12-1

Capítol 12

Fonts del camp magnètic

12.1 Introducció

12.2 Experiència d’Oersted

12.3 Llei de Biot i Savart

12.4 Flux magnètic

12.5 Teorema d’Ampère

12.6 Magnetisme en la matèria

12.7 Problemes

Objectius• Utilitzar la llei de Biot i Savart per a calcular el camp magnètic

creat per un corrent en un punt qualsevol de l’espai per asituacions senzilles.

• Conéixer les característiques del camp magnètic creat percorrents que circulen per conductors rectilinis, espirescirculars i solenoides.

• Utilitzar el teorema d’Ampère i discutir-ne els usos i leslimitacions.

12.1 IntroduccióEn el capítol 11 s’han estudiat les forces que els camps magnètics

exerceixen sobre càrregues elèctriques en moviment i sobre corrents. Enaquest capítol es tractarà de com i on s’originen els camps magnètics, i veuremque el seu origen són les càrregues en moviment i els corrents elèctrics.

Fins al segle XIX, hi havia una visió dels camps magnètics com un fetseparat de la resta dels fenòmens elèctrics; d’una banda estaven els fenòmensmagnètics i, de l’altra, els fenòmens elèctrics. Com a causa de campsmagnètics sols es coneixien els imants i la Terra. Tot això va canviar amb lacèlebre experiència d’Oersted el 1820.

La generació artificial de camps magnètics té una rellevància tecnològicade primer ordre, ja que està present en multitud d’aplicacions: generadors,capçals d’enregistrament de cintes i discos magnètics, equips de ressonànciamagnètica…, per citar-ne uns quants.

12-2

12.2 Experiència d’OerstedAquest experiment va constituir la primera demostració de la relació

existent entre l’electricitat i el magnetisme. L’experiència va consistir a fercircular un corrent elèctric en la rodalia d’una brúixola, i observar com aquestas’orientava perpendicularment al pas del corrent, tal com mostra la Figura 12.1.En la figura es representa l’efecte d’un corrent situat diametralment respecte dela brúixola i en distints plans.

N

S

E O

I

N

S

E O

I

N

S

E O

a) b) c)

Figura 12.1. Experiència d’Oersted. En a la brúixola s’orienta segons el camp magnèticterrestre. En b circula un corrent en un pla inferior al pla de la brúixola, i aquesta s’orienta

perpendicularment al corrent. En c circula un corrent en un pla superior al pla de la brúixola, iaquesta s’orienta perpendicularment al corrent i en sentit contrari a b.

L’experiència va servir per concloure que els corrents elèctrics són lafont dels camps magnètics. Es demostrava que, tot i que les càrregueselèctriques en repòs no tenen efectes magnètics, els corrents elèctrics, és a dir,les càrregues en moviment, creen camps magnètics i es comporten, per tant,com ho fan els imants. Aquest experiment es pot qualificar d’històric, i vamarcar l’inici d’una era en què l’electricitat i el magnetisme serien distintesmanifestacions d’una mateixa interacció: l’electromagnetisme.

12.3 Llei de Biot i SavartEl camp magnètic creat per una càrrega elèctrica en moviment en un

punt P qualsevol ve donat per l’expressió:

rv

rr P

rdB

q3

0

4 rrvqBrrr ×

πµ

=

Equació 12.1

En aquesta relació, q és el valor de la càrrega, vr

la velocitat amb què esmou, i r

rés el vector que va dirigit des de la càrrega fins al punt problema o

punt on es vol calcular el camp. A més, apareix una nova constant denominadapermeabilitat magnètica del buit µ0, que és una constant universal el valor de laqual és:

µ0 = 4π⋅10-7 N·A-2

Generalment seran els moviments de càrregues en corrents elèctrics elsque originen els camps magnètics. Per a calcular el camp cal aplicar

12-3

superposició utilitzant l’expressió anterior. Considerant les càrregues lliures quees mouen per un volum elemental dv d’un conductor, el camp que generen enel punt P serà:

30

4)··(

rrvdvenBd arrr ×

πµ

=−

En la relació, n és la densitat d’electrons lliures, e- la càrrega de l’electró,i va la velocitat d’arrossegament dels electrons. D’aquesta manera es podràexpressar el camp en funció de la densitat de corrent en el volum elementalconsiderat:

dvr

rJBd 30

4

rrr ×

πµ

=

Per a calcular el camp magnètic que origina un corrent elèctric, sesuposa un conductor filiforme de característiques homogènies i secció S. Elvolum elemental serà igual a la longitud d’un tram del conductor dl, per lasecció S, i la densitat de corrent estarà relacionada amb la intensitat a travésde l’àrea de la secció del conductor (JS = I):

30

30 )(

4)(

4 rrudISd

rrJBd

rrl

l

rrr ×

πµ

=×

πµ

=

D’aquesta manera, s’arriba a la llei de Biot i Savart. Aquesta relaciómatemàtica permet calcular el camp magnètic que origina un element decorrent, és a dir, un corrent I de longitud elemental l

rd , en un punt qualsevol P.

El camp magnètic elemental Bdr

originat en el punt P de la figura es dedueix del’expressió anterior:

rIdl

rr P

rdB

αI

B

A

30

4 rrdIBdr

lr

r ×π

µ=

Equació 12.2

Figura 12.1. Camp magnètic elemental produït per un element de corrent en el punt P.

Dos detalls requereixen que fixem la nostra atenció. En primer lloc,observeu que es tracta d’un producte vectorial, per la qual cosa el campelemental Bd

r és normal al pla format per r

r i l

rd . En la figura s’ha ombrejat el

pla format per lr

d i rr

, i per tant, Bdr

és perpendicular a aquest pla i amb elsentit que s’obté amb la regla de la mà dreta.

En segon lloc, convé subratllar que la llei de Biot i Savart no estàintegrada, és a dir, serveix per a obtenir el camp magnètic elemental originatper un corrent elemental. Si es vol obtenir el camp magnètic creat per uncorrent no elemental, com un corrent circular, infinit o altres, caldrà aplicarsuperposició integrant l’Equació 12.2 entre el primer element de corrent i l’últim.

12-4

∫×

πµ

=B

A rrdIB 3

0

4

rlr

rEquació 12.3

Aquesta equació general s’aplicarà a continuació per a calcular el campmagnètic produït per corrents amb geometria simple.

Camp magnètic produït per una espira de corrent al seu centreEs tracta d’aplicar l’Equació 12.3 a tot un corrent circular, per a la qual

cosa caldrà sumar (integrar) els camps elementals produïts pels correntselementals al llarg de tota la circumferència. En primer lloc, s’identifiquen elselements de corrent, que són tangents a la circumferència. El vector distànciarr

coincideix amb el radi de la circumferència en cada punt, per la qual cosa entot punt l

rd i Rr

rr= formen 90º. D’altra banda, el mòdul de r

r és constant i igual

al radi, per la qual cosa s’obté simplificant i integrant:

I

rdl

rB

rR

ru

uRI

uRRI

uRRdI

RRdI

BRR

centre

rr

rlr

lr

r

22

4

·44

02

0

2

03

02

03

0

µπ

πµ

πµ

πµ ππ

==

==×

= ∫∫

Figura 12.1. Camp magnètic en el centre d’una espira.

El vector ur

és l’unitari del camp magnètic, normal al pla d’espira i elsentit del qual es pot obtenir amb la regla de la mà dreta aplicada als elementsde corrent, o més fàcil, amb la regla del vis aplicada al sentit de gir del corrent al’espira.

