Capítulo 3

Números Complejos

Resolver la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0, es buscar un número que satisfaga la condición de

que x2 = �1. Pero sabemos que el cuadrado de un número real es un número real no negativo.Por tanto, el número x que es solución de x2 + 1 = 0 no puede ser un número real. Para que sea

posible la resolución de la ecuación introducimos un nuevo número dado por la siguiente de�nición

De�nición 3.1 La cantidadp�1 se llama unidad imaginaria y se denota por i =

p�1.

Observación 3.1 Ahora se puede de�nir las potencias de i:

i2 = �1 =) i =p�1

i3 = i2 � i = �i

i4 = i3 � i = �i � i = �i2 = 1...

i4k+p = ip, con 0 � p � 3

De�nición 3.2 Un número de la forma b i, donde b 2 R e i es la unidad imaginaria, se llama

número imaginario puro.

De�nición 3.3 Un número de la forma a+b i, donde a; b 2 R e i es la unidad imaginaria, se llamanúmero complejo.

Observación 3.2

1. Se denota y de�ne el conjunto de los números complejos por

C = fa+ b i = a; b 2 Rg

Los elementos del conjunto C se denotan por las letras z; w; :::;etc.

70

2. Si z = a+ b i, entonces

a) "a" se llama parte real del complejo z y se denota por Re z = a y

b) "b" se llama parte imaginaria del complejo z y se denota por Im z = b.

3. Notar que

b i = 0 + b i

Por tanto, los números imaginarios puros pertenecen al conjunto C. Es decir, todos los númeroscomplejos con parte real igual a cero son imaginarios puros.

4. Notar que

a = a+ 0 i

Por tanto, los números reales están incluídos en C. Es decir, todos los números complejos conparte imaginaria igual a cero son números complejos reales.

5. De 4: podemos decir que el conjunto R se puede mirar como un subconjunto del conjunto C.

De�nición 3.4 Dos números complejos z1 = a+b i y z2 = c+d i son iguales si y sólo si sus partes

reales y sus partes imaginarias son respectivamente iguales. Es decir:

z1 = z2 () a = c ^ b = d

Ejemplo 3.1 Sean z1 =�a2 + 2b2

�+ (a+ b) i y z2 = (ab+ 7) + 3i números complejos. Hallar los

valores de a y b tal que z1 = z2.

Solución De la de�nición anterior se tiene que

a2 + 2b2 = ab+ 7

a+ b = 3

)de la segunda ecuación, se tiene que b = 3� a. Reemplazando en la primera ecuación nos queda:

a2 + 2 (3� a)2 = a (3� a) + 7

3a2 � 12a+ 18 = 3a� a2 + 7

4a2 � 15a+ 11 = 0

Así,

a =15�

p225� 1768

=15�

p49

8=)

a =11

4a = 1

Por tanto, si

a = 1 =) b = 2 y

a =11

4=) b =

1

4

71

3.1. Representación geométrica de un número complejo

Geométricamente los números complejos se representan en el plano de Argand, o plano com-

plejo. En este plano rectangular llamamos eje real al eje X y eje imaginario al eje Y .

Observación 3.3 Existe una relación biunívoca entre los elementos del conjunto C y el conjunto

de puntos del plano R2. En efecto, si z = a+ b i 2 C, entonces

1. Si b = 0, entonces z = a. Este complejo se puede identi�car con el número real a. Geométrica-

mente se representa en el eje real X.

2. Si a = 0, entonces el complejo z = b i. Se representa geométricamente en el eje imaginario Y .

De�nición 3.5 Sea z = a+ b i 2 C y sea k 2 R, entonces se denota y de�ne el producto del escalark con el complejo z por

k z = k (a+ b i) = (k a) + (k b) i

De�nición 3.6 Si z = a + bi 2 C, entonces se denota y de�ne el número complejo conjugadode z por

z = a� bi

De�nición 3.7 Si z 2 C, entonces se denota y de�ne elmódulo de z por el número real no negativo

jzj =q(Re z)

2+ (Im z)

2

72

3.2. Operaciones con números complejos

De�nición 3.8 Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di dos números complejos dados. Se denotan y de�nen

en C las siguientes operaciones:

1. Suma

z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

2. Producto

z1 � z2 = (a+ bi)(c+ di) = (ac� bd) + (ad+ bc)i

Teorema 3.1 La suma y el producto en C satisfacen:

