Capitulo_2.ppt

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍNFACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

Mg. Olha Sharhorodska

RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

Capitulo 2

Métodos Cerrados


INTRODUCCION

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido.

Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...


El proceso de optimización consiste en la búsqueda de max y min de una función, lo cual implica la aplicación de RAICES

Procesos

x f(x) max

min

Max f(x)

Min f(x) Optimización

f’(x)=0

x


La solución de sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales implica la aplicación de las RAICES

-x x

m

Resorte Amortiguador

02

2

kxdtdx

cdt

xdm

mmkcc

r

r

242

2

1

Representación:

trtr BeAetx 21)(

Aplicación de raíces: Solución:

El modelo matemático de movimiento del sistema de suspensión:

)(2

2

kxdtdx

cdt

xdm


¿Que es una RAIZ?

Es el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación no lineal simple, f(x) = 0.

Raíz

F(x)

x

Resuelva F(x) = 0 para x


Solución de ecuaciones cuadráticas

Ecuación cuadrática:ax2 + bx + c = 0

Solución:

aacbb

xx2

4,

2

21


Ecuación polinómicas:

Ecuaciones trascendentes(no polinomicas)

Solución: MÉTODOS NUMERICOS

Solución de otros tipos de ecuaciones

vec

gmcf

tm

c

1)(

645)( 235 xxxxf


La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas.

Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la

raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.


Separación de las raíces

Método grafico F(x) = x3 – 3x-1 =0 Separar en funciones

mas simples: G(x) = x3

Z(x) = 3x + 1 Punto de intersección –

raíz Según el grafico hay 3

raíces: [-2; -1.2] [-0.8, 0.8] [1.2; 2]


Método analítico F(x) = 2x – 5x-3 Paso 1:

F’(x) = 2xln2 -5 =0 2x = 5 / ln2 xlog2 = log5 – logln2 x = (log5 – logln2)/log2 = (0.6990+0.1592)/ 0.3010 = 2.85

Paso 2:

Ecuación tiene 2 raíces Paso 3:

Raíces se encuentran en los intervalos: [-1; 0] y [4; 5]

- 2 3 +

+ - - +

x - 1 0 1 2 3 4 5

F(x) + - - - - - +


Métodos de búsqueda de raíces Los métodos numéricos para encontrar los raíces de

ecuaciones se dividen en dos grandes grupos:

Métodos abiertos •Iteración simple de punto fijo•Método de Newton – Raphson•Método de la secante

Métodos cerrados o de intervalo

•Bisección•Falsa posición•Falsa posición modificada

x

y

1 2

f(xi)xr=(xi + xd)/2

f(xr)

f(xd)

xixr xd

Pendiente = f’(xn)

1

f (xn)

xnxn+1

yx x

f x

f xn nn

n 1

( )

'( )

x


MÉTODO DE BISECCIÓN

x

y

xi

xd

f(xi)

xr=(xi + xd)/2

f(xr)

Raiz


En este método suponemos que f es una función continua definida en el intervalo [xi, xd] con f(xi) y f(xd) con signos diferentes.

Tomando en cuenta el teorema del valor medio, existe un número p ∈ [xi, xd] tal que f (p) = 0. Por razones de simplicidad, asumamos que la raíz en este intervalo es

real y única.

El método requiere dividir varias veces a la mita el intervalo [xi, xd] y en cada paso localizar la mitad que contenga a p.

Si f(p1) = 0, entonces p1 = p; de no ser así, si f(p1) tiene el mismo signo que f(xi), entonces p ∈ (p1, xd); si f(p1) tiene el mismo signo que f(xd), entonces p ∈ (xi, p1); y aplicamos el mismo procedimiento a este nuevo intervalo.



xi xd

f(x)

x

f(xi)

f(xd)

Algoritmo del Método de Bisección

Primer Paso

Consiste en considerar un intervalo

(xi, xd) en el que se garantice que la

función tiene raíz. Nota: si xi y xd encierran la raíz,

entonces f(xi) y f(xd) tendrán signos

diferentes.

