - VC =(VA - VB) + (VB - VC) = VAB + VBC

Si s’aplica la llei d’Ohm en aquesta expressió, pot determinar-se laresistència equivalent Req,

VAC = I ReqVAB = I R1VBC = I R2

Per la qual cosa, substituint i dividint per I s’obté, Req = R1 + R2, o engeneral, per a n resistències en sèrie:

∑=n

ieq RR1

Equació 5.1

5-19

Associació en paral·lelUn conjunt d’elements amb dos terminals està disposat en paral·lel

quan s’han situat entre dos únics punts de tal manera que es pot anar d’un punta l’altre, passant per qualssevol dels elements, sense passar pels altres.

En l’associació en paral·lel, ladiferència de potencial és la mateixa entotes les resistències, i en canvi, laintensitat és diferent com aconseqüència de produir-se unaderivació, és a dir, una separació de lescàrregues que flueixen per distintscamins. Així, la intensitat general, ointensitat en l’entrada, és la suma de lesintensitats en cada branca:

I = I1 + I2

R1

R2

A B

I2

I1I

Figura 5.1. Associació en paral·lel.

Si s’aplica la llei d’Ohm en aquesta resistència, es té que:

I = I1 + I2

21 RV

RV

RV ABAB

eq

AB += ; 21

111RRReq

+= , i en general, per a n resistències:

∑=n

ieq RR 1

11Equació 5.1

Hi ha també associacions mixtes en sèrie i en paral·lel. En aquestscasos s’identificaran els grups formats per elements en sèrie i en paral·lelsempre que siga possible, i es resoldrà per parts. Hi ha alguns casos en què noés possible reduir l’associació en blocs purs en sèrie o en paral·lel. La formagenèrica de resoldre aquests casos s’estudiarà en el capítol 7.

Exemple 5.1

Donat l’esquema de la figura, calculeu VAB, si VCD = 4 V.80 Ω20 Ω

40 ΩCB D

A 40 Ω

Solució:

Aplicant la llei d’Ohm a la resistència de 80 Ω, obtenim la intensitat quecircula per la branca superior:

5-20

A201

804

===R

Vi CDCD

aquesta intensitat és la mateixa que circula per la resistència de 20 Ω, per laqual cosa VBC = 20·1/20 = 1 V.d’aquesta manera, VBD = VBC + VCD = 5 VSabent, VBD, coneixem la intensitat que circula entre B i D per la brancainferior:

A81

405

===R

Vi BDBD

per la qual cosa la intensitat total que circula per les dues branques és:

A407

81

201

=+=I

I, finalment, la tensió entre A i B és: VAB = IR = 7/40·40 = 7 V

Coure per a les connexions

Pel setembre, la microelectrònica va donar un gran saltamb l’aparició en el mercat dels primersmicroprocessadors amb connexions de coure. Aquestsmicroprocessadors Power PC, comercialitzats perIBM, començaran funcionant a la freqüència de 400MHz contra els 350 MHz dels més avançats delsPower Pc actuals per aconseguir, en els dos o tres anyssegüents IBM, els 1.000 MHz. El progrés tècnic éstant més remarcable com que l’augment de lesprestacions no afecta sols la disminució de lesdimensions dels components (l’amplària de reixa delstransistors dels nous Power PC és de 0,18 micres) sinóa una modificació del material que uneix els uns ambels altres. L’alumini utilitzat fins ara assoleix, de fet,el seu límit ja que com més es miniaturitzen elstransistors, més ràpids són. Aquest guany de velocitati, per tant, de prestacions ha de conservar-seimperativament en les interconnexions d’alumini queuneixen els transistors entre ells. Tanmateix, a aquestgrau de miniaturització, la conductivitat de l’aluminino augmenta més i l’aïllament entre els connectors noresulta perfecte. Els connectors, l’anella més dèbil dela cadena, esdevé així un fre per al processador. Elcoure és un substitut adequat, és dues vegades mésconductor que el seu veí de la taula periòdica, peròse’l considera també com el verí dels circuitsintegrats: emigra pel conjunt del microprocessador idegrada els transistors.

Detall d’un microprocessador ambconnectors de coure. Aquests estan

envoltats d’una capa aïllant queimpedeix la degradació dels transistors

pel coure. (Fotografia tdr).

Calia trobar nous procediments per a pal·liar aquest defecte. IBM n’ha elaborat un de nou,una nova capa aïllant que recobreix els connectors de coure, composta d’un full de 0,02micres d’un nitrit de tungsté i d’un altre full, encara més fi, d’un material que mantenen ensecret.

5-21

Mundo científico, núm. 196, desembre de 1998, pàgina 11.

5.8 Problemes

1. Per un conductor filiforme circula un corrent continu d’1 A.a) Quanta càrrega flueix per una secció del conductor en 1 minut?b) Si el corrent és produït pel flux d’electrons, quants electrons

travessaran aquesta secció al mateix temps?Sol: a) 60 C; b) 3,75·1020 electrons.