1. Clausura:

a) z1 + z2 2 C, 8z1; z2 2 C

b) z1 � z2 2 C, 8z1; z2 2 C

2. Conmutatividad:

a) z1 + z2 = z2 + z1, 8z1; z2 2 C

b) z1 � z2 = z2 � z1, 8z1; z2 2 C

3. Asociatividad:

a) ( z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), 8z1; z2; z3 2 C

b) ( z1 � z2) � z3 = z1 � (z2 � z3), 8z1; z2; z3 2 C

4. Existencia del elemento neutro:

a) 8z 2 C; 9! za 2 C tal quez + za = z

El neutro aditivo de z es za = 0 + 0i = 0.

b) 8 z 2 C , 9! zm 2 C tal quez � zm = z

El neutro múltiplicativo de z es zm = 1 + 0i = 1.

5. Existencia del elemento inverso:

a) Para cada z 2 C, existe �z 2 C tal que

z + (�z) = za = 0

El inverso aditivo de z = a+ bi es �z = �a� bi.

73

b) Para cada z 2 C, z 6= 0, existe z�1 2 C tal que

z � z�1 = zm = 1

El inverso múltiplicativo de z = a+ bi es z�1 =a

a2 + b2� b

a2 + b2i.

6. Distributividad:

z1 � (z2 + z3) = z1 � z2 + z1 � z3, 8 z1; z2; z3 2 C

Demostración: Ejercicio

De�nición 3.9 Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di dos números complejos dados. Se denotan y de�nen

en C las siguientes operaciones:

1. Diferencia

z1 � z2 = z1 + (�z2) = (a+ bi) + (�c� di)) = (a� c) + (b� d)i

2. División

z1z2= z1 � z�12 = (a+ bi)

�c

c2 + d2� d

c2 + d2i

�=ac+ bd

c2 + d2+bc� adc2 + d2

i, con z2 6= 0

Ejemplo 3.2 Dados los números complejos: z1 = �5 + 4i, z2 = 7 + 3i y z3 = 8i. Calcular:

1. z1 + z2 � z3

Solución

z1 + z2 � z3 = (�5 + 4i) + (7 + 3i)� (8i)

= �5 + 4i+ 7 + 3i� 8i

= 2� i

2. z1 � z2

Solución

z1 � z2 = (�5 + 4i) (7 + 3i)

= (�35� 12) + (28� 15)i

= �47 + 13i

3.z2z1

Solución

74

z2z1

=7 + 3i

�5 + 4i= (7 + 3i) (�5 + 4i)�1

= (7 + 3i)

��5

25 + 16� 4

25 + 16i

�= (7 + 3i)

��541� 4

41i

�=

��35 + 1241

�+

��28� 1541

�i

= �2341� 4341i

Teorema 3.2

1. z = z , z 2 R

2. z = z, 8z 2 C

3. z1 + z2 = z1 + z2, 8z1; z2 2 C

4. z1 � z2 = z1 � z2, 8z1; z2 2 C

5. z�1 = (z)�1 8z 2 C� f0g

6.�z1z2

�=z1z2, 8z1; z2 2 C, z2 6= 0

7. z + z = 2Re z, 8z 2 C

8. z � z = (2 Im z) i, 8z 2 C

9. z � z = (Re z)2 + (Im z)2, 8z 2 C

10.z1z2=

1

z2 � z2z1 � z2, 8z1; z2 2 C, z2 6= 0

Demostración: Se dejan de ejercicios todos los restantes

1:Sea z = a+ bi, entonces z = a� bi. Luego,

z = z

a+ bi = a� bi

2 bi = 0

b = 0

Por tanto, z = a 2 R

75

Teorema 3.3

1. jzj2 = z � z, 8z 2 C

2. jzj = jzj = j�zj, 8z 2 C

3. jz1 � z2j = jz1j jz2j, 8z1; z2 2 C

4.��z�1�� = jzj�1, z 6= 0

5.