Pot observar-se que l’espira es comporta de la mateixa manera que unimant, amb la cara nord o cara on emergeixen les línies de camp, i la cara sud,o cara on se submergeixen les línies de camp.

S N

Figura 12.2. Línies de camp en una espira i en un imant.

Exemple 12.1

El camp magnètic en el centre d’una espira de 5 cm de radi per la qual

12-5

circulen 3 A val:

T7,371,0

3104 7µ=

⋅⋅π=

−

B

Camp magnètic creat per una espira circular en un punt qualsevol de l’eixEs tracta ara d’un cas més general que l’anterior, i aplicable no sols per

al centre de l’espira, sinó per a qualsevol punt de l’eix perpendicular al pla del’espira que passe pel centre.

L’espira és recorreguda per un corrent I, té radi R, i es calcula el camp auna distància z del centre.

La resolució de la integral planteja dificultats per a resoldre-lavectorialment, ja que tant l

rd com r

r varien de direcció en cada element de

corrent. Per a facilitar la resolució, s’ha de buscar alguna situació de simetriaque permeta simplificacions en la resolució del problema.

Situant un sistema de referència comel de la figura, s’observa que cada elementde corrent I l

rd crea en P un camp Bd

r amb

dos components transversals dBx i dBy, i uncomponent longitudinal dBz. Els componentstransversals s’anul·laran quan se sumen(integren), ja que diferents Bd

r descriuen una

superfície cònica amb vèrtex en P, com potveure’s en la figura. D’aquesta manera,únicament el component longitudinal de Bd

r

en la direcció de z és el que ens interessa.kdBsinkdBB z

rrr∫∫ == α

απ

µα sinrdIdBsin ∫∫ = 2

0

4l ,

ja que lr

d i rr

són perpendiculars en totmoment.

RsinrIdsin

rIB πα

πµα

πµ 2

44 20

20 ⋅== ∫ l ,

perquè r i α són constants per a qualsevol element de corrent.Finalment, queda:

αµαµ 3020

22sin

RIsin

rIB ==

αµ 30

2sin

RIB = Equació 12.1

Com un cas particular, pot trobar-se el camp magnètic en el centre de l’espira,fent α = 90º, i obtenim el mateix resultat que en el cas anterior:

z

P

R

I

dBz = dBsinαα

α

ρdB

ρdλ

ρr

z

yx

Figura 12.1. Els diferents Bdr

formen unasuperfície cònica en P, i s’anul·len els

components transversals dBx i dBy.

12-6

RIB

20µ

=

I

Figura 12.2. Línies de camp magnètic en una espira decorrent.

En altres punts que no estroben en l’eix de l’espira, elcamp magnètic seria de menormòdul, i la seua direcció noestaria alineada amb l’eix. Així,molt prop del conductor, potconsiderar-se com una variantdel conductor rectilini indefinit(línies quasi circulars) que estractarà més endavant.

Camp magnètic en l’interior d’un solenoide recteUn solenoide és un

conductor enrotllat queforma espires disposadesen forma d’hèlix, icomporten la idealitzacióde les bobines utilitzadesen els circuits. Les bobinesestan formades perconductors recobertsd’una capa aïllant queforma una o més capes d’espires enrotllades al voltant d’una carcassa rígida.

Atenent al seu “tall”, els solenoides són de secció circular o rectangular, itambé poden ser rectes o toroïdals, en els quals l’eix del solenoide és unacircumferència.

Ara estudiarem el de geometria més simple: el solenoide recte. Esconsiderarà com si es tractara d’un conjunt d’espires disposades paral·lelamentuna a continuació de l’altra sense discontinuïtat entre aquestes. Així, el campmagnètic produït en un punt de l’eix del solenoide serà la suma del campelemental produït per cadascuna de les espires elementals. Això és equivalenta considerar el solenoide com un cilindre continu de corrent. Per tant, calconsiderar el camp produït per una espira elemental de radi R per la qualcircula di en un punt qualsevol de l’eix. Segons s’ha vist en l’apartat anterior, elcamp està dirigit en la direcció de l’eix del solenoide, el sentit s’obté aplicant laregla del vis a la intensitat de corrent, i el mòdul val:

Figura 12.1. Solenoide recte

12-7

di

α

R

rdB

αµ

= 30 sen2R

didB

dz

z α

R L

di

r dB

Figura 12.2. Camp produït per unaespira per la qual circula di.

Figura 12.3. Camp produït per N espiresesteses des de z = 0 fins a z = L.

Si denominem N el nombre de voltes o espires; L la longitud delsolenoide, en el qual cada espira elemental ocupa una capa de gruix dz.D’aquesta manera, el solenoide serà un conjunt infinit d’espires de gruix dz, iapilades des de z = 0 fins a la totalitat de la longitud del solenoide, és a dir finsa z = L.

A més, si la distribució d’espires és homogènia, el corrent total NI ésdirectament proporcional a la longitud total L, de la mateixa manera que elcorrent d’una espira elemental, di és directament proporcional al seu gruix, dz.Això es relaciona di amb dz

dzdi

LNI

= → dzLNIdi =

El camp elemental produït per aquesta espira elemental es calcularàd’acord amb l’Equació 12.1:

dzsinRLNIsin

RdidB αµαµ 3030

22==

si s’introdueix la relació entre α i dz, i se substitueix:

αtanRz = → α

αd

sinRdz 2

−=

pot calcular-se el mòdul del camp:

( )1200 coscos22

2

1

ααµααµ α

α

−=−= ∫ LNIdsin

LNIB

on α2 i α1 són els angles corresponents als límits de la integració, és a dir, elsangles amb els quals es veu des del punt problema l’última espira i la primerarespectivament. La direcció i el sentit del camp serà el mateix que el del creatper les espires elementals.

12-8

Si el solenoide és molt llarg comparat amb el seu radi, L>>R, en un puntde l’interior tindrem,

α1 → 0º; α2 → 180º →LNIB 0µ

≈ Equació 12.1

En la Figura 12.5 es pot observar la influència de la relació longitud–radien un solenoide. Està representat el camp magnètic en funció de la posició enl’interior per a distints solenoides de la mateixa longitud i distint radi. El màximrepresenta el valor que s’obtindria amb la fórmula aproximada (Equació 12.1).En els solenoides estrets (L/R > 5), quasi no hi ha variació de camp magnèticdins del solenoide, i el seu valor coincideix amb l’aproximació. En els amples(L/R < 5), el camp no és uniforme, i el màxim no assoleix el valor del’aproximació.

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2x/ (L/2 )

B /

(µ0N

I/L)

1

2

5

10

100

L/R

Figura 12.4. Materialització de les líniesde camp magnètic en un solenoide

amb llimadures de ferro.

Figura 12.5. Camp magnètic dins de solenoides de distint radi:disminueix a la meitat a les vores, i ràpidament fora. En els

estrets és quasi uniforme.

Exemple 12.1 (opcional)

Calculeu el camp magnètic en el centre d’un solenoide de 1,4 cm deradi, si té 600 espires i circula 4 A en el cas que la seua longitud siga:a) 20 cmb) 2 cmCompareu el resultat obtingut amb el corresponent a la fórmula aproximada,i discutiu-ne les limitacions.

