CAPITULO_FLOTACIÓN

8/19/2019 CAPITULO_FLOTACIÓN

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PROCESAMIENTO DE MINERALES

1.1. INTRODUCCIÓN A LA CONCENTRACIÓN DE MINERALES.

Es evidente que las sustancias minerales se requieren enun estado de pureza o concentración alto, debido a que nose aplica sobre una base económica, un proceso extractivoo de refinación de alto costo, a cantidades pequeñas de

metales como Cobre, Oro, Plomo, Zinc, molibdeno, tal comose encuentran en la naturaleza.

Debido a lo expuesto en el párrafo anterior, es preciso

concentrar estos metales en un pequeño volumen, para posteriormente someterlos a tratamientos intensivos y decostos elevados para la recuperación del metal puro.


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Cu2S

Al2O3

SiO2

CuS

FeS2CaO

Cu5FeS4

CuFeS2

MgO

PARTICULAS SULFUROSMETALICOS

Al2O3

CaO

Cu2S

SiO2

Al2O3

SiO2

CuS

MgO

SiO2

SiO2

CaO

FeS2

PARTICULAS GANGAMINERAL

COMPOSICION QUIMICA Y/OMINERALOGICA DEL MINERAL

+


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CONCENTRACION DE MINERAL

CONCENTRADODE COBRE

(Pulpa)

RELAVES

(Pulpa)

FLOTACION

ACCIONES MECANICAS

- AGITACION

- AIREACION INDUCIDA

REACTIVOS

- COLECTORES

- ESPUMANTES

PULPAMINERAL

SULFUROSMETALICOS

(concentrado)

GANGA MINERAL

(relaves)

OBJETIVO


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EL PROCESAMIENTO DE MINERALES, CONSISTE EN TRATAR LOS MINERALES HASTA OBTENER PRODUCTOS CON RENDIMIENTOCOMERCIAL, POR MÉTODOS QUE NO DESTRUYAN LASCARACTERÍSTICAS FÍSICAS O QUÍMICAS DE LOS MISMOS. ESTA

DEFINICIÓN DESCARTA A OPERACIONES COMO REFINACIÓN,TRATAMIENTO CON CALOR, LIXIVIACIÓN Y OTROS PROCEDIMIENTOSQUÍMICOS.


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El procesamiento de minerales consiste en una ampliavariedad secuencial de etapas, los principios básicos sonindependientes del material que se este tratando.

El objeto de la concentración de minerales,independientemente de los métodos usados, es siempre el

mismo: “Separa los minerales en dos o más productos,como: concentrados, colas y partículas mixtas.


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METAL MINERALES DE MENA FÓRMULAQUÍMICA

% METAL DENSIDAD

1. ALUMINIO -BAUXITA.-DIÁSPORA.-GIBBSITA.-BOEHMITA.

- MEZCLA DE HIDRÓXIDO DE Al-NO DEFINIDA.- AlO(OH).- Al(OH)3.- AlO(OH).

-2,00 – 2,55-3,20 – 3,50-2,30 – 2,40-3,00 – 3,10

2. COBRE -CALCOPIRITA.-CALCOSITA.-BORNITA.-COVELITA.-CUPRITA.- MALAQUITA.- NATIVO.-TENANTITA.-TETRAEDRITA.- AZURITA.-ENARGITA.-CRISOCOLA.

- ATACAMITA.- ANTLERITA.-CHALCANTITA.-TENORITA.

-CuFeS2.-Cu2S.-Cu5FeS4.-CuS.-Cu2O.-CuCO3·Cu(OH)2.-Cu.-(Cu,Fe,Zn,Ag)12 As4S13.-(Cu,Fe,Zn,Ag)12Sb4S13.-2CuCO3·Cu(OH)2.-Cu3 As5S4.-CuSiO3·2H2O.

-Cu2Cl(OH)3.-Cu3SO4(OH)4.-CuSO4·5H2O.-CuO.

-34,6-79,8-63,3-66,5-88,8-57,5-100-57,5-52,1-55,0-48,4-36,2

-59,5-53,7-25,5-79,9

-4,10 – 4,30-5,50 – 5,80-4,90 – 5,40-4,60-5,90 – 6,20-4,00-8,90-4,40 – 4,50-4,40 – 5,10-3,80 – 3,90-4,40-2,00 – 2,40

-3,75 – 3,77-3,90-2,10 – 2,30-6,50

v. Algunas características de los minerales.

Tabla. Algunas características de los minerales metálicos.


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METAL MINERALES DE MENA FÓRMULAQUÍMICA

% METAL DENSIDAD

3. ORO -NATIVO.-SILVANITA.-CALAVERITA.

-Au.-(Au,Ag)Te2.-AuTe2.

-100-24,5-43,6

-15,0 – 20,0-7,90 – 8,30-9,0

4. HIERRO -HEMATITA.-MAGNETITA.-GOETHITA.-LIMONITA.-SIDERITA.-PIRROTITA.

-PIRITA.

-Fe2O3.-Fe3O4.-FeO(OH).-ÓXIDOS FÉRRICOS HIDRATADOS.-FeCO3.-FeS.

-FeS2.

-70,0-72,4-62,9-48,0–63,0-48,3

-61,5-46,7

-5,00 – 6,00-5,50 – 6,50-4,00 – 4,40-3,60 – 4,00-3,70 – 3,90-4,60

-4,90–

5,20

5. PLOMO -GALENA.-CERUSITA.-ANGLESITA.-JAMENOSITA.

-PbS.-PbCO3.-PbSO4.-Pb4FeSb6S14.

-86,6-77,5-68,3-50,8

-7,40 – 7,60-6,50 – 6,60-6,10 – 6,40-5,50 – 6,00

6. MOLIBDENO -MOLIBDENITA.-WULFENITA.

-MoS2.-PbMoO4.

-60,0-26,2

-4,70 – 4,80-6,50 – 7,00

7. PLATA -ARGENTITA.-NATIVA.-CERARGIRITA.

-Ag2S.-Ag.-AgCl.

-87,1-100-75,3

-7,20–

7,40-10,1 – 11,1-5,80

8. SILICIO -CUARZO. -SiO2. -46,9 -2,65

9. CINC -BLENDA.-CINCITA.

-ZnS.-ZnO.

-67-80,3

-3,9 - 4,1-5,6

Tabla. Continuación.


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MATERIAL MINERALES DE MENA FÓRMULA QUÍMICA % METAL

DENSIDAD

1. ANHIDRITA - ANHIDRITA. - CaSO4 - - 2,95

2. BARITINA - BARITINA. - BaSO4 - - 4,50

3. BORATOS -BORAX.-KERNITA.

-COLEMANITA.-ULEXITA.

- Na2B4O7·10H2O- Na2B4O7·4H2O

-Ca2B6011·5H2O- NaCaB5O9·8H2O

--

--

-1,70-1,95

-2,40-1,90

4. CARBONATODE CALCIO

-CALCITA -CaCO3 - -2,70

5. DOLOMITA -DOLOMITA -CaMg(CO3)2 - - 2,8 – 2,9

6. YESO -YESO -CaSO4·2H2O - -2,30

7. FOSFATOS - APATITA -ROCA FOSFÓRICA -Ca5(PO4)3(F,Cl,OH)-FOSFATOS COM-

PLEJOS DE Ca, F, Al

-- - 3,1 – 3,3

8. POTASIO -SILVINITA -CARNALITA - ALUNITA -SALITRE POTÁSICO

-KCl-KMgCl3·6H2O-Kal(SO4)2(OH)6-KNO3

----

-2,00-1,60-2,60-2,10

Tabla. Algunas características de los minerales no metálicos desde el punto de vista del procesamiento de

minerales.


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II. CONSIDERACIONES GENERALES DEL PROCESO DEFLOTACIÓN.

2.1. Conceptos y definiciones básicas sobreflotación.

El proceso de flotación se puede definir como:“Método de concentración, que consiste en laseparación selectiva de especies minerales deacuerdo con sus propiedades superficiales deadhesión a burbujas de aire”.


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En el proceso de flotación participan einteractúan tres fases, tal como se presentaen la figura:


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Está constituida por partículas de mineral

finamente molidas.

Las propiedades superficiales de los mineralesdependen de su composición y estructura.

En esta fase juegan un rol importante lossiguientes factores:

Carácter de la superficie creada en la rupturadel sólido: tipo de superficie, fuerzas

residuales de enlaces. Imperfecciones en la red cristalina natural:trizaduras, vacancias, reemplazos de iones,etc.

Fase sólida


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Contaminaciones provenientes de los sólidos,líquidos y gases: oxidación de la superficie,etc.

Presencia de elementos traza: que puedenconcentrarse en la superficie de los granos ytener una influencia mucho mayor que suconcentración en el mineral.


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En relación con su afinidad con el agua, los

minerales pueden presentar propiedadeshidrofóbicas (sin afinidad) e hidrofílicas(con afinidad), que determinan su flotabilidad natural.

Esto está directamente relacionado con su polaridad; por lo que se tiene:


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• Minerales apolares:

Son hidrofóbicos (no reaccionan con losdipolos del agua), ejemplo: azufrenativo, grafito, molibdenita y otros

sulfuros.

En estos minerales su estructura essimétrica, no intercambian electronesdentro de sus moléculas, no se disocianen iones, son en general químicamenteinactivos y con enlaces covalentes.


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• Minerales polares:

Son hidrofílicos (los sólidos tienen lacapacidad de hidratarse), ejemplo: losóxidos.