����z1z2���� = jz1jjz2j , 8z1; z2 2 C, z2 6= 0

6. z�1 =z

jzj2, z 6= 0

7. Re z � jzj y Im z � jzj, 8z 2 C

8. jz1 + z2j2 = jz1j2 + jz2j2 + 2Re (z1z2), 8z1; z2 2 C

9. jz1 + z2j � jz1j+ jz2j, 8z1; z2 2 C (Desigualdad Triangular)

10. jjz1j � jz2jj � jz1 � z2j, 8z1; z2 2 C

Demostración: Se dejan de ejercicios todos los restantes

7: Sean z1; z2 2 C, entonces

jz1 + z2j2 = (z1 + z2) (z1 + z2)

= (z1 + z2) (z1 + z2)

= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2

= jz1j2 + z1z2 + z1z2 + jz2j2

= jz1j2 + 2Re (z1z2) + jz2j2

9: Sean z1; z2 2 C, entonces

jz1 + z2j2 = jz1j2 + 2Re (z1z2) + jz2j2

� jz1j2 + 2 jz1z2j+ jz2j2

= jz1j2 + 2 jz1j jz2j+ jz2j2

= jz1j2 + 2 jz1j jz2j+ jz2j2

= (jz1j+ jz2j)2

Por tanto, extrayendo raíz cuadrada se tiene que:

jz1 + z2j � jz1j+ jz2j

76

Observación 3.4 Si z1 = a+ bi y z2 = c+di 6= 0 son dos números complejos, entonces también:

z1z2=z1z2� z2z2=z1z2z2z2

=z1z2

jz2j2

3.3. Forma polar de un número complejo

Sea P (a; b) un punto del plano. OP es la representación geométrica de z = a+ bi. El módulo de

z es r, es decir: jzj = r, y el ángulo � es el ángulo que forma el eje real positivo con el lado terminalOP . Notar que por trigonometría:

a = r cos �

b = r sen �

Luego, todo número complejo z 6= 0; se puede escribir en la forma:

z = r (cos � + i sen �)

donde (r; �) se llaman las coordenadas polares de z.

Comp1

31:jpg

De�nición 3.10 El complejo z = a+ bi, escrito en la forma:

z = r (cos � + i sen �) ;

se llama forma polar o trigonométrica de z, donde a = r cos �, b = r sen � , r = jzj =pa2 + b2 y

� es el argumento de z.

Observación 3.5

77

1. Puesto que sen � y cos � son periódicos de período 2�; para r > 0 y todo k entero se tendrá

que

z = r [cos(� + 2k�) + i sen(� + 2k�)]

será también una forma polar del complejo z = a+ bi:

2. El único número real � que satisface la relación: �� � � � � se llama argumento principalde z y se denota por: Arg z = �. A menos que exista alguna razón particular para hacerlo de

otra forma, usualmente daremos únicamente el valor no negativo más pequeño del ángulo de

un número complejo.

3. El argumento de z, se puede determinar como sigue:

� =

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

Arctg

�b

a

�si z está en el cuadrante I

� �Arctg����� ba

����� si z está en el cuadrante II

� +Arctg

�b

a

�si z está en el cuadrante III

2� �Arctg����� ba

����� si z está en el cuadrante IV

Ejemplo 3.3

1. Escribir z = �1� ip3 en forma trigonométrica o polar.

Solución

r = jzj =r(�1)2 +

��p3�2=p4 = 2

Notar que z está en el cuadrante III, luego

� = � +Arctg

p3

1

!= � +

�

3=4�

3

Por tanto,

z = 2

�cos

4�

3+ i sen

4�

3

�2. Expresar el número complejo z = 2(cos 1500 + i sen 1500) en la forma a+ bi:

Solución Notamos que cos 1500 = �p3

2y sen 1500 =

1

2, luego tenemos que

z = 2(cos 1500 + i sen 1500)

= 2

�p3

2+1

2i

!= �

p3 + i

78

Ejercicio 3.4 Expresar el número complejo z = 2� 2i en forma polar.

Teorema 3.5 Si z1 = r1(cos �1 + i sen �1) y z2 = r2(cos �2 + i sen �2), entonces

1. z1� z2 = r1r2 [cos(�1 + �2) + i sen(�1 + �2)]

2.z1z2=r1r2[cos(�1 � �2) + i sen(�1 � �2)] , con z2 6= 0

Demostración: Sean z1 = r1(cos �1+i sen �1) y z2 = r2(cos �2+i sen �2) dos números complejos,

entonces

z1z2

=r1(cos �1 + i sen �1)

r2(cos �2 + i sen �2)

=r1r2

cos �1 + i sen �1cos �2 + i sen �2

cos �2 � i sen �2cos �2 � i sen �2

=r1r2

(cos �1 cos �2 + sen �1sen �2) + (sen �1 cos �2 � sen �2 cos �1) icos2 �2 + sen2 �2

=r1r2[(cos �1 cos �2 + sen �1sen �2) + (sen �1 cos �2 � sen �2 cos �1) i]

=r1r2[cos (�1 � �2) + i sen(�1 � �2)]

Se deja de ejercicio el 1:

Observación 3.6 Del teorema se deduce que:

1. jz1 � z2j = jz1j jz2j y que el Arg(z1 � z2) = Arg(z1) +Arg(z2)

2.