12-9

Solució

Exactament val ( )120 coscos2

α−αµ

=LNIB

El significat dels angles, està representat en la figura. S’hipot deduir que:

( ) 221

2

2cosRL

L

+=α cos α2 = -cosα1

10 cos22

αµ

=LNIB

Expressió en la qual es dedueix que per a solenoides moltllargs, α1 → 0; i B ≈ µ0NI/L

L/2

R

L

α1

α2

a) Fent L = 0,2 m, 99,0014,01,0

1,0cos221 =

+=α

T1049,199,024,0

4600104 27

−−

⋅=⋅⋅⋅⋅π

=B

Amb l’expressió aproximada (Equació 12.1) obtindríem,

T105,1 20 −⋅=µ

=LNIB

L’errada comesa és intranscendent perquè el radi del solenoide és molt petitcomparat amb la seua longitud.

b) 58,0014,001,0

01,0cos221 =

+=α

T1076,858,0204,0

4600104 27

−−

⋅=⋅⋅⋅⋅π

=B

Amb l’expressió aproximada obtindríem,

T101,15 20 −⋅=µ

=LNIB

Ara l’expressió aproximada ens proporciona molt d’error, ja que el radi éscomparable a la longitud.

Les limitacions de l’expressió aproximada ja s’han tractat en discutir laFigura 12.5. En l’apartat a la relació longitud/radi és de 14 aproximadament,per la qual cosa l’aproximació és bona. En l’apartat b, L/R val 1,4, per laqual cosa l’expressió aproximada no dóna bon resultat.

Camp magnètic creat per un corrent rectiliniEs tracta ara d’obtenir el camp magnètic produït per un corrent rectilini I

de qualsevol longitud.Aplicant la llei de Biot i Savart, es calcula el camp magnètic elemental

Bdr

creat per un element de corrent, I lr

d , a una distància x del corrent:

30

4 rrdIBdr

lr

r ×π

µ=

12-10

x

α

I

I

rr

rdB

rB

rdl

y

Figura 12.1. La direcció i el sentit del camp magnètic vénen donats pel productevectorial rd

rlr

× , o esquemàticament, per la regla del vis o de la mà dreta.

La direcció i el sentit del camp magnètic són els mateixos per a tots elselements de corrent: perpendicular al pla format pel corrent i el punt considerat,i sentit, l’assenyalat en la Figura 12.1. D’aquesta manera, el camp resultanttindrà per mòdul la suma de mòduls i la mateixa direcció i sentit assenyalats:

Bur

rdIBr

rlr

r

×

πµ

= ∫ 30

4

Les línies del camp magnètic seran circumferències l’eix de les quals ésel corrent, tal com s’observa en la Figura 12.1.En l’expressió del camp αns idyrd =×

rlr

, i en la figura s’observa que:

yx

=αtgαα

2sinxddy −

=αsinxr =

substituint en la llei de Biot i Savart, prenent com a límits d’integració elsextrems del fil y1 i y2, α1 i α2 en prendre com a variable d’integració α:

∫∫−

==2

1

2

12

220

20

44

α

α

α

ααα

πµα

πµ

sinxsin

sinxdI

rdysinI

By

y

( )1200 coscos

44

2

1

ααπ

µααπ

µ α

α

−=−= ∫ xIdsin

xI

Resulta més còmode treballar amb els angles subestesos en el punt problemapels extrems del conductor, θ1 i θ2 (Figura 12.2), fent:cos α2 = -sin θ2;cos α1 = sin θ1 i prenent el parèntesi en valor absolut.Finalment, s’obté:

( )120

4θθ

πµ sinsinxIB += Equació 12.1

12-11

L’expressió obtinguda pot considerar-segeneral per a qualsevol corrent rectilini. Vegem-ne dos casos concrets:

a) Corrent indefinit. Un corrent indefinit nosignifica necessàriament infinit, sinó simplementes calcula el camp magnètic en un punt moltpròxim al conductor, i des d’aquest punt es “veu”el conductor molt llarg.En aquest cas θ1 = 90º i θ2 = 90º, i obtenim:

rIB

πµ

=2

0

Camp produït per un corrent infinit a una distància r.Equació 12.2

b) Rodalia d’un extrem del corrent indefinit.En aquest cas, θ1 = 0º i θ2 = 90º, i obtenim:

( )xIsinsin

xIB

πµ

πµ

4º90º0

400 =+=

és a dir, la meitat que en el cas anterior.

Exemple 12.1

Calculeu el camp magnètic produït pel correntindefinit de la figura, en el punt O.

SolucióEl corrent es pot dividir en quatre trams. El camp totalserà la suma dels quatre, i en tots els casos,perpendicular al pla del paper i entrant.

OI

a

a

OI

a/2O

I a

θ2

a/2 O

Ia

θ1 θ2

OI

a/2

a) b) c) d)Vegem per parts, el camp produït per cada tram.a) El camp produït és nul pel fet de ser paral·lels el corrent i el vector queuneix qualsevol element de corrent amb el punt O, 0=× rd

rlr

.b) Es tracta d’un corrent rectilini amb uns angles subestesos en el puntproblema pels extrems del conductor θ1=0 i θ2.Aplicant l’Equació 12.1:

x

α1

I

α2

rB

θ2

θ1

Figura 12.2. Angles inicial i final.

12-12

52

522 ==aasinθ

ja que la hipotenusa val: ( ) 52

2 22 aaa =+

( )55

22424

0012

0

aI

aIsinsin

aIBb π

µπµθθ

πµ

==+=

c) Es tracta d’un corrent rectilini amb θ1 i θ2 iguals:

51

522

21 ===aasinsin θθ

( )aIsinsin

aIBc π

µθθπ

µ5240

120 =+=

d) Aplicant l’Equació 12.1 amb 5

21 =θsin igual que en el tram b, i θ2 = 90º

( )

+=+=

51

21

240

120

aIsinsin

aIBd π

µθθπµ

Finalment, el camp total queda:

( )1522525

2 0000 +π

µ=

πµ

+π

µ+

πµ

=aI

aI

aI

aIB

Exemple 12.2

Calculeu el camp magnètic produït per doscorrents indefinits de sentit contrari d’intensitat I,separats una distància d en el punt P(0,d), talcom mostra la figura.

Solució

El camp total en el punt P és la sumavectorial de l’exercit per ambdós corrents

21 BBBrrr

+=

P (0,d)

I I

x

y

d

Aplicant l’Equació 12.2:

I Ix

y

d1 2

rB1

rB2

rr2

dIB

πµ

=2

01 22

02 d

IBπµ

=

per poder sumar els camps s’han d’escriure aquests en forma vectorial. Ladirecció del camp magnètic originat per un corrent és perpendicular a ladirecció del corrent ( l

rd ) i a la direcció de la línia que uneix el corrent amb el

12-13

punt problema (rr

), per la qual cosa el fet més pràctic és multiplicaraquestes dues direccions mitjançant un producte vectorial entre vectorsunitaris rB uuu

rrrl ×=

ijkuuu rB

rrrrrrl =×−=×= 111

( )jikji

jikd

jdidkuuu rB

rr

rrrrr

rrr

rrrrl +

−=

−=

+−×=

+−×=×=

21

02

121

10022222

I finalment queda,

( ) ( )jidIji

dIi

dIBBB

rrrrrrrr−

πµ

=+−

πµ

+π

µ=+=

421

222000

21

Definició d’ampere eEls corrents produeixen, com s’ha vist, camps magnètics, i

aquests al seu torn, exerceixen forces sobre els corrents. Sidos corrents rectilinis, paral·lels, indefinits I1 i I2, que circulen enel mateix sentit, estan separats una distància d, tal com mostrala figura, el camp que I1 produeix on es troba I2 val:

dIB

πµ

=2

101

i el que I2 produeix on es troba I1,

dIB

πµ

=2

202

En ambdós casos el camp ésnormal al pla format pels doscorrents. Com a conseqüènciahi apareixeran sengles forcessobre I1 i I2 que, per a un tramde longitud l, valen:

)(2

2102121 u

dIIBIF

rl

rlrr

πµ

=×=

)(2

2101212 u

dIIBIF

rl

rlrr

−π

µ=×=

d

I2

I1 rB2

rB1

rF21 r

F12rl

12-14

que són iguals en mòdul i de sentit contrari. Per aquest motiu,els dos conductors s’atrauen. Una anàlisi similar pot fer-se en elcas de corrents de sentit contrari, cas en el qual aquests esrepel·leixen.