En estos minerales su estructura esasimétrica, intercambian electrones enla formación de enlaces (enlace iónico) ytienen extraordinaria actividad químicaen general.


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Fase líquida

Está constituida por agua con reactivos.

El agua es polar, siendo ésta la causa de lahidratación de la superficie del mineral ensoluciones acuosas. Contiene generalmente

iones (Cl-, Na+, K+, Ca++, SO4-, etc.),impurezas y contaminantes naturales.

La dureza del agua, o sea, la contaminaciónnatural causada por sales de calcio, magnesioy sodio, puede cambiar completamente larespuesta de la flotación de algunos

minerales, ya sea por consumo excesivo dereactivos, formación de sales insolubles, etc.


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Fase gaseosa

Constituida generalmente por aire (en algunoscasos por otro gas, por ejemplo nitrógeno),

que se introduce y dispersa en la forma de pequeñas burbujas.


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En la definición de flotación se planteó quedebe ser un proceso de separación selectiva:

Esto se logra, al coexistir las fases líquiday gaseosa, ya que las partículas hidrofóbicas“optarían” por adherirse a la fase gaseosa en

vez de la líquida, mientras que las demás permanecerán en la fase líquida.

Las burbujas con partículas adheridas, con unadensidad conjunta menor que la del líquido,ascenderán, pasando a la espuma.


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El fenómeno de flotación es una combinación de probabilidades :

-de adsorción química

-de corto circuito-de colisión partícula burbuja

-de adhesión partícula burbuja

-de rompimiento de unión partícula burbuja

-de arrastre con la ganga

-de ingreso en la fase espuma

-de ser colectada en la espuma

Las características más importantes de una celdapara aumentar las probabilidades de colecciónson:- mezcla

- aireación


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Adhesión:


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Para el caso particular de una burbuja encontacto con una partícula (NP = 1) esférica(α V = П/6), el tamaño mínimo de la burbuja,

para que el conjunto burbuja – partícula puedaascender es:


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En general la flotación es un proceso complejo,por lo que tiende a ser considerado como unarte.

En las figuras siguientes, se presentan diversosesquemas de representación del proceso deflotación.


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PROCESO Aire ConcentradoDE FLOTACIÓN

Atrapamiento Drenaje

Transporte por lasBurbujas

Adhesión

Ruptura

Aire Alimentación Relave

ESPUMA

BURBUJAS PULPA


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COMPONENTES QUÍMICOS


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COMPONENTES QUÍMICOS

- Colectores.- Espumantes.- Activadores.- Depresantes.- pH.

COMPONENTES COMPONENTES

DEL EQUIPO OPERACIONALES

- Diseño de celda. - Flujo de alimentación.- Agitación. - Mineralogía.- Flujo de aire. - Tamaño de partícula.- Configuración del banco de celdas. - Densidad de pulpa.

- Control del banco de celdas. - Temperatura.

SISTEMA

DEFLOTACIÓN


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QU MICAORG NICAESTRUCTURAL

MINERALOG A MEDIOAMBIENTEQUÍMICO

MEDIOAMBIENTEFÍSICO

ESTUDIOS IDEALIZADOSDE MICRO FLOTACIÓN

FLOTACI N A ESCALADE LABORATORIO

FÍSICO-QUÍMICA:CARACTERIZACIÓN DEINTERFACES

FLOTACI N A ESCALA

INDUSTRIAL

DISE O DE EQUIPOSINCLUIDO EN LAINGENIERÍA A GRANESCALA

OPTIMIZACI N DE LAPLANTA

INTERACCIONES DELSISTEMA DE FLOTACIÓNENTRE ASPECTOSQUÍMICOS, EQUIPAMIENTOY PARÁMETROSOPERACIONALES


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En los procesos de flotación, es necesariodistinguir los términos siguientes:

a) Flotación colectiva: se produce la separaciónde varios componentes en dos grupos, de loscuales el concentrado contiene por lo menos

dos o más componentes.

b) Flotación selectiva o diferencial: se realizala separación de compuestos complejos en

productos que contiene no más de una especieindividualizada.


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Una componente importante de la flotación, sonlos reactivos de flotación:

Colector: compuesto orgánico, cuyo papel eshidrofobizar las partículas de mineral útil;estos se adsorben en la superficie de lapartícula mineral en forma selectiva.


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Modificadores: sirven para regular lascondiciones de funcionamiento de los colectoresy aumentar su selectividad, entre ellos setienen: reguladores de pH, depresantes yactivadores.

Espumantes: agentes tensoactivos, que mantienenlas partículas minerales en la superficie de lasolución y juegan un papel activo en la cinética

de flotación.


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Con relación a los reactivos de flotación,existen dos casos de adsorción de interés: lainterfase gas – líquido (aire – agua) y lainterfase sólido – líquido (mineral – agua).

También ocurren fenómenos de interacción en lafase gas – sólido (oxidación superficial de

minerales).


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Interfase gas – líquido (G–L):

Los compuestos que se adsorben selectivamenteen la interfase gas- líquido se llaman

TENSOACTIVOS y hacen reducir la tensiónsuperficial.

Los reactivos llamados ESPUMANTES generalmentealcoholes, cumplen con este rol.


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Interfase sólido – líquido (S–L):

Los compuestos que se adsorben en lasuperficie de los minerales se llaman

COLECTORES.

Estos producen el fenómeno de hidrofobizaciónartificial de los minerales y en general, elcambio de sus propiedades de mojabilidad .


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2.2. Variables del proceso de flotación.

La flotación puede considerarse como un procesofísico-químico complejo.

Como en todo proceso de concentración, se

requiere que las especies minerales útilestengan un grado de liberación adecuado.

Especies mineralógicas, tales como: grafito,

talco, azufre y molibdenita; presentan bajamojabilidad y pueden adherirse sin mayordificultad a burbujas de aires y por lo tantoflotar. Estos minerales se dicen, que tienen“flotabilidad natural”, lo que equivale a decir:


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Baja mojabilidad Hidrofobicidad

La propiedad de flotabilidad natural, se

explica, por la estructura cristalina de dichasespecies, que es de tipo laminar, que exponehacia la solución caras inertes, con escasaposibilidad de interactuar con el agua.


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Figura Nº 2.1. Concepto de tensión superficial(mojabilidad).


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Figura Nº 2.2.Esquemas gráficos de sólidoshidrofóbicos (no mojables) e hidrofílicos

(mojables).


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Cada yacimiento presenta las siguientescaracterísticas: mineralización, diseminación,

alteración y oxidación, dureza, etc. Estascaracterísticas representan un problemaparticular con respecto a la selección dereactivos y conducta de la flotación.

Las variables de mayor importancia del procesode flotación son:

Cada mena, es diferente a otra del mismo metal,incluso zonas de un mismo yacimiento presentancaracterísticas particulares que incide en su

comportamiento en el proceso de flotación.

i G l t í ( d d lib ió )


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i. Granulometría (grado de liberación): engeneral se tiende a moler lo menos posibledebido al alto costo de la operación, esto estálimitado por el tamaño de la partícula y elgrado de liberación de la especie útil.

=> Rec Cu 1

Granulometría 1

=> Rec Cu 2

Granulometría 2 (Partícula Más Fina)

SE TIENE: Granulometría 1 > Granulometría 2

Rec Cu 2 > Rec Cu 1


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Generalmente para un proceso de flotaciónprimaria de minerales tipo cobre porfídico, sedebe tener como producto de molienda, unagranulometría de 40 a 55% - 200 #Ty.

En la mayoría de los casos, la flotaciónprimaria tiene como objetivo metalúrgico larecuperación y no la ley, por lo que laliberación necesaria para la etapa de limpiezase consigue con una remolienda.

En la figura se muestra el efecto de la


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RECUPERACIÓN100%

0%

MEDIOS F CIL

FLOTACIÓN

GRUESOSFINOS

TAMA O DE PART CULAS

Figura Nº 2.6. Recuperación vs tamaño de partículas.

En la figura, se muestra el efecto de lagranulometría en la recuperación por flotaciónde una determinada especie mineralógica.


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1 µm 10 µm 100 µm 1 mm 10 mm 100 mm

FIGURA 4 RANGO DE TAMAÑO DE PARTÍCULAS PARA EQUIPOS DE CONCENTRACIÓN

SOLUBILIDAD

ESCOGIDO

CICLONES CONOS

CIRCULAR JIGS(COAL) CICLONES

TABLAS SLIMES TABLAS WET TABLAS AIRMENAESPIRALES

CONOBARTLEYS MOZTEY

BARTLES CROSSBELT VANNER

FLOTACIÓN POR ESPUMA COALFLOCULACIÓN SELECTIVA

SEPARADOR DE PESO MAGNÉTICOSEPARADOR MAGNETICO DE ALTA INTENSIDAD

SEPARADOR DE CONDUCTOR MAGN TICO COBBIMGELECTROESTÁTICA

COLOR, APARIENCIA

DENSIDAD (MEDIOS DENSOS )

DENSIDAD Y TAMAÑO

SUPERFICIE WATTABILITY

SUSCEPTIBILIDAD MAGN TICA

CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA


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ii. Tipo y dosificación de reactivos: en

relación al tipo de reactivos se debenconsiderar las diferentes familias decolectores, espumantes y modificadores.

La acción de los colectores, activadores ydepresantes afectan el medio químico de la pulpafavoreciendo o reduciendo la probabilidad deformación de los agregados partícula-burbuja.