2. Si la secció d’un conductor de coure és circular de radi 1 mm i s’admet quecada àtom té un electró lliure, calculeu la velocitat de tracció dels electronsquan la intensitat és d’1 A. (Dades: ρCu= 8,93 g/cm3, MCu= 63,5 g/mol, NA=6,02·1023 àtoms/mol).Sol: 2,35·10-5 m/s.

3. Per un fil d’alumini d’1,3 mm de radi circula un corrent de 20 A. Suposant quehi ha 3 electrons lliures per cada àtom d’alumini, determineu la velocitat detracció dels electrons. (Dades: densitat de l’alumini=2,7·103 kg/m3, MAl=27,0g/mol).Sol: 1,3·10-4 m/s.

4. En un tub fluorescent de 4,0 cm de diàmetre passen per una secciódeterminada cada segon 2,0·1018 electrons i 1,0·1017 ions positius (ambcàrrega +e), quant val la intensitat de corrent que circula pel tub?Sol: 0,336 A

5. Un anell de radi R té una densitat lineal de càrrega λ. Si l’anell gira amb unavelocitat angular ω al voltant del seu eix, determineu el valor de la intensitat decorrent corresponent.Sol: I = λωR

6. Un disc de radi R, carregat amb una densitat superficial de càrrega σ , giraamb una velocitat angular ω al voltant del seu eix. Calculeu la intensitat decorrent.Sol: I = σωR2/2.

7. El corrent que circula per un fil metàl·lic varia d’acord amb el temps segonsl’expressió I = 20 + 3t2, on I s’expressa en A i t en s.

a) Quants coulombs es transporten pel fil entre t = 0 i t = 10 s?b) Quin corrent constant transportaria la mateixa càrrega en igual interval

de temps?Sol: a) 1200 C, b) 120 A

5-22

8. La càrrega que passa per la secció d’un fil metàl·lic està definida perQ(t) = 6,5 t2 + 3,5 C, per a t des de 0,0 s a 8,0 s.

a) Quina expressió té el corrent I(t) en aquest interval de temps?b) Quant val el corrent en t = 3 s?

Sol: a) I = 13t b) 39 A

9. La densitat de corrent en un conductor de secció transversal circular de radiR, varia d’acord amb la distància a l’eix r segons l’expressió J = J0r/R. Calculeula intensitat de corrent en el conductor.Sol: I = 2π J0R2/3.

Llei d’Ohm i resistència

10. Per un conductor de 10 m de longitud, 1 mm2 de secció i una resistència de0,2 Ω, circula un corrent de 5 A.

a) Quina és la diferència de potencial entre els extrems del conductor?b) Quin és el valor del camp elèctric en aquest conductor?c) Quins valors tenen la densitat de corrent i la conductivitat?

Sol: a) 1 V, b) 0,1 V/m, c) J = 5·106 Am-2, σ = 5·107 (Ωm)-1

11. Siga un conductor en forma de tronc de con, amb els radis de les bases r1 ir2= 2r1, de resistivitat uniforme i recorregut per una intensitat I. Calculeu larelació entre els mòduls del camp elèctric en els punts 1 i 2 situats,respectivament, als centres de les bases del conductor.Sol: E1/E2= 4.

12. Quina diferència hi ha entre resistència i resistivitat? Què és correcte, parlarde resistència del coure o de resistivitat del coure; de resistència d’un euro o deresistivitat d’un euro?

13. Una barra de wolframi té una longitud d’1 m i una secció d’1 mm2. S’aplicauna diferència de potencial entre els extrems de 10 V.

a) Quina és la resistència a 20 ºC?b) Quina és la resistència a 40 ºC?c) Quant val la intensitat de corrent a 20 ºC?

Sol: a) 0,056 Ω, b) 0,062 Ω, c) 162,38 A

14. A quina temperatura serà la resistència d’un conductor de coure el 10%major que quan està a 20 ºC?Sol: 45,6 ºC.

15. Calculeu la resistència equivalent entre els punts A i B i entre C i D quancorresponga en els circuits de les figures.