Aquest fet s’ha utilitzat i s’utilitza per a definir l’ampere, queés la unitat fonamental addicional a les de la mecànicanecessària per a l’electromagnetisme, i com a tal es defineix demode arbitrari però amb el criteri que siga un procediment fidel ifàcilment reproduïble.L’ampere és la intensitat d’un corrent constant que, mantingudaentre dos conductors paral·lels rectilinis, de longitud infinita, desecció circular negligible i col·locats a la distància d’un metrel’un de l’altre en el buit, produirà una força igual a 2⋅10-7 N permetre de longitud.

12.4 Flux magnèticEl flux elemental del camp magnètic a través d’una superfície elemental

Sdr

val,SdBdrr

⋅=Φ

I el flux del camp magnètic a través d’una superfície qualsevol S és la sumadels fluxos elementals:

Br

dSr

Br

S

rdS

rB

∫ ⋅=ΦS

SdBrr

Equació 12.1

Figura 12.1. Flux magnètic a través d’una superfície.

El flux magnètic es mesura, per tant, en Tm2, que es denomina weber (Wb) i ésla unitat de flux magnètic en el SI.

Amb relació al flux, el camp magnètic presenta una diferència respectedel camp elèctric, ja que si el flux elèctric a través d’una superfície tancadadepén de les càrregues tancades per aquesta superfície (teorema de Gauss),el flux del camp magnètic a través d’una superfície tancada és sempre zero.

0=⋅∫S

SdBrr

Equació 12.2

12-15

Aquest fet té relació amb la inexistència de fonts i engolidors de línies decamp magnètic, i per tant, amb la inexistència de monopols magnètics. Aixícom les càrregues elèctriques de distint signe són separables, i enconseqüència, hi ha fonts de camp elèctric (càrregues positives) o engolidors(càrregues negatives), els pols d’un imant, o les cares nord i sud d’una espira,són inseparables. Per aquest motiu, no hi ha una llei similar a la llei de Gaussd’electrostàtica.

rE

S

rB

S

Figura 12.2. Dipol elèctric. És possible envoltar unacàrrega amb una superfície tancada, totes les línies de

camp la travessaran en el mateix sentit i, per tant, hihaurà un flux net al seu través.

Figura 12.3. Dipol magnètic. No és possibleenvoltar un pol amb una superfície tancada iobtenir un flux net al seu través. Les línies decamp sempre travessaran dues vegades la

superfície, entrant i eixint.

Exemple 12.1

Determineu el flux a través d’unconjunt de 100 espires com la de la figura.

Solució

El flux a través del rectangle valα=⋅=Φ cosNBSSB

rr =

100·0,03·40·10-4·cos30º = 0,01 Wb θ = 60º

8 cm

5 cm

y

x

z

B = 0,03 T

rS

12.5 Teorema d’AmpèreCom s’ha comentat en parlar del flux magnètic, així com les línies del

camp elèctric naixen o acaben en càrregues elèctriques, les línies del campmagnètic són corbes tancades sense fonts ni engolidors i que envoltencorrents. Aquest cas té relació amb el fet que el camp elèctric és un campconservatiu, per la qual cosa la seua circulació al llarg d’una corba tancada ésnul·la. En canvi, el camp magnètic no és conservatiu, i hi ha una circulació nonul·la al llarg d’una corba tancada. En conseqüència, no hi ha cap “potencialmagnètic”, ja que aquest sols té sentit en els camps conservatius.

12-16

Hi ha una relació matemàtica que permet calcular la circulació del campmagnètic al llarg d’una corba tancada: es tracta del teorema d’Ampère, que diu:

La circulació del vector camp magnètic al llarg d’unacorba tancada que envolta un conductor pel qual circula uncorrent d’intensitat I, és igual al producte de la constant µ0per la suma de les intensitats que penetren en l’àrea limitadaper la corba. El signe de la intensitat serà positiu si compleixla regla de la mà dreta amb el sentit de la circulació.

∫ ∑µ=⋅ IdB 0lrr

Equació 12.1

I

rB

rdl

I1I2 I3

I4rB

rdl

Figura 12.1. La corba tancada ha envoltat un correntnet I, per la qual cosa C = µ0I

Figura 12.2. La corba tancada ha envoltat un correntnet I1 + I2 - I3, per la qual cosa C = µ0(I1 + I2 - I3)

Això significa que la circulació sols depén dels corrents que hi haja dinsde la corba, i no depén dels que es troben fora.

Teorema d’Ampère

Comprovarem el teorema per a un corrent rectilini indefinit I. Per acalcular la circulació del camp magnètic al llarg d’una corba tancada queenvolta el corrent I, pot descompondre’s el trajecte tancat en una sèrieinfinita de petits desplaçaments que siguen radials o d’arcs circulars ambcentre en el corrent. En la figura s’ha descompost el trajecte en unnombre d’elements petit i que ens reprodueix la corba original de manerabastant tosca. Tanmateix, si el procés es continuara indefinidament ambelements cada vegada més petits, ambdós trajectes arribarien a seriguals.

Idα dl

r

I

r rB·dl = 0

r rB·dl = Bdl

rB

rdl

Figura 12.3. La circulació per una corba irregular es descompon en circulacions radials itransversals elementals.

12-17

La circulació al llarg de cada arc elemental centrat en el corrent i de radi rval:

lllrr

drIBddBdC

πµ

==⋅=2

0

Ja que el camp produït per un corrent I a una distància r té la mateixadirecció que el desplaçament per l’arc, i mòdul:

rIB

πµ

=2

0

D’aquesta manera, al llarg d’un arc, el producte escalar coincideix amb elproducte dels mòduls.Pel que fa als desplaçaments radials, en aquests el camp ésperpendicular al desplaçament en tot moment, per la qual cosa enaquests trams la circulació és nul·la.Com a conseqüència, la circulació al llarg de la corba irregular s’hadescompost en infinits elements, dels quals sols contribueixen a lacirculació total els elements constituïts per arcs.La circulació total serà la suma de totes les circulacions elementals dC, alllarg dels arcs elementals, per tant,

∫ ∫ πµ

==r

IddCC l

20

com que cada segment d’arc val dl = r dα, sent r el radi de l’arccorresponent, i dα l’angle subestés per aquest arc, s’obté

Ir

rdIr

IdC 000

22µ=

απ

µ=

πµ

= ∫∫l

ja que la integral de dα s’ha d’efectuar entre 0 i 2π, atés que la corbaenvolta completament el corrent.En aquest resultat, que coincideix amb el del teorema d’Ampère, cridal’atenció que la circulació no depén de r, és a dir, és independent de lesdimensions i la forma de la corba, sols depén del corrent tancat.Pel que fa als corrents situats “fora”,considerem un corrent situat fora del camítancat i tornem a tenir en compte que elsdesplaçaments radials no contribueixen ala circulació total. Podem calcular lacirculació per tota la corba tancada en dostrams: un primer tram (1) on el productede B

r per l

rd és positiu perquè els vectors

formen entre aquests un angle agut i ons’abasta un angle α1, i un altre (2) fins atancar el circuit, on B

r i l

rd formen un

angle obtús i, per tant, la circulació tésigne negatiu, i abasta el mateix angleque en la primera etapa, és a dir, α1.