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Sin embargo, la fase espuma es también

importante en la flotación debido al drenajeselectivo de las especies minerales hacia lapulpa, lo que contribuye en gran medida a laselectividad de la operación.

En cuanto a la dosificación de reactivos, sedebe considerar que interviene en lafactibilidad técnica - económica del proceso.

Ef t d l t l t ñ d b b j


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Efecto del espumante en el tamaño de burbujas.

Jg = 0,5 cm/s

Jl = 0,9 cm/s

Gas holdup = 4.5%

10 ppm espumante

Jg = 0.5 cm/s

Jl = 0.9 cm/s

Gas holdup = 7.5%20 ppm espumante

LA INFLUENCIA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPUMANTE COMO FUNCIÓN DEL TAMAÑO DE PARTÍCULA EN UNA MENA SULFIDIZADA DE COBRE


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HEXANOL BOT

DOWFROTH ®1263 CH3 - (OC3H6)n - OH * BO (n ≈ 7)

HEXANOL® 2 PO TT

DOWFROTH®400 OH - (OC3H6)n - OH (n≈7)

DOWFROTH 1012 CH3 - (OC3H6)n - OH (n≈ 5.5)

DOWFROTH® 250 CH3 - ( OC3H6)n - OH (n≈4)

HEXANOL

Recuperación óptima

(R>0,8)DOWFROTH ® 200 CH3 - (OC3H6)3 - OHRecuperación marginal(0,5 0,5)

10 20 30 50 70 100 200 300 700TAMAÑO DE PARTÍCULA μm

iii Densidad de pulpa: existe un porcentaje de


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iii. Densidad de pulpa: existe un porcentaje desólido óptimo del proceso, por cuanto incide enel tiempo de residencia del mineral en elcircuito.

Para minerales de cobre porfídico se consideranlos siguientes porcentajes de sólidos:

a. Etapa primaria : 30 a 45 %. b. Etapa de limpieza: 15 a 20 %.


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iv. Aireación y acondicionamiento: elacondicionamiento, puede constituir una etapa

clave del proceso, debido a que proporciona eltiempo necesario para que operen los reactivos.

En el caso de colectores de cinética deadsorción lenta, se adicionan en la etapa demolienda. Esto es válido para modificadores yespumantes.


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La aireación es una variable que controlanormalmente el operador, por cuanto le permiteapurar o retardar la flotación en beneficio de

la recuperación o de la ley, dependiendo si setrata de un circuito primario, de limpieza o debarrido.

Para los reactivos depresores y activantes, sedebe además considerar la “vida media” delreactivo en un circuito y lo cual hace necesariosu incorporación en etapas a lo largo de él.


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v. Regulación del pH: la flotación es muysensible a los cambios de pH, en especial loscircuitos de flotación selectiva.

Generalmente, en el caso de cobre porfídicos,los circuitos son alcalinos. Así, para la etapaprimaria el rango de operación es de 8 a 11, yen las etapas de limpieza puede alcanzar hasta12,5.

Toda fórmula de reactivo (colectores,espumantes y modificadores) tiene su pH óptimo.


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Además, se debe tener en cuenta el consumo deregulador de pH, debido a que la pulpa mineral

tiene un pH natural, y en caso de tener gangasácidas se podrían tener altos consumos deregulador de pH. Por lo tanto, la determinacióndel consumo de regulador de pH es un factor a

considerar en un estudio de factibilidad de esteproceso.

Para ver este efecto se pueden construir curvas

de pH vs consumo, para un mineral determinado ydistintos tipos de cal, tal como se muestra enla figura siguiente.


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vi. Tiempo de residencia: un mineral se puedecaracterizar por su cinética de flotación y enforma más particular por la constante específica

de velocidad. Es decir, para obtener unarecuperación determinada, se debe proporcionaral mineral el tiempo de flotación adecuado, yque para el caso industrial, el tiempo de

flotación deberá corresponder al tiempo deresidencia para cada etapa.

El tiempo de residencia es variable y es funcióndel: volumen del circuito, porcentaje de sólido,tipo de mineral, cargas circulantes, respuestacinética de los reactivos, etc.


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vii. Temperatura: unos pocos minerales muestraun mejoramiento de la eficiencia con un aumentode temperatura de la pulpa. Sin embargo, en laactualidad cualquier proceso que signifique un

consumo de energía adicional tiene seriasrestricciones para su implementación industrial.

iii C lid d d l l í d l


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viii. Calidad del agua: en la mayoría de lasplantas la disponibilidad de agua es un problemaserio. Esto obliga a utilizar agua industrial o

de recirculación que contienen cantidadesresiduales de reactivos.

Aguas duras, salada o de mar, le confieren al

proceso de flotación comportamientosespecíficos, que se deben de evaluar en cadacaso.

En ciertos casos, operaciones a nivel industrial

han fallado, debido a que las pruebas delaboratorios o piloto, se realizaron con unacalidad de agua diferente a la de operación dela planta.

2 3 Reactivos de flotación


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2.3 Reactivos de flotación.

La mayoría de los minerales son naturalmente

hidrofílicos.

Para lograr separarlos por flotación, lasuperficie de algunos debe ser selectivamentetransformada en hidrofóbica.

Esto se logra regulando la química de lasolución y agregando reactivos que se adsorbanselectivamente en dicha superficie

entregándole características hidrófobas. Estosreactivos se denominan colectores.


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Pocos minerales son hidrofóbicos pornaturaleza, tales como la molibdenita, y es

posible su flotación sin el uso de colectores,aunque es práctica común ayudarse concolectores suplementarios.

Otros minerales se pueden tornar hidrofóbicossin el uso de colectores, ya que, por ejemplo,la adición de grandes concentraciones desulfuro de sodio (fenómeno de activación) a

minerales sulfurados puede generar superficies

hidrofóbicas (al reemplazar productos deoxidación e hidratación superficiales)

posibilitando su flotación.


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Son compuestos orgánicos cuya función es

tornar hidrofóbicas las superficies de los minerales.

Los más comunes son iónicos siendo compuestos

heteropolares solubles en agua.

Su grupo polar es la parte activa que seadsorbe (física o químicamente) en lasuperficie de un mineral.

La parte apolar se orienta hacia la faselíquida, sin interactuar con ésta.

Colectores:


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ó


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Clasificación de los colectores:


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Colector catiónico – amina cuaternaria:


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Colector no iónico - diesel:


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Los colectores de una misma familia sedistinguen entre si, entre otras cosas, por elnúmero de carbones de la cadena apolar(radical).

Esta característica se relaciona con lacapacidad colectora expresada en el ángulo decontacto, como se ilustra para los xantatos:


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2.3.1. Los compuestos básicos de los colectoresy sus familias se presentan a continuación:

COMPUESTO BÁSICO FAMILIAS

HO C

OH

O1. R O C

S

S- M +

Alkyl

ditiocarbonato

(Xantato)

1.1.

R O CS

OR ‟‟

Alkyl

tritiocarbonato

N CH

H

O

OH

2. N CS

S- M +

R‟

R‟‟

2.1.

Ácido

carbónico

Ácido

carbámico

Dialkyl

ditiocarbamato

R‟ S Alkyl


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N CH

S

OR ‟‟

Alkyl

tionocarbamato2.2.

PHO

HO OH

O Ácido

fosfórico3. P

SR‟O

R‟‟O S- M +

Dialkyl y Diaryl

ditiofosfatos3.1.

PR‟O

R‟‟O

S

Cl

Trifosfonil

cloruro

4.2.

ROH4. Alcoholes R – S - H Alkyl mercaptano

R‟ – Sn – R‟‟Polisulfuros

(n = 2,3,…)

4.1.

S


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C = O

H2 N

H2 N

Urea5. H - NC

N - H

R‟ R‟‟

Dialkyl tiourea

(tiocarbanilida)

6.1.R – O - CS

S- M +

Derivados

xantatos

6. R‟– O - CS

S-C

O

OR‟‟

Formiatos de

xantógeno

5.1.

R‟– O - CS

S-R‟‟

6.2.Esteres

xánticos

S N

C-S- M +

Mercaptobenzotiazol

7.1.7.

Propiedades físicas y químicas más importantes de loscolectores tiólicos más comunes.


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COLECTOR PROPIEDADES

Xantato. R disponible desde etil a hexil.

Disponible en pellet, polvo o formas líquidas.

Soluble en agua pero las soluciones tienen vida limitada.

Se descompone a pH menores que 7, el rango de uso vadesde 7 a 13.

No actúa como espumante y usualmente es mezclado conotros colectores tiólicos.

Peligro de combustión con materiales sólidos.Por lo general, se utiliza en soluciones diluidas en el rango de 2 a20 %.

Tionocarbamatos. R’, R’’ disponible desde metil a propil.

Los líquidos son insolubles en agua.

Es recomendable agregar en los circuitos de molienda o como

una emulsión. Relativamente estable en medios ácidos y básicos, en los

rangos normales usados en la flotación.

El rango de pH, más usual, es de 4 a 10.

No tiene propiedades de espumante y se utiliza mezclado conxantatos.

Dialkyl y DiarylDitiofosfatos.

Dialkyl R’, R’’ disponible desde etil a butyl.

A la forma de diaryl contiene ácido cresílico.

Los derivados alquílicos tienen una limitada acciónespumante.

Los derivados del aryl tienen una fuerte acción espumante.

Los derivados del alkyl, son sólidos solubles en agua.

Los derivados del alkyl se usan en soluciones de 2 a 20 %.

Los derivados del aryl son líquidos que presentan moderada abaja solubilidad en agua.

