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PARES EQUI VA LENTES

La fgura muestra tres pares que actan de manera sucesiva sobre la mismacaja rectangular. Como se vio en la seccin anterior, el nico movimiento queun par le puede impartir a un cuerpo rgido es una rotacin. Como cada uno de

los tres pares mostrados tiene el mismo momento M (la misma direccin y lamisma magnitud M !"# lb.in.$, se puede esperar que los tres pares tengan elmismo efecto sobre la caja.

%or m&s ra'onable que pare'ca esta conclusin, no debe aceptarse deinmediato. unque la intuicin es de gran ayuda en )l es tu dio de la mec&nica,no debe ser aceptada como un sustituto del ra'onamiento lgico. ntes de

establecer que dosis temas (o grupos$ de fuer'as tienen el mismo efecto sobreun cuerpo rgido, esto debe demostrarse con base en la evidencia e*perimentalque se +a presentado +asta este momento.sta evidencia consiste en la ley del paralelogramo para la suma de dosfuer'as y en el principio de transmisibilidad. %or tanto, se establecer& que dossistemas de fuerzas equivalentes (esto es, que dic+os sistemas tienen elmismo efecto sobre un cuerpo rgido$ s pueden transformar a uno de ellos enel otro por medio de una o varias de las siguientes operaciones - !$ reempla'ardos fuer 'as que actan sobre la misma partcula por su resultante, "$descomponer a una fuer'a en dos componentes, $ cancelar dos fuer'asiguales y opuestas que actan sobre la misma partcula, /$ unir a la misma

partcula dosfuer'as iguales y opuestas y 0$ mover una fuer'a a lo largo de sulnea de accin. Cada una de estas operaciones se justifica f&cilmente conbase en la ley del paralelogramo o en el principio de transmisibilidad.+ora se procede a demostrar que dos pares que tienen el mismo momento Mson equivalentes. %rimero se consideran dos pares contenidos en el mismoplano y se supone que dic+o plano coincide con el plano de la figura. l primerpar est& constituido por lasfuer'as F! y 1F! de magnitud F!, las cuales est&nlocali'adas a una distancia d! entre s (fgura a$, y el segundo par est&constituido por las fuer'a s F" y 1F" de magnitud F", locali'adas a unadistancia d" entre s (d$. Como los dos pares tienen el mismo momento M, quees perpendicular al plano de la figura, ambos pares de ben tener el mismo

sentido (el cual se +a supuesto contrario al movimiento de las manecillas delreloj$ y la relacin

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F!d!F"d"

debe ser satisfec+a. %ara comprobar que los dos pares son equivalentes, sedebe demostrar que el primer par puede ser transformado en el segundo por

medio de las operaciones enumeradas con anterioridad.

l representar con A, B, C y D los pun tos de in ter seccin de las lneas deaccin de los dos pares, se desli'an prime ro las fuer 'as F! y 1F! +asta queest)n unidas, respectivamente, aA y B, como se muestra en la fgura b. n tonces, la fuer'a F! se descompone en una componente P a lo largo de la lneaAB y una componente Q a lo largo deAC (figura c$2 similarmente, la fuer'a 1F!

se descompone en 1P a lo largo deAB y en 1Q a lo largo de BD. Las fuer'as Py 1Ptienen la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestos2tales fuer'as pueden mover se a lo largo de su lnea de accin comn +astaaparecer aplica das en el mismo punto para que, en ton ces, puedan sercanceladas. %or tanto, el par forma do por F! y 1F! se reduce al par constituidopor Q y 1Q. continuacin se comprueba que las fuer 'as Q y 1Q son iguales,respectivamente, a las fuer'as 1F" y F". l momento del par formado por Q y1Q puede obtenerse calculando el momento de Q con respecto a B2 en forma simi lar, el momento del par forma do por F! y 1F! es el momento de F! conrespecto a B. %ero, por el teorema de 3arignon, el momento de F! es igual a lasuma de los momentos de sus componentes P y Q. Como el momento de P

con respecto a B es igual a cero, el momento del par forma do por Q y 1Q de beser igual al momento del par formado por F! y 1F!, se escribe

Qd" F!d!= F"d" y Q F"