I

rB rdl r

B rdl

α1

(1)

(2)

12-18

( ) 0222 11

0

1 2

00 =α−απ

µ=

α−

απ

µ=

πµ

= ∫ ∫∫I

rrd

rrdI

rIdC l

Per tant, quan el camí tancat no envolta el corrent, la circulació és nul·la.Sols hi contribueixen els corrents envoltats pel camí tancat.En el cas que tinguem corrents que estiguen envoltats i no envoltats, lacirculació depén sols de la suma algebraica de les intensitats envoltadesper la corba tancada, tal com diu el teorema.Hi ha també una forma diferencial del teorema d’Ampère que estableix larelació entre el camp magnètic en un punt, el rotacional, i la densitat decorrent en aquest punt:

JBrr

0µ=×∇

Per al camp magnètic únicament en els punts on no hi ha corrent elèctric0=×∇ B

r, mentre que en un camp elèctric, pel fet de ser conservatiu, en

tots els punts 0=×∇ Er

.

De la mateixa manera que passava amb el teorema de Gauss del’electrostàtica, el teorema d’Ampère es pot utilitzar per a calcular campsmagnètics produïts per corrents, però únicament en casos en què un alt graude simetria fa possible el càlcul de la circulació i extraure el camp. Acontinuació veurem diversos casos en què es donen aquestes condicions desimetria necessàries per a aplicar el teorema.

Camp magnètic creat per un corrent rectilini indefinitAra calcularem el camp magnètic produït per un corrent infinit a una

distància x d’aquesta. El cas ja s’ha analitzat utilitzant la llei de Biot i Savart enla pàgina 12-8; ara arribarem al mateix resultat utilitzant un camí més curt.

Atés que el camp magnètic no varia de mòdulen desplaçar-se per una circumferència centrada enel conductor (Figura 12.1), i el camp és tangent a lacircumferència en tot moment, considerem unacircumferència de radi x com a corba en la qualaplicar el teorema d’Ampère. La circulació de B

r al

llarg de la longitud de la circumferència és:xBBddB π⋅==⋅ ∫∫ 2ll

rr

ja que Br

i lr

d són paral·lels en tot punt de lacircumferència. Finalment, en aplicar el teorema, lacorba envolta el corrent I, i obtenim:

B·2πx = µ0I

xIB

πµ

=2

0

que és el mateix de l’Equació 12.2 de la pàgina 12-11que s’havia obtingut aplicant la llei de Biot i Savart.

xI

rB

rdl

Figura 12.1. Circulació del campmagnètic al llarg d’una

circumferència. En la figura elcorrent és normal al pla i amb

sentit cap a dins.

12-19

Camp magnètic dins i fora d’un conductorConsiderem un conductor

cilíndric de radi a pel qual circula uncorrent homogeni de densitat J, icalcularem el camp produït pel correnten dues zones: fora del conductor, idins.

a) ForaPer a resoldre’l utilitzant el teoremad’Ampère, recorrem una corba tancadacom C2 on el camp és tangent a lacircumferència en tot moment, i on elcamp és uniforme. D’aquesta manera,camp i desplaçament formen 0º en totmoment, i B

r ix fora de la integral, i

queda:rBBdB

C

π⋅==⋅∫ 22

llrr

aplicant el teorema a C2, el corrent tancat és la totalitat, per la qual cosa:2πrB = µ0I = µ0 J·πa2

rJaB2

20µ

=

b) DinsDe la mateixa manera que abans, únicament que ara la corba C1 no tanca latotalitat del corrent, sinó únicament Jπr2:

rBBdBC

π⋅==⋅∫ 21

llrr

2πrB = µ0 J·πr2

20JrB µ

=

El camp en les dues zones està representat enel gràfic, on s’observa un camp nul en l’eix i unmàxim en la superfície del conductor.

Camp magnètic en l’interior d’un solenoide recte molt llargTambé pot utilitzar-se el teorema d’Ampère per a calcular el camp

magnètic en l’interior d’un solenoide model que siga molt llarg comparat amb el

a

Jr

a

Jr r

r

r

r

rdl

B

B

C2

C1

r

B

a

½µ0Ja

Figura 12.1. Camp dins i fora delconductor.

12-20

seu radi. D’aquesta manera, pot considerar-se que el camp és nul en l’exterior,i uniforme en l’interior. Es tracta d’una simplificació del solenoide recte real,però aquesta aproximació és bastant encertada quan la relació entre la longitudi el radi és gran, com s’ha tractat en l’apartat 12.3. en aplicar la llei de Biot iSavart.

Figura 12.1. Si el solenoide no és estret (radi comparable a la longitud), elcamp magnètic en l’interior no pot considerar-se uniforme, ni nul en l’exterior.

Per a poder utilitzar el teorema d’Ampère cal una corba tancada en laqual calcular la circulació. Amb les simplificacions explicades abans, resultaadequat escollir un rectangle com el de la Figura 12.2. Un costat del rectanglecoincideix amb l’eix del solenoide, un altre per fora, i els altres dos sóntransversals a la direcció del camp. La circulació en el sentit ABCD ens donarà:

I

rB

l

DC

AB

N

Figura 12.2. En un solenoide molt llarg, el camp en l’interior és uniforme. Elcorrent en les espires és ixent per sota, i entrant per dalt.

∫∫ ∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅A

D

C

B

D

C

B

AdBdBdBdBdB l

rrlrr

lrr

lrr

lrr

però el tram de C a D té circulació nul·la pel fet de ser nul el camp, i els tramsDA i BC també tenen circulació nul·la pel fet de formar en tot moment el camp il 90º, per la qual cosa sols queda el tram AB, i obtenim B·l = µ0NI.

Camp magnètic en l’interior d’un solenoide recte de longitudl molt major que el seu radi, que consta de N espires, i pelqual circula un corrent I.

l

NIB 0µ=

Equació 12.1

Exemple 12.1

12-21

Determineu el flux magnètic a través d’un solenoide de 25 cm delongitud, 1 cm de radi i 4000 voltes pel qual circulen 4 A.

Solució

El camp magnètic en l’interior del solenoide recte proposat, amb unalongitud 25 vegades superior al radi, es considera uniforme i de valor:

l

NIB 0µ=

i el flux que travessa una espira és B·S, per la qual cosa a través de Nespires valdrà,

Wb101,025,0

01,044000104 227220

20 =

⋅π⋅⋅π=

πµ=

µ=Φ

−

ll

rINISN

Camp magnètic en l’interior d’un solenoide toroïdalUn solenoide toroïdal és un

solenoide les espires del qual estandisposades com si foren un anell. Elcamp és pràcticament nul en l’exteriordel solenoide, i sols hi ha camp enl’interior. Si s’aplica el teoremad’Ampère escollint com a corbatancada una circumferència centradaen l’eix del tor, i que passe perl’interior, la circulació valdrà:

rBdC

π⋅=⋅∫ 2lrr

B

i el corrent tancat, ara és Ni, i queda:

rNiBπ

µ=

20

Les equacions de Maxwell

a

R

b

iN

12-22

Com s’ha comentat al principi d’aquest capítol, la integració delsfenòmens elèctrics i magnètics va ser un èxit científic que va tenir llocdurant el segle XIX. Durant aquest segle es van descobrir gran partdels fenòmens que, més tard, a finals del segle XIX i durant el segleXX transformarien el món. Juntament al treball experimental de moltsinvestigadors, d’altres van tenir el mèrit de trobar la justificació teòricadels distints fets observats, i dotar-los d’un cos conceptual sòlid.Entre aquests destaca James Clerk Maxwell, el qual va donar a lesciències de l’electromagnetisme la base teòrica per al tractament detots els fenòmens electromagnètics. Tot i que les comparacions solenser quasi sempre desafortunades, sol dir-se que Maxwell va fer untreball comparable al de Newton en la mecànica. Les relacionsmatemàtiques entre camps elèctrics i magnètics són conegudes comequacions de Maxwell, que es mostren ací en la seua versió méssimplificada per a camps independents del temps i en el buit. L’anàliside les equacions de Maxwell completes està fora dels objectiusd’aquest curs.