Los derivados del aryl no son solubles en agua.

El rango normal de uso de los ditiofosfatos es de 5 a 11 %.

Alkyl Mercaptanos yPolisulfuros.

Se usan generalmente cuando R es mayor que decil.

No son solubles en agua pero pueden emulsificarse.

Por lo general desprenden olor y tienen problemas de manejo.

Tiocarbanilida Son manufacturados como polvos que no son solubles enagua.

Pueden agregarse secos o como una dispersión.

Tabla Nº 2.1. Propiedades de los colectores tiolicos.

Tabla Nº 2.3. Aplicaciones de los colectores tiolicosa minerales sulfurados


75/202

a minerales sulfurados.COLECTORES APLICACIONES

Xantatos Son de amplio uso con minerales sulfurados en circuitos

alcalinos.

Etil es el más barato y menos poderoso.

Etil debe utilizarse con otros colectores. Etil se utiliza en la flotación selectiva de Cu/Zn, Pb/Zn,

Cu/Pb/Zn.

Propil y butil son menos selectivos que el etil.

Propil y butil se utilizan en la flotación de Cu, Pb y Zn. Propil y butil son utilizados para propósitos generales de la

flotación de sulfuros incluyendo Ni, Au, Ag, Co y pirita. Amil y hexil son poderosos agentes recuperadores pero no

selectivos.

Amil y hexil son los reactivos más caros de todos los xantatos.

Amil y hexil se utilizan en la flotación primaria de los sulfuros. Tionocarbamatos.

De mayor costo que todos los xantatos.

Pueden usarse en circuitos ácidos y básicos.

Selectivos para Cu o Zn activado con Cu frente a pirita.Ditiofosfatos.

Costo entre xantatos y tionocarbamatos. Por lo general, son menos poderosos en recuperación pero más

selectivos frente a pirita que los xantatos. Casi siempre se usan en conjunto con otros colectores.

Derivados del dialkyl se usan en la flotación de Ag, Au y Cu.

Derivados del diaryl se utilizan en la flotación de Pb, Zn, Ag yCu.

Alkyl Mercaptano yPolisulfuros.

Colectores no poderosos pero no selectivos para la mayoría de

los minerales sulfurados, especialmente cobre. El costo es altamente variable y tiene problemas de manejo

debido al olor que desprende. Tiocarbanilida

Relativamente débiles pero muy selectivos, se utilizan enconjunto con otros colectores.

Se utilizan en la flotación de Cu, Pb y Ag, así como en minerales

complejos de Cu/Pb/Zn.

Espumantes:


76/202

Son reactivos orgánicos de carácter

heteropolar.

Análogos a los colectores iónicos en suestructura, su diferencia radica en el

carácter del grupo polar que en los colectoreses activo para reaccionar con la superficie delos minerales, mientras que en los espumanteses un grupo con gran afinidad con el agua (OH-).

Permiten la formación de una espuma estable y burbujas de tamaño apropiado para llevar los minerales al concentrado.

Espumantes:


77/202


78/202


79/202

Interacción colector – espumante:contacto mineral - burbuja

Tras el contacto mineral – burbuja, las moléculas de espumante pueden penetrar la capade colector sobre el mineral para formar unacapa mixta, estableciéndose una adsorción másfuerte (teoría de Leja y Schulman).


80/202

• Si se agrega un exceso de colector, las partículas son aparentemente incapaces de penetrar la interfase LG y la flotación seinhibe.

• Si se agrega exceso de espumante, γLG (latensión superficial líquido – gas) disminuye

mucho, y ocurre una situación similar.


81/202


82/202

D. ESPUMANTES. APLICACIONES 1. MIBC.2 Glicol de

i. TEB es usado principalmente en plantas Africanas.ii MIBC y aceite de pino se utilizan en circuitos


83/202

2. Glicol de polipropileno (DF 250).3. Aceite de pino.4. Trietoxibutano(TEB).5. Ácido cresílico.

ii. MIBC y aceite de pino se utilizan en circuitosselectivos de limpieza.

iii. DF - 250 se utiliza para espumas estables.iv. Ácido cresílico se usa en muy pocas plantas, debido a que tienepropiedades colectoras y no es selectivo.

E.- DEPRESANTES. APLICACIONES

1. Dextrina. i. Se utiliza para la depresión de material insoluble en circuitosde limpieza de cobre.ii. En algunas plantas se utiliza en la flotación reversa donde sedepresa MoS2.

F.- OTROSREACTIVOS.

APLICACIONES

1. Cianuro de sodio. i. Depresantes de sulfuros cobre, hierro y zinc; generalmente seadicionan en la etapa de molienda y circuitos de limpieza; encircuitos de alto pH, la depresión de pirita es muy efectiva.

2. Hidrosulfuro de

sodio.

i. Depresantes de minerales de cobre, usados ampliamente en la

separación de dichos minerales desde molibdenita.ii. Puede en ciertos casos reemplazar al cianuro.

3. Sulfato de zinc. i. Se utiliza con cianuro para asegurar la depresión de esfalerita.4. Silicato de sodio. i. Dispersante de lamas, se adiciona en etapas para mayor

efectividad.5. Reactivo Nokes. i. Ampliamente utilizado para la separación de minerales de cobre

de molibdenita.ii. Es también un efectivo depresante de minerales de cobre yplomo.

6.- Ferrocianuro de

sodio.

i. Usado en algunas plantas para depresar minerales de cobre en la

flotación de MoS2, con pH moderado a levemente alcalino, encaso de usar este reactivo.

G.- SEPARACIÓNSÓLIDO - LÍQUIDO.

APLICACIONES

1. Policrilamida. i. Agregado a espesadores para mejorar la separación sólido -líquido y la calidad del agua.

H. TRATAMIENTODE AGUAS.

APLICACIONES

1. Antiespumantes. i. Usados para el control de espuma.2. Tripolifosfato de

sodio.

i. Para ablandamiento de aguas recirculadas a la planta.

III. EVALUACIÓN DEL PROCESO DE CONCENTRACIÓN:Ó


84/202

FLOTACIÓN

3.1. Parámetros básicos.

En los procesos de flotación es de granimportancia evaluar las operaciones. Para elloes necesario determinar la recuperación y

eficiencia de la concentración, como así tambiénla razón de concentración y la selectividad.

En la evaluación del proceso los parámetros másimportantes son la recuperación y la ley delconcentrado, en los cuales existe una relaciónde dependencia, generalmente un aumento de laley del concentrado significa una menorrecuperación.

i. Recuperación (R).


85/202

p ( )

Se define como el porcentaje de materia útil del

mineral que es transferido, por las operacionesde concentración desde la alimentación delproceso al concentrado.

100* *

*% f F

cC R

F = Masa de mineral alimentado al proceso.

f = Ley de cabeza.

C = Masa de concentrado.

c = Ley del concentrado.

)tf(*


86/202

%100*)t-c(*f

)t-f (*c =R%

t = Ley del relave

ii. Razón de concentración (K).

Se refiere a las toneladas de mineralnecesarias para obtener una tonelada de

concentrado final. En este sentido, indica enforma indirecta la eficiencia del proceso.

Este término está estrechamente relacionado con


87/202

la recuperación.

C

F =K

t-f

t-c =K

iii. Razón de enriquecimiento (RE).


88/202

cabezalaencomponentemismodelLey

oconcentradelendeseadocomponentedelLey RE

f

c =RE

iv. Recuperación en peso (RP).Se define como el porcentaje de la razón delpeso del concentrado y el peso de la

alimentación.