%or tanto, las fuer 'as Q y 1Q son iguales, respectivamente, a las fuer'as 1F" yF", y el par de la fgura a es equivalente al par de la figura d.Considere a+ora dos pares contenidos en planos paralelos P! y P"2 acontinuacin se demostrar& que dic+os pares son equivalentes si tienen elmismo momento. n virtud de lo que se +a presentado +asta a+ora, se puedesuponer que ambos pares est&n constituidos por fuer'as que tienen la misma

magnitud F y que actan a lo largo de lneas para le las (figuras a y d$. 4e preten de demostrar que el par con te ni do en el plano P! puede ser transformado

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en el par contenido en el plano P" por medio de las operaciones est&ndar queya se mencionaron.Considere dos planos defnidos, respectivamente, por las lneas de accin deF! y 1F" y por las lneas de accin de 1F! y F" (figura b$.n un punto sobre la lnea de in ter seccin de los dos planos se unen dos fuer

'as F y 1F, que son iguales, respectivamente, a F! y 1F!. l par forma do porF! y15F puede ser reempla'ado por un par constituido por F y 1F" (fgura c$puesto que, obviamente, ambos pares tienen el mismo momento y est&n con teni dos en el mismo plano.n forma an&loga, el par forma do por 1F! y F puede ser reempla'ado por unpar constituido por 1F y F". Cancelando las dos fuer'as iguales y opuestas Fy 1F, se obtiene el par de sea do en el plano P" (figura d$. n este sentido, seconcluye que dos pares que tienen el mismo momento M son equivalentes siest&n contenidos en el mismo plano o en planos paralelos.La propiedad que se acaba de establecer es muy importante para entendercorrectamente la mec&nica de los cuerpos rgidos. sta propiedad indica que

cuan do un par acta sobre un cuerpo rgido, es irrelevante dnde actan lasdos fuer'as que forman al par o cu&les son la magnitud y la direccin que esasfuer'as tienen. Lo nico que importa es el momento del par (su magnitud ydireccin$. Los pares con el mismo momento tendr&n el mismo efecto sobre elcuerpo rgido.

FUER ZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuer'as que actan sobre los cuerpos rgidos se pueden dividir en dos

grupos-

!$ fuerzas eternas y

"$ fuerzas internas.

1. Las fuerzas eternas representan la accin que ejercen otros cuerpos sobreel cuerpo rgido en consideracin. llas son las responsables del

comportamiento e*terno del cuerpo rgido.

Las fuer'as e*ternas causan que el cuerpo se mue va o aseguran que )ste

permane'ca en reposo.

". Las fuer'as internas son aquellas que mantienen unidas las partculas que

conforman al cuerpo rgido. 4i )ste est& constituido en su estructura por varias

partes, las fuer'as que mantienen unidas a dic+as partes tambi)n se definencomo fuer'as internas.

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Como ejemplo de fuer'as e*ternas, consid)rense las fuer'as que actan sobre

un camin descompuesto que es arrastrado +acia delante por varios +ombres

mediante cuerdas unidas a la defensa delantera (figura .!$. Las fuer'as e*

ternas que actan sobre el camin se muestran en un diagrama de cuerpo libre

(fgura ."$. n primer lugar, se debe considerar el peso del camin. pesar de

que el peso re presenta el efecto de la atraccin de la 6ierra sobre cada una delas partculas que constituyen al camin, )ste se puede re presentar por medio

de una so la fuer'a 7.

l punto de aplicacin de esta fuer'a, esto es, el punto en el que acta la

fuer'a, se defne como el centro de gravedad del camin. n el captulo 0 se

ver& cmo se pueden determinar los centros de gravedad. l peso 7 +a ce que

el camin se mue va +acia abajo. 8e +ec+o, si no fuera por la presencia del

piso, el peso podra ocasionar que el camin se moviera +acia abajo, esto es,

que cayera. l piso se opone a la ca da del camin por medio de las

reacciones 9! y 9". s tas fuer'as se ejercen por el piso sobre el camin y,por tanto, deben ser incluidas entre las fuer'as e*ternas que actan sobre el

camin.