����z1z2���� = jz1jjz2j y Arg(

z1z2) = Arg(z1)�Arg(z2)

3. Como la forma polar de 1 es, 1 = cos 0 + i sen 0, entonces

z�12 =1

z2=

cos 0 + i sen 0

r2(cos �2 + i sen �2)

=1

r2(cos (��2) + i sen (��2))

=1

r2cos �2 � i sen �2

Ejemplo 3.4 Sean z1 = 1 + i y z2 = 1�p3i. Determinar, usando la forma polar, z1 � z2 y

z1z2.

Solución Forma Polar de z1 y z2:

jz1j =p12 + 12 =

p2

Notar que z1 está en el cuadrante I, luego

� = Arctg

�1

1

�= Arctg (1) =

�

4

79

Así,

z1 =p2�cos

�

4+ i sen

�

4

�Por otra parte,

jz2j =r12 +

��p3�2=p4 = 2

Notar que z2 está en el cuadrante IV , luego

� = 2� �Arctg p

3

1

!= 2� � �

3=5�

3

Así,

z2 = 2

�cos

5�

3+ i sen

5�

3

�Por tanto,

z1 � z2 = 2p2

�cos(

�

4+5�

3) + i sen(

�

4+5�

3)

�= 2

p2

�cos

23�

12+ i sen

23�

12

�y

z1z2

=

p2

2

�cos(

�

4� 5�3) + i sen(

�

4� 5�3)

�=

p2

2

�cos(�17�

12) + i sen(�17�

12)

�=

p2

2

�cos

17�

12)� i sen 17�

12)

�

3.4. Potencias y raíces de los números complejos

Teorema 3.6 (de De Moivre)Si n 2 Z, entonces

[r(cos � + i sen �)]n= rn(cos (n�) + i sen (n�))

Ejemplo 3.5 Determinar (1 + i)10

Solución Ya hemos visto que la forma polar de 1 + i es

1 + i =p2�cos

�

4+ i sen

�

4

�Luego, por teorema

(1 + i)10

=�p2�10 �

cos�10 � �

4

�+ i sen

�10 � �

4

��= 32

�cos

5�

2+ i sen

5�

2

�

80

De�nición 3.11 Si z 2 C; diremos que ! es una raíz enésima de z si !n = z:En tal caso

escribimos ! = npz = z1=n.

Teorema 3.7 El número complejo z = r(cos � + i sen �) tiene n raíces complejas que están dadas

por:

!k =npr

�cos

�� + 2k�

n

�+ i sen

�� + 2k�

n

��, con k = 0; 1; :::; (n� 1)

De�nición 3.12 Dado un ángulo � medido en radianes, se de�ne la exponencial ei � como:

ei� = cos � + i sen �

llamada fórmula de Euler.

Observación 3.7 Luego, si z = r(cos � + i sen �), entonces

z = r ei�

Ejemplo 3.6

1. Calcular las raíces cúbicas de z = 1 + i

Solución Sean

n = 3

r =p12 + 12 =

p2

� = Arctg

�1

1

�=�

4

Por tanto, las raíces cúbicas de z son:

!k =3

qp2

24cos0@ �4 + 2k�

3

1A+ i sen0@ �4 + 2k�

3

1A35 , k = 0; 1; 2es decir

!0 =6p2hcos� �12

�+ i sen

� �12

�i=

6p2e

�12

!1 =6p2

�cos

�3�

4

�+ i sen

�3�

4

��=

6p2e

3�4

!2 =6p2

�cos

�17�

12

�+ i sen

�17�

12

��=

6p2e

17�12

81

La representación grá�ca de estas raíces es:

Comp3

32:jpg

2. Calcular:

r2(cos

3�

4+ isen

3�

4)

Solución Notar que: n = 2; r = 2; � =3�

4:Luego,

!k =p2

264cos0B@ 3�4 + 2k�

2

1CA+ i sen0B@ 3�4 + 2k�

2

1CA375 , k = 0; 1

es decir:

!0 =p2

�cos

�3�

8

�+ i sen

�3�

8

��=p2e

3�8

!1 =p2

�cos

�11�

8

�+ i sen

�11�

8

��=p2e

11�8

Ejercicio 3.8

1. Calcularpi:

2. Calcular 4p�8:

3. Determinar las raíces quintas de la unidad.

82