100*FC

RP%

NaSHg/t

pHCu Insoluble%

Pulpa ReactivoDosifi-cación

g/tCu Soluble

%Cu Total

%Cu Insoluble

%Cu Soluble

%

PruebaNº

ProductoPeso

g Cu Total%

Leyes RecuperaciónPRUEBAS DE FLOTACI N PULPA DE ALIMENTACI N Y RELAVE ROUGHER


89/202

Cabeza (calc) 1420,0 3,65 0,69 2,96

Concentrado 187,0 22,97 1,23 21,74

Relave 1233,0 0,72 0,61 0,11

Cabeza (calc) 1472,0 3,25 0,66 2,59

Concentrado 186,0 20,79 1,2 19,59Relave 1286,0 0,71 0,58 0,13

Cabeza (calc) 1222,0 0,97 0,71 0,25

Concentrado 138,0 2,67 1,52 1,15

Relave 1084,0 0,75 0,61 0,14

Cabeza (calc) 1302,0 0,97 0,67 0,31

Concentrado 211,0 1,98 1,13 0,85

Relave 1091,0 0,78 0,58 0,20

Cabeza (calc) 1333,0 3,93 0,63 3,30

Concentrado 204,0 21,58 1,24 20,34

Relave 1129,0 0,74 0,52 0,22Cabeza (calc) 1352,0 3,78 0,69 3,09

Concentrado 181,0 22,97 1,24 21,73

Relave 1171,0 0,81 0,60 0,21

Cabeza (calc) 1356,0 4,29 0,68 3,61

Concentrado 208,0 23,96 1,06 22,9

Relave 1148,0 0,73 0,61 0,12

Cabeza (calc) 1444,0 3,24 0,65 2,59

Concentrado 238,0 16,03 1,00 15,03

Relave 1206,0 0,72 0,58 0,14

Cabeza (calc) 1230,0 0,99 0,68 0,31

Concentrado 210,0 2,14 1,24 0,9

Relave 1020,0 0,75 0,56 0,19

Cabeza (calc) 1196,0 0,99 0,67 0,32

Concentrado 197,0 2,79 1,88 0,91

Relave 999,0 0,63 0,43 0,20

Cabeza (calc) 1235,0 1,11 0,63 0,48

Concentrado 229,0 3,36 1,30 2,06

Relave 1006,0 0,60 0,48 0,12

Cabeza (calc) 1224,0 1,01 0,64 0,37

Concentrado 211,0 2,77 1,27 1,50Relave 1013,0 0,64 0,51 0,13

Natural

Relave

primario HA-822 10 600 9,5

Relave

primario HA-822 10 600

Natural

Relave

primario HA-822 10 300 Natural

Relave

primario HA-822 10 ----

Natural

Alimentación S-6588 20 ---- Natural

Alimentación S-6588 10 ----

Natural

Alimentación SENKOL 5 20 ---- Natural

Alimentación SENKOL 5 10 ----

Natural

Relave

primario ---- ---- ---- 9,5

Relave primario ---- ---- ----

Natural

Alimentación ---- ---- ---- 9,5

49,37

47,29

79,62

70,62

38,14

34,15

96,77

95,61

51,12

45,11

94,35

94,12

97,19

95,49

23,95

25,39

31,31

46,3

24,08

27,37

30,11

24,21

37,01

46,62

56,04

47,41

11

12

82,87

80,90

31,19

32,93

84,05

81,42

85,6

81,46

7

8

9

10

3

4

5

6

1

2

23,42

23,03

Alimentación ---- ---- ----

Cabeza (calc) 1377 0 0 62 0 50 0 13

PotencialmVCu Total % Cu Soluble % Cu Insoluble % Cu Total % Cu Soluble % Cu Insoluble %

PruebaNº

ProductoPeso

g

Leyes RecuperaciónReactivo

Dosifi-cación

g/t

NaSHg/t


90/202

Cabeza (calc) 1377,0 0,62 0,50 0,13

Concentrado 156,0 2,06 1,66 0,40

Relave 1221,0 0,44 0,35 0,09

Cabeza (calc) 1258,0 0,62 0,50 0,12

Concentrado 156,0 1,78 1,42 0,36

Relave 1102,0 0,46 0,37 0,09

Cabeza (calc) 1300,0 0,63 0,52 0,11

Concentrado 138,0 1,32 1,07 0,25

Relave 1162,0 0,55 0,46 0,09

Cabeza (calc) 1352,0 0,64 0,53 0,11

Concentrado 138,0 1,73 1,40 0,33

Relave 1214,0 0,52 0,43 0,09

Cabeza (calc) 1294,0 0,64 0,52 0,13

Concentrado 147,0 2,16 1,74 0,42

Relave 1147,0 0,45 0,36 0,09Cabeza (calc) 1301,0 0,62 0,50 0,12

Concentrado 181,0 1,69 1,37 0,32 20

Relave 1120,0 0,45 0,36 0,09

Cabeza (calc) 1295,0 0,62 0,51 0,11

Concentrado 172,0 1,26 1,05 0,21

Relave 1123,0 0,52 0,43 0,09

Cabeza (calc) 1342,0 0,59 0,51 0,08

Concentrado 140,0 2,01 1,63 0,38

Relave 1202,0 0,43 0,38 0,05

Cabeza (calc) 1304,0 0,66 0,53 0,13

Concentrado 181,0 1,83 1,46 0,37

Relave 1123,0 0,47 0,38 0,09

Cabeza (calc) 1301,0 0,63 0,51 0,11

Concentrado 210,0 1,50 1,26 0,24 E-355 10

Relave 1091,0 0,46 0,37 0,09

0,66 % Cu total

0,56 % Cu sol.0,10 % Cu insol.

Natural

9,5

----

600

600

600

60010

300

300

---- Natural

Natural

Natural

V-2496

V-2497

V-2498

V-2499

10

10

10

----

----

Natural

Natural

Natural

9,5

Natural

10

10

10

10

39,59 33,92

PM 231

PM 232

PM 233

PM 234

V-2500

33,32 46,95

38,56 38,24 39,85

38,08 36,49

27,07 27,22 26,33

27,01 29,42

38,09 38,25 37,42

46

47

LEY DE CABEZA ANALIZADA

37,43

35,39

22,18

27,44

37,77

35,25

38,56

42

43

44

45

38

39

40

37,73 36,22

35,20 36,15

21,65 24,81

41


91/202

3.2. Límite de la concentración de minerales.

Existe una ley máxima a la cual se puedeconcentrar un mineral. Esta ley corresponde a lade su especie mineralógica pura. Claro que paralograr estas concentraciones se deben realizaroperaciones perfectas y de un costo económicomuy elevado.

Lograr ésta ley en los concentrados no es muy

beneficioso, ya que a medida que sube la ley deconcentrado, baja la recuperación y viceversa.


92/202

A mayor ley de concentrado mayor razón deconcentración, esto significa que se necesitatratar mayor tonelaje para obtener una toneladade concentrado de alta ley.

En algunos casos la exigencia de un producto dealta ley, particularmente de los que tienen queaplicarse en forma pura, se puede justificar porsu alto precio.


93/202

En otros casos tan elevada concentración notiene importancia substancial porque nocontribuye mayormente al proceso tecnológico.

Para decidir cual es el límite de unaconcentración óptima, se determina el valor deuna tonelada de mineral bruto de acuerdo a laley del concentrado y la razón de concentración

a través del siguiente caso.


94/202

3.3. Análisis de gráfico.

Debido a que no existe un criterio únicoampliamente aceptado para la evaluación de losresultados de procesos de concentración, se usancomúnmente gráficas que relacionan dos o másfactores.

- Porcentaje de recuperación en peso o razón deconcentración vs porcentaje de recuperación.

Algunas de las combinaciones más usadas son lassiguientes:


95/202

- Ley de concentrado o razón de enriquecimiento

vs porcentaje de recuperación.

- Nivel de una variable del proceso vs porcentajede recuperación, o ley del concentrado, o razónde enriquecimiento.

- Porcentaje de recuperación en peso o razón deconcentración vs ley

de concentrado o razón de enriquecimiento.

% Recuperación

Fuertemente


96/202

hidrofóbico

Débilmente hidrofóbico

No hidrofóbico

Tamaño de partícula

Gráfico Recuperación vs tamaño de partícula para materiales con distinto carácter

hidrofóbico.

% Recuperación


97/202

Rougher

Limpieza

Tamaño medio de partícula (um)

Gráfico recuperación vs tamaño de partícula paradistintos tipos de circuitos.

Ley


98/202

Densidad de pulpa

Recuperación

Gráfico ley vs recuperación en función de ladensidad de pulpa.

% Recuperación


99/202

Mineral

Ganga

Tiempo de retención

Gráfico recuperación vs tiempo de retención para el mineral y la ganga.


100/202

Recuperación de KCl en la etapa de flotación primaria (rougher)

R e c . K C l ( % )

R e

c . A c u m . K C

l ( % )


101/202

Recuperación de partículas gruesas en laflotación de KCl


102/202

4.6. Algunas consideraciones sobre laseparación.

La separación de una materia prima en dos o máscomponentes, concentrado y relave, no esperfecta, por dos razones fundamentales:

a) Características de la materia prima:tratamiento previo, grado de liberación, etc.

b) Equipo de separación: proceso de separación ycondiciones de operación.

i. Análisis desde el punto de vista de lamateria prima:


103/202

Ganga liberada

Ganga con mineral útil atrapado, asociado

Mineral con ganga asociada, atrapada

Mineral liberado

Esquema de los diferentes tipos de partículas de mineral y ganga presente en los procesos de

concentración.

ate a p a:


104/202

Esquema de evolución de la separación con eltiempo en los procesos de concentración.


105/202

“No se puede separar con

ningún mecanismo físico al100 %”.


106/202

¿HASTA DONDE INTERESASEPARAR?

Para observar en forma cuantitativa la evoluciónde un proceso de separación, se utilizandiversas representaciones, tales como las

figuras siguientes.

i) Curva de recuperación acumulativa v/s tiempo.


107/202

% R

R MÁX.

Tiempo (batch); N celdas (continuo)

Curva de recuperación acumulativa v.s. tiempo.

ii) Curva de ley acumulativa v/s recuperaciónacumulativa.


108/202

Curva ley acumulativa v.s. recuperaciónacumulativa.

Las curvas anteriores corresponden a un circuitoque se esquematiza a continuación


109/202

que se esquematiza a continuación.

F*f T*t

C*c

Con: f o Xf = ley de alimentación del mineral.

Xn = ley del metal en el mineral.

Es importante notar que las curvas anteriores nodicen si el sistema está funcionando mejor queotro, depende del mineral.

IV. CINÉTICA DE FLOTACIÓN


110/202

IV. CINÉTICA DE FLOTACIÓN

4.1. Conceptos básicos de cinética de flotación.

La cinética de flotación es el estudio de lavariación en cantidad del producto que rebalsaen la espuma con el tiempo y la identificacióncuantitativa de todas las variables quecontrolan la velocidad.


111/202

Ecuación de velocidad de flotación, se refierea la relación algebraica entre la proporción

de minerales que flota y el tiempo deflotación, manteniendo constante todas lasvariables del proceso.

La operación dicontinua (batch) en sentidoestricto no se da en flotación, por cuanto elconcentrado siempre se remueve de la celda enforma continua. Las pruebas de laboratorios

(batch) convencionales son realmenteoperaciones semi-batch que no alcanzan elestado estacionario.