Los +ombres ejercen la fuer'a : al tirar de la cuerda. l punto de aplicacin de

: est& en la defensa delantera. La fuer'a : tiende a +acer que el camin se

mue va +acia delante en lnea recta y, en rea li dad, lo gramo ver lo puesto que

no e*iste una fuer'a e*terna que se oponga a dic+o movimiento. (%ara

simplificar, en este caso se +a despreciado la resistencia a la rodadura.$ ste

movimiento del camin +acia delante, donde cada lnea recta mantiene su

orientacin original (el pi so del camin permanece +ori'ontal y sus lados se

mantienen verticales$, se conoce como traslacin. ;tras fuer'as podran

ocasionar que el camin se moviera en forma diferente. %or ejemplo, la fuer'a

ejercida por un gato colocado debajo del eje delantero podra ocasionar que el

camin rotara alrededor de su eje trasero. ste movimiento es una rotacin.

%or tanto, se puede concluir que cada una de las fuer'as e*ternas que actan

sobre un cuerpo rgido puede ocasionar un movimiento de traslacin, rotacin o

ambos, siempre y cuando dic+as fuer'as no encuentren alguna oposicin.

ADICIN O SUMA DE PARES

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Con si de re dos planos P! y P" que se in ter se can y dos pares que actan,respectivamente, en P! y P". 4e pue de suponer, sin perder la generalidad,que el par en P! consta de dos fuer'as F! y 1F! perpendiculares a la lnea dein ter seccin de los dos planos y que actan, respectivamente, enA y B (figura. como la e*presin escalar

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S .(P x Q)

la cual se obtiene formando el producto escalar de S con el producto vectorialde P y Q.

l producto triple escalar de S, P y Q se le puede dar una interpretacingeom)trica simple (figura ."/$. n primer lugar, recuerde de la seccin ./ queel vector P x Q es perpendicular al plano que contiene a P y a Q y que sumagnitud es igual al &rea del para le lo gramo que tiene por la dos a P y a Q.%or otro la do, la ecuacin (./$ indica que el producto escalar de S y P x Q sepuede obtener multiplicando la magnitud de P x Q (esto es, el &rea delparalelogramo defnido por P y Q$ por la proyeccin de S sobre el vector P x Q(esto es, por la proyeccin de S sobre la normal al plano que contiene alparalelogramo$. %or tanto, el pro ducto triple es calar es igual en valor absolutoal volumen del paraleleppedo que tiene por lados a los vectores S, P y Q(figura ."0$. 4e debe se?alar que el signo del producto triple escalar ser&positivo si S, P y Q forman una trada a mano de rec+a, y ser& negativo si )stosforman una tra da a mano i'quierda @esto es, S. (P x Q$ ser& negativo si seobserva desde el e*tremo terminal de S, que la rotacin que +a ce a P colinealcon Q va en el sentido de las manecillas del relojA. ! producto triple es calarser& igual a ce ro si S, P y Q son coplanares.Como el paraleleppedo definido en el p&rrafo anterior es independiente delorden en que se tomen los tres vectores, todos los seis productos triplesescalares que se pueden formar con S, P y Q tendr&n el mismo valor absoluto,pe ro no el mismo signo. 4e puede demostrar f&cilmente que

S .(PxQ$P.(Q xS$ Q . (S xP$

1S . (Q xP$ P . (S x Q$ 1 Q .(P xS$

;rdenando las le tras que represen tan a los tres vectores en un crculo y ensentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura ."B$, seobserva que el signo del producto triple escalar permanece inalterado si se permutan los vectores en forma tal que )stos toda va se puedan leer en sentidocontrario al de las manecillas del reloj. 4e di ce que una per mutacin de estetipo es unapermutaci!n circular. 6ambi)n, a partir de la ecuacin (.$ y de lapro pie dad conmutativa de los productos es cala res, se concluye que elproducto triple escalar de S, P y Qse puede de finir tan bien con S . (P * Q$como con (S xP$ . Q.l producto triple escalar de los vectores S, P y Q puede ser e*presado ent)rminos de las componentes rectangulares de estos vectores. 8enotando a Px Q con V y con la frmula para e*presar el producto escalar de S y V, seescribe

S . (P * Q$ S . V "#D"$#$D "z#z

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4i se sustituyen las componentes de V a partir de las relaciones, se obtiene

S . (P * Q$ "(P$Qz 1 PzQ$$ D "$(PzQ 1 PQz$ D "z(PQ$ 1 P$Q$

sta e*presin se puede escribir en forma m&s compacta si se observa que

representa la e*pansin de un determinante-

plicando las reglas que gobiernan a la permutacin de renglones en un

determinante, pueden verificarse f&cilmente las relaciones que fueronderivadas a partir de consideraciones geom)tricas.