0ε=⋅ ∑∫

QSdE

s

rv

0ερ

=∇Er

0=⋅∫ lrr

dE

0=×∇ Er

(a) (b)

0=⋅∫s

SdBrr

0=∇Br

∫ ∑µ=⋅ IdB 0lrr

JBrr

0µ=×∇

(c) (d)

Les equacions mostrades en la forma integral i diferencial no sónnoves, ja que han anat apareixent al llarg d’aquest capítol i encapítols anteriors. La (a) és el teorema de Gauss, la (b) expressa queel camp elèctric és un camp conservatiu, i la circulació al llarg d’unacorba tancada, la (c) expressa que no hi ha monopols magnètics, i la(d) és el teorema d’Ampère, que mostra com el camp magnètic no ésun camp conservatiu.

El treball de J.C. Maxwell és un cas poc corrent en la història dela Ciència, ja que va servir per a predir l’existència d’unes entitatsdesconegudes experimentalment fins aquell moment (1861): lesones electromagnètiques. Quasi sempre primer sorgeixen elsfenòmens, els fets i les entitats físiques, i posteriorment s’estableix lateoria per explicar-les. Aquest és un dels pocs casos en què vapassar al contrari.

12.6 Magnetisme en la matèriaLa matèria està constituïda per àtoms en els quals els electrons estan en

moviment. Utilitzant un model atòmic senzill, les òrbites electròniques al voltantdel nucli d’un àtom poden considerar-se com corrents elèctrics circulars alvoltant del nucli i, per tant, equivalents a espires de corrent. Així, un electrógirant en una òrbita circular de radi r amb un període T i una velocitat v, pot

12-23

considerar-se equivalent a una espira circular de corrent del mateix radi irecorreguda per una intensitat I = e/T que tindrà un moment magnètic,

uevrurv

reur

TeSIm

rrrrr

2222 =π

π=π==

D’aquesta manera, es modelitzenels moviments electrònics com si estractara d’espires de corrent, i perconsegüent, s’estaria considerant lamatèria constituïda per una granquantitat de dipols magnètics. A

més del moment magnètic associat al moviment dels electrons, s’ha d’afegir elmoment magnètic intrínsec de l’electró associat al seu espín.

En l’electrostàtica també ens trobem els dielèctrics amb l’existència dedipols elèctrics i fenòmens de polarització, l’efecte dels quals consistia adisminuir el camp elèctric dins del material quan aquest era sotmés a un campelèctric extern.

En el magnetisme, tot i que puga pensar-se que la situació és similar, elproblema és més complex, ja que el moment magnètic d’un àtom depén dediversos factors, com ara el nombre d’electrons de l’àtom, de si les capeselectròniques estan o no completes, del moment magnètic d’espín delselectrons desaparellats de l’àtom, de l’estructura electrònica de l’àtom endefinitiva. Alguns d’aquests comportaments no són fàcils d’analitzar ambconceptes de física clàssica, i de vegades es necessiten conceptes basats enla física quàntica.

Per tant, algunes substàncies poden tenir un moment magnètic propiproduït pels moments magnètics atòmics. Aquests moments magnèticsatòmics, en el cas d’existir, estan en principi orientats a l’atzar en totesdireccions, motiu pel qual la major part de materials no presentenmagnetització.

La magnitud que s’utilitza per a quantificar l’estat dels momentsmagnètics en una regió, es denomina imantació M

r, magnitud vectorial, que es

defineix en un punt com el moment magnètic per unitat de volum:

dVmdMrr

= , i es mesura en Am-1

Per tant, es diu que un material no està imantat (o magnetitzat) si la suma delsmoments magnètics en un volum donat és nul·la.

rS

i

rm r

S

rm

er

v

Figura 12.1. El moviment electrònic és equivalent a uncorrent circular.

12-24

rm

0=Mr

0≠Mr

Figura 12.2. La imantació en un material és la suma dels moments magnètics per unitat de volum.

Les diverses substàncies no presenten la mateixa resposta en situar-lesen un camp magnètic. Segons el comportament enfront d’un camp magnèticextern, es classifiquen en tres tipus: diamagnètiques, paramagnètiques iferromagnètiques.

Si s’aplica a un material un camp magnètic Bap (camp aplicat), elsmoments magnètics atòmics, i per tant la imantació, variaran. El fenomen ésfàcil d’entendre recorrent a un símil amb brúixoles: en apropar un imant a unconjunt de brúixoles orientades a l’atzar (fora dela Terra), aquestes tendeixen a orientar-se en ladirecció del camp aplicat. Per tant, la imantaciódel material variarà. En els materialsparamagnètics i diamagnètics, la imantació ésdirectament proporcional al camp magnèticaplicat.

0µχ= ap

mB

M

rr

on χm es denomina susceptibilitat magnètica, iés un nombre sense dimensions característic decada material. 1 + χm es denomina permeabilitatmagnètica relativa µr, i també és adimensional.

DiamagnetismeEn la Taula 12.1 s’observa que χm és un nombre molt petit. En alguns

materials la susceptibilitat magnètica és negativa, la qual cosa significa que ensotmetre’ls a un camp magnètic extern, el camp magnètic dins del materialdisminueix. Aquest comportament es denomina diamagnetisme.

Les substàncies diamagnètiques no tenen moments magnètics atòmicspermanents, ja que els seus àtoms tenen estructures electròniques de capescompletes amb els seus electrons aparellats, i es cancel·len d’aquesta maneraels moments magnètics electrònics. Tanmateix, davant un camp magnèticextern, es distorsiona el moviment electrònic, i es formen moments magnèticsinduïts de sentit contrari al camp aplicat, que debiliten així el camp magnèticdins del material.

Material χm a 20 ºCAlumini 2,3·10-5

Coure -0,98·10-5

Diamant -2,2·10-5

Or -3,6·10-5

Mercuri -3,2·10-5

Plata -2,6·10-5

Sodi -0,24·10-5

Titani 7,06·10-5

Wolframi 6,8·10-5

Oxigen (a 1 atm) 2100·10-9

Taula 12.1. Susceptibilitatsmagnètiques d’algunes substàncies.

12-25

rBap = 0

rM = 0

rBap

rM

Figura 12.1. En les substàncies diamagnètiques es formen dipols magnètics induïts l’efecte dels qualsconsisteix a disminuir el camp magnètic dins del material.

El comportament diamagnètic és general a totes les substàncies, tot ique el seus efectes, pel fet de ser molt dèbils, són a penes perceptibles, i amés en algunes ocasions són emmascarats per altres efectes, com elparamagnetisme i, sobretot, el ferromagnetisme.

ParamagnetismeEn altres substàncies, en canvi, la

susceptibilitat magnètica és positiva, la qualcosa significa que la imantació té el mateixsentit que el camp aplicat. Aquestessubstàncies es denominen paramagnètiques.En aquestes hi ha un lleuger acoblament delsdipols magnètics permanents que són del’ordre de 1000 vegades majors que elsproduïts pel comportament diamagnètic, per laqual cosa aquest queda emmascarat.