Intervalo

+

-



xixd

f(x)

x

f(xi)

f(xd)

Segundo Paso

El segmento se divide en

dos, tomando el punto de

bisección xr como

aproximación de la raíz

buscada.

xr

1r Intervalo 2do Intervalo


MÉTODO DE BISECCIÓNTercer Paso

Si xr es la raíz buscada - f(xr)=0 – fin de proceso;

Si no, determinar en cual de las dos mitades se encuentra

la raízf(x) f(x)

xi xdx

f(xi)

f(xd)

xr

f(xr)=0xr – solución

xi xdx

f(xi)

f(xd)

xr

f(xr)≠0xr – no es una solución


MÉTODO DE BISECCIÓN si f(xr) y f(xi) tienen el mismo signo, entonces xi=xr

si f(xr) y f(xd) tiene signos opuestos, entonces xd=xr

f(xi) f(xd) f(xr)

+ - +Xi = Xr

xi xd

f(x)

x

f(xi)

f(xd)xi xd

xr

f(x)

x

f(xi)

f(xd)

f(xr)

xrf(xr)


Criterios de paro y estimación de errores

Error se encuentra se encuentra por debajo de algún nivel prefijado – tolerancia

donde

Numero máximo de iteraciones

donde Δx0 = xd – xi (en la primera iteración)

%100 nuevor

anteriorr

nuevor

xxx

Error

nuevorxanteriorrx

- es la raíz en la iteración actual

- es la raíz en la iteración anterior

Tol

xn

0

2log


Ejemplo: 3x2 - ex = 0 usemos el método de Bisección para encontrar la segunda

raíz en el intervalo [0.9; 1.0].

Intervalo 0.9 – 1.0

10.9

Intervalo 0.9 – 1.0

xixd


Solución:

n xi xd xr f(xi) f(xd) f(xr)

1 0.9 1.0 0.95 -0.0296 0.2817 0.1218

2 0.9 0.95 0.925 -0.0296 0.1218 4.50*10-2

- + +

0.9

xixd

-

10.9

xi xd

xr+

-

0.95 1

++



1 0.9 1.0 0.95 -0.0296 0.2817 0.1218

2 0.9 0.95 0.925 -0.0296 0.1218 4.50*10-2

3 0.9 0.925 0.9125 -0.0296 4.50*10-2 7.42*10-3

4 0.9 0.9125 0.90625 -0.0296 7.42*10-3 -1.11*10-2

5 0.90625 0.9125 0.909375 -1.11*10-2 7.42*10-3 -1.88*10-3

6 0.909375 0.9125 0.9109375 -1.88*10-3 7.42*10-3 2.76*10-3

7 0.909375 0.9109375 0.9101563 2.76*10-3 7.42*10-3 4.42*10-4

8 0.909375 0.9101563 0.9097656 2.76*10-3 4.42*10-4 -7.19*10-4

- + +

Resultados


Programa en MATLAB

function bisec_n(f_name, a, c)f_name % a,c : extremos del intervalo inicial% tol : tolerancia% it_limit : limite del numero de iteraciones% y_a, y_c : valores y de los extremos actuales% fun_f(x): valor funcional en xfprintf ('Metodo de la biseccion:\n\n');tol=0.0001;it_limit=30;fprintf (' Iter. Xi Xd Xr f(Xi) ');fprintf (' f(Xd) f(Xr)) \n');it=0;y_a=feval(f_name, a); y_c=feval(f_name, c);


if (y_a*y_c>0) fprintf('\n\n Detenido porque f(a)*f(c) > 0 \n'); else while 1 it = it + 1; b=(a + c)/2; y_b=feval(f_name,b); fprintf ('%3.0f%10.6f%10.6f%',it,a,c); fprintf ('%10.6f%13.6f%13.6f\n',b,y_a,y_c); fprintf ('%13.6f\n',y_b); if (abs(c-a)/2<=tol) fprintf ('Se satisface la tolerancia de %10.6f\n ', tol); break fprintf ('\n Cambie a o b y ejecute otra vez. \n'); end if (it > it_limit) fprintf ('Se excedio el limite de iteraciones. \n');break end if (y_a*y_b<=0) c=b; y_c=y_b; else a=b; y_a=y_b; end end fprintf ('Resultado: Raiz=%12.6f \n', b); end