5-23

R

R R

D

C

B

A

(b)

3 Ω

1 Ω

D

C

B

A

20 Ω12 Ω

12 Ω

20 Ω

(a)

C

D

A

4 Ω

2 Ω2 Ω

3 Ω

2 Ω

4 Ω

B(c)

BA

R

(d)

D

R3

R2

R2R1

C

BA R1

(e)

Sol: a) RAB=5 Ω, RCD=19/20 Ω ;b) RAB=0 Ω, RCD=R Ω;c) RAB=3/2 Ω=RCD;d) RAB=R/2 Ω;e) RAB=(R1+R2)/2Ω, RCD=2R1R2R3/(2R1R2+R1R3+R2R3) Ω

16. Siga un conductor rectilini de secció S longitud L, amb una resistivitat ρ=ρo+ ax +bx2, sent X la distància a l’eix Y la indicada en la figura. Determineu:

a) La resistència del conductor,b) Quina longitud de conductor de la mateixa secció i ρ = ρo consumeix

la mateixa potència quan se sotmet a la mateixa diferència de potencial?Sol: a) R = (ρoL + a L2/2 + bL3/3)/ S

b) L´= (ρoL + a L2/2 + bL3/3)/ρo

17. Calculeu la resistència d’una peçade coure de resistivitat ρ com la ques’indica en la figura.Sol. R = ρ L /π r1 r2

18. Atés el conductor troncopiramidal dela figura, de resistivitat ρ uniforme,bases quadrades de costats a i b, ilongitud L, calculeu,

a) la resistència entre les bases,b) la longitud que haurà de tenir

un conductor de la mateixa resistivitatque l’anterior, i de secció quadradaconstant de costat a, perquè tinga lamateixa resistència que el de l’apartata.Sol: a) ρL/ab b) La/b

Energia en els circuits elèctrics

19. Es calcula una resistència de 10 Ω per a dissipar 5,0 W com a màxim.a) Quin corrent màxim pot tolerar aquesta resistència?

L

r2r1

L

ba

5-24

b) Quina tensió entre els borns produirà aquest corrent?Sol: a) 0,707 A b) 7,07 V

20. Si l’energia costa 8 cèntims per kilowatt hora. Quant costarà fer funcionarun ordinador durant 4 hores si té una resistència de 120 Ω i està connectat auna tensió de 220 V?Sol: 12,91 cèntims

21. Un conductor de coure de secció 1 mm2 pot transportar un corrent màximde 6 A, i admet un aïllament de goma.

a) Quin és el valor màxim de la diferència de potencial que pot aplicar-seen els extrems de 40 m d’un conductor d’aquest tipus?

b) Calculeu la densitat de corrent i el camp elèctric en el conductor quanhi circulen 6 A.

c) Calculeu la potència dissipada en el conductor en aquest últim cas.Sol: a) 4 V b) 6·106 A/m2 , 0,1V/m c) 24 W

22. Una corretja d’un accelerador de Van de Graaff transporta una densitatsuperficial de càrrega de 5 mC/m2. La corretja té una amplària de 0,5 m i esmou a 20 m/s.

a) Quin corrent transporta?b) Si aquesta càrrega ha d’elevar-se fins a un potencial de 100 kV, quin

és el menor valor de la potència del motor per a accionar el corrent?Sol: a) 0,05 A, b) 5 kW

23. En el circuit de la figura, indiqueu:a) Quina resistència dissipa més

potència per efecte Joule?b) Quina resistència dissipa menys

potència? Justifiqueu les respostes.Sol: a) R2 , b) R1

24. Dues resistències iguals es connectenen sèrie a una tensió V. Posteriorment esmunten en paral·lel i es connecten a la mateixa tensió V. En quin dels dosmuntatges es dissipa menys potència?Sol: PS < Pp

R1 = 10 Ω

R2 = 10 Ω

R3 = 5 Ω

I

5-25

GLOSSARI

Velocitat de tracció: Velocitat d’equilibri que assoleixen lescàrregues quan són accelerades per un camp elèctric, i com aconseqüència de les interferències amb la xarxa atòmica, sónfrenades en el moviment.

Densitat de corrent: És un vector que en cada punt delconductor té la direcció de la velocitat de tracció i de mòdul iguala la quantitat de càrrega que per unitat de temps travessa launitat de superfície normal a la velocitat de tracció.

Intensitat de corrent: És la càrrega que travessa una secciótransversal de conductor per unitat de temps.

dtdQI =

Llei d’Ohm: La diferència de potencial entre els extrems d’unconductor és directament proporcional a la intensitat que hicircula. La constant de proporcionalitat es denomina resistènciadel conductor.

∆V = IR

Ohm: És la resistència que té un conductor que en aplicar-li unadiferència de potencial d’un volt, circula un ampere. Esrepresenta per Ω.

Conductor òhmic: Conductor que compleix la llei d’Ohm.

Mobilitat: Constant de proporcionalitat entre la velocitat detracció i el camp elèctric.

Conductivitat: Constant de proporcionalitat entre la densitat decorrent i el camp elèctric. Es defineix en la llei d’Ohm.

Resistivitat: La inversa de la conductivitat.

Efecte Joule: Dissipació d’energia, en forma de calor, que esprodueix en circular corrent per un conductor.

Coeficient de temperatura: Paràmetre, que en una aproximaciólineal, expressa el pendent de la variació de la resistivitat amb latemperatura.

Densitat de portadors de càrrega: Nombre de portadors decàrrega per unitat de volum.