En aplicar un camp extern, els dipols magnètics, que estaven orientats al’atzar com a conseqüència de l’agitació tèrmica, s’acoblen lleugeramentalineant-se en la direcció del camp aplicat, que augmenten d’aquesta manera elcamp magnètic dins del material. L’efecte, tanmateix, és dèbil, tot i que suficientper a emmascarar l’efecte diamagnètic que es presenta en totes lessubstàncies.

En els materials paramagnètics, la imantació depén de la temperatura: atemperatures molt baixes és més fàcil alinear els moments magnètics. Enaugmentar la temperatura, l’agitació tèrmica tendeix a esborrar qualsevolacoblament que es produïsca entre els dipols magnètics, i d’aquesta manera laimantació és més difícil i la susceptibilitat magnètica disminueix.

rBap = 0

rM = 0

rBap

rM

Figura 12.1. En aplicar un camp magnètic a una substància paramagnètica els dipols magnèticspermanents s’acoblen lleugerament, i augmenta el camp magnètic dins del material.

rBap

rM

χm < 0

rBap

rM

χm > 0

(b)(a)

Figura 12.2. Substàncies diamagnètiques(a) i paramagnètiques (b).

12-26

FerromagnetismeEls materials ferromagnètics es caracteritzen per uns valors de la

susceptibilitat magnètica positius i molt alts, i que a més depenen de la històriamagnètica del material, dels camps magnètics a què haja sigut sotmés.Substàncies ferromagnètiques són el ferro, cobalt, níquel i alguns aliatges. Elmotiu d’aquest comportament singular està relacionat amb les fortesinteraccions entre espins de parells d’electrons. Tanmateix, no podemaprofundir molt més, ja que l’explicació d’aquest comportament no és simple, ino és fàcil explicar amb conceptes de física clàssica arguments que solss’expliquen amb ajuda de la física quàntica.

En aquestes substàncies, els moments magnètics atòmics s’acoblensense necessitat de camp magnètic extern, i formen grans regions amborientació paral·lela dels espins electrònics, i per tant amb els momentsmagnètics paral·lels. Aquestes regions es denominen dominis magnètics. Lesdimensions d’aquests dominis són microscòpiques (de l’ordre de 10-6 m), tot ique poden créixer o decréixer, i la seua orientació espacial depén de ladisposició espacial dels àtoms en la xarxa cristal·lina.

Figura 12.1. Esquema dels dominis magnètics en un cristall cúbic i en un cristall hexagonal, amb dos i tresdireccions d’orientació.

Igual que en el paramagnetisme, la temperatura tendeix a augmentarl’agitació tèrmica, i per tant a fer desaparéixer el ferromagnetisme. Per a cadasubstància ferromagnètica, hi ha una temperatura, denominada temperaturade Curie per damunt de la qual la substància es torna paramagnètica (770 ºCper al ferro) com a conseqüència que l’agitació tèrmica contraresta les forcesd’interacció entre espins electrònics.

En aplicar un camp magnètic extern a aquestes substàncies, laimantació no sols creix, sinó que el camp en l’interior del material és fins i totmilers de vegades superior a l’aplicat.

D’altra banda, a diferència del comportament paramagnètic odiamagnètic, la relació entre la imantació i el camp aplicat no és lineal, i fins itot, com es va comentar, depén de la història prèvia del material.

Quan un material ferromagnètic és sotmés a un camp magnètic,experimenta una imantació que creix amb el camp aplicat Bap. Si es representala imantació M, enfront de Bap, s’obté la corba de primera imantació (1) commostra la Figura 12.2. La imantació no creix indefinidament: tot i ques’augmente molt Bap, la imantació no pot augmentar més enllà de determinatlímit denominat imantació de saturació Ms.

Si a continuació es disminueix gradualment Bap, el material perdimantació, però no tota. Tot i que s’anul·le el camp aplicat, queda una imantació

12-27

romanent MR. Si es vol “esborrar” tota resta d’imantació, s’haurà d’aplicar uncamp extern o camp coercitiu Bc, en sentit contrari al previ.

B

M

Bc

MR

MS

1

Figura 12.2. Cicle d’histèresi

Si posteriorment es disminueix gradualment Bap, els valors anteriors noes repeteixen, és a dir, la corba no és reversible. Aquest efecte es denominahistèresi, i el cicle complet d’imantació – desimantació que es produeix enaplicar un camp magnètic altern, es denomina cicle d’histèresi. Els ciclesd’histèresi es produeixen quan s’aplica a una barra de ferro un camp magnèticque varia amb el temps, per exemple sinusoïdalment: magnetitzem idesmagnetitzem el material amb una freqüència igual a la del camp aplicat.

En aquesta corba d’histèresi, l’àrea delimitada és proporcional a l’energiadissipada en forma de calor en el procés d’imantació – desimantació.

Hi ha materials ferromagnètics de divers tipus, i amb relació alcomportament descrit, poden distingir-se uns materials magnèticament “blans”,que són aquells amb una imantació romanent molt baixa, i altresmagnèticament “durs”, amb una imantació romanent alta, tal com mostra laFigura 12.4. Els blans produiran una dissipació d’energia en forma de calor moltpetita: interessarà en nuclis de transformador per evitar que s’escalfen. Els dursdissipen més energia, però interessen on es desitge una gran imantacióromanent, com per exemple en els imants permanents o les memòriesenregistrades en suport magnètic.

Figura 12.3. Material magnèticament dur. Laimantació romanent és molt alta.

Figura 12.4. Material magnèticament bla. Laimantació romanent és molt baixa.

Substància µr Substància µr

12-28

Buit 1 Bismut 0,99983Aire 1,00000036 Mercuri 0,999968Alumini 1,000021 Or 0,999964Wolframi 1,000068 Plata 0,99998Pal·ladi 1,00082 Plom 0,999983Cobalt 250 Coure 0,999991Níquel 600 Aigua 0,999991Ferro comercial 6000Ferro d’alta puresa 2·105

Supermalloy(79% Ni, 5 % Mo) 106

Taula 12.1. Permeabilitat magnètica de diverses substàncies. A l’esquerra lessubstàncies paramagnètiques i ferromagnètiques. A la dreta, les diamagnètiques.

La imantació d’un material ferromagnètic pot explicar-se amb ajuda delmodel dels dominis magnètics. Un material no imantat parteix de la situació ade la Figura 12.5: els dominis magnètics estan orientats a l’atzar en absènciade camp extern. En augmentar aquest en una direcció determinada en b, estemfent que aquells dominis que tinguen un component del seu vector imantació enel mateix sentit que Bap cresquen en detriment d’altres. D’aquesta manera,creixen uns dominis (els d’imantació favorable) i se’n redueixen uns altres. Lasituació continua en c amb l’augment de Bap fins que els dominis afavorits nopoden augmentar de dimensions, i finalment en d els moments magnètics delsdominis afavorits pel camp giraran fins a coincidir amb la direcció del camp iarribar a la imantació de saturació. Tot i que augmentem el camp aplicat, laimantació no augmentarà. Aquesta última etapa d’orientació de moments forade les direccions d’orientació dels dominis és reversible, i desapareix eneliminar el camp, mentre que el creixement dels dominis afavorits a costa delsno afavorits es mantindrà i serà responsable de la imantació romanent delmaterial.

a)

rBap = 0

rM = 0

b)

rBap

rM

c) d)

12-29

rBap

rM

rBap

rM

Figura 12.5. Quatre etapes de creixement dels dominis magnètics.