Resultados: Resultados del programa: Metodo de la biseccion: Iter. Xi Xd Xr f(Xi) f(Xd) f(Xr)) 1 0.900000 1.000000 0.950000 -0.029603 0.281718 0.121790 2 0.900000 0.950000 0.925000 -0.029603 0.121790 0.045007 3 0.900000 0.925000 0.912500 -0.029603 0.045007 0.007428 4 0.900000 0.912500 0.906250 -0.029603 0.007428 -0.011157 5 0.906250 0.912500 0.909375 -0.011157 0.007428 -0.001882 6 0.909375 0.912500 0.910938 -0.001882 0.007428 0.002769 7 0.909375 0.910938 0.910156 -0.001882 0.002769 0.000442 8 0.909375 0.910156 0.909766 -0.001882 0.000442 -0.000720 9 0.909766 0.910156 0.909961 -0.000720 0.000442 -0.000139 10 0.909961 0.910156 0.910059 -0.000139 0.000442 0.000152

Se satisface la tolerancia de 0.000100 Resultado: Raiz= 0.910059

Resultados de los cálculos manuales:


1 0.9 1.0 0.95 -0.0296 0.2817 0.1218

8 0.909375 0.9101563 0.9097656 2.76*10-3 4.42*10-4 -7.19*10-4


Consideremos una función f continua en un intervalo [xi, xd] y tal que f(xi)f(xd)< 0 .

El método de Posición Falsa, para encontrar una aproximación de una raíz α ∈(xi, xd) de f(x)= 0 , es similar al método de Bisección en el sentido de que se generan subintervalos que encierran a la raíz α, pero esta vez xr no es el punto medio del intervalo, sino el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos (xi, f(xi)) , (xd, f(xd)) con el eje x.

Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre del método. También se le conoce como método de Interpolación Lineal Inversa.

Método de Falsa Posición (o Regula Falsi)


Según la semejanza de dos triángulos

xi xd

f(x)

x

f(xi)

f(xd)

dr

d

ir

i

xxxf

xxxf

)()(

)()(

)(

di

diddr xfxf

xxxfxx

xr


Algoritmo del método de Falsa posición

Paso 1 Determinar el intervalo que encierra la raíz

Paso 2 Calcular el valor de la raíz aproximada según la

formula, es decir calcular el valor del punto de cruce de la línea que une f(xi) y f(xd) con el eje x.

Paso 3 Determinar si el valor encontrado es una solución

al problema. Si la respuesta es si – finalizar los cálculos. Si la respuesta es no – comparar los signos de las

funciones en los extremos del intervalos con el signo de la función de la raíz aproximada. Eliminar el intervalo que no encierra la raíz y repetir el procedimiento.


Este método tiene la desventaja, con respecto al método de Bisección en caso de que la longitud del subintervalo que contiene a la raíz no tiende a cero (funciones cóncavas hacia arriba o hacia abajo) en la vecindad de la raíz, lo que hace que uno de los extremos de los subintervalos se aproxime a la raíz, mientras el otro permanece fijo.


Desventaja del Método de Falsa posición

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 0.2

0.4

0.6

0.8 1 1.

21.

4

f(x)

x

En algunos casos funciona de manera ineficiente

Unilateralidad – conforme se avanza en las iteraciones, uno de los puntos limites permanece fijo

Por ejemplo: f(x) = x10 – 1, x[0, 1.3]


Método de bisección

I Xi Xd Xr Error

1 0 1.3 0.65

2 0.65 1.3 0.975 33.3

3 0.975 1.3 1.1375 14.3

4 0.975 1.1375 1.05625 7.7

5 0.975 1.05625 1.015625 4.0

I Xi Xd Xr Error

1 0 1.3 0.09430

2 0.09430 1.3 0.18176 48.1

3 0.18176 1.3 0.26287 30.9

4 0.26287 1.3 0.33811 22.3

5 0.33811 1.3 0.40788 17.1

Método de Falsa posición


Método de Falsa posición modificada

Detectar si uno de los limites del intervalo se “estaca”

Si es así, dividir a la mitad el valor de la función en este punto.


Problema 1. Considere la ecuación senx + ln x = 0 . a) Verifique que la ecuación dada tiene una

única raíz a. Aplique el método de Bisección en el

intervalo [0.5, 0.6], calcule 15 iteraciones y tome a 15 x como aproximación de a . ¿Cuál es la calidad de esta aproximación?

Aplique el método de Punto Fijo para aproximar la raíz a con una precisión de por lo menos 5 cifras significativas.


Solución: Dominio de f (x) = senx + ln x es (0,+¥).