112/202

La flotación industrial siempre comprende el paso de un flujo de pulpa a través de unaserie de tanques agitados.

De aquí se desprende las limitaciones de usar pruebas de laboratorio semi-batch como modelo para una celda o un banco industrial queoperan bajo condiciones de flujo continuo.


113/202


114/202

Respecto al mecanismo de transporte paraalcanzar el volumen de espuma, las partículas pueden retornar a la fase de la pulpa oeventualmente abandonar la fase de la espuma y

pasar a las canaletas de concentrados si losniveles de las variables manejables permiten laremoción de espuma, según se aprecia en lafigura siguiente.


115/202

FASE PULPA

FASE

ESPUMA

ATRAPAMIENTOFÍSICO DEPARTÍCULAS

DRENAJE TRANSFERENCIA DEPARTÍCULAS ENTRE LASFASES DE PULPA Y ESPUMA EN INA CELDA DEFLOTACIÓN

CONCENTRADO

Transferencia de partículas entre las regionesde pulpa y espuma en una celda de flotación.

RELAVE


116/202

Por lo tanto la etapa determinante de lavelocidad de flotación podrá ser cualquieretapa de la figura anterior. Se debeconsiderar, que también el agua se transfiereentre ambas regiones.

Al realizar una prueba de flotación a escala banco y si se retira concentrados parciales adistintos tiempos de flotación, se observa quela cantidad y la calidad del concentradocambia con el tiempo.


117/202

En un gráfico de recuperación acumulativa vstiempo, muestra que la recuperación crece

muy rápidamente en los primeros minutos deflotación y que después la curva se haceasintótica con el tiempo sin alcanzar unarecuperación completa. La forma de esta curvase aprecia con claridad en la figura quesigue:

100,0

% RECUPERACIÓN


118/202

Gráfico recuperación acumulada v.s. tiempo.

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

TIEMPO (min)

t2t1

R2

R1

A

B

C D


119/202

La recuperación al tiempo t1 está dada por la pendiente de la tangente A - B y asísucesivamente. Se aprecia claramente que lavelocidad de recuperación decrece con eltiempo.

Se ha encontrado con frecuencia que lavelocidad de flotación a un tiempo dado,depende de la cantidad de partículas flotablesque aún permanecen en la celda en ese

instante.


120/202

Uno de los primeros trabajos sobre cinética deflotación en que se destacó, que en unaflotación a escala de laboratorio la fracciónde sólidos no flotables remanentes en unacelda de flotación, decae con el tiempo fue

publicado por García-Zúñiga en 1935.

García-Zúñiga hace una descripción matemática


121/202

y reconoce la analogía algebraica con lasecuaciones de reacción de cinética de química

de primer orden. Posteriormente en 1942Schumann puntualiza que la constanteespecífica de velocidad de flotación tiene el

mismo significado dimensional que la constante

de reacción específica de una reaccióncinética de primer orden.

De estos y otros trabajos surgen el enfoque

analógico a la cinética química que lleva aldesarrollo de ecuaciones como las siguientes:

inC*kdC


122/202

iii C*k -

dtCi = representa la concentración de unconstituyente particular en la celda (especieflotable, especie de ganga, aire, etc).

C = representa la concentración del materialflotable.

ni = representa el orden de la reacción.

ki = constante específica de velocidad deflotación.

t = tiempo de flotación.


123/202

Si en un experimento controlado, se mantienenconstantes todas las variables (flujo de aire,velocidad de agitación, tipo y dosificación dereactivos, etc.), entonces la ecuación anterior

se simplifica considerablemente; obteniéndose laexpresión usual, en donde la única variable esla concentración de material flotable:

dC


124/202

n

n C*k -dt

dC

kn : es la de velocidad de flotación.

n : es el orden del proceso, (n = 1, para lacinética de primer orden).

(-dC/dt): representa la velocidad derecuperación instantánea desde un recipiente oestanque semi - batch.


125/202

Se considera que todas las partículas tienenidéntica flotabilidad, y no se contempla ladistribución de tamaños de partículas y burbujasexistentes normalmente en una celda deflotación.

Así, el valor de k está relacionado con lascondiciones de flotación, tales comoconcentración del colector, velocidad de flujode aire, etc., y que se suponen constantes a lolargo de la prueba.


126/202

Para cualquier condición dada, k es una medida

cuantitativa de la probabilidad de que laspartículas de una especie sean recuperadas en elconcentrado.

Las dimensiones de k en una cinética de primerorden son (min-1).


127/202

Integrando la ecuación anterior para n = 1, setiene:

t*k -0

1e*CCC0 = concentración del material flotable en la

celda al tiempo cero.C = concentración del material flotable en lacelda al tiempo t.

Para representar gráficamente la ecuación, puedeescribirse como:

t*k C

C Ln 1

0

Al graficar los valores experimentales deln(C0/C) versus el tiempo, se obtendrá una línea


128/202

(C0/C) e sus e t e po, se obte d á u a earecta cuya pendiente será igual a k1 si n = 1.

Sin duda existe una dificultad para determinarel tiempo cero, puesto que transcurre un espaciode tiempo desde que se abre el paso de aire enuna celda hasta que se forma una espumamineralizada adecuada para la remoción delconcentrado.

Sin embargo, cualquier tiempo en una prueba a

escala banco (batch) puede considerarse comotiempo cero. En la práctica lo mejor es esperarhasta que la remoción de espuma esté bajocontrol para tomar muestras experimentales.


129/202

Al final de un experimento de flotación despuésde un tiempo suficientemente largo, siempre

queda en la celda una cantidad de material queno flotó. Si la concentración de este materialse representa por C∞, entonces la ecuación sepuede reescribir para darle mayor aplicación,

de la siguiente forma:

t* k -0

1e* C-CC-C


130/202

t*kC-C

C-CLn

1

0

Al graficar la ecuación, se obtendrá una línearecta, cuya pendiente es k1.

Desde el punto de vista metalúrgico, conviene

trabajar con recuperaciones en vez deconcentraciones. Para ello se usará ladefinición de concentración:

MC


131/202

V C

M : corresponde a la masa de todo el mineral ola masa de la fracción del mineral flotable.

V : corresponde al volumen de la pulpa,incluyendo el aire o el volumen de agua.

Manteniendo V constante a lo largo delexperimento, la recuperación máxima alcanzable,R ∞, de la prueba será:

Manteniendo V constante a lo largo del


132/202

gexperimento, la recuperación máxima alcanzable,

R ∞, de la prueba será:

0

0

0

0

C

C-C

M

M-M R

La recuperación para un tiempo t dado:

0

0

C

C-CR


133/202

Al introducir el concepto de C∞, entonces la

ecuación de prime orden se transforma en:

nn C-C*k -

dt

dC

En términos de recuperaciones, considerando n =1, se obtiene:

t*k


134/202

t*k -exp-1*R e-1*R R t*k -

R = recuperación acumulativa al tiempo t.

R = es la recuperación de equilibrio a tiempo prolongado.

k = constante de velocidad de primer orden.

Esta es una ecuación básica de la cinética deflotación y fue sugerida por primera vez porGarcía-Zúñiga y posteriormente por Arbiter yHarris.

En la práctica la ecuación:

*k


135/202

por lo general no se cumple exactamente debido ala dificultad de fijar el tiempo cero en forma

precisa. Para obviar este problema se introduceuna corrección en el tiempo y entonces la

ecuación de velocidad se expresa como:

)e-1(R =R t*k -

)+t(k exp-1R =R θ = factor de corrección para el tiempo igual acero.

En la ecuación cinética de 1er orden, obtenida


136/202

por García-Zúñiga:

)e-1(R =R(t) t*k-

- R(t) = Representa la recuperación de materialflotable hasta el instante t.

- R ∞ = Es la recuperación máxima alcanzable paraun tiempo de flotación infinitamente grande (t →∞).


137/202

-R ∞ y K:

* Son valores característicos de cadacomponente flotable (ejemplo: Cu, Mo, Fe eInsolubles).

* Sus valores dependen de:+ La etapa de flotación considerada:

primaria (rougher), limpieza(cleaner), barrido (scavenger).

+ Las características propias del mineral: granulometría, grado deliberación, etc.

+ Las condiciones de operación ydiseño de la celda: pH de flotación,


138/202

tipo y dosificación de reactivos,

velocidad de agitación, diseño de lacelda, etc.

Por lo tanto, se debendeterminar para cadasituación en particular y

para cada componente de lamena.

Una metodología para estimar R ∞ y K es latécnica de minimización del coeficiente


139/202

variacional.

Otra ecuación cinética, a escala banco, esconsiderar la de orden dos. En este caso “n”asume el valor 2:

2

2 C*k-dt

dC

Integrando entre límites apropiados, se obtiene:

t*k1

-1

2


140/202

tkC

C

2

0

Considerando la concentración infinito y lasdefiniciones de R y R ∞ en términos de lasconcentraciones, se llega a:

t*k*R 1

t*k*R R

2

R

t

R *k

1

R

t2

o

Otras expresiones alternativas para modelar laflotación a escala banco (batch), que a veces


141/202

flotación a escala banco (batch), que a vecesproporcionan un mejor grado de ajuste a los

datos experimentales, son los siguientes:

• Ecuación de García-Zúñiga modificada:

nt*k-exp-1*R R(t)

Donde:

- n es un parámetro empírico dependientedel componente flotable y de la etapa deflotación considerada.