Una de les principals aplicacions del ferromagnetisme ésl’enregistrament d’informació en suport magnètic. El suport pot ser disc o cintade material ferromagnètic. Un capçal d’escriptura està format per un solenoideper on circula un corrent que produeix un camp magnètic que imanta el suportmagnètic, i enregistra la informació transmesa pel corrent.

1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

I

Figura 12.6. Enregistrament d’informació en suport magnètic.

12.7 Problemes

1. Calculeu el camp magnètic creat per una espira quadrada decostat a, al centre, sent I la intensitat que circula per aquesta.Sol: B = (2µoI/πa)21/2, perpendicular al pla de l’espira, sentit capa dins del paper. Oa

I

12-30

2. Un conductor, de longitud indefinida, es corba en laforma d’agulla de cap de la figura. Sabent que pel filcircula una intensitat I, calculeu el camp magnètic enel punt O, centre de la part semicircular.Sol: B = (µoI/4R)(1 + 2/π)

3. La figura representa tres fils conductors rectilinis iparal·lels, de longitud indefinida, recorreguts perintensitats I, 2I i 3I, totes aquestes en el mateix sentit.Calculeu el camp magnètic creat per aquests correntsen el punt P.

Sol: )2(-1310

j-iaI=B o

rrr

πµ

4. Dos conductors llargs, paral·lels, separats unadistància d porten corrents iguals antiparal·lels I.Demostreu que el camp magnètic en el punt P queequidista dels dos conductors està donat perl’expressió B =2µoI d/π(4R2 + d2).

5. Calculeu el camp magnètic en el punt P de lafigura produït per un conductor de longitudindefinida, amplada a i gruix negligible pel qualcircula una intensitat de corrent I, en ladisposició que es mostra en la figura.Sol: )ja(-z)/(a/I=B o

rrπµ 2arctg

6. Una corona circular, carregada amb densitatsuperficial de càrrega σ de radis a i b, gira ambvelocitat angular

rω al voltant del seu eix. Calculeu el

camp magnètic creat en el centre O.Sol: ka)-)(b/(=B o

rr2σωµ

OR

I

a a

I 2I 3I

P

2a

Y

X

R

P

d II

X

Z

Y

Z

a

I

X

Y

Z

O a

b

σ

rω

12-31

7. Un conductor rectilini de longitud indefinida ésrecorregut per una intensitat I1 = 30 A. Unrectangle ABCD, els costats BC i DA del qual sónparal·lels al conductor rectilini, està en el mateixpla que el conductor, i és recorregut per I2 = 10 A.Calculeu la força exercida sobre cada costat delrectangle pel camp magnètic creat pel conductorrectilini.Sol: FAD = 12·10-5 (-i) N

FBC = 6·10-5 i NFAB = 4,16·10-5 j N = - FCD

8. El camp magnètic Br

en una determinadaregió de l’espai és de 2 T, i la seua direcció lade l’eix X en el sentit positiu.a) Quin és el flux a través de la superfícieabcd de la figura?b) Quin és el flux a través de la superfíciebefc?c) I a través de la aefd?Sol: a) Φ = -0,24 Wb

b) Φ = 0c) Φ = 0,24 Wb

9. Un conductor rectilini, indefinit, z'z està recorregutper un corrent d’intensitat I. La superfície rectangularde la figura de costats 2a i b, pot girar al voltant delseu eix x'x paral·lel al z'z, del qual dista una distànciac. Inicialment el pla de la superfície conté el conductorz'z. Calculeu la variació de flux magnètic creat per I através de la superfície quan aquesta gira un angle deπ/2 al voltant de x'x.Sol: Φ2 - Φ1 = µobI(ln(c+a)/(c-a)/2π

10. Per un cable cilíndric molt llarg circula un corrent continu. Ladensitat de corrent en una secció no és uniforme, sinó quesegueix una llei del tipus J = (Jo/R)r, on Jo és una constant, R ésel radi del cable i r la distància del punt considerat a l’eix delcable. Calculeu:a) Camp magnètic B en l’interior del cable.b) Camp magnètic B en l’exterior.Sol: a) B = µoJor2/3R

b) B = µoJoR2/3r

I1

10 cm 10 cm

20 cmI2

A B

D C

rB

X

Y

Z

30 cm

40 cm

50 cm

a

b e

fc

d

I

Z

Z’

X

X’

cb

2a

R

rJ(r)

12-32

11. Un cable llarg coaxial està format per dosconductors concèntrics de radis a a l’interior, il’exterior (conductor buit) b de radi intern i c de radiextern. Pels conductors circula la mateixa intensitat decorrent I però en sentit oposat. Calculeu el campmagnètic en: a) a una distància r < a, b) a unadistància a<r<b entre els dos conductors, c) a unadistància b<r<c interior al conductor exterior, i d) foradel cable a r > c.Sol: a) µorI/2πa2

b) µoI/2πrc) µoI/2πr) ((c2-r2)/(c2-b2))d) 0

GLOSSARI

Permeabilitat magnètica del buit: Constant universal el valorde la qual és µ0 = 4π⋅10-7 N·A-2

Llei de Biot i Savart: El camp magnètic elemental Bdr

originatper un corrent elemental I l

rd , en un punt qualsevol donat pel

vector de posició rr

val

30

4 rrdIBdr

lr

r ×π

µ=

Camp produït per un corrent rectilini infinit: a una distància r:

rIB

πµ

=2

0

direcció normal al pla format pel corrent i el punt, i sentit eld’aplicar la regla del vis al sentit del corrent.

Camp produït per una espira de corrent I de radi R en un puntde l’eix de l’espira

αµ 30

2sin

RI

B =

direcció de l’eix de l’espira i sentit el d’aplicar la regla del vis alsentit del corrent.

Camp en l’interior d’un solenoide de N voltes, de longitud l pelqual circula un corrent I

l

NIB 0µ=

direcció de l’eix del solenoide i sentit el d’aplicar la regla del visal sentit del corrent.

I

I

ab

c

12-33

Flux del camp magnètic a través d’una superfície tancada0=⋅∫

S

SdBrr

Weber (Wb) és la unitat de flux magnètic en el SI, i equival aTm2.

Teorema d’Ampère. La circulació del vector camp magnètic alllarg d’una corba tancada que envolta un conductor pel qualcircula un corrent d’intensitat I, és igual al producte de laconstant µ0 per la intensitat que penetra en l’àrea limitada per lacorba.

∫ ∑µ=⋅ IdB 0lrr

Imantació: Densitat de moment magnètic (moment magnètic perunitat de volum).

Susceptibilitat magnètica: Constant adimensional querelaciona la imantació i el camp magnètic aplicat.

apm B

M0µ=χ

Diamagnetisme: Propietat consistent que en aplicar un campmagnètic extern a una substància, el camp magnètic en l’interiordisminueix com a conseqüència de la formació de dipolsmagnètics induïts de sentit contrari al camp aplicat.

Paramagnetisme: Propietat per la qual els moments magnèticsatòmics permanents d’una substància s’orienten paral·lelamenten aplicar un camp magnètic extern, que fa augmentar el campmagnètic en l’interior del material.

Ferromagnetisme: Acoblament dels moments magnèticsatòmics en un material, fins i tot sense aplicar un camp magnèticextern.

Domini magnètic: Regió microscòpica on els momentsmagnètics atòmics estan acoblats paral·lelament.

Histèresi: Fenomen pel qual en sotmetre un material a un cicled’imantació–desimantació, la corba d’imantació no és reversiblerespecte de la de desimantació.