Como senx + ln x = 0 entonces senx = - ln x ,

podemos dibujar en un mismo plano coordenado las gráficas de y = senx y y = - ln x . Obtenemos:


De acuerdo con la gráfica es claro que la ecuación dada tiene una única raíz a y a[0,1].

La gráfica de f (x) = sen x + ln x, es como se indica a continuación:


MÉTODOS ABIERTOS A diferencia de los métodos cerrados que requieren

de un intervalo que encierre la raíz buscada, los métodos abiertos que se verán requieren de un solo valor o dos valores iniciales (de arranque) que no necesariamente encierran dicha raíz;

Esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés (vayan probablemente a otra raíz), pero tienen la ventaja que cuando convergen lo hacen "más rápidamente" que las sucesiones generadas por los métodos cerrados.


ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO Este método se basa en hacer que la raíz se

convierta en un punto fijo e iterando hasta que se alcance dicha raíz.

Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g.

En este caso se tiene que: α es raíz de f(x)= 0 ⇔ f(α)= 0 ⇔ α = g(α) ⇔ α es raíz de x = g(x).


El método del punto fijo parte de un valor inicial x0 cercano a la raíz.

Para encontrar la solución, calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso.

Como en otras formulas iterativas, el error aproximado se calcula como:

%100*1

1

i

ii

x

xx


En la figura se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y = g(x0). La intersección de esta solución con la recta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo a la solución final.

Sin embargo, el método puede divergir fácilmente.

Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada g'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y=x). Un ejemplo de este caso se muestra en la siguiente figura.


Esta condición, que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente.

Para ello basta elegir la función g(x) del siguiente modo: g(x) = x + f(x)

de forma que tomando un valor de adecuado, siempre podemos hacer que g(x) cumpla la condición de la derivada.


Ejemplo. Determina la raíz de la ecuación f(x) = e-x – x con el método del punto fijo considerando una tolerancia de 0.001

Tenemos x = e-x

La gráfica de la ecuación muestra que el valor de la raíz es cercano a 0.6, por lo que escogemos la aproximación inicial Calculamos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

g(x)=exp(x), g(x)=x

g(x)=exp(-x)

g(x)=x

0 0.4x 0( )g x

0.40( ) 0.67g x e


Y tenemos que

Como , es decir, no se ha encontrado la raíz y además es mayor a la tolerancia deseada, hacemos una nueva iteración.

En la siguiente tabla se resumen los resultados al aplicar el método. Al comparar las diferencias y se observa que , por lo que se concluye que el método converge. El método se detuvo en la iteración 11 debido a que , por lo que puede concluirse que 0.56748681 es una aproximación al valor de la raíz con un margen de error del 0.1%.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

g(x)=exp(x), g(x)=x

g(x)=exp(-x)

g(x)=x

1 0( )x g x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

g(x)=exp(x), g(x)=x

g(x)=exp(-x)

g(x)=x

1 0 0x x

1 0x x

2 1x x 1 0x x2 1 1 0x x x x

11 10x x T


n xn g(xn) Xn – xn-1

0 0.4 0.67032005 -

1 0.67032005 0.51154483 0.27032005

2 0.51154483 0.59956863 0.15877521

3 0.59956863 0.54904843 0.0880238

4 0.54904843 0.57749908 0.0505202

5 0.57749908 0.56130038 0.02845065

6 0.56130038 0.57046676 0.0161987

7 0.57046676 0.56526154 0.00916638

8 0.56526154 0.56821152 0.00520522

9 0.56821152 0.56653778 0.00294998

10 0.56653778 0.56748681 0.00167374

11 0.56748681 0.5669485 0.00094903


MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON

Este método es uno de los más usados y efectivos.

A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.


La formula iterativa de este método es:

si


Ejemplo 1Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .

SoluciónEn este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con X0=1 y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es, Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado

hasta donde se pidió.

xexf x ln)( 10 x%1a


Aprox. a la raíz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:


Nota: El método de Newton es muy rápido y

eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada iteración). Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la función en las proximidades del punto de iteración. En la figura (2) se muestran dos situaciones en las que este método no es capaz de alcanzar la convergencia (figura (2a)) o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación (figura (2b)).


Dos situaciones en las que el método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.


MÉTODO DE LA SECANTE

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:


Método de la secante El método de Newton tiene el defecto de que requiere

conocer la derivada de la función f(x) cuyo cero queremos hallar y esto no es siempre factible.