• Ecuación de R. R. Klimpel: en 1979, Klimpel


142/202

p , p propuso la siguiente ecuación:

t*k-exp-1*

t*k

1-1R R(t)

En la ecuación:

- R(t): representa la recuperación acumulada delcomponente flotable en el instante t.

- k: corresponde a la máxima velocidad específica de flotación (1/t) de un conjunto de


143/202

* La abundancia relativa inicial (para t=0)de cada especie es la misma e igual a 1/k.

* La distribución inicial (t=0), de las

velocidades específicas de flotación es detipo rectangular.

especies con velocidades específicascomprendidas entre 0 y k, de modo que:

- R ∞: representa la recuperación máxima

alcanzable para t → ∞.

El t d i fl t bl d fi id


144/202

- El concepto de especie flotable, definida porHarris y colaboradores, se refiere a todas

aquellas partículas con la misma velocidad específica de flotación, por efecto combinadodel medio ambiente que rodea a la partícula(tanto químico como hidrodinámico) y de las

propiedades inherentes al propio material en proceso.

• Modelo a escala banco semidistribuido, Kelsall1961:


145/202

1961:

Si las partículas en la pulpa no poseen propiedades idénticas de flotación, pero tienenun rango continuo de constantes de velocidad, laforma integral de la ecuación de velocidad es:

0

kt-

0 f(k,0)dkecc

f(k,0) : representa una distribución continuade constantes de velocidad

El mayor problema de la ecuación es definir enforma exacta la distribución de las constantes


146/202

forma exacta la distribución de las constantesde velocidad.

Para esto, Kelsall sugiere considerar laaproximación de que las especies flotables se

dividen en dos grupos o componentes; uno de bajay otro de alta constante de velocidad.

En los casos donde esta aproximación es válida,la ecuación de velocidad para una celda delaboratorio es:


147/202

ks : constante de velocidad lenta.

Kf : constante de velocidad rápida.

Ф : proporción de la especie flotable con baja constante de velocidad.

t-kt-k0

fs

e-1ecc


148/202

La ecuación anterior, se puede expresar entérminos de recuperación, según:

tk-exp-1-1tk-exp-1100r 21


149/202

4.3. Determinación de k y R ∞ para modelos a

escala banco (semi-batch).

Para tal efecto se utilizará el método de minimización del coeficiente de variación.

Considere un estudio cinético de flotación primaria (rougher) a escala de laboratorio,donde se obtuvieron los resultados metalúrgicossegún la tabla siguiente.

Tabla Nº 6.1. Datos experimentales de una


150/202

R(t) (%) t (min)

0,0 0,0

37,4 0,560,1 1,0

82,1 2,0

90,3 3,094,4 5,0

95,0 8,0

Tabla N 6.1. Datos experimentales de unacinética de flotación primaria.

Los datos anteriores se deben ajustar por laecuación de García-Zúñiga:


151/202

t*k-exp(-1*R r(t) r(t) = valor ajustado de R(t).

k = constante cinética de flotación, 1/min.

R ∞ = máxima recuperación del sistema.

Estimar los mejores valores de k y R ∞.


152/202

Desarrollo:

i. En la ecuación de García-Zúñiga, se estimaráel valor de R ∞ en el rango de 95 % a 100 %. Los

valores a considerar son 95 %, 97,5 % y 100 %.

ii. El valor de k se despeja de la ecuación enfunción de R(t), t y R ∞. El valor de k es:

R1


153/202

R(t)-R

R

Ln*t

1

k

La combinación de parámetros (R ∞ y k) que

minimice el % CV de k, será la combinaciónóptima.

iii. Para mayor comodidad se construye la tabla

que sigue:

Tabla Nº 6.2. Procedimiento para determinar k yR ∞ de un modelo cinético a escala banco de


154/202

k (1/min)

t (min) R(t) (%) Roo = 0,95 Roo = 0,975 Roo = 1,0

0,0 0,00 - - -

0,5 0,374 1,00 0,968 0,937

1,0 0,601 1,00 0,958 0,9192,0 0,821 1,00 0,923 0,860

3,0 0,903 1,00 0,869 0,778

5,0 0,944 1,01 0,690 0,576

8,0 0,950 - 0,458 0,374

k promedio 1,00 0,811 0,741

Desviación estándar 0,01 0,201 0,222

% CVk 0,00 24,8 30,0

primer orden.

iv. De la tabla Nº 6.2, los valores de R ∞ y k a


155/202

considerar en el modelo son:

•R ∞ = 0,95 ó 95 %.

•k = 1,00 (1/min).

Por lo tanto el modelo cinético queda como sigue:

t)-exp(-1*0,95r(t)

4.4. Tiempo de residencia óptimo a escala banco(semi-batch).


156/202

Es fundamental poder relacionar pruebas de

laboratorio con la conducta de una operacióncontinua. Una aplicación directa es obtenerdatos a partir de pruebas de laboratorio quesirvan de base para el diseño de una planta.

De los diversos factores involucrados en eldiseño y operación de un circuito de flotación,el tiempo de residencia es probablemente el máscrítico.

Al respecto, Agar y colaboradores, han planteadoy analizado la aplicación de los siguientescriterios para determinar el tiempo deresidencia óptimo:

1) No agregar al concentrado material de ley menor a la alimentación de la etapa deseparación


157/202

separación.

Los procesos de flotación son fundamentalmenteuna etapa de concentración.

Para el caso de alimentaciones muy altas, al

aplicar este criterio a un circuito primario(rougher) se obtendrán leyes de relaves tambiénaltas. Por esta razón, a menudo se emplea una o

mas etapas de barrido (scavenger) a continuación

del circuito primario.

Por lo tanto, la aplicación de este criterio serefiere a cada etapa en particular.


158/202

2) Maximizar la diferencia en recuperación entre

el mineral deseado (útil) y la ganga.

Suponiendo que la ecuación de velocidad quedescribe el proceso de flotación es de primer

orden, según el modelo propuesto por García -Zúñiga:

ktexp1R R

Debido a que la recuperación es función del


159/202

tiempo de flotación, es posible definir un valor

que corresponderá a la diferencia derecuperación entre el mineral útil y la ganga.

= R u - R g

Se define a Δ como la diferencia enrecuperaciones, según:

R u = recuperación de la especie útil.R g = recuperación de la ganga.

Se define la recuperación para el material útily la ganga, utilizando las ecuaciones cinéticas:


160/202

i. Para el mineral: tk -uu

ue-1R R

ii. Para la ganga: tk -gg

ge-1R R

Para maximizar esta diferencia, se debe obtenerla diferencial con respecto a „t‟ e igualarla acero:

0dt

dΔ

0eR k -eR k dt

d tk -gg

tk -

uugu

uu

RkR k

Ln


161/202

gu

gg

k k

R k t

¿Cuándo se tiene la máxima diferencia enrecuperación?. Para responder esta pregunta, se

realiza el siguiente análisis matemático a partir de la ecuación de velocidad de flotación:

kt-kt-

ek R -eR t t

R

El máximo se obtiene cuando: 0t


162/202

“La máxima diferencia en recuperación de las dosespecies que se pretende separar corresponde al

tiempo al cual las dos velocidades de flotaciónse hacen iguales”.

g u

t

t

t

3) Maximizar la eficiencia de separación.


163/202

Definición de eficiencia de separación, ES, dada por Schulz:

ES = R u - R g

La eficiencia de separación será máxima cuando:

a) La diferencia en recuperación entre laespecie útil y la ganga sea máxima.

b) Las velocidades de flotación de la especieútil y la ganga sean iguales.

Definiendo eficiencia de separación como:


164/202

f m

f c

*Ff

Cm

ES

m = Contenido metálico del mineral valioso.

c = Ley del concentrado acumulativo.F = Masa de alimentación.

f = Ley de alimentación.

C = Masa del concentrado.

En la ecuación anterior, sólo c y C dependen deltiempo, y para obtener el máximo se debe derivar


165/202

tiempo, y para obtener el máximo se debe derivarES con respecto a t e igualar a cero, según:

0t

ES

0dtdcC

dtdCf)(c

f)Ff(mm

tES

Definiendo: t

0

CcGdC

G = ley instantánea del concentrado.

Derivando la ecuación anterior, se tiene:

G dC= C dc + c dC /:dC


166/202

G = C dc/dC + c /*(dC/dt)

G ( dC/dt ) = C ( dc/dt ) + c ( dC/dt )

C (dc/dt) = G (dC/dt) - c (dC/dt)

Remplazando las ecuaciones en ∂ES/∂t=0, se

obtiene:

G = f

“La eficiencia de separación esmáxima cuando la ley instantáneadel concentrado es igual a la leyde alimentación”.

4.5. Formas integrales de la ecuación develocidad de flotación


167/202

velocidad de flotación.

Las formas integrales de la ecuación develocidad de flotación:

CK -=dt

dC n

a) Para un grupo de partículas simples en unacelda de laboratorio (batch):

C = C exp ( - Kt )o


168/202

b) Para un grupo simple de partículas en unacelda continua en condiciones de estadoestacionario:

C = C exp ( - K t ) E ( t ) dtoo

oo

E (t): representa la distribución de tiempos deresidencia.

c) Para muchos grupos de partículas útiles conun rango de constantes de velocidad en una celdade laboratorio:


169/202

oo

0

odK )(K,0f Kt)-(expC=C

d) Para muchos grupos de partículas útiles enuna celda continua en estado estacionario:

o o

odK dt)K,0(f )t(E)tK -(expC=C

La ecuación d), es aplicable a la operación de plantas de flotación.

4.6. MODELOS CINÉTICOS CONTINUOS DE FLOTACIÓN.


170/202

Para pasar de un modelo a escala banco (batch)al caso continuo, se requiere incorporar almodelo una función matemática que describa eltransporte del material a través de las celdasde flotación.

Esta función corresponde a la distribución detiempos de residencia de las partículas en el

banco de flotación (curva DTR).

Los sistemas lineales, tienen la propiedad deaditividad y homogeneidad. Respecto a la primera


171/202

y g p ppropiedad, la respuesta a una entrada arbitrariaal sistema, puede representarse como la suma derespuestas del sistema a una serie de impulsos(función Delta Dirac) debidamente ponderados.

Por lo tanto, si se define E(t)dt como lafracción másica de partículas con tiempos deresidencia en la celda comprendidos en elintervalo de tiempo infinitesimal (t, t+dt; la

recuperación del elemento valioso (rc) en lacelda de flotación continua, operando en estadoestacionario, estará dada por:


172/202

0

c dtE(t)r(t)r

El problema de la modelación continua consistiráen identificar la DTR (Distribución de Tiemposde Residencia, E(t) y el modelo de flotación aescala banco r(t)), que mejores se adapten a losresultados experimentales obtenidos.

Se puede asumir que la DTR puede representarsepor una serie de mezcladores perfectos, por loque se puede expresar como:


173/202

!1- N

t N-expt N

E(t)

1- N

N

- N: representa el número de reactores en serie perfectamente mezclados e idénticos.

- Si N = 1: se obtiene el modelo de mezcla perfecta (un solo mezclador perfecto).

- Si N → ∞: se obtiene el otro caso extremo deflujo pistón (que supone ausencia de mezcla encualquier dirección del reactor).

- τ: representa el tiempo promedio de residenciade las partículas en la celda, que se define


174/202

como:

0 Q

V dtE(t)t

* Q: es el flujo volumétrico dealimentación.

* V: es el volumen efectivo de la celda

APLICACIONES DEL MODELO CONTINUO:

1. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de 1


175/202

g , pcelda de flotación perfectamente mezclada:

En este caso se tiene:

ktexp1R r(t)

t-exp1 E(t)


176/202

k1

k R rc

Reemplazando las ecuaciones en la integral de laexpresión cinética continua, se obtiene:

2. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de 1celda de flotación con régimen de flujo pistón:


177/202

celda de flotación con régimen de flujo pistón:

En este caso, no existe una DTR en la celda deflotación, ya que todas las partículas

permanecen el mismo tiempo t = τ, dentro de la

celda, es decir:

kexp1R rc

3. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de unbanco de N celdas, cada una de ellas

f t t l d


178/202

perfectamente mezcladas:

Se define en primer lugar:

celdacadaenresidenciade promedioTiempo NQ

V

.... N21

- τ: tiempo promedio total de residencia en el banco de celdas.

- N: número total de celdas en el banco.

- V: volumen de cada celda.

- Q: flujo de pulpa alimentado al banco de


179/202

j p pflotación (igual al flujo de alimentación acada celda, si se desprecia el flujo deconcentrado en cada caso).

En este caso, se tiene:

ktexp1R r(t)

!

1

1- N

t N-exp

t N

E(t)

N

N

Al l bti


180/202

Al reemplazar, se obtiene:

N

c k N

N-1R r

4. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de unbanco de N celdas con régimen de flujo pistón:


181/202

De manera similar al caso anterior, se llega a:

NkN-exp-1R r

c

- N: representa el número de celdas en el banco.

- τ/N: es el tiempo promedio de residencia encada celda.

5. Modelo de Klimpel, para un banco de N celdasperfectamente mezcladas:

E t ti


182/202

En este caso se tiene:

kt-exp-1kt

1-1R r(t)

!1- N

t N-exp

t N

E(t)

1- N

N

Reemplazando y realizando las operaciones matemáticas, se llega a:


183/202

, g

N1- Nk

Nk1-1

-1R r

N-1

c

Observaciones:


184/202

• De acuerdo a la metodología y modelos propuestos, se puede obtener múltiples modelosde flotación en bancos de celdas industriales,con el fin de optimizar los circuitos deflotación.

• Los resultados de la flotación a escala delaboratorio podrán extrapolarse a nivelindustrial, mediante la aplicación de los

modelos anteriores.

• En las ecuaciones de los modelos de García-


185/202

• En las ecuaciones de los modelos de García-

Zúñiga para un banco de N celdas perfectamente mezcladas y con régimen de flujo pistón, eltérmino (N/(N+kτ)) N es siempre mayor que exp(-kN/(τ N)), es decir, la flotación a escala banco(batch) (o N celdas en régimen de flujo pistón),siempre producirá una mayor recuperación que el

banco de N celdas perfectamente mezcladas(excepto cuando N → ∞, donde las recuperacionesen ambos casos se igualan).

4.7. Aplicación de la ecuación de primer orden aflujo continuo


186/202

flujo continuo.

El análisis de la cinética para un banco de Nceldas indica que el tiempo de retención

promedio en el banco, Nλ, no puede sustituirse

directamente en las expresiones cinéticas querepresentan un experimento a escala banco.

Para una celda operando en continuo, laconstante de flotación específica (idéntica a laconstante de velocidad), se define por:

cc QC =K


187/202

pt VCCc = Concentración en el concentrado.

Ct = Concentración en el relave.

Qc = Velocidad volumétrica de remoción deconcentrado.

V p = Volumen de pulpa en la celda

Suponiendo que todo el material es flotable (R = 1), la recuperación fraccional (R') en lacelda es:

λ K =R'


188/202

λ K +1 R

λ es el tiempo de residencia nominal (volumende la celda/velocidad de flujo volumétrico delos relaves).

La recuperación fraccional acumulativa para un banco de N celdas cuando el volumen deconcentrado es pequeño comparado con el flujototal, está dado por la serie geométrica:

1N''2'''''N

' R 1R .....R 1R R 1R R R

N'N

' R 11R

De las ecuaciones, se obtiene el tiempo deresidencia efectivo bajo condiciones semi-batch,

, que da la misma recuperación que en


189/202

condiciones continua es:

K λ 1LnK 1

τ

La recuperación en un banco de N celda es:

NN

' k λ 11R

4.8. DETERMINACIÓN DE R ∞ Y K DE FLOTACIÓNCONTINUA.

Para tal efecto se considera el modelo de


190/202

Para tal efecto se considera el modelo de

García-Zúñiga para un banco de N celdas perfectamente mezcladas.

N

c k N N-1R r

De dicha ecuación, de manera similar al caso deescala laboratorio, se despeja k:

N

1

1-r-R

R


191/202

p

cr-R

k

• k: constante específica de velocidad de

flotación (1/min).

• τ: tiempo promedio total de residencia en el banco de N celdas.

• τ p: tiempo promedio de residencia en la celda= τ/N.

• R: máxima recuperación alcanzable.

• rc: recuperación acumulada en la N-ésima celda


192/202

c p

del banco.

• N: número de celdas en el banco.

Se aplicará para un estudio cinético de

flotación primaria (rougher) de Cu efectuado enun banco de celdas industriales, que aporta lossiguientes datos:

• N = 10 celdas.

• τ p = 3 minutos.

• τ = 30 minutos.

Los datos experimentales de recuperación acumulada son:


193/202

N rc(N)

1 46,4

2 70,9

3 83,7

4 90,5

5 94,0

6 95,97 96,9

8 97,4

9 97,7

10 97,8

Es conveniente, en primer lugar graficar rc vs N:

889296

100


194/202

GRÁFICO rc vs N

048

121620242832364044

485256606468727680

8488

0 2 4 6 8 10 12

N

% r c

Determinación de los parámetros R y K, según el método de minimización del coeficiente devariación:

Se asignan valores arbitrarios a R partiendo de


195/202

Se asignan valores arbitrarios a R, partiendo de

97,9 %:R = 97,9 98,0 98,5 100,0 98,01

N rc(N) Ki Ki Ki Ki Ki

1 46,4 0,3003 0,2997 0,2969 0,2886 0,2997

2 70,9 0,3014 0,3005 0,2964 0,2846 0,3005

3 83,7 0,3011 0,2998 0,2937 0,2769 0,2997

4 90,5 0,3024 0,3004 0,2911 0,2671 0,3002

5 94,0 0,3017 0,2987 0,2846 0,2518 0,2984

6 95,9 0,3042 0,2991 0,2775 0,2343 0,2987

7 96,9 0,3083 0,2997 0,2671 0,2142 0,2989

8 97,4 0,3114 0,2969 0,2513 0,1927 0,29569 97,7 0,3300 0,3009 0,2357 0,1736 0,2986

10 97,8 0,3303 0,2860 0,2133 0,1549 0,2830

K PROM = 0,3091 0,2982 0,2708 0,2339 0,2973

SK = 0,0116 0,0044 0,0287 0,0481 0,0052

% CV = 3,764 1,488 10,613 20,554 1,757

Por lo tanto los parámetros R y k son:


196/202

p y

R = 98,0 %

K = 0,2982 (1/min)

Para un banco de “n” celdas, con cada celda

4.9. APLICACIÓN DE UN MODELO DE FLOTACIÓNCONTINUA.


197/202

operando en regimen de mezcla perfecta, sedetermina la velocidad de acumulación paracualquier celda:

ttt00 Vkc-cq -cq tdt

dc V

concenradoel

encomponente delsalida

de Velocidad

-

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