El método de la secante es muy similar al de Newton pero no requiere el conocimiento de esta derivada. La idea clave en el método de la secante consiste en sustituir la derivada f’(xn) que aparece en la formula del método de Newton [véase la ecuación (4.36)] por una expresión aproximada:

Esta aproximación viene motivada por la definición de la pendiente de la tangente f’(xn) como el lımite de la pendiente de la secante:


En definitiva, la formula del método de la secante, equivalente a la formula del método de Newton, es


La formula iterativa de la secante es:

Representación geométrica del método de la secante.


Ejemplo 1Usar el método de la secante para aproximar la raíz de comenzando con

, y hasta que . Solución

Tenemos que y , que sustituimos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación x2 :

Con un error aproximado de:


Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

0

1 100%

0.612699837 63.2%

0.653442133 6.23%

0.652917265 0.08%

De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:


RAICES DE POLINOMIOS

Los métodos vistos hasta el momento permiten obtener las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Sin embargo, ninguno de ellos permite el cálculo de las raíces complejas de los mismos. Esta sección está dedicada al estudio de dos métodos que permiten obtener las raíces, tanto reales como complejas, de un polinomio.


Método de Bairstow

Este método depende de dividir el polinomio entre un factor cuadrático. Sea P(x)=0, el polinomio general de grado n de la forma

Sabemos que al obtener el factor cuadrático

tenemos que

1 20 1 2 1( ) n n n

n nP x a x a x a x a x a

2x px q

2 2 3 40 1 2 3 2 1( ) ( )( )n n n

n n n nP x x px q b x b x b x b x b b x b


1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

1 1, , ,n n n nb b b bp q p q

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos:1.Hacer p=q=0.2.Calcular los coeficientes del polinomio reducido

Y los residuos

3. Calcular las derivadas parciales de los residuos bn-1 y bn


4. Resolver el sistema

1 11

n nn

b bp q b

p q

n n

n

b bp q b

p q

*p p p *q q q

5. Obtener los valores de las nuevas aproximaciones

y

.6. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si | p* -p | < T y | q* -q | < T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q*.


Ejemplo. Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Bairstow considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras significativas:

4 3 26 3 4 0x x x x

Solución. Tenemos que

0 1 2 3 41, 1, 6, 3, 4; 4a a a a a n

Sean p=q=0 los valores iniciales.


0 0

1 1 0

2 2 1 0

1

( 1) (0)(1) 1

(6) (0)( 1) (0)(1) 6

b a

b a pb

b a pb qb

3 3 2 1

4 4 2

( 3) (0)(6) (0)( 1) 3

(4) (0)( 6) 4

b a pb qb

b a qb

3 32 1

4 42

6.00; 1.00

0.00; 6.00

b bb b

p q

b bb

p q

Los coeficientes del polinomio reducido están dados por

los residuos, por

y las derivadas parciales, por


6.00 1.00 3.00

0.00 6.00 4.00

p q

p q

0.389p 0.667q

* 0.389p p p * 0.667q q q

*p p *q q

Resolviendo el sistema

tenemos que y

Entonces y

Se observa que =0.389 y que

y es necesario que ambos valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una nueva iteración.

=0.667


Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla:

i b0 b1 b2 b3 b4 P* Q* |p* - p| |q* - q|

0 1 -1 6 -3 4 -0.389 0.667 0.389 0.667

1 1 -0.611 5.10 -0.609 0.598 -0.368 0.784 0.021 0.117

2 1 -0.632 4.98 -0.672 0.0957 -0.501 0.765 0.133 0.019

3 1 -0.499 4.99 -0.118 0.183 -0.521 0.802 0.02 0.037

4 1 -0.479 4.95 -0.037 0.0301 -0.528 0.808 0.007 0.006


4 3 2( ) 6 3 4 0P x x x x x

2 2( ) ( 0.528 0.808)( 0.479 4.95) 0.0369 0.0301 0P x x x x

2 2( ) ( 0.528 0.808)( 0.479 4.95) 0P x x x

1 2 3 40.264 0.86, 0.264 0.86, 0.240 2.21, 0.240 2.21x i x i x i x i

El polinomio

puede expresarse entonces como

Como se alcanzó la tolerancia deseada, asumimos que el residuo se puede despreciar, y tenemos que